2017-2018版高中数学第二章概率1离散型随机变量及其分布列学案2-3

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE22学必求其心得，业必贵于专精PAGE1离散型随机变量及其分布列学习目标1。理解随机变量及离散型随机变量的含义。2.掌握离散型随机变量的表示方法和性质。3.会求简单的离散型随机变量的分布列．知识点一离散型随机变量思考1①掷一枚均匀的骰子，出现的点数;②在一块地里种下8颗树苗，成活的棵数．以上两个现象有何特点?思考2抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？梳理(1）随机变量将随机现象中试验(或观测）的每一个可能的结果都对应于________，这种________称为一个随机变量,通常用大写的英文字母如X，Y来表示．(2）离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能够__________，这样的随机变量称为离散型随机变量．知识点二离散型随机变量的分布列思考掷一枚骰子，所得点数为X,则X可取哪些数字？X取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示X与P的对应关系吗？梳理（1)离散型随机变量的分布列的定义设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…)，记作：P（X＝ai）＝________（i＝1，2，…)，①或把上式列成表为X＝aia1a2…P（X＝ai）____________…上表或①式称为离散型随机变量X的分布列．（2）离散型随机变量的性质①____________.②____________.类型一随机变量的概念例1写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果．(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；（2）一个袋中装有10个红球,5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；（3）投掷两枚骰子，所得点数之和为X。引申探究若将本例（3)的条件改为抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，试求X的集合，并说明“X〉4”表示的试验结果．反思与感悟解答此类问题的关键在于明确随机变量所有可能的取值，以及取每一个值时对应的意义，即随机变量的一个取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程不要漏掉某些试验结果．跟踪训练1下列是离散型随机变量的是（）A．某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差XB．将一枚硬币抛掷三次，出现正面朝上的次数XC．抛掷一枚六个面都是六个点的骰子，所得的点数XD．某人上班路上所花的时间X类型二利用分布列的性质求事件概率例2设随机变量X的分布列为P(X＝eq\f(k,5）)＝ak（k＝1,2，3,4，5)．(1)求常数a的值；（2)求P（X≥eq\f（3,5)）；(3）求P（eq\f(1,10）<X〈eq\f（7,10)）．反思与感悟利用分布列及其性质解题时要注意两个问题：(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．(2）不仅要注意eq\i\su(i＝1,n，p)i＝1，而且要注意pi≥0,i＝1，2，…,n.跟踪训练2（1）下面是某同学求得的离散型随机变量X的分布列．X－101Peq\f（1,2)eq\f(1，4)eq\f(1，6）试说明该同学的计算结果是否正确;（2）设ξ是一个离散型随机变量,其分布列为ξ－101Peq\f（1,2)1－2qq2①求q的值；②求P（ξ<0），P（ξ≤0）．类型三求离散型随机变量的分布列命题角度1利用两随机变量的关系求分布列例3已知随机变量ξ的分布列为ξ－2－10123Peq\f（1，12）eq\f(1,4）eq\f(1，3)eq\f（1，12)eq\f(1,6）eq\f(1,12）分别求出随机变量η1＝eq\f(1，2）ξ，η2＝ξ2的分布列．反思与感悟若随机变量X，Y满足关系式Y＝f(X），则可由X的取值情况得出Y的取值情况，即可以把X的取值看成定义域，Y的取值看成值域，即可根据X的分布列,得出Y的分布列．跟踪训练3已知随机变量X的分布列为X12…n…Peq\f（1,2）eq\f(1,22)…eq\f（1,2n)…求随机变量Y＝sineq\f(π,2)X的分布列．命题角度2利用排列组合求分布例4袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为eq\f（1，7），现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取,乙后取，然后甲再取，……,取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．(1）求袋中原有的白球的个数;(2)求随机变量ξ的分布列．引申探究若本例条件不变，试求甲取到白球的概率．反思与感悟求离散型随机变量的分布列的步骤(1）明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义．（2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率．（3）按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证．跟踪训练4北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表:福娃名称贝贝晶晶欢欢迎迎妮妮数量12311从中随机地选取5只．(1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率;(2）若完整的选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设X表示所得的分数，求X的分布列．1．下面给出四个随机变量：①某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量;③某网站未来1小时内的点击量；④一天内的温度η.其中是离散型随机变量的为（）A．①② B．③④C．①③ D．②④2．已知随机变量X的分布列如下表所示,其中a，b，c成等差数列，则P（|X｜＝1)等于(）X－101PabcA.eq\f（1,3）B.eq\f（1,4）C。eq\f（1，2）D。eq\f(2，3）3．已知随机变量X的分布列如下表（其中a为常数）:X01234P0.10.20.40.2a则下列计算结果错误的是（)A．a＝0.1B．P（X≥2)＝0.7C．P(X≥3）＝0。4D．P(X≤1)＝0。34．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数,则P（ξ＝1）＝________。5．将一颗骰子掷两次,求两次掷出的最大点数ξ的分布列．1．随机变量X是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量X的线性组合Y＝aX＋b(a，b是常数）也是随机变量．2．离散型随机变量X的分布列实质上就是随机变量X与这一变量所对应的概率P的分布表,它从整体上反映了随机变量各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．

答案精析问题导学知识点一思考1各现象的结果都可以用数表示．思考2可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．梳理(1)一个数对应(2）一一列举出来知识点二思考x＝1，2，3,4,5,6，概率均为eq\f(1，6）.X123456Peq\f（1,6)eq\f（1,6)eq\f（1，6）eq\f(1，6）eq\f(1,6）eq\f（1,6)梳理（1)pip1p2（2)①pi>0②p1＋p2＋…＝1题型探究例1解（1)X的可能取值为1，2,3，…,10，X＝k(k＝1，2,…,10）表示取出第k号球．(2)X的可能取值为0,1,2，3，4.X＝k表示取出k个红球，（4－k）个白球,其中k＝0，1，2，3，4.(3）X的可能取值为2，3,4,…，12。若以（i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点，且骰子乙得j点，则X＝2表示(1，1)；X＝3表示（1,2），（2,1）；X＝4表示（1,3）,(2，2),（3，1)；…；X＝12表示（6，6）．引申探究解设第一枚骰子掷出的点数为x，第二枚骰子掷出的点数为y，其中x，y＝1，2，3,4,5,6.依题意得X＝x－y.则－5≤X≤5，即X的集合为{－5，－4，－3，－2，－1,0，1,2，3,4，5}．则X〉4⇔X＝5，表示x＝6，y＝1,即第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．跟踪训练1B例2解(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝eq\f(1,15）。（2）∵P（X＝eq\f（k，5）)＝eq\f(1,15）k（k＝1，2,3,4，5)，∴P(X≥eq\f（3，5）)＝P（X＝eq\f(3,5))＋P(X＝eq\f（4,5))＋P（X＝1)＝eq\f（3,15)＋eq\f（4，15）＋eq\f(5,15）＝eq\f(4，5）。（3）当eq\f（1,10）〈X<eq\f(7，10）时，只有X＝eq\f(1，5)，eq\f（2，5），eq\f(3，5）时满足，故P(eq\f(1，10）〈X〈eq\f(7,10)）＝P(X＝eq\f(1，5))＋P(X＝eq\f(2，5))＋P（X＝eq\f（3,5））＝eq\f(1,15)＋eq\f（2,15)＋eq\f(3，15）＝eq\f（2，5).跟踪训练2解(1)因为P（X＝－1)＋P（X＝0）＋P(X＝1）＝eq\f(1，2）＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f（11,12），不满足概率之和为1的性质，因而该同学的计算结果不正确．(2）①由分布列的性质，得1－2q≥0，q2≥0，eq\f(1，2）＋(1－2q）＋q2＝1，所以q＝1－eq\f（\r(2）,2）。②P(ξ<0）＝P(ξ＝－1)＝eq\f（1，2)，P(ξ≤0)＝P（ξ＝－1）＋P(ξ＝0）＝eq\f（1,2)＋1－2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2）,2）))＝eq\r（2）－eq\f(1，2）.例3解由η1＝eq\f(1，2）ξ知，对于ξ取不同的值－2，－1，0，1,2,3时,η1的值分别为－1,－eq\f(1，2)，0,eq\f(1，2），1，eq\f(3,2),所以η1的分布列为η1－1－eq\f(1,2）0eq\f（1,2)1eq\f（3,2）Peq\f（1，12)eq\f（1，4)eq\f(1,3）eq\f(1,12)eq\f(1，6)eq\f(1，12）由η2＝ξ2知,对于ξ的不同取值－2，2及－1,1，η2分别取相同的值4与1，即η2取4这个值的概率应是ξ取－2与2的概率eq\f（1,12）与eq\f（1,6）的和，η2取1这个值的概率应是ξ取－1与1的概率eq\f(1，4）与eq\f（1，12）的和，所以η2的分布列为η20149Peq\f（1,3)eq\f（1,3）eq\f（1，4）eq\f(1,12）跟踪训练3解由Y＝sineq\f(π，2)X,得Y＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（－1X＝4k＋3，k∈N，,0X＝2k，k∈N＋，，1X＝4k＋1,k∈N.))P(Y＝－1）＝P(X＝3）＋P（X＝7）＋P(X＝11）＋…＝eq\f(1,23)＋eq\f（1，27)＋eq\f（1，211)＋…＝eq\f（2,15），P（Y＝0）＝P(X＝2）＋P(X＝4)＋P（X＝6）＋…＝eq\f(1，22)＋eq\f(1，24）＋eq\f(1,26）＋…＝eq\f(1,3），P（Y＝1)＝P（X＝1)＋P(X＝5）＋P(X＝9）＋…＝eq\f(1,2)＋eq\f（1,25）＋eq\f(1，29）＋…＝eq\f(8，15）.所以随机变量Y的分布列为Y－101Peq\f（2，15）eq\f（1,3)eq\f(8,15)例4解（1）设袋中原有n个白球，由题意知eq\f(1，7)＝eq\f(C\o\al(2，n)，C\o\al（2，7))＝eq\f(\f(nn－1,2），\f(7×6,2）)＝eq\f（nn－1,7×6),可得n＝3或n＝－2（舍去），即袋中原有3个白球．（2）由题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5。P(ξ＝1)＝eq\f（3，7）;P(ξ＝2）＝eq\f(4×3，7×6）＝eq\f(2，7），P（ξ＝3）＝eq\f（4×3×3，7×6×5）＝eq\f（6,35），P（ξ＝4)＝eq\f(4×3×2×3,7×6×5×4)＝eq\f（3，35)，P(ξ＝5）＝eq\f(4×3×2×1×3，7×6×5×4×3）＝eq\f（1，35）.所以ξ的分布列为ξ12345Peq\f（3,7）eq\f（2,7）eq\f(6,35）eq\f（3，35）eq\f（1，35)引申探究解因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A，则P（A)＝P(ξ＝1)＋P（ξ＝3）＋P(ξ＝5)＝eq\f(22,35）。跟踪训练4解(1)选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率P＝eq\f(C\o\al（1,2）·C\o\al（1,3),C\o\al(5，8））＝eq\f（6，56）＝eq\f(3，28).（2)X的取值为100，80，60,40.P(X＝100）＝eq\f(C\o\al(1，2）·C\o\al(1，3）,C\o\al(5,8）)＝eq\f（3，28)，P(X＝80）＝eq\f（C\o\al（2,3）C\o\al（2，2)·C\o\al（1,3)＋C\o\al（1，2）·C\o\al（2,3）＋C\o\al（3，3）C\o\al（2,2)＋C\o\al（2,3），C\o\al(5，8）)＝eq\f(31，56)，P(X＝60)＝eq\f(C\o\al(1,3）C\o\al（2，2)·C\o\al(2，3）＋C\o\al（1,2)·C\o\al(3,3）＋C\o\al(2，3)·C\o\al（3，3），C\o\al（5,8））＝eq\f(18，56)＝eq\f（9,28),P(X＝40)＝eq\f(C\o\al（2，2）·C\o\al