第4章 透镜的位相调制和傅里叶变换性质

普通高等教育“十一五”国家级规划教材

《傅里叶光学•第2版》电子教案

周哲海吕乃光编著机械工业出版社第四章透镜的位相调制和傅里叶变换性质分析方法：(孔径+透镜)(有限大小,有衍射作用,位相变换作用)+光在自由空间的传播(菲涅耳衍射)逐面计算,在不同的几何配置下可以得到傅里叶变换或成像目的与分析方法 目的： 从单透镜的位相变换作用入手,导出透镜的傅里叶变换性质和成像性质； 将透镜成像看成线性不变系统的变换，研究评价透镜成像质量的频域方法。本章主要内容1、透镜的位相调制作用2、透镜的傅里叶变换性质3、光学频谱分析系统光学成像系统是一种最基本的光信息处理系统，它用于传递二维的光学图像信息。光波携带输入图像信息（图像的细节、对比等）从光学系统物面传播到像面，输出的图像信息取决于光学系统的传递特性。对于相干与非相干照明的成像系统可以分别给出其本征函数，把输入信息分解为由本征函数构成的频率分量，考察这些空间频率分量在系统传递过程中，衰减、相移等等变化，研究系统空间频率特性即传递函数。这是一种全面评价光学系统传递光学信息的能力的方法，也是一种评价光学系统成像质量的方法。

光学成像系统的频率特性透镜是光学系统的最基本的元件，具有成像和光学傅里叶变换的基本功能，本章将首先讨论透镜的成像和光学傅里叶变换性质；透镜可以用来实现透过物体的光场分布的夫琅和费衍射，而透镜之所以可以实现傅里叶变换的原因是它具有位相变换的作用；无像差的正薄透镜对点光源的成像过程是点物成点像，从波面变换的观点看，透镜将一个发散球面波变换成一个会聚球面波；发散球面波和会聚球面波在透镜平面上都具有球面波的二次位相因子，因此透镜的功能就是改变二次位相因子的大小，实际上也就是具有附加的二次位相因子。透镜的位相变换作用基本假设透镜是薄的,忽略折射引起的光线的横向偏移透镜无吸收,完全透明,均匀,折射率为n，不改变光场振幅,仅改变位相透镜孔径为无限大(以后再考虑孔径影响)透镜的位相变换作用1、透镜的位相调制作用1.1透镜对入射波前的作用——分析复振幅透过率透镜的复振幅透过率：Ul

(x,y)和Ul

(x,y)分别是紧靠透镜前后平面上的光场复振幅分布。下面从复振幅透过率的定义式导出复振幅透过率。这是在傍轴近似下的完善成像，发散球面波经过透镜变换成会聚球面波。1、透镜的位相调制作用在傍轴近似下，忽略透镜对光波振幅的影响，紧靠透镜前后的平面上产生的复振幅分布为则透镜复振幅透过率表示为：在傍轴近似下，1、透镜的位相调制作用则透镜复振幅透过率表示为：(常数项)(调制项)对于常数项，它改变的是光波整体的位相分布，并不影响平面上位相的相对空间分布，分析时可忽略掉。对于调制项，它改变了平面上位相的相对空间分布，能把发散球面波变换为会聚球面波。1、透镜的位相调制作用根据几何光学中介绍的透镜成像公式(为透镜的焦距)因此，透镜的复振幅透过率或透镜的位相调制因子(相位变换因子)：结论：通过上面的分析可知，透镜对透射的光波具有位相调制的功能。1、透镜的位相调制作用透镜本身的厚度变化，使得入射光波在通过透镜的不同部位时，经过的光程差不同，即所受时间延迟不同，从而使得光波的等相位面发生弯曲。透镜对透射的光波具有位相调制的功能。但是，透镜为什么会具有这种能力呢？Answer:1、透镜的位相调制作用薄透镜：忽略光线在透镜内由于折射而产生的平移(忽略了折射效应)。薄透镜的作用：忽略吸收，仅使入射波前产生相位延迟，其大小正比于透镜各点的厚度。把透镜看成是一个相位型的衍射屏。透镜的相位变换(位相调制)函数：（复振幅透过率函数）1.2透镜的厚度函数主要考虑薄透镜的情况从另一角度-厚度函数导出透过率L(x,y)1、透镜的位相调制作用L(x,y)是Q到Q之间的光程：则透镜的相位变换(位相调制)函数：1、透镜的位相调制作用上式具有普遍意义，对于任意面形的薄位相物体，一旦知道其厚度函数(x,y)，就可以根据该式得到其位相调制。透镜的相位变换(位相调制)函数：（复振幅透过率函数）下面具体分析一下厚度函数(x,y)和透镜主要结构参数(构成透镜的两个球面的曲率半径R1和R2)之间的关系。1、透镜的位相调制作用为求出厚度函数，将透镜一剖为二，如图所示：符号规则：为使导出的公式适合于不同类型的透镜，规定：当光线从左到右时，它遇到的每个凸面的曲率半径为正，而每个凹面的曲率半径为负。1、透镜的位相调制作用仅考虑傍轴光，(x2+y2)足够小厚度函数1、透镜的位相调制作用1、透镜的位相调制作用1.3透镜的复振幅透过率根据厚度函数的表达式，可得到在傍轴近似下，光波通过透镜时在(x,y)点发生的位相延迟(n为透镜材料的折射率)1、透镜的位相调制作用常数因子透镜位相因子以上推导的关系适用于各种形式的薄透镜，而且是在傍轴近似条件下推导出来的。透镜相位变换函数：在分析时，可忽略常数和常相位因子。忽略了常复数因子后，两者相同。——由定义得到——由厚度函数和得到比较两种方法得到的复振幅透过率1、透镜的位相调制作用1、透镜的位相调制作用透镜的作用：将入射平面波变换为会聚（发散）球面波，如下图所示。理解透镜相位变换的物理意义，可通过考察透镜对垂直入射的单位振幅平面波的效应，来理解透镜相位变换的物理意义。1、透镜的位相调制作用第一项是常数相位延迟，第二项可理解为球面波的二次曲面近似。1、透镜的位相调制作用 入射平面波变换为球面波，这正是由于透镜具有的位相因子，能够对入射波前施加位相调制的结果。1、透镜的位相调制作用1）球面透镜将平面波变换成球面波的结论，在很大程度上依赖于傍轴近似。若在非傍轴近似条件下，即使透镜表面是理想球面，透射光波也将偏离理想球面波，即透镜产生波像差。事实上，常常把透镜表面磨成非球面形式，以减少出射波前对球面的偏离，从而“校正透镜的像差。”2）实际透镜总是有大小的，即存在一个有限大小的孔径。引入光瞳函数P(x,y)来表示透镜的有限孔径，即1、透镜的位相调制作用其中，表示透镜对入射波前的位相调制；P(x,y)表示透镜对于入射波前大小范围的限制。于是透镜的复振幅透过率可以完整的表示为：透镜的相位变换作用，是由透镜本身的性质决定。1、透镜的位相调制作用透过率的第二种推导方法：（前面已经有了）1、透镜的位相调制作用2、透镜的傅里叶变换性质回顾一下：利用透镜实现夫琅和费衍射，可以在透镜的焦平面上得到入射场的空间频谱，即实现傅里叶变换的运算。因此，会聚透镜除具有成像性质外，另一个最突出和最有用的性质就是它能够进行二维FT。正因如此，傅里叶分析方法才得以用于光学。2、透镜的傅里叶变换性质透镜为什么具有这种功能呢？***根本原因在于它具有能对入射波前施加位相调制的功能，或者说是透镜的二次位相因子在起作用；然而出现二次位相因子的原因是透镜的厚度函数。下面将具体分析一下这种作用发生的具体过程，并深入讨论透镜实现傅里叶变换的一些性质。2、透镜的傅里叶变换性质2、透镜的傅里叶变换性质2.1物体放置在透镜前d

处透镜后焦面上的场是透镜前端场U1(x,y)的傅里叶变换(空间频谱)；根据透镜的位相调制功能，透镜后端场U2(x,y)为:U1U2U0Uf物体的透射光场透镜前端场透镜后端场后焦面上的场2012-3-312、透镜的傅里叶变换性质从透镜后端到后焦面光的传播属于菲涅耳衍射，利用菲涅耳衍射公式，后焦面上的场U(x,y)为：透镜后端场U2(x,y)为:将U2(x,y)代入:菲涅耳衍射公式2、透镜的傅里叶变换性质2、透镜的傅里叶变换性质后焦面上的场分布为焦面场是透镜前端场的傅里叶变换(空间频谱)。2、透镜的傅里叶变换性质如上图所示，距离透镜前端有一物体，其透过率为t(x0,y0)。若用振幅为A的平面波垂直照明物体，则物体的透射光场为：U1U2U0Uf2、透镜的傅里叶变换性质根据角谱理论，透镜前端场的角谱为：则有：H是费涅耳衍射在频域中的传递函数,并略去常量位相延迟。注意：Uf与t的联系菲涅耳衍射的传递函数是2、透镜的傅里叶变换性质（二次位相弯曲因子）其中，T()为透过率函数t()的频谱。结论：透镜后焦面上的光场分布正比于物体的傅里叶变换。其频率取值与后焦面坐标的关系为一般情况下,FT前面仍有二次相位因子,不是准确的FT。2、透镜的傅里叶变换性质后焦面上(xf,xy)点的振幅和位相正比于物体频谱所包含的频率分量（fx=xf

/f，fy=yf

/f

）的振幅和位相。2、透镜的傅里叶变换性质上式具有普遍意义，它证明在物体透射场的菲涅耳衍射区内放置一透镜，在透镜的后焦面上就可以得到该透射场的傅里叶变换(空间频谱)。物体的功率谱对应的强度分布为一般情况下，FT前面仍有二次相位因子，不是准确的FT，但不影响强度分布（通常观察的是强度分布）。2、透镜的傅里叶变换性质如果d>0，物体在透镜前方，由于变换式前的二次位相因子，使物体的频谱产生一个位相弯曲。（二次位相弯曲因子）讨论d（物体到透镜距离）的三种情况：df2、透镜的傅里叶变换性质如果d=d0=f，物体在透镜前焦面，二次位相弯曲消失，后焦面的光场分布是物体准确的傅里叶变换。这正是通常所用的光路。

用单色平面波照明物体，物体置于透镜的前焦面，则在透镜的后焦面上得到物体的准确的傅里叶变换。透镜的后焦面称为频谱面。物理解释后焦面上光场分布与频谱的对应关系物分布t

(x0,y0)是一个复杂结构,含有多种空频成分.它调制入射的均匀平面波,使透射光场携带物体的信息.透射光场的角谱代表物函数的频谱,即含有向不同方向衍射的许多平面波.其中向角方向衍射的平面波分量经过透镜后聚焦到(0,yf)点.2、透镜的傅里叶变换性质U0yfzfy0(0,yf)后焦面输出面Uf2、透镜的傅里叶变换性质U0yfzfy0(0,yf)后焦面输出面Uf此平面波分量的空频fy=cosb

=yf/f由几何关系易见:yf=ftan

fsin=fcosb(傍轴近似)方向余弦后焦面上(0,yf)点的复振幅,对应空频为(fx=0,fy=yf/f

)的平面波分量的振幅和位相.推广之,任意(xf

,yf

)点的复振幅,对应空频为

(fx=xf/f,fy=yf/f)的平面波分量的振幅和位相.2、透镜的傅里叶变换性质∴透镜的后焦面是物体的频谱面.透镜的后焦面是输入物体的频谱面透镜后焦面上不同位置的点,对应物体衍射光场的不同空间频率分量fx0xffx1fx2fx2>

fx12、透镜的傅里叶变换性质透镜的后焦面是输入物体的频谱面频谱点出现在与空间条纹结构垂直的方向上.F.T.F.T.2、透镜的傅里叶变换性质变换的尺度问题对应于物的同一空频分量,变换的尺度随波长和焦距而变f1l2l2>l1l1f2>f1f2xf=lffx,yf=lffy2、透镜的傅里叶变换性质2、透镜的傅里叶变换性质如果d=0，物体在透镜前端面，由于变换式前的二次位相因子，使物体的频谱也产生一个位相弯曲。2、透镜的傅里叶变换性质2.2物体放置在透镜后方沿光波传播方向逐面进行计算，最终可获得透镜后焦面上的场分布.暂不考虑透镜的有限孔径透镜的透射光场几何光学近似下，会聚球面波投射到物平面上的场分布物体的透射光场2、透镜的傅里叶变换性质对应的强度分布为物体的功率谱物体的透射光场根据菲涅耳衍射公式，透镜后焦面上的场分布当d=f时，结果与物在透镜前相同，即物从两面紧贴透镜都是等价的。2、透镜的傅里叶变换性质2、透镜的傅里叶变换性质注意：与前两种情况不同，这里频率取值与后焦面上坐标的关系是对于给定频率(fx,fy),随着d的增大，xf

和yf的绝对值增大；通过改变d，可以调整物体傅里叶变换的空间尺寸大小。这种灵活性，为相干光空间滤波的应用带来很大方便。前两种情况：xf=lffx,yf=lffy2、透镜的傅里叶变换性质总结：在单色平面波照明下，无论物体位于透镜前方、后方还是紧靠透镜，在透镜的后焦面上都可以得到物体的功率谱；对于这样的照明方式，透镜后焦面常称为傅里叶变换平面或（空间）频谱面。如果采用球面波照明时，透镜还能进行傅里叶变化吗？那频谱面还是焦平面吗?Answer:

透镜还能起傅里叶变换作用，但是频谱面不再是焦平面，而是点光源的像面位置。具体推导过程可参考有关参考书，这里不再赘述。2、透镜的傅里叶变换性质复习题(小结)：1、什么情况下得到准确的傅里叶变换？（物体在什么位置）（二次位相弯曲因子）物体在透镜前焦面，二次位相弯曲消失，后焦面的光场分布是物体准确的傅里叶变换。在透镜的后焦面上都可以得到物体的功率谱；透镜后焦面常称为傅里叶变换平面或（空间）频谱面。物体在透镜前：2、透镜的傅里叶变换性质物体在透镜后：（同样存在二次位相弯曲因子）对于给定频率(fx,fy),随着d的增大，xf

和yf的绝对值增大；通过改变d，可以调整物体傅里叶变换的空间尺寸大小。2、透镜的傅里叶变换性质2.3透镜孔径的影响引入光瞳函数P(x,y)来表示透镜的有限孔径，透镜的复振幅透过率可以完整地表示为：下面将由简而繁地讨论透镜孔径的影响。有效物体则后焦面上的光场分布为：2、透镜的傅里叶变换性质1、物体紧靠透镜放置考虑透镜的有限孔径，其透射场分布为当透镜孔径大于物体尺度时，P(x,y)对实际物体不造成限制，可从公式中略去。当透镜孔径小于物体尺度时，后焦面上的光场分布只是正比于一个有效物体的傅里叶变换。2、透镜的傅里叶变换性质其中，以一维物函数t(x)为例，假定透镜孔径是宽度为l的矩形函数，即其傅里叶变换式为2、透镜的傅里叶变换性质卷积的效果是使物体频谱图像产生某种程度的模糊，或者说失真。透镜孔径越小，这种模糊越严重。下图是物体频谱与光瞳函数傅里叶变换卷积的结果。平面波2、透镜的傅里叶变换性质2、物体放置在透镜后方它是透镜孔径沿会聚光锥在物平面上的投影，可用投影光瞳函数表示透镜的圆形孔径（直径l）限制的出射会聚球面波照明的圆形区域的直径=ld/f物体的透射光场为物体的透射光场后焦面上的复振幅分布为2、透镜的傅里叶变换性质2012-4-92、透镜的傅里叶变换性质其中，***若物体被完全照明，则投影光瞳函数可从式中略去；否则，后焦面上的场分布只是部分物体的傅里叶变换，此时频谱图像产生模糊。焦平面上的复振幅分布为1、物体紧靠透镜放置当透镜孔径大于物体尺度时，P(x,y)对实际物体不造成限制，可从公式中略去。当透镜孔径小于物体尺度时，后焦面上的光场分布只是正比于一个有效物体的傅里叶变换。***若物体被完全照明，则投影光瞳函数可从式中略去；否则，后焦面上的场分布只是部分物体的傅里叶变换，此时频谱图像产生模糊。2、物体放置在透镜后方卷积的效果是使物体频谱图像产生某种程度的模糊小结2、透镜的傅里叶变换性质3、物体放置在透镜前方回顾渐晕：A物平面B1B2B3M1M2M入射窗入射光瞳P1P2PP2P2P2PPP1P1P1这种轴外点光束被部分地拦掉的现象称为光学系统的轴外点光束的渐晕。2.3透镜孔径的影响2、透镜的傅里叶变换性质通常物体的距离d0相对于透镜孔径都不太大，仍采用光学近似。后焦面上(xf,yf)点的光场应是物体上所有点所发出的方向余弦(cosxf

/f,cosyf

/

f)的光线经透镜会聚后叠加而成的。但物平面上只有一个圆形区域所发出的光线能够到达(xf

,yf)点，沿(xf

,yf)点与透镜中心连线方向，把透镜孔径投影到物平面上就可确定这个圆形区域。f物平面(xf

,yf)y0d02、透镜的傅里叶变换性质把透镜孔径投影到物平面上就可确定这个圆形区域。其中心位于投影光瞳函数(圆形区域)：此处投影光瞳函数的中心位置是随(xf

,yf)点变化的。有效物体函数：f物平面(xf

,yf)y0d02、透镜的傅里叶变换性质后焦面上的复振幅分布正比于有效物体函数的傅里叶变换，即有效物体函数：2、透镜的傅里叶变换性质以波矢量在y0z平面内传播的平面波分量受透镜孔径限制的情况来说明对于频谱面光场的影响。如图所示，对于0方向，透镜孔径投影能完全覆盖物体的极限情况.相应空间频率假设圆形物体的直径为L透镜直径为l截止频率(1)<0部分的空间频率，相应方向的光线都可以全部成像在焦平面上(<0部分的空间频率将全部成像在焦平面上)，就可准确代表相应频率成分的频谱值。Ll2、透镜的傅里叶变换性质2、透镜的傅里叶变换性质仅当物体上各点的某一空间频率成分(对应于某一方向的平面波)不受阻挡地通过透镜时，在透镜后焦面上的相应会聚点所得到的强度分布才是准确代表整个物体上相应频谱的模的平方。满足这一条件平面波的传播方向与光轴的最大夹角可见，透镜孔径的大小及焦距的大小决定了物面上能到达皮频谱面的频率成分。（或被处理物面的大小）2、透镜的傅里叶变换性质2、透镜的傅里叶变换性质部分的空间频率将部分成像在焦平面上（2）偏离这一频率成分的频谱值，空间频率越高，误差越大。频谱面上，虽有频谱值，但不是准确的频谱值。2、透镜的傅里叶变换性质部分的空间频率都不能成像在焦平面上。（3）相应空间频率物体尽管有空间频率大于fM的频率成分，谱面上却不再能得到它们的频谱值。2、透镜的傅里叶变换性质总结：（1）有限大小的透镜孔径可能会造成物体频谱的失真，原因就在于透镜实际上是一个低通滤波器：低频成分可以通过，稍高频率成分可以部分通过，高频部分则完全被滤除。（2）因此由于透镜有限孔径的影响，后焦面上不能得到准确的物体频谱，给傅里叶变换结果带来误差，频率越高，误差越大。我们把这种现象称为渐晕效应。（3）采用尽可能大的透镜孔径，或物体尽可能靠近透镜，可以减小渐晕的影响。例题单位振幅的单色平面波垂直照明一个直径为5cm,焦距为80cm的透镜。在透镜的后面20cm的地方，以光轴为中心放置一个余弦型振幅光栅，其复振幅透过率为假定L=1cm,f0=100周/cm,l=0.6mm。画出焦平面上沿xf

轴的强度分布。标出各衍射分量之间的距离和各个分量的宽度（第一个零点之间）的数值。x’-y’∑0S’d0xf-yfx0-y0∑pf例题解：由几何关系可知，在物面上投影光瞳大于物体尺寸，故可不考虑透镜孔径的效应。透镜:D=5cm,f=80cm,物体：d0=20cm，L=1cm,f0=100周/cm复振幅分布：强度分布:x’-y’∑0S’d0xf-yfx0-y0∑pf单位振幅的单色平面波垂直照明，q=f,透镜后焦面上出现物体的傅里叶变换，但有一个二次位相因子。例题透镜:D=5cm,f=80cm,物体：d0=20cm，L=1cm,f0=100周/cm强度分布:x’-y’∑0S’d0xf-yfx0-y0∑pf例题透镜:D=5cm,f=80cm,物体：d0=20cm，L=1cm,f0=100周/cm强度分布:沿fx轴:∵f0>>1/L,∴将代入,并取l=0.6mm:q=f例题透镜:D=5cm,f=80cm,物体：d0=20cm，L=1cm,f0=100周/cm将代入,并取l=0.6mm:f0=100,l(q-d0)=3.610-30.36xf03.610-3-3.610-3-0.36I03、光学频谱分析系统光学频谱分析的基本原理就是利用透镜的傅里叶变换性质来产生物体的空间频谱，然后对它进行测量、分析来研究物体的空间结构。二维光学频谱分析系统上图所示为二维光学频谱分析系统的光路。S为相干点光源，L1为准直透镜，L2为傅里叶变换透镜。P1平面（L2前焦面）放置输入物体，其复振幅透过率为t(x1,y1)。在P2平面（L2后焦面）上，输出光场分布正比于物体的空间频谱，即在P2平面（L2后焦面）上，输出光场分布正比于物体的空间频谱，即3、光学频谱分析系统强度记录得到物体的功率谱为光学频谱分析可用于微小物体的形状尺寸检测、质量检测、图像分析等领域。本章小结1）透镜具有成像和傅里叶变换的功能，其根本原因在于透镜具有对入射波前进行位相调制的功能；而透镜之所以具有这种位相调制的功能就在于透镜本身存在的厚度变化。2）透镜具有傅里叶变换的功能当采用平面波垂直照明时，总可以在透镜后焦面上得到物体的功率谱，无论物体放置在透镜前方、后方还是紧靠透镜；但当用球面波照明时，频谱面不在透镜焦平面上，而是点光源的成像位置。3）透镜有限大小的孔径对傅里叶变换有很大的影响，给傅里叶变换结果带来误差，频率越高，误差越大。透镜相当于一个低通滤波器。快速抢答！！！透镜的F.T.性质透镜的复振幅透过率：变换的空频坐标与后焦面空间坐标xf,yf

的关系：物体放在焦距为f的透镜的前焦面，用波长为l的单色平面波垂直入射照明，在透镜后焦面上得到：物函数t(x0,y0)的准确的傅里叶变换数学表达式：选择填空！！！菲涅耳衍射的F.T.表达式（空域）会聚球面波的复振幅表达式薄透镜以上述形式对Ul(x,y)进行相位变换的条件是

。只要傍轴条件满足有限透镜的复振幅透过率（相位变换因子）任何衍射屏,若其复振幅透过率可写为的形式,都可看成一个焦距为f

的透镜.例题：广义透镜屏的复振幅透过率:问:1.是否类似透镜?2.焦距?3.成像的波长特性?解:#设a>0,分别考察圆括号中的三项:代表正透镜焦距f=k/2a=p/al代表负透镜，焦距f=-k/2a=-p/al代表平镜,焦距f=∞,无焦度,仅衰减振幅circ(r0/l)是孔径函数P(x,y),代表直径为l的圆孔.此屏类似透镜,等效于平、凹、凸三个透镜,可作位相变换三个透镜的直径为2l,焦距分别为∞,-/a和/a.当单色平面波垂直入射时,有三部分出射光束(1)直接透过,循原方向传播(2)会聚到透镜后焦面处,与透镜距离为/a(3)从透镜前焦点/a处发散的球面波正、负透镜的焦距与波长有关,即有很大的色差.只有用单色光照明,才能得到清晰的像三个衍射级不能完全分开用全息方法很容易实现上述透过率函数,此屏即为同轴全息透镜,是球面波与平面波干涉的结果目的证明:平面型透明片,在单色光照明下,通过透镜的位相调制作用，在照明光源的共轭平面上可以得到透明片的傅里叶变换§3.2透镜的傅里叶变换性质

FourierTransformPropertyofLenses光学系统由孔径和透镜组成,光波由一个平面向另一个平面传播孔径:真实开孔,屏,透明片等用复振幅透过率t(x0,y0)描述,光学系统的一般描述实现位相变换:传播光波由一个平面(x0,y0)向另一个平面(x,y)传播一段距离(z).y0x0U(x,y)U0(x0,y0)yxzz有限距离的传播用菲涅耳衍射处理.在空域有二种表达形式#FresnelDiffraction

菲涅耳衍射公式 观察平面 孔径平面 空域 U(x,y)

U(x0,y0)U(x,y)F.T.表达:上述基本单元和过程组成光学系统确定坐标系.

一个特定平面用一组固定的xy坐标描述,不要混淆正确描述入射光波复振幅U(x,y) (平面波:垂直入射或斜入射;球面波:会聚或发散)光波由左向右传播,传播距离标绝对值遇到孔径:

乘上透过率函数t(x,y),遇到透镜:

乘上位相变换因子传播过程:

看成菲涅耳衍射,采用适当的形式ylxlU(xi,yi)U0(x0,y0)yixizy0x0UlUl’did0分析时注意：在一定的几何关系下,可以得到傅里叶变换性质和成像性质#球面波照明

1.物在透镜前S:

单色点光源发出球面波照明物体t

(x0,y0)的前表面Ul’Ulx’-y’∑p透镜前|后平面P1

|P2x-yzqpS’SS’:S的共轭像点。注意：x-y平面不是t

(x0,y0)的像平面。要证明：t

(x0,y0)的傅里叶变换T(fx,fy)出现在x-y平面上。t

(x0,