第8章 位移法-至诚

第8章位移法8-2位移法Ⅰ—直接平衡法8-3位移法Ⅱ—典型方程法8-4对称性利用8-1形常数与载常数AhCθCBlEIθCACBEIACBEIFPF2F1θC=+位移法基本思路EI第一步：增加约束，将结点位移锁住。得约束力矩为：第二步：施加力偶，使结点产生角位移。施加的外部力矩为：实际情况：将两种状态叠加，即为实际受力。此时C点上不应有外加约束。则F1+F2=08-1形常数与载常数基本构件要求:熟练背诵形常数和载常数,并能正确画出相应的弯矩图和剪力图三类基本构件由杆端单位位移引起的杆端弯矩和剪力.三类基本构件在荷载作用下的杆端弯矩和剪力形常数载常数结点转角、杆轴弦转角：顺时针为正。符号剪力：以绕隔离体顺时针转动为正。杆端弯矩：绕杆端顺时针为正、绕结点逆时针为正。★★1形常数1AB4i2iAB6i/lAB1AB6i/l6i/lAB12i/l2AB3iAB1AB3i/lAB1AB3i/lAB3i/l2AB1ABiiABAB2载常数qql2/12ql2/12ql/2ql/2ABABABFPFPl/8l/2l/2FPl/8FP/2FP/2ABABABqABql2/85ql/83ql/8ABABFP3FPl/16l/2l/211FP/165FP/16ABABABqql2/3qlql2/6lABABABFPl/2l/23FPl/8FPl/8FPABABAB1AB1AB1AB1AB1ABFPl/2l/2ABlt1t2ABlt1t2ABqABqABFPl/2l/2AB8-2位移法Ⅰ——直接平衡法1无侧移结构【例题】试做图示刚架的弯矩图。各杆EI相同，i=EI/6。

FP=20kN，q=2kN/m。q3m3m6mFPACB【解】B点转角位移Δ1（1）基本未知量BAΔ1FPBCΔ1q（2）写出杆端弯矩（3）利用隔离体的平衡方程求结点位移。解得取B点为隔离体，建立B点的力矩平衡方程BAΔ1FPBCΔ1qB16.7211.5715.853.21M图（kNm）（4）将结点位移代回杆端弯矩表达式。（5）按照区段叠加法作出弯矩图q=20kN/mA4m4m6m5m4mBCDEF4I05I04I03I03I0【例题】试做图示刚架的弯矩图。各杆E相同。B点顺时针转角位移Δ1（1）基本未知量C点顺时针转角位移Δ2解（2）写出杆端弯矩设EI0=1q=20kN/mA4m4m6m5m4mBCDEF4I05I04I03I03I0q=20kN/mA4m4m6m5m4mBCDEF4I05I04I03I03I0（3）建立隔离体平衡方程，求基本未知量解（a）和（b），得（4）求杆端弯矩3.443.546.91.74.899.824.514.7M图(kNm)（5）按照区段叠加法作出弯矩图2有侧移结构C、D点水平位移Δ1【解】（1）基本未知量（2）杆端弯矩由杆端弯矩求得杆端剪力试做图示刚架的弯矩图。各杆E相同。AE1A=∞lBCDqii【例题】（3）建立隔离体平衡方程，求基本未知量FQCAFQDB（4）求杆端弯矩M图★有侧移的题一定用到由弯矩求剪力（5）按照区段叠加法作出弯矩图C、D点水平位移Δ2【解】（1）基本未知量（2）杆端弯矩试做图示刚架的弯矩图。各杆EI相同，i=EI/4。【例题】D点的转角位移Δ1A4mBCD20kN/m4m2m30kN30kNABCD20kN/m60kNm30kN由杆端弯矩求得杆端剪力（3）建立隔离体平衡方程，求基本未知量FQCAFQDB30（4）求杆端弯矩（5）按照区段叠加法作出弯矩图M图(kNm)8-3位移法Ⅱ——典型方程法【例题】试做图示刚架的弯矩图。Ah=4mCq=3kN/mi2iBDil=8m★★如果基本体系与原结构发生相同的结点位移，则附加约束上的约束反力一定等于零。q=3kN/mF1≡0Δ1Δ2基本体系F2≡0基本结构Δ1Δ2F1F2k11k212i4i6i图（1）Δ1=1单独作用时，附加约束的反力k11、k21。k11=10ik21=-6i/h=-1.5i★附加刚臂上的约束力以顺时针为正。

★附加链杆上的约束力以读者规定的方向为正6i/hk21k114i6ik12k226i/h6i/h3i/h图（2）Δ2=1单独作用时，附加约束的反力k12、k22。k12=-6i/h=-3i/2k22=15i/h2=15i/1612i/h23i/l2k22k126i/hF1PF2P（3）荷载单独作用时，附加约束的反力F1P、F2P。MP图F1P=qh2/12=4qh/2F2P=-qh/2=-6F2PF1Pqh2/12qh2/12qh2/12将三种情况下的附加约束反力叠加，得位移法方程为位移法方程的物理意义★★

基本结构在荷载和结点位移作用下，附加约束反力等于零将求得的系数和自由项代入方程，求解得系数自由项将三种情况下的弯矩图叠加M图(kNm)4.4213.625.69典型方程法的解题步骤（1）选择基本结构（2）建立位移法方程（3）求系数和自由项，解方程，求基本未知量（4）利用叠加原理，作弯矩图【例题】试做图示刚架的弯矩图。4m10kNm2EI4m20kN/m40kN2EIEIEI2m2m基本结构Δ1Δ2解（2）建立位移法方程（1）选择基本结构图k12k22k11=12ik114i8i图k11k21k21=4ik214i8i4i4i2i4i8i4i6i2ik12=4ik114ik21=18i8i4i6ik22(3)求系数和自由项，解方程F1PF2PMP图1026.7F2P1026.73026.7F1P=-36.7k213026.7F2P=-3.3将系数和自由项代入方程，解得（4）利用叠加原理，做弯矩图35.52.9M图136.52.11★结点集中力偶不影响MP图,但影响F1P。EI1=∞EI1=∞iiiillFPFP【例题】试做图示刚架的弯矩图。解（2）建立位移法方程基本结构（1）选择基本结构k11k21图6i/l6i/lk11=24i/l212i/l212i/l2k21=-24i/l212i/l212i/l2(3)求系数的自由项12i/l212i/l2k22=48i/l212i/l212i/l2k12=-24i/l212i/l212i/l2k12k22