第7章 数字滤波器的概念

一.数字滤波器的概念 １.滤波器：指对输入信号起滤波作用的装置。

,对其进行傅氏变换得:

2、当输入、输出是离散信号，滤波器的冲激响应是单位抽样响应h（n）时，这样的滤波器称作数字滤波器。πωcω00ωcπω0ωcπωH(ejω)为矩形窗时的情形二、数字滤波器的系统函数与差分方程H(z)X(z)Y(z)1、系统函数2、差分方程对上式进行Z反变换，即得3、滤波器的功能与实现滤波就是对输入序列进行一定的运算操作从而得到输出序列实现滤波从运算上看,只需三种运算：加法、单位延迟、乘常数。因此实现的方法有两种：（1）利用通用计算机编程，即软件实现;（2）数字信号处理器（DSP）即专用硬件实现。00低通0高通带通00带阻全通一个理想的选频滤波器，可以让信号中的某些频率分量完全通过，同时完全抑制另外那些无用的频率分量，它的期望特性(设计指标)一般都是以幅频响应和相频响应的形式给出的。例如，一个理想的低通滤波器，其频率响应为：即在滤波器的通频带内，其幅频响应为一常数，相频响应为数字角频率的线性函数。它的单位冲激响应为可见该系统是非因果的，因此是物理不可实现的。这个结论可以扩展到更一般的情况，就是说任何具有平坦的通带和阻带或者具有陡峭截止特性的滤波器，无论它是LP、HP、BP或BS都是非因果的，物理不可实现。

因此在工程上，我们总是用一物理可实现的线性时不变系统去逼近理想情况，例如在上例中，一般在冲激响应h(n)引入较大的延时n0，使它逼近于因果系统这样，h’(n)的傅里叶变换H’(ejw)就不再具有理想的频率特性。好在工程上的滤波器设计只要满足一定的容差条件就可以了，容差条件可以用容线图来描述1、DF的性能要求0通带截止频率阻带截止频率δ2：阻带容限δ1:通带的容限通带阻带过渡带平滑过渡低通滤波器的性能指标高通滤波器的性能指标fswsfpwp1ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通带截止频率：fp(wp)又称为通带下限频率。通带衰减：Ap阻带截止频率：fp(ws)又称阻带上限截止频率。阻带衰减：As带通滤波器的性能指标fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通带截止频率：上限截止频率fp2(wp2)，下限截止频率fp1(wp1)。通带衰减：Ap阻带截止频率：上限截止频率fs2(ws2)，下限截止频率fs1(ws1)。阻带衰减：Asfp2wp2fs2ws2带阻滤波器的性能指标fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通带截止频率：上限截止频率fp2(wp2)，下限截止频率fp1(wp1)。通带衰减：Ap阻带截止频率：上限截止频率fs2(ws2)，下限截止频率fs1(ws1)。阻带衰减：Asfp2wp2fs2ws22、通常具体技术指标3、DF频响的三个参量

（1）幅度平方响应

（2）相位响应（3）群延迟它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，就是表示每个频率分量的延迟相同。4、DF设计内容（1）按任务要求确定Filter的性能指标；（2）用IIR或FIR系统函数去逼近这一性能要求；（3）选择适当的运算结构实现这个系统函数；（4）用软件还是用硬件实现。第7章IIR滤波器的设计7.1引言一、IIR数字filter的设计方法

（1）借助模拟filter的设计方法a.将DF的技术指标转换成AF的技术指标；b.按转换后技术指标、设计模拟低通filter的；c.将d.如果不是低通，则必须先将其转换成低通AF的技术指标。

（2）计算机辅助设计法（最优化设计法）先确定一个最佳准则，如均方差最小准则，最大误差最小准则等，然后在此准则下，确定系统函数的系数。以上两种设计方法中，着重讲第一种，因为数字滤波器在很多场合所要完成的任务与模拟滤波器相同，如作低通、高通、带通及带阻网络等，这时数字滤波也可看作是“模仿”模拟滤波器。在IIR滤波器设计中，采用这种设计方法目前最普遍。由于计算机技术的发展，最优化设计方法的使用也逐渐增多。

二、将DF的技术指标转换为ALF的技术指标1、意义AF的设计有一套相当成熟的方法：设计公式；设计图表；有典型的滤波器，如巴特沃什，切比雪夫等。2、一般转换方法（1）（2）（3）（4）3、转换举例例如，一低通DF的指标：在的通带范围，幅度特性下降小于1dB；在的阻带范围，衰减大于15dB；抽样频率；试将这一指标转换成ALF的技术指标。解：按照衰减的定义和给定指标，则有假定处幅度频响的归一化值为1，即这样，上面两式变为由于，所以当没有混叠时，根据关系式模拟filter的指标为三、ALF的设计ALF的设计就是求出filter的系统函数Ha(S)，使其逼近理想LF的特性，逼近的形式（filter的类型）有巴特沃什型，切比雪夫型和考尔型等。而且逼近依据是幅度平方函数，即由幅度平方函数确定系统函数。1、由幅度平方函数确定系统函数

（1）幅度平方函数由于所以其中，是AF的系统函数，是AF的频响，是AF的幅频特性。（2）Ha（S）Ha（-S）的零极点分布特点

a.如果S1是Ha（S）的极点，那麽-S1就是Ha（-S）的极点；同样，如果S0是Ha（S）的零点，那麽-S0就是Ha（-S）的零点。所以Ha（S）Ha（-S）的零极点是呈象限对称的,例如：b.虚轴上的零点一定是二阶的，这是因为ha（t）是实数时的Ha（S）的零极点以共轭对存在；c.虚轴上没有极点（稳定系统在单位圆上无极点）；d.由于filter是稳定的，所以Ha（S）的极点一定在左半平面；最小相位延时，应取左半平面的零点，如无此要求，可取任一半对称零点为Ha（S）的零点。(3)由确定的方法a.求b.分解得到各零极点，将左半面的极点归于，对称的零点任一半归。若要求最小相位延时，左半面的零点归（全部零极点位于单位圆内）。c.按频率特性确定增益常数。[例]

由确定系统函数。解：所以，极点为零点为均为二阶的。我们选极点-6，-7，一对虚轴零点为的零极点，这样由，可确定出，所以。因此因7.2常用模拟滤波器设计一、巴特沃什低通滤波器

1、巴特沃什模拟低通滤波器的响应及其特点其中，N为filter的阶数；为通带截止频率。a、特点：具有通带内最大平坦的振幅特性，且随f↗幅频特性A(Q2)单调↘。注：巴特沃什模拟低通滤波器的带宽恒为3dB带宽，与阶数无关(b). 巴特沃什滤波器在通带内和阻带内均为单调变化，单调下降函数。(d). 随阶次的增大而越来越接近于理想低通滤波器。(c). 当并且由于幅度平方函数的前2N-1阶导数在Q=0处为零，故又称为最大平坦响应滤波器。幅频特性1.00N=2N=4N=8

通带：使信号通过的频带阻带：抑制噪声通过的频带过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围Ωc：通带边界频率。理想滤波器过渡带为零阻带|H(jΩ)|=0通带内幅度|H(jΩ)|=const.H(jΩ)的相位线性2、巴特沃什filter的系统函数由所以其零点全部在处；即所谓全极点型，假设Qc=1，则它的极点为也就是说，这些极点也是呈象限对称的。而且分布在巴特沃什圆上（半径为），共有2N点。例如，N=2时，N=3时，4考虑到系统的稳定性，取左半平面的极点为的极点，这样极点仅有N个，即其中，常数由的低频特性决定。则注：极点不可能出现在虚轴上，而是等间隔的分布在以Qc为半径的圆周上，间隔为[例]导出三阶巴特沃什LF的系统函数，设解：所以其极点为因此有取前三个极点，则有3、归一化的系统函数如果将系统函数的S,用滤波器的截止频率去除，这样对应的截止频率变为1，即所谓归一化，相应的系统函数称作归一化的系统函数记作例如，对于巴特沃什filter如果将低通filter归一化，就称作归一化原型滤波器。4、归一化原型filter的设计数据

不论哪种形式（巴特沃什，切比雪夫）的filter，都有自己的归一化原型filter，而且它们都有现成的数据表可查和设计公式例如，归一化巴特沃什原型filter的系统函数（这里的S即）为当,增益为1，则有，N=1--10阶的各个系数，如表所示。如果，则E（S）的根。即的极点所示。*由归一化系统函数得，只需将S代入即可。5、设计举例（巴特沃什filter）

a.技术指标

b.计算所需的阶数及3dB截止频率将技术指标，代入上式，可得解上述两式得：因此，取N=6，则c.的求得查表，可得N=6时的归一化原型模拟巴特沃什LF的系统函数为将S用代入，可得二、切比雪夫（chebyshev）滤波器

特点：误差值在规定的频段上等幅变化。

巴特沃什滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止频率处，幅度下降很多，或者说，为了使通常内的衰减足够小，需要的阶次（N）很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式逼近所希望的。切比雪夫滤波器的在通带范围内是等幅起伏的，所以同样的通带衰减，其阶数较巴特沃什滤波器要小。可根据需要对通带内允许的衰减量（波动范围）提出要求，如要求波动范围小于1db。

1、TN（x）—N阶切比雪夫多项式，定义为coshx返回x的双曲余弦值，定义为(exp(x)+exp(-x))/2利用递推公式：及可以得任意阶数的切比雪夫多项式的展开式：一般而言，有(a).N阶切比雪夫多项式 为x的N阶多项式(b).N为奇数时，为奇函数；N为偶数时，为偶函数(c).(d).当振幅平方函数为—有效通带截止频率—与通带波纹有关的参量，大，波纹大。

2、频率响应及其特点如图,通带内变化范围1~

Ω＞Ωc，随Ω/Ωc↗，→0(迅速趋于零)平方幅频特性在过渡区和阻带内单调下降,当其幅度减小到1/A2处时的频率称为阻带截止频率．当Ω

=0时，

N为偶数，，min，N为奇数，，max，

给定通带波纹值分贝数后，可求。3、有关参数的确定:a、通带截止频率Ωc，预先给定b、通带波纹为c、阶数N—由阻带的边界条件确定。（、A事先给定）

（3）滤波器的传递函数的确定:例：试设计一切比雪夫LF，使其满足下述指标：1、要求在通带内的波纹起伏不大于2dB2、截止频率为40rad/s3、阻带52rad/s处的衰减大于20dB解（1）归一化处理a.归一化截止频率Qc为1rad/s.b.归一化阻带Qs=52/40=1.3rad/s（2）参数求取（3）函数确定4、椭圆滤波器（考尔滤波器）特点：幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的，对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器更窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。

其振幅平方函数为

RN（Ω，L）—雅可比椭圆函数 L—表示波纹性质的参量N=5，的特性曲线

可见，在归一化通带内（-1≤Ω≤1），在（0，1）间振荡，而超过ΩL后，在间振荡。

这一特点使滤波器同时在通带和阻带具有任意衰减量。

椭圆滤波器的振幅平方函数

图中ε和A的定义同切比雪夫滤波器ΩrΩr当Ωc、Ωr、ε和A确定后，阶次N的确定方法为：式中为第一类完全椭圆积分上面讨论了三种最常用的模拟低通滤波器的特性和设计方法，设计时按照指标要求，合理选用。一般，相同指标下，椭圆滤波器阶次最低，切比雪夫次之，巴特沃什最高，参数的灵敏度则恰恰相反。

巴特沃什滤波器 频响在通带和阻带内均单调变化 带宽恒为3dB带宽，与阶数无关切比雪夫滤波器 切比雪夫I型频响在通带内等波纹变化，在阻带内单调，切比雪夫II型频响在通带内单调，在阻带内等波纹变化带宽一般不是3dB带宽，椭圆滤波器 频响在通带和阻带内均等波纹变化 带宽一般不是3dB带宽，7.3通过模拟滤波器设计IIR数字滤波器在前一节我们介绍了模拟滤波器的设计方法，可见，现在的模拟滤波器设计技术非常成熟，许多常用的模拟滤波器都有现成的设计公式，只要将设计指标代入设计公式，就可以很容易的计算出滤波器系统参数，实现起来相当简单。而且，在很多场合下，用离散时间系统模拟一个连续时间系统是有意义的。思路：(a).先设计一个满足性能指标的模拟滤波器(b).采用映射变换的方式从得到需要的数字滤波器H(Z)通常有两种方法：（1）冲激响应不变法；（2）双线性变换法。映射变换的基本要求1、因果性不变2、稳定性不变3、频率响应形状不变，保留模拟频响的基本特性s平面左半平面z平面单位圆内(保证物理可实现性不变)s平面虚轴z平面单位圆上

一、冲激响应不变法1、变换原理

利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波的特性，这种模仿可从不同的角度出发。冲激响应不变法是从滤波器的冲激响应出发，使数字滤波器的冲激响应序列h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应ha(t)的采样值，即h(n)=ha(nT),T为采样周期

如以Ha(s)及H（z）分别表示ha(t)的拉氏变换及h(n)的Z变换，即Ha(s)=L[ha(t)],H(z)=Z[h(n)]2、映射变换

假如已设计出满足性能指标的模拟滤波器，其单位冲激响应为,记为的采样，即：则由拉普拉斯变换（定义、性质）比较上面两式得，即s平面与z平面之间的映射变换为以上表明，采用冲激响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它所完成的S平面到Z平面的变换，正是拉氏变换到Z变换的标准变换关系，即首先对Ha(s)作周期延拓，然后再经过的映射关系映射到Z平面上。稳定性：如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点Si都在S左半平面，即Re[si]＜0,那么变换后H(Z)的极点也都在单位圆以内，因此数字滤波器保持稳定。映射关系：

S平面上每一条宽为的横带部分，都将重叠地映射到Z平面的整个平面上:每一横带的左半部分映射到Z平面单位圆以内，每一横带的右半部分映射到Z平面单位圆以外，轴映射到单位圆上，轴上每一段都对应于绕单位圆一周。可以保证稳定性和因果性。又因为可以将s平面的虚轴映射为z平面的单位圆，所以基本保持频率响应的形状不变S平面Z平面3、频响关系上面我们讨论的是s平面与z平面之间的映射关系，通过将模拟滤波器ha(t)的系统函数Ha(s)与数字滤波器h(n)的系统函数H(Z)联系、对照，得出的映射关系实质上也是系统函数之间的关系。下面将讨论模拟滤波器ha(t)和数字滤波器h(n)频率响应之间的关系，即考察ha(t)的傅里叶变换Ha(jQ)和h(n)的变换H(ejw)之间的关系，从而推导出模拟角频率Q和数字角频率W之间的关系。因为所以根据取样定理，只有当AF的频响带限于折叠频率以内时，即才能使DF在折叠频率内重现AF的频响，而不产生混叠失真。但是，任何一个实际AF的频响却不是严格带限的，就会产生混迭失真，如下图0冲激响应不变法中的频响混淆模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这时，采用冲激响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。4、AF的数字化方法

（1）一般方法例：已知模拟滤波器的系统函数H(s)=A/(s-a),试用冲激响应不变法求相应的数字滤波器的系统函数H(Z)解:对H(S)进行拉氏反变换,求得模拟系统单位响应:先做，再对抽样，使，最后一般来说过程比较复杂。上述方法适用于一般的模拟系统函数可以用部分分式展开成为上述那样单极点和的形式.

（2）方法的简化设只有单阶极点，而且分母的阶次大于分子的阶次，可展成如下的部分公式例:模拟系统函数如下:试用冲激响应不变法求出相应的数字滤波器的系统函数.解:将上式分解为部分分式之和:可见该模拟系统有一对共轭极点:相应的数字滤波器也有一对极点:数字滤波器的系统函数为:（3）、修正例将一个具有如下系统函数的模拟滤波器数字化。

解：

模拟滤波器的频率响应为:示于图a数字滤波器的频率响应为:示于图b

显然数字滤波器的频率响应与采样间隔T有关,T越小,衰减越大,混叠越小,当fs=24Hz,混叠可忽略不计,为什么混迭呢?小结1)冲激响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的，ω＝ΩΤ，ω与Ω是线性关系。因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，通过变换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。

例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过冲激响应不变法得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。2)在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用冲激响应不变法。

3)如果Ha(s)是稳定的，即其极点在S左半平面，映射后得到的H(Z)也是稳定的。4)冲激响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通，而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带阻滤波器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中，此时可增加一保护滤波器，滤掉高于的频带，再用冲激响应不变法转换为数字滤波器，这会增加设计的复杂性和滤波器阶数，只有在一定要满足频率线性关系或保持网络瞬态响应时才采用。

二、双线性变换法冲激响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从S平面到Z平面的标准变换z＝esT的多值对应关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步：第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里；第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。

由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。s平面s1平面z平面双线性变换法的映射关系时，Q将由经过0变到由上图可知，将S平面进行压缩，实际上，就是将其轴压缩到平面的轴上的到的范围内。这可通过正切变换实现：其中C为任意常数。由上式可知，当由经过0变到通过欧拉公式，可得：上式表示两个线性函数之比，称作线性分式变换，若用S表示Z，可得：将上式关系延拓到整个S和平面，则有：借助于平面和Z平面的映射关系：，可以得到：可见，也是线性分式变换（函数），这样()间的变换是双向的，故称作双线性变换。双线性换法的主要优点是S平面与Z平面一一单值对应，S平面的虚轴(整个jΩ)对应于Z平面单位圆的一周，S平面的Ω=0处对应于Z平面的ω=0处，对应的数字滤波器的频率响应终止于折叠频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。2、S平面与Z平面的映射关系由于可得：（1）当时，；这就是说，S平面的轴映射Z平面的单位圆上。（2）当时，上式的分母大于分子，则有；这表明S左半平面映射到Z平面的单位圆内。两者均是稳定的。（3）当时，上式的分子大于分母，则有；这表明S右半平面映射到Z平面的单位圆外。即s左半平面映射在单位圆内，s右半平面映射在单位圆外，因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也是稳定的。如图。s平面s1平面z平面双线性变换法的映射关系(1)如果使AF和DF在低频处有较确切的对应关系，则选择这时有，即(2)如果使DF的某一稳定频率（如）与AF的一特定频严格相对应，则有率即3、变换常数C的选择由于，所以只有当很小（一般），和之间才存在线性关系，即：4、双线性变换的特点(1)S平面的虚轴（）映射到Z平面的单位圆上。这是因为时，不管常数C为何值，均为1(2)稳定的AF，经双线性变换后所得DF也一定是稳定的，这是因为稳定的AF，其极点必全部位于S的左半平面上，经双线性变换后，这些极点全部落在单位圆内。(3)其突出的优点是避免了频响的混叠失真。说明如下：将代入双线性变换公式，且则即亦即从时，则从；这就是说，S平面的正虚轴被映射到Z平面的单位圆的上半部从时，则从；这就是说，S平面的负虚轴被映射到Z平面的单位圆的下半部也就是说，从S平面到Z平面，频率轴是单位变换关系，而且当时，为折叠频率，所以不会有高于折叠频率的分量，因此不会产生混叠失真。(4)双线性变换缺点：Ω与ω成非线性关系，导致：a.数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变)。

例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是直线关系但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器b.线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为非线性相位。c.要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的，故双线性变换能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。虽然双线性变换有这样的缺点，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计工具。这是因为大多数滤波