第7章 气体分子动理论

第7章气体分子动理论LudwigBoltzman(1844~1906)玻耳兹曼：奥地利物理学家，统计物理学的奠基人之一。于1868年提出麦克斯韦-玻耳兹曼分布定律

。在

1872年从非平衡态的分子动力学得到H

定理

，这是经典分子动力论的基础。1877年提出热力学第二定律与微观几率态数W

的关系以及熵的统计解释。

1900年普朗克运用玻耳兹曼的理论得出S＝klnW

并证明了斯忒藩的实验结论

u＝σT4（斯忒藩

-

玻耳兹曼黑体辐射公式），掀开了量子时代的帷幕。微观粒子观察和实验出发点热力学验证统计物理学，统计物理学揭示热力学本质二者关系无法自我验证不深刻缺点揭露本质普遍，可靠优点统计平均方法力学规律总结归纳逻辑推理方法微观量宏观量物理量热现象热现象研究对象微观理论（统计物理学）宏观理论（热力学）热力学与统计物理学的异同§7.1气体分子动理论的基本概念一、分子动理论的三个基本概念宏观物体是不连续的，由大量微观粒子——分子（或原子）所组成物质内的分子在不停地做无规则热运动，其剧烈程度与温度有关布朗运动Ofrr0斥力引力合力分子力表现为斥力分子力表现为引力(平衡位置

)分子间有相互作用力r0

分子有效直径势能二、气体分子热运动服从统计规律每个宏观点的气体分子数量巨大；气体分子间的相互碰撞是非常频繁的；一秒内一个分子大约要发生几十亿次(109)碰撞气体分子间距很大，除碰撞外，分子间相互作用可忽略；

气体分子的微观力学量取值无法预测，气体的宏观量稳定；气体分子热运动服从统计规律统计规律大量偶然事件在整体上表现出来的规律性单个小球落入位置偶然事件少量小球按位置的分布规律不明显大量小球按位置的分布确定的规律伽尔顿板实验随机试验：伽耳顿板实验中粒子落入的位置气体分子的速率、动量、动能等掷色子出现的点数在相同条件下可重复进行；每次试验有多种可能结果；试验结果事先不可预测；不同试验之间无关联。（随机试验的每一个可能结果称为一个随机事件。）对随即变量M

进行抽样试验：M

取Mi

的概率。概率ＭＭ１Ｍ２Ｍ３……ＮΔＮ１ΔＮ２ΔＮ３……(N=Δ

N1+Δ

N2+Δ

N3+…)例掷色子出现４的概率小球出现在第３个小槽概率的归一化条件(N=Δ

N1+Δ

N2+Δ

N3+…)平均值ＭＭ１Ｍ２Ｍ３……ＮΔＮ１ΔＮ２ΔＮ３……例掷色子出现的点数的平均值气体分子速率的平均值建立三维直角坐标系Oxyz

……ＮΔＮ１ΔＮ２ΔＮ３……vxv１xv２xv３x……vyv１yv２yv３y……vzv１zv２zv３z……气体分子速率的平均值xyzO气体处于平衡态时，气体分子沿各个方向运动的机会均等。气体分子速率平方的平均值……ＮΔＮ１ΔＮ２ΔＮ３……………………xyzOxyzO即气体处于平衡态时，气体分子沿各个方向运动的机会均等。xyzO气体分子平动动能的平均值xzO§7.２理想气体的压强一、理想气体的微观模型气体分子的性质相同，质量相等，相对于分子间距大小可忽略不计；r0OrEp一般物质分子理想气体分子刚性小球模型r0OrEpOrEp除碰撞外分子间相互作用可忽略不计，气体分子在相邻两次碰撞间作匀速直线运动；所有的碰撞为完全弹性碰撞；每个分子频繁地发生碰撞，速度也因此不断变化；二、压强形成的微观解释单个分子与器壁碰撞冲力作用瞬间完成，大小、位置具有偶然性；大量分子（整个气体系统）与器壁碰撞冲力作用瞬间完成，大小、位置具有偶然性；压强是气体分子给容器壁冲量的统计平均量三、理想气体的压强公式xyzOcba建立三维直角坐标系Oxyz

x,y,z

方向规律相同，压强相同分析x

方向x

方向速度分量为vix

的分子i

与气体分子j

碰撞，互换由于气体分子是全同的，而且每次碰撞是弹性碰撞，因此气体分子间的碰撞对结果的影响可忽略。可看作大量气体分子同时作来回运动却“没有”碰撞xyzOcbaA1xyzOcbax

方向速度分量为vix

的分子i

与A1

碰撞，动量变化：A1对A1

的冲量：Δt

时间内与A1发生碰撞的次数：连续两次与A1发生碰撞的时间间隔为：2a/vixxyzOcbaA1Δt

时间内分子i

对A1的冲量：Δt

时间内所有分子对A1

的冲量：其中为气体分子数密度理想气体压强公式：§7.3温度的微观本质一、温度与理想气体分子平均平动动能的关系理想气体的能量方程温度的微观本质二、道尔顿分压定律混合气体的压强等于各种气体的分压强之和。证明：混合气体的分子数密度混合气体各组分温度相同混合气体的压强§7.4能量按自由度均分原理一、自由度的概念确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。火车下列物体看作质点时，自由度为多少？看作刚体时又为多少？质点1刚体1轮船2?飞机3?xyO海面(x,y)O’y’x’轮船（看作刚体）：确定质心：(x,y)确定方向：θθ3个自由度xyzOO’y’z’x’飞机（看作刚体）：确定质心：(x,y,z)确定转轴：确定方向：6个自由度(x,y,z)细棒：xyzOO’y’z’x’确定质心：(x,y,z)确定方位：５个自由度(x,y,z)气体分子的自由度：刚性单原子分子刚性双原子分子刚性多原子分子分子模型自由度３５６二、能量按自由度均分原理或其中沿x

方向运动的平均平动动能沿y

方向运动的平均平动动能沿z

方向运动的平均平动动能处于平衡态的理想气体（温度为T

），气体分子在每一个平动自由度上的平均能量为kT

/2原因：碰撞不同自由度上的能量相互转化不同自由度上的能量平均化刚性双原子分子的动能平动动能转动动能温度较高时，双原子气体分子不能看作刚性分子，分子平均能量更大，因为振动能量也参与能量均分分子动能刚性单原子分子刚性双原子分子刚性多原子分子分子模型自由度３５６总平均能量３kT/2５kT/23kT理想气体分子的平均能量i→气体分子的自由度三、理想气体的内能E理想气体分子动能之和1mol理想气体的内能：质量为m

、摩尔质量为M

的理想气体的内能：理想气体的摩尔热容量§7.5麦克斯韦速率分布律一、分布的概念小槽宽度为Δx

小球落入某个槽的概率：小槽宽度为dx

小球落入某个槽的概率：???某一时刻理想气体分子的速率v

的分布：vv１v２v３……ＮΔＮ１ΔＮ２ΔＮ３……长时间“观测”理想气体分子的速率v

：v0~+∞连续分布速率为vi

的概率为：速率为v→v+dv

的概率为：???速率分布函数速率在v

附近的单位速率区间的分子数占分子总数的比率速率分布函数的实质是相对概率，或者称为概率密度；速率分布函数的归一化条件意义：二、麦克斯韦速率分布律μ分子质量T热力学温度k玻耳兹曼常数速率在v~v+dv

间的分子数占总分子数的比率：dvv1v2速率在v1~v2

间的分子数占总分子数的比率：归一化条件：三、气体分子速率的三种统计平均值平均速率气体分子的速率v

离散分布：vv１v２v３……ＮΔＮ１ΔＮ２ΔＮ３……气体分子的速率v

连续分布：对于理想气体:方均根速率……ＮΔＮ１ΔＮ２ΔＮ３…………气体分子的速率v

离散分布：气体分子的速率v

连续分布：对于理想气体:最概然速率vpf(v)的极大值对应的v

值vp273.15K时氢气分子T

增大，氢气分子速率分布曲线的峰值向右漂移；曲线变得平坦T

相同，vpO

<vpH例1有N

个质量为m

的同种气体分子，它们的速度分布如图所示。（1）由N

和v0

求a

值；（2）求在速率v0/2到3v0/2间隔内的分子数；（3）求分子的平均平动动能。解：OvNf(v)v02v0a（1）由归一化条件，OvNf(v)v02v0a（2）（3）OvNf(v)v02v0a四、气体分子速率的实验验证OS1S2S3Gω滚筒不转滚筒转动Bi分子沉积的位置PP’与

v有关PP’OS1S2S3GωlPP’v+∞v测定Bi膜厚度分布速率分布§7.6玻耳兹曼分布律LudwigBoltzman(1844~1906)一、重力场中粒子按高度的分布n0nhh+dhn+dnnh?pp+dpp0Ohnn0等温压强公式n0nh0二、玻耳兹曼分布律与麦克斯韦分布律比较：dV

处的分子数位置位于x~x+dx,y~y+dy,z~z+dz

的分子数位矢空间的分布速度在vx

~vx

+dvx,vy

~vy

+dvy,vz

~vz

+dvz

之间的分子数速度空间的分布位置位于x~x+dx,y~y+dy,z~z+dz，同时速度在vx

~vx

+dvx,vy

~vy

+dvy,vz

~vz

+dvz

之间的分子数麦克斯韦－玻耳兹曼分布律相空间的分布微观粒子能量量子化能量为εi

的分子数(i=1,2,3,…)§7.7气体分子的平均自由程一、分子的平均碰撞频率一个分子在单位时间内和其他分子碰撞的平均次数称为分子的平均碰撞频率，常用来表示。“管道”半径等于分子直径d，长度等于分子平均相对速率d1>D不碰撞d２

<D碰撞分子中心在“管道”外分子中心在“管道”内“管道”中的分子总数等于碰撞次数d1d22d…………………二、分子的平均自由程分子在连续两次碰撞之间自由运动的平均路程，称为分子的平均自由程，常用表示。§7.8范德瓦尔斯方程实际气体T

较高p

较小p