第2章 测量误差分析及处理-3

第2章．测量误差分析及处理

2.1误差的概念

2.2

粗大误差分析2.3

随机误差分析

2.4

系统误差分析2.5

测量不确定度2.6

最小二乘法处理2.3

随机误差分析随机误差及测量值服从统计学规律在测量中，随机误差是不可避免的。随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素引起的，比如外界条件（温度、湿度、气压、电源电压等）的微小波动，电磁场的干扰，大地轻微振动等。随机误差反映了实际测量的精密度。多次测量，测量值和随机误差服从概率统计规律。可用数理统计的方法，处理测量数据，从而减少随机误差对测量结果的影响。2.3

随机误差分析(续）

数学期望:反映其平均特性。其定义如下：X为离散型随机变量：

X为连续型随机变量：

2.3.1.随机误差的数学期望和标准差2.3

随机误差分析(续）

剩余误差（残差）当进行有限次测量时，各次测得值与算术平均值之差定义为剩余误差或残差：

νi=xi－x

两边分别求和：

当n足够大时，残差的代数和等于零。当n→∞时，残差即等于随机误差。2.3

随机误差分析(续）方差和标准偏差

方差定义为n→∞时测量值与期望值之差的平方的统计平均值，即

因为随机误差δi=xi-Ex，则方差定义为：

标准偏差定义为：

标准偏差反映了测量的精密度，标准偏差小表示精密度高，测得值集中；标准偏差大表示精密度低，测得值分散。2.3

随机误差分析(续）测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造成的许多微小误差的总和。中心极限定理：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变量服从正态分布。为什么测量数据和随机误差大多接近正态分布？2.3.2测量误差的正态分布2.3

随机误差分析(续）

正态分布的概率密度函数和统计特性随机误差的概率密度函数为：测量数据X的概率密度函数为：

随机误差的数学期望和方差为：同样测量数据的数学期望E(X)＝，方差D(X)＝2.3

随机误差分析(续）

正态分布时概率密度曲线

随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏差相同，只是横坐标相差随机误差具有：①对称性②

单峰性③

有界性④抵偿性

2.3

随机误差分析(续）

标准偏差意义标准偏差是代表测量数据和测量误差分布离散程度的特征数。绝对值小的随机误差出现的概率大；相反，绝对值大的随机误差出现的概率小。超过一定界限的随机误差实际上几乎不出现。大小相等符号相反的误差出现的概率相等。标准偏差越小，则正态分布曲线形状越尖锐，说明数据越集中，精密度越高；标准偏差越大，则曲线形状越平坦，说明数据越分散，精密度越低。2.3

随机误差分析(续）

测量误差的非正态分布常见的非正态分布有均匀分布、三角分布、反正弦分布等。均匀分布：仪器中的刻度盘回差、最小分辨力引起的误差等；“四舍五入”的截尾误差；当只能估计误差在某一范围内，而不知其分布时，一般可假定均匀分布。

概率密度:均值:当时,标准差:

当

时，2.3

随机误差分析(续）

极限误差△在进行大量等精度测量时，随机误差落在【-3σ，+3σ】区间的测得值的数目占测量总数目的99.7％。因此定义对于正态分布的随机误差，可以算出随机误差落在【-3σ，+3σ】区间的概率为：△=3σ极限误差或最大误差粗大误差的处理————莱特准则2.3

随机误差分析(续）

测量结果的置信问题（1）置信概率与置信区间：置信区间内包含真值的概率称为置信概率。置信限：

k——置信系数（或置信因子）置信概率是图中阴影部分面积2.3

随机误差分析(续）

正态分布的置信概率

当分布和k值确定之后，则置信概率可定

正态分布,当k=3时置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997区间越宽，置信概率越大2.3

随机误差分析(续）

非正态分布的置信因子

由于常见的非正态分布都是有限的，设其置信限为误差极限，即误差的置信区间为置信概率为100％。（P=1)反正弦均匀三角分布例：均匀分布

有故:2.3

随机误差分析(续）

有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值

求被测量的数字特征，理论上需无穷多次测量，但在实际测量中只能进行有限次测量，怎么办？用事件发生的频度代替事件发生的概率，当则令n个可相同的测试数据xi(i=1.2…,n)

次数都计为1,当时，则（1）有限次测量的数学期望的估计值——算术平均值被测量X的数学期望，就是当测量次数时，各次测量值的算术平均值

2.3

随机误差分析(续）规定使用算术平均值为数学期望的估计值，并作为最后的测量结果。即：

算术平均值是数学期望的无偏估计值、一致估计值和最大似然估计值。有限次测量值的算术平均值比测量值更接近真值？

2.3

随机误差分析(续）

（2）算术平均值的标准偏差

故：算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小倍。原因是随机误差的抵偿性。*算术平均值：2.3

随机误差分析(续）

（2）有限次测量数据的标准偏差的估计值

残差：实验标准偏差（标准偏差的估计值），贝塞尔公式：算术平均值标准偏差的估计值：2.3随机误差分析(续）

【例2.4.1】

用温度计重复测量某个不变的温度，得11个测量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。解：①平均值

②用公式

计算各测量值残差列于上表中③实验偏差④标准偏差x=530.11.59±℃2.4

系统误差的分析

2.4.1系统误差的特征：

在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。

多次测量求平均不能减少系差。

2.4

系统误差的分析

2.4.2系统误差的判断方法

（1）理论分析法：由于测量方法或测量原理引入的系差，不难通过对测量方法的定性、定量分析发现系差，甚至计算出系差。（2）校准和比对法：仪器定期进行校准或检定并在检定证书中给出修正值。采用多台同型号仪器进行比对，观察对比结果。（3）改变测量条件法系差常与测量条件有关。2.4

系统误差的分析

2.4.2系统误差的判断方法

（4）剩余误差观察法适用于系统误差比随机误差大的情况 将所测数据及其残差按先后次序列表或作图，观察各数据的残差值的大小和符号的变化。存在线性变化的系统误差无明显系统误差累进性系差2.4

系统误差的分析（续）马利科夫判据：若有累进性系统误差，D值应明显异于零。 当n为偶数时，

当n为奇数时，阿贝－赫梅特判据：检验周期性系差的存在。（5）公式判断法2.4

系统误差的分析（续）

2.4.3

消除系统误差产生的根源

从产生系统误差根源上采取措施减小系统误差①

要从测量原理和测量方法尽力做到正确、严格。②选用的仪器仪表类型正确，准确度满足测量要求。③测量仪器定期检定和校准，正确使用仪器。④注意周围环境对测量的影响，特别是温度对电子测量的影响较大。⑤尽量减少或消除测量人员主观原因造成的系统误差。应提高测量人员业务技术水平和工作责任心，改进设备。６尽量采用数字显示仪器代替指针式仪器。2.4

系统误差的分析（续）

2.4.4

系统误差的削弱或消除方法

（1）零示法

①

广泛用于阻抗测量、电压测量、频率测量及其他参数的测量中。②例：电位差计。（2）替代法①测量准确度主要取决于标准已知量的准确度及指示器灵敏度。②例：精密电阻电桥。

2.4

系统误差的分析（续）

2.4.4

系统误差的削弱或消除方法

（3）补偿法①常用于高频阻抗、电压、衰减量等测量中。②

例：谐振法测电容。（4）对照法在对称的测量装置中用来检查其对称性是否良好。从两次测量结果的处理中，消弱或消除系差。例：对照法测电阻。2.4

系统误差的分析（续）

2.4.4

系统误差的削弱或消除方法

（5）微差法①

允许标准量与被测量不完全抵消，而是相差一微小量。②

被测量相对误差基本上等于标准量相对误差。（6）交叉读数法谐振频率测量上述测试技术，主要用来消弱或消除恒定系差。2.4

系统误差的分析（续）

2.4.5消除或消弱系统误差的其他方法

利用修正值或修正因数加以消除随机化处理智能仪器中系统误差的消除①支流零值校准②自动校准系统误差可忽略不计的准则是：

系统误差或残余系统误差代数和的绝对值不超过测量结果扩展不确定度的最后一位有效数字的一半。2.4.6测量结果的处理步骤

①对测量值进行系统误差修正，将数据依次列成表格；②求出算术平均值③列出残差，并验证④按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值⑤按莱特准则，或格拉布斯准则检查和剔除粗大误差；⑥判断有无系统误差。如有系统误差，应查明原因，修正或消除系统误差后重新测量；⑦计算算术平均值的标准偏差；⑧写出最后结果的表达式，即（单位）。2.4.6测量结果的处理步骤（续）【例】对某电压进行了16次等精度测量，测量数据中已记入修正值，列于表中。要求给出包括误差在内的测量结果表达式。2.4.6测量结果的处理步骤（续）2.4.6测量结果的处理步骤（续）2.4.7系统误差的合成问题：用间接法测量电阻消耗的功率时，需测量电阻R、端电压V和电流I三个量中的两个量，如何根据电阻、电压或电流的误差来推算功率的误差呢？2.4.7.1误差的综合2.4.7.1误差的综合（续）在实际应用中，由于分项误差符号不定而可同时取正负，有时就采用保守的办法来估算误差，即将式中各分项取绝对值后再相加该公式常用于在设计阶段中对传感器、仪器及系统等的误差进行分析和估算，以采取减少误差的相应措施。但是，更严格和更准确地计算合成误差的方法是测量不确定度理论中的合成不确定度评定。

1.和差函数的合成误差设y=x1±x2y+Δy=(x1+Δx1)±(x2+Δx2)以上两式相减得绝对误差为

Δy=Δx1±Δx2(2.6-7)当Δx1、Δx2符号不能确定时，同式(2.6-4)一样的考虑，取Δy=±(|Δx1|+|Δx2|)(2.6-8)2.4.7.2常用函数的合成误差相对误差为(2.6-9)或者写成：(2.6-10)对于和函数，由式(2.6-8)得(2.6-11)对于差函数，有(2.6-12)由式(2.6-12)可见，对于差函数，当测量值x1、x2较接近时，可能造成较大的误差。

2.积函数的合成误差设y=x1·x2，由式(2.6-3)得绝对误差为相对误差为(2.6-13)若γx1、γx2都有正负号，则γy=±(|γx1|+|