数值分析第六章函数逼近

第六章函数逼近§1数据拟合的最小二乘法§3函数的最佳平方逼近§2正交多项式1Lagrange插值与最小二乘逼近的图像描述2

方法1:用3次Lagrange插值多项式近似x,y的函数关系.为什么要用最小二乘逼近.xiyi24681.12.84.97.2例给定一组实验数据如下求x,y的函数关系.方法2:用直线来近似x,y的函数关系.3用直线y=a0+a1x来反映x,y之间的函数关系.如何选取a0,a1?才能使直线最好地反映数据点的基本趋势?残差向量残差4衡量近似函数好坏的标准：残差向量的大小(1)使残差的绝对值之和最小,即(2)使残差的最大绝对值最小,即(3)使残差的平方和最小,即最佳平方逼近或数据拟合的最小二乘法最佳一致逼近5问题:给定n个数据点(xi,yi

)(i=1,2,…,n)求直线y=a0+a1x

使得达到最小.

最小二乘一次多项式拟合§1数据拟合的最小二乘法6

令则原问题等价于求a0,a1使F(a0,a1)达到最小.利用多元函数取极值的必要条件得正则方程组7由上式求得a0,a1,代入y=a0+a1x得到最小二乘拟合(直线)一次多项式.8xiyi24681.12.84.97.2例给定一组实验数据如下求x,y的函数关系.解正则方程组9直线拟合误差很大抛物线拟合效果更好10问题:给定n个数据点(xi

,yi

)(i=1,2,…,n)求使得达到最小.最小二乘二次多项式拟合11

令则原问题等价于求a0,a1,

a2,使F(a0,a1,

a2)达到最小.利用多元函数取极值的必要条件得12用

Cholesky分解法求此对称正定阵用

MATLAB函数

z=A\r由上式求得a0,a1,a2,得到最小二乘拟合二次多项式正则方程组13

最小二乘三次多项式拟合正则方程组14

最小二乘m次多项式拟合(m<n)正则方程组15指数拟合如果数据点(xi,yi

)(i=1,2,…,n)的分布近似指数曲线,则可考虑用指数函数去拟合数据.但是这是一个关于a,b的非线性模型,故应通过适当变换,将其化为线性模型,然后利用最小二乘法求解.为此,对指数函数两端取对数,得16则数据组(xi

,yi

)(i=1,2,…,n)的最小二乘拟合指数曲线为这表明(xi

,lnyi

)(i=1,2,…,n)的分布近似于直线,求出此数据组的最小二乘拟合直线17xiyi例给定一组实验数据如下求x,y的函数关系.12346782367532(1)作散点分布图点的分布近似为抛物线18(2)确定近似表达式设拟合曲线为二次多项式(3)建立正则方程组19故正则方程组为(4)求解正则方程组得故所求拟合曲线为20xiyi例给定一组实验数据如下求x,y的函数关系.12346782367532Matlab解法:

polyfit([1,2,3,4,6,7,8],[2,3,6,7,5,3,2],2)ans=-0.38643.4318-1.318221例测得一发射源的发射强度I与时间t的一组数据如下tiIi0.20.30.40.50.60.70.83.162.381.751.341.000.740.56试用最小二乘法确定I与t的函数关系.(1)作散点分布图可以考虑用指数函数近似22列数据表tiIi0.20.30.40.50.60.70.83.162.381.751.341.000.740.56lnIi1.15060.86710.55960.292700.3011

0.5798求lnI与t的最小二乘直线.将上表数据代入正则方程组得其解为故所求拟合曲线为Matlab解法:polyfit([0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8],…[1.1506,0.8671,0.5596,0.2927,0,-0.3011,-0.5798],1)ans=-2.88831.728323求数据组的最小二乘拟合函数的步骤(1)由给定数据确定近似函数的表达式,一般可通过描点观察或经验估计得到(2)按最小二乘原则确定表达式中的参数,即由残差平方和最小导出正则方程组,求解得参数.24实际问题中,由于各点的观测数据精度或重要性不同,常常引入加权方差,即确定参数的准则为:使得最小,其中i(i=1,2,…,n)为加权系数.25函数内积设f(x),g(x)是区间[a,b]上的连续函数,定义f

与g

的内积为:§2正交多项式26函数正交设f(x),g(x)是区间[a,b]上的连续函数,若f

与g

的内积为0,则称f

与g在区间[a,b]上正交.27正交函数系则称此函数系为区间[a,b]上的正交函数系.特别地,若k=1(k=0,1,2,…),则称其为标准正交函数系28如果正交函数系中函数均为代数多项式,则称其为正交多项式系.正交多项式系例如三角函数系就是区间[－,]上的正交函数系.29区间[－1,1]上的正交多项式系(Legendre多项式)一般表达式具体表达式30

Legendre多项式的性质(2)Legendre多项式满足递推公式31任意区间上的正交多项式系当x在区间[a,b]上变化时,令对应的t在[－1,1]上变化,则是区间[a,b]上的正交多项式系.32[0,1]区间上的正交多项式系33最小平方线性多项式逼近§3函数的最佳平方逼近设f(x)是区间[a,b]上的连续函数,求线性多项式函数(x)=a0+a1x使得,(x)称为函数f(x)在区间[a,b]上的一次最佳平方逼近多项式.即求a0,a1使得34解法由题意可知,求f(x)的一次最佳平方多项式等价于求二元函数F的最小值.由得35化简得或者正则方程组36例求在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式解正则方程组为f(x)的一次最佳平方逼近多项式为37二次最佳平方逼近多项式设f(x)是区间[a,b]上的连续函数,求二次多项式函数(x)=a0+a1x+a2x2

使得,(x)称为函数f(x)在区间[a,b]上的二次最佳平方逼近多项式.38解法由题意可知,求f(x)的二次最佳平方多项式等价于求三元函数F的最小值由得39化简得或者正则方程组40

m次最佳平方逼近多项式