第2章质点动力学

1牛顿第二章质点动力学

前言§2-1牛顿运动定律*§2-2非惯性系惯性力§2-3动量动量守恒定律

质心运动定律

§2-4功动能势能机械能守恒定律

*§2-5理想流体的伯努利方程2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇2

前言运动和物体相互作用的关系是人类几千年来不断探索的课题。力的作用既有瞬时效应，又有积累效应：前者由牛顿定律描述，后者则由三大守恒律所描述；在深一层次上，人们还发现，反映力在时、空过程中积累效应的三大守恒律是与时、空的某种对称性相联系的。原来物体作何种运动，既与物体间的相互作用有关，又与物体自身的性质有关。当物体内部出现某种非线性因素时，在一定条件下即可能导致混沌。从17世纪开始，以牛顿定律为基础建立起来的经典力学体系，一直被认为是“确定论”的。但廿世纪80年代，人们发现了在“确定论”系统中，却可能出现“随机行为”。在力学中，物体与物体间的相互作用称之为力。为什么？2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇3§2－1牛顿运动定律2.1.1惯性定律惯性参照系在运动的描述中，各种参考系都是等价的。但实验表明，动力学规律并非是在任何参考系中都成立。这就引出了惯性参考系的问题。1、惯性定律“孤立质点”的模型：不受其它物体作用或离其他物体都足够远的质点。例如，太空中一远离所有星体的飞船。惯性定律：一孤立质点将永远保持其原来静止或匀速直线运动状态。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇4BA静止时AB惯性和惯性运动惯性运动：物体不受外力作用时所作的运动。问题的提出：惯性定律是否在任何参照系中都成立？惯性：任何物体都有保持其原有运动状态的特性，惯性是物质固有的属性。惯性和第一定律的发现，使人们最终把运动和力分离开来。２、惯性系和非惯性系左图中，地面观察者和车中观察者对于惯性定律运用的认知相同吗？2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇5

什么是惯性系：孤立物体相对于某参照系为静止或作匀速直线运动时，该参照系为惯性系。如何确定惯性系──只有通过力学实验。*1地球是一个近似程度很好的惯性系但相对于已知惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。一切相对于已知惯性系作加速运动的参照系为非惯性系。*2太阳是一个精度很高的惯性系

太阳对银河系核心的加速度为马赫认为：所谓惯性系，其实质应是相对于整个宇宙的平均加速度为零的参照系──因此，惯性系只能无限逼近，而无最终的惯性系。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇6※牛顿第二定律：物体受到外力作用时，它所获得加速度的大小与合外力的大小成正比；与物体的质量成反比；加速度的方向与合外力F

的方向相同。比例系数k与单位制有关，在国际单位制中k=1。2.1.2牛顿第二定律惯性质量引力质量其数学形式为２o物体之间的四种基本相互作用；1、关于力的概念１o力是物体与物体间的相互作用，这种作用可使物体产生形变，也可使物体获得加速度。力的概念是物质的相互作用在经典物理中的一种表述。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇73o

力的叠加原理若一个物体同时受到几个力作用，则合力产生的加速度，等于这些力单独存在时所产生的加速度之矢量和。力的叠加原理的成立，不能自动地导致运动的叠加。2、关于质量的概念3、牛顿第二定律给出了力、质量、加速度三者间瞬时的定量关系１o质量是物体惯性大小的量度：２o引力质量与惯性质量的问题：调节引力常数Ｇ，使m引，m惯的比值为1。惯性质量与引力质量等价是广义相对论的出发点之一。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇82.1.3牛顿第三定律1o作用力与反作用力是分别作用在两个物体上的，不是一对平衡力。2o作用力与反作用力是同一性质的力。3o若A给B一个作用，则A受到的反作用只能是B给予的。*：牛顿第三定律只在实物物体之间，且运动速度远小于光速时才成立。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇92.1.4牛顿定律的应用1、牛顿定律只适用于惯性系；在平面直角坐标系在平面自然坐标系2、牛顿定律只适用于质点模型；3、具体应用时，要写成坐标分量式。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇10若F=常量，则若F=F(v)

，则

若F=F(r)

，则

４、要根据力函数的形式选用不同的方程形式运用举例：2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇11※牛顿定律只适用于惯性系例2.1一细绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为

和的物体(

＜

)，如图2.2所示.设滑轮和绳的质量可忽略不计，绳不能伸长，试求物体的加速度以及悬挂滑轮的绳中张力.解分别以，定滑轮为研究对象，其隔离体受力如图2.2所示.对

，它在绳子拉力

及重力

的作用下以加速度

向上运动，取向上为正向，则有对

，它在绳子拉力

及重力

作用下以加速度

向下运动，以向下为正方向，则有2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇12由于定滑轮轴承光滑，滑轮和绳的质量可以略去，所以绳上各部分的张力都相等；又因为绳不能伸长，所以

和的加速度大小相等，即有解①和②两式得由牛顿第三定律知：，又考虑到定滑轮质量不计，所以有容易证明2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇13设x轴正向沿斜面向下，y轴正向垂直斜面向上，则对m应用牛顿定律列方程如下：例2.2升降机内有一光滑斜面，固定在底板上，斜面倾角为θ.当升降机以匀加速度

竖直上升时，质量为m的物体从斜面顶端沿斜面开始下滑，如图2.3所示.已知斜面长为l，求物体对斜面的压力，物体从斜面顶点滑到底部所需的时间.解以物体m为研究对象.其受到斜面的正压力N和重力mg.以地为参考系，设物体m相对于斜面的加速度为，方向沿斜面向下，则物体相对于地的加速度为2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇14解方程，得由牛顿第三定律可知，物体对斜面的压力N′与斜面对物体的压力N大小相等，方向相反，即物体对斜面的压力为垂直指向斜面.因为m相对于斜面以加速度沿斜面向下作匀变速直线运动，所以得2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇15解跳伞员的运动方程为改写运动方程为例2.3跳伞运动员在张伞前的俯冲阶段，由于受到随速度增加而增大的空气阻力，其速度不会像自由落体那样增大.当空气阻力增大到与重力相等时，跳伞员就达到其下落的最大速度，称为终极速度.一般在跳离飞机大约10s，下落约300～400m左右时，就会达到此速度(约50m/s).设跳伞员以鹰展姿态下落，受到的空气阻力为

(k为常量)，如图2.4(a)所示.试求跳伞员在任一时刻的下落速度.显然，在

的条件下对应的速度即为终极速度，并用

表示：2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇16因t＝0时，v＝0；并设t时，速度为v，对上式两边取定积分：由基本积分公式得最后解得当时，

.2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇17设运动员质量m＝70kg，测得终极速度

＝54m/s，则可推算出以此值代入v(t)的公式，可得到如图2.4(b)所示的v-t函数曲线.2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇181、

单位制：基本量、导出量

单位制的任务是：规定哪些物理量是基本量及所使用的基本量的数量级。

七个基本量为

长度、质量、时间、电流、温度、物质的量和发光强度2、SI制中三个基本量的操作型定义长度时间

1秒=铯-133原子基态的两个超精细能级之间跃迁时对应辐射的9，192，631，770个周期。从基本量导出的量称为导出量，相应的单位称为导出单位。*

2.1.5国际单位制和量纲（自学提纲）2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇193、量纲：

因为导出量是由基本量导出的，所以导出量可用基本量的某种组合(乘、除、幂等)表示。这种由基本量的组合来表示物理量的式子称为该物理量的量纲式，例如：在SI制中通过物理定律、定理、定义等将某个物理量表示成某种单位制中基本物理量的方次。质量

千克质量2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇20*§2-2非惯性系惯性力

我们知道牛顿定律只在惯性系中成立，可是，在实际问题中，有时我们又必须在非惯性系中去观察和处理问题。那么物理上如何解决这个问题的呢？

通过本节的讨论，我们将会看到，如果引入一个惯性力的概念，那么我们在非惯性系中将仍可沿用牛顿定律的形式而使问题得到简化。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇211、惯性力的提出

设有一质量为m的小球，放在一小车光滑的水平面上，平面上除小球(小球的线度远远小于小车的横向线度）之外别无他物，即小球水平方向合外力为零。然后突然使小车向右对地作加速运动，这时小球将如何运动呢？(1)地面上的观察者：小球将静止在原地，符合牛顿第一定律；(2)车上的观察者：小球以－as

相对于小车作加速运动；2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇22注意：此时小车是非惯性系，那么小车上的观察者如何解释呢？

我们假设车上的人熟知牛顿定律，尤其对加速度一定是由力引起的印象至深，以致在任何场合下，他都强烈地要求保留这一认知，于是车上的人说：小球之所以对小车有-as的加速度，是因为受到了一个指向左方的作用力，且力的大小为-mas；但他同时又熟知，力是物体与物体之间的相互作用，而小球在水平方向不受其它物体的作用,因此，物理上把这个力命名为惯性力。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇23(2)惯性力的大小等于研究对象的质量m与非惯性系的加速度as的乘积，——而方向与as相反，即

注意式中m是研究对象的质量，即在同一非惯性系中若选取的研究对象不同，其质量不同，则f﹡不同；2、惯性力的特点

(1)惯性力不是物体间的相互作用。因此，没有反作用。

另外f﹡与as有关，非惯性系相对于惯性系的加速度的形式不同，则f﹡也不同。后面将从三个方面加以说明。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇24

3、非惯性系中的运动定律的形式

设有惯性系O和非惯性系O，O系以加速度as相对于O系运动，现在O系中有一质点，其质量为m，且相对于O系以相对加速度a/运动，于是质点m相对惯性系的加速度a=as+a/

现在惯性系O中运用牛顿定律得因为我们已引入惯性力 ，所以上式为这就是在非惯性系中运动定律的形式.

即：在非惯性系中运用牛顿定律时，对研究对象除了分析其受到的真实力以外，还必须加上其受到的惯性力；而等式右边则只考虑研究对象相对于非惯性系的相对加速度a/。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇25作直线加速运动的非惯性系中的惯性力1）此时的惯性力具有最简形式，2）若非惯性系（即牵连运动）是恒加速运动，

这时惯性力仅与牵连运动有关，即仅与非惯性系相对于惯性系的加速度有关。惯性力将具有与重力相类似的特性，即与惯性质量正比。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇26匀角速转动的非惯性系中的——惯性离心力*惯性离心力的引入：

如图所示，在光滑水平圆盘上，用一轻弹簧栓一小球，圆盘以角速匀速转动，这时弹簧被拉伸后而静止。

地面观察者：小球受到弹性力，且指向圆心，作圆周运动；

圆盘上观察者：小球受到弹簧拉力，且指向圆心，但小球仍处于静止状态，为解释这一现象引入此时即称为惯性离心力。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇27*地球自转对重力的影响支持力N、引力F引、惯性离性力ƒ*c作用下处于平衡态，

而地面上的观察者通常总是把地面上的物体作二力平衡来处理，即认为物体在重力W和支持力N作用下达到平衡态，因此重力W实际上应是F引和ƒ*c的合力，即：由是得

NF引ƒ*cW

以地球为参照系，考虑地球的自转,于是地面上任何一个物体都是在三个力：2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇28我们知道，在地球的两极，地球自转半径为零，故物体重力不受自转影响，该处重力=引力，设该处重力加速度为g0,则F=mgo,于是，式中是物体所在处的纬度，F引ƒ*cWrRN2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇29略去高阶无穷小量

得即 是一个无穷小量，利用二项式定理再次略去高阶无穷小，得2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇30可见地面上物体的重力大小随纬度而变化，其方向也不严格指向地心，——故常说重力方向为铅垂方向，但由结果看出，重力随纬度变化并不明显，通常可以忽略。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇31在转动的非惯性系中，研究对象相对于非惯性系还有相对运动时，惯性离心力：其与牵连运动有关，与对象在非惯性系中的位置有关。科里奥利力：其与牵连运动有关，还与对象对非惯性系的相对 运动有关， 则研究对象受到的惯性力有：2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇32科氏力的引入

一圆盘绕铅直轴以角速转动，盘心有一光滑小孔，沿半径方向有一光滑槽，槽中有一小球被穿过小孔的细线所控制，使其只能沿槽做匀速运动，现小球沿槽以v相向外运动。

从圆盘上观察，则小球仅有径向匀速运动，即小球处于平衡态，径向：惯性离心力，牵引张力平衡；横向：必需有一力与槽的侧向推力N平衡，这个力即为科里奥利力

显然，科里奥利力不属于相互作用的范畴，是在非惯性系中观察到的，其既与牵连运动有关，又与物体对牵连参照系的相对运动有关。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇33傅科摆；fk*v

落体偏东；

江岸的冲刷（北半球）；vvfk*fk**科氏力在一些自然现象中的作用2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇34

信风；

据历史记载，第一次世界大战期间，英、德在阿根廷附近马尔维纳斯岛的洋面上进行了一次大战。当德国军舰位于英国军舰北方大约6-7km时，英舰炮手瞄准德舰开炮，奇怪的是炮弹全都落在德舰的左侧大约100多米以外的地方。怪就怪在英舰炮手都是经过严格训练的富有作战经验的好炮手，不应发生如此大的偏差。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇35

后经查实，人们才知道这是科里奥利力在作怪！即瞄准器的设计者是按照海战发生在英国本土（约北纬500）附近来考虑科氏力的作用，即当向北发射炮弹时应向左校正（因此时科氏力是向右的）。现在海战发生在南半球的马岛（约南纬500）附近，此时科氏力向左，因此应向右校正，但瞄准器依然按原设计向左校正，结果就产生了双倍的向左偏差。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇362.3.1质点的动量定理１、动量的引入在牛顿力学中，物体的质量可视为常数故即§2-3动量动量守恒定律力的瞬时效应→力的积累效应──加速度：牛顿定律2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇37１）式中 叫做动量，是物体运动量的量度。２）动量 是矢量，方向与 同；动量是相对量，与参照系的选择有关。

２、冲量的概念

１）恒力的冲量

２）变力的冲量

此时冲量的方向不能由某瞬时力的方向来决定。

指两个物体相互作用持续一段时间的过程中，在物体间传递着的物理量。力在某一段时间间隔内的冲量冲量的方向与力的方向相同。

作用力F＝恒量，作用时间t1t2，力对质点的冲量，2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇38即其表示：物体所受外力的冲量等于物体动量的增量。3、质点的动量定理在直角坐标系中的分量式2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇39平均冲力概念１）峰值冲力的估算ff0tt+△tt

３）当相互作用时间极短，相互间冲力极大，此时某些有限主动外力（如重力等）可忽略不计。

４、动量定理的应用２）当动量的变化是常量时，有2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇402.3.2质点系的动量定理1、内力与外力

i质点所受的内力i质点所受合力2、i质点动量定理2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇413、质点系的动量定理（对i求和）因为内力成对出现这说明内力对系统的总动量无贡献，但对每个质点动量的增减是有影响的。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇42质点系合外力的冲量=质点系动量的增量。于是有或2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇432.3.3质点系的动量守恒定律若系统所受的合外力系统总动量守恒

一个孤立的力学系统（即无外力作用的系统）或合外力为零的系统，系统内各质点动量可以交换，但系统的总动量保持不变。这就是动量守恒定律。

注意：动量守恒式是矢量式(1)守恒条件是而不是2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇44

若，但若某一方向的合外力零，则该方向上 动量守恒；

(3)必须把系统内各量统一到同一惯性系中；

(4)若作用时间极短，而系统又只受重力作用，则可略去重力，运用动量守恒。(2)若

表示系统与外界无动量交换，表示系统与外界的动量交换为零。则系统无论沿那个方向的动量都守恒；2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇45例2.5一弹性球，质量m＝0.20kg，速度v＝5m/s，与墙碰撞后弹回.设弹回时速度大小不变，碰撞前后的运动方向和墙的法线所夹的角都是α(图2.12)，设球和墙碰撞的时间Δt＝0.05s，α＝60°，求在碰撞时间内，球和墙的平均相互作用力.解以球为研究对象.设墙对球的平均作用力为f，球在碰撞前后的速度为和，由动量定理可得将冲量和动量分别沿图中N和x两方向分解得：解方程得按牛顿第三定律，球对墙的平均作用力和的方向相反而等值，即垂直于墙面向里.2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇46例2.6如图2.13所示，一辆装矿砂的车厢以v＝4m/s的速率从漏斗下通过，每秒落入车厢的矿砂为k＝200kg/s，如欲使车厢保持速率不变，须施与车厢多大的牵引力(忽略车厢与地面的摩擦).解设t时刻已落入车厢的矿砂质量为m，经过dt后又有dm＝kdt的矿砂落入车厢.取m和dm为研究对象，则系统沿x方向的动量定理为Fdt＝(m＋dm)v－(mv＋dm·0)＝vdm＝kdt

v则2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇47例2.7如图2.14所示，一质量为m的球在质量为M的1/4圆弧形滑槽中从静止滑下.设圆弧形槽的半径为R，如所有摩擦都可忽略，求当小球m滑到槽底时，M滑槽在水平上移动的距离.解以m和M为研究系统，其在水平方向不受外力(图中所画是m和M所受的竖直方向的外力)，故水平方向动量守恒.设在下滑过程中，m相对于M的滑动速度为v，M对地速度为V，并以水平向右为x轴正向，则在水平方向上有解得设m在弧形槽上运动的时间为t，而m相对于M在水平方向移动距离为R，故有于是滑槽在水平面上移动的距离2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇48*

2.3.4

质心和质心运动定理1.问题的提出2.质心运动定理3.质心的含义及其计算2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇492.4.1功功率1、恒力的功

即某力的功等于力与质点在该力作用下位移的标积。

(中学）力在位移方向上的投影与该物体位移大小的乘积。

由矢量标积定义式，有§2-４功动能势能机械能守恒定律2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇50功值的图示法2、

变力的功１）力的元功

XYZObaL设质点沿X轴运动，则力Ｆ在区间x1,x2内做的功，即为图中有阴影部分的面积。

物体在变力的作用下从a运动到b

b2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇512)

dA

在F-S图上的几何意义0absF(s)dA3）变力在一段有限位移上的功功的直角坐标系表示式因为功是标量，所以总功等于各方向上的分量之代数和。

dA=F（s）ds

，其在F－s图上即为有阴影的小方块的面积。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇52★一对作用力与反作用力的功只与相对位移有关0所以一般情况下

式中drij为相对位移2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇53３、功率

单位时间内所作的功称为功率

功率的单位：在SI制中为瓦特（w）

2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇54

重力的功力函数

元位移

4、保守力的功12y2y12023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇55弹簧弹性力的功力函数元位移oXo2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇56万有引力的功

由图知元位移

力函数

Mm2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇571)保守力

如重力、弹簧弹性力、万有引力、静电力、分子作用力等均为保守力。即保守力沿任一闭合路径的功为零。abcc/

如果某力的功只与始末位置有关而与具体路径无关，则该力谓之保守力。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇58LmS+保守力的共同特征：a、力函数或为常数，或者仅为位置的函数；

b、保守力的功总是“原函数”增量的负值。

2)非保守力若力的功值与具体路径有关,则为非保守力，如摩擦力、爆炸力等。

如在一水平面上2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇59解由题知，虽然力的大小不变，但其方向在不断变化，故仍然是变力做功.如题图所示，以岸边为坐标原点，向左为x轴正向，则力F在坐标为x处的任一小段元位移dx上所做元功为即

例2.8在离水面高为H的岸上，有人用大小不变的力F拉绳使船靠岸，如图2.21所示，求船从离岸

处移到

处的过程中，力F对船所做的功.由于，所以F做正功.2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇60解(1)由点(0,0)沿x轴到(2,0)，此时y＝0，dy＝0，所以例2.9质点所受外力，求质点由点(0,0)运动到点(2,4)的过程中力F所做的功：(1)先沿x轴由点(0,0)运动到点(2,0)，再平行y轴由点(2,0)运动到点(2,4)；(2)沿连接(0,0)，(2,4)两点的直线；(3)沿抛物线由点(0,0)到点(2,4)(单位为国际单位制).由点(2,0)平行y轴到点(2,4)，此时x＝2，dx＝0，故2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇61(2)因为由原点到点(2,4)的直线方程为y＝2x，所以(3)因为，所以可见题中所示力是非保守力.2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇622.4.2动能定理1、动能是一个独立的物理量，与力在空间上的积累效应对应。★这说明又，m为常数2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇63★是质点作机械运动时所具有的运动量的量度，称之为动能；★是状态量，相对量，与参照系的选取有关。

2、动能定理或即，作用于物体上合外力的功等于物体动能的增量。

合力对质点作用一段距离所产生的积累作用，从而导致动能的有限变化。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇64动能与动量的区别引入两种度量作用2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇65例2.10一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地滑动，t＝0时物体静止于原点，(1)若物体在力F＝3＋4tN的作用下运动了3s，它的速度增为多大？(2)物体在力F＝3＋4xN的作用下移动了3m，它的速度增为多大？解(1)由动量定理

，得(2)由动能定理，得2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇662.4.3势能描述机械运动的状态参量是

对应于：

弹簧弹性力的功

万有引力的功重力的功

1、势函数为此我们回顾一下保守力的功2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇67

由上所列保守力的功的特点可知，其功值仅取决于物体初、终态的相对位置，故可引入一个由相对位置决定的函数；由定积分转换成不定积分，则是

式中c为积分常数，在此处是一个与势能零点的选取相关的量。

又由于功是体系能量改变量的量度。因此，这个函数必定具有能量的性质；而这个具有能量性质的函数又是由物体相对位置所决定，故把这种能量称之为势能（或曰位能），用ＥＰ表示。则有：2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇682、已知保守力求势能函数

弹性势能：

保守力的力函数若取坐标原点，即弹簧原长处，为势能零点，则c=0于是

重力势能保守力的力函数若取坐标原点为势能零点，则c=0

2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇69引力势能保守力的力函数

若取无穷远处为引力势能零点，则

势能函数的一般特点rij1)对应于每一种保守力都可引进一种相关的势能；2)势能大小是相对量，与所选取的势能零点有关；3)一对保守力的功等于相关势能增量的负值；4)势能是彼此以保守力作用的系统所共有。

2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇70３、已知势能函数求保守力若保持y，z不变，则dy＝dz＝0同理则2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇71例：求保守力函数2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇722.4.4势能曲线

将势能随相对位置变化的函数关系用一条曲线描绘出来，就是势能曲线。Ep(h)0(a)h重力势能曲线Ep(r)r0(c）引力势能曲线0(b)lEp(l)弹性势能曲线2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇731、势能曲线能说明质点在轨道上任一位置时，质点系所具有的势能值。2、势能曲线上任一位置处的钭率（dEP/dl

）的负值，表示质点在该处所受的保守力。

设有一保守系统，其中一质点沿x方向作一维运动，则有

由教材中之图可知，凡势能曲线有极值时，即曲线钭率为零处，其受力为零。这些位置点称为平衡位置。

势能曲线有极大值的位置点是不稳定平衡位置，势能曲线有极小值的位置点是稳定平衡位置。

由势能曲线所获得的信息2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇742.4.5质点系的功能定理与功能原理1、质点系的动能定理

质点系的内力和外力

对于单个质点

2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇75

对i

求和—质点系的动能定理

质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内部保守力的功、非保守力的功三者之和。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇76若引入(机械能）则可得

系统机械能的增量等于外力的功与内部非保守力功之和。2、功能原理由于内力总是成对出现的，而对每一对内部保守力均有

2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇77２）功能原理只适用于惯性系（从牛顿定律导出；3)具体应用时，一是要指明系统，二是要交待相关的势能零点；注意的问题：１）功能原理是属于质点系的规律（因涉及ＥP），与质点系的动能定理不同；质点系动能定理质点功能原理4）当质点系内各质点有相对运动时，注意将各量统一到同一惯性系中。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇78例2.12一轻弹簧一端系于固定斜面的上端，另一端连着质量为m的物块，物块与斜面的摩擦系数为μ，弹簧的劲度系数为k，斜面倾角为θ，今将物块由弹簧的自然长度拉伸l后由静止释放，物块第一次静止在什么位置上？(如图2.25)解以弹簧、物体、地球为系统，取弹簧自然伸长处为原点，沿斜面向下为x轴正向，且以原点为弹性势能和重力势能零点，则由功能原理式(2.46)，在物块向上滑至x处时，有物块静止位置与v＝0对应，故有解此二次方程，得另一根x＝l，即初始位置，舍去.2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇792.4.6机械能守恒定律由功能原理可知机械能守恒的条件：系统与外界无机械能的交换；系统内部无机械能与其他能量形式的转换。

当系统机械能守恒时，应有

即系统内，动能的增量＝势能增量的负值若和,则系统的机械能保持不变。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇802.4.7能量转换与守恒定律

在一个孤立的系统内，各种形态的能量可以相互转换，但无能怎样转换，这个系统的总能量将始终保持不变。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇81解如图2.26所示，设子弹对沙箱作用力为f′，沙箱位移为s；沙箱对子弹作用力为f，子弹的位移为s＋l，f＝－f′.A＝－f(s＋l)＋f′s＝－fl≠0说明沙箱对子弹做功－f(s＋l)与子弹对沙箱做的功f′s＝－f

s两者不相等；而这一对内力做功之和不为零，它等于子弹与沙箱组成的系统的机械能的损失.损失的机械能转化为热能.则这一对内力的功例2.13在光滑的水平台面上放有质量为M的沙箱，一颗从左方飞来质量为m的弹丸从箱左侧击入，在沙箱中前进一段距离l后停止.在这段时间内沙箱向右运动的距离为s，此后沙箱带着弹丸以匀速运动.求此过程中内力所做的功.(假定子弹所受阻力为一恒力)2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇82例2.14如图2.28所示，一质量为M的平顶小车，在光滑的水平轨道上以速度v作直线运动.今在车顶前缘放上一质量为m的物体，物体相对于地面的初速度为零.设物体与车顶之间的摩擦系数为μ，为使物体不致从车顶上跌下去，问车顶的长度l最短应为多少？解由于摩擦力做功的结果，最后使得物体与小车具有相同的速度，这时物体相对于小车为静止而不会跌下.在这一过程中，以物体和小球为一系统，水平方向动量守恒，有而m相对于M的位移为l，如图2.28所示，则一对摩擦力的功为联立以上两式即可解得车顶的最小长度为2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇83例2.15试分析航天器的三种宇宙速度.解(1)第一宇宙速度.航天器绕地球运动所需的最小速度称为第一宇宙速度.以地心为原点，航天器在距地心为r处绕地球作圆周运动的速度为

，则有式中为地球表面处的重力加速度.若r＝R时，则这就是第一宇宙速度.2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇84这就是第二宇宙速度.(2)第二宇宙速度.在地球表面处的航天器要脱离地球引力范围而必须具有的最小速度，称为第二宇宙速度.以地球和航天器为一系统，航天器在地球表面处的引力势能为，动能为，航天器能脱离地球时，地球的引力可忽略不计，系统势能为零，动能的最小量为零，由机械能守恒定律，有2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇85(3)第三宇宙速度.在地球表面发射的航天器，能逃逸出太阳系所必须的最小速度，称为第三宇宙速度.作为近似处理可分两步进行：第一步，从地球表面把航天器送出地球引力圈，在此过程中略去太阳引力，这一步的计算方法与分析第二宇宙速度类似，所不同的是航天器还必须有剩余动能

，因此有由前讨论知：，代入上式有第二步，航天器由脱离地球引力圈的地点(近似为地球相对于太阳的轨道上)出发，继续运动，逃离太阳系，在此过程中，忽略地球的引力.以太阳为参考系，地球绕太阳的公转速度(相当于计算地球相对于太阳的第一宇宙速度)为2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇86为了充分利用地球的公转速度，使航天器在第二步开始时的速度沿公转方向，这样，在第二步开始时，航天器所需的相对地球速度为这就是第一步航天器所需的剩余动能所对应的速度.因此式中

为太阳的质量，为太阳中心到地球中心的距离.以太阳参考系计算，逃离太阳引力范围所需的速度(相当于计算地球相对于太阳的第二宇宙速度)，即这就是第三宇宙速度.2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇87力矩1、力对固定点的力矩

1）定义：作用于质点的力对惯性系中某参考点的力矩，等于力的作用点对该点的位矢与力的矢积，即

力矩是矢量，M

的方向垂直于r和F所决定的平面，其指向用右手螺旋法则确定。2）力矩的单位、牛·米(N·m)om§2-５角动量定理角动量守恒定律2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇883）力矩的计算：

M的大小、方向均与参考点的选择有关※在直角坐标系中，其表示式为2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇89

力矩在x,y,z轴的分量式，称力对轴的矩。例如上面所列Ｍx,My,Mz

,即为力对Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴的矩。

２、力对轴的矩：

设力Ｆ的作用线就在Z轴的转动平面内，作用点到Ｚ轴的位矢为r，则力对Ｚ轴的力矩为·式中为力F到轴的距离若力的作用线不在转动在平面内，则只需将力分解为与轴垂直、平行的两个分力即可。rF2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇90力对固定点的力矩为零的情况：

力F等于零，力F的作用线与矢径r共线（力F的作用线穿过0点,即，有心 力对力心的力矩恒为零）。力对固定轴的力矩为零的情况：

有两种情况,B）力的方向沿矢径的方向（）有心力的力矩为零A）2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇91质点系内一对内力对任一点的力矩之矢量和为零2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇922.5.1质点的角动量

在质点的匀速圆周运动中，动量mv

不守恒，但角动量的引入：开普勒行星运动定律的面积定律

许多实例都说明是一个独立的物理量，再考虑到行星的质量m为恒量，2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇93

在描述行星的轨道运动，自转运动，卫星的轨道运动及微观粒子的运动中都具有独特作用。因此必须引入一个新的物理量－－角动量L，来描述这一现象。

卫星地球+2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇94１、质点对固定点的角动量

动量为mv

的质点，对惯性系内某参考点0的角动量，等于质点对该参考点的位矢r与其动量mv

的矢积。

角动量是矢量，角动量L

的方向垂直于r和mv

所组成的平面，其指向可用右手螺旋法则确定。★在直角坐标系中注意：为表示是对哪个参考点的角动量，通常将角动量L画在参考点上。L的大小为·L2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇95★角动量的单位是：千克·米2·秒-1(kg·m2·s-1)。

★当质点作圆周运动时,有v=r,且r与v互相垂直，故有★是相对量：与参照系的选择有关，与参考点的选择有关L＝rmv=mr2★角动量的定义并没有限定质点只能作曲线运动而不能作直线运动。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇962、质点对轴的角动量☆假定质点的动量就在转动平面内，且质点对轴的矢径为r，则质点对z轴的角动量为，方向沿z轴，可正、可负☆质点动量不在转动平面内，则只需考虑动量在转动平面内的分量；或运用坐标分量式求得：2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇972.5.2质点的角动量定理１、对点的角动量定理（微分形式）若用r叉乘牛顿定律即式中r是质点对参考点o的位矢。

又于是有或

即：作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。此即质点对固定点的角动量定理。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇98２、角动量定理的积分形式：

叫冲量矩*：M和L必须是对同一点而言a、对点的角动量守恒律若，则

质点所受外力对某参考点的力矩为零，则质点对该参考点的角动量守恒。这就是质点的角动量守恒定律。

外力距对某固定点的冲量距等于质点对该点的角动量的增量。＊若质点受有心力作用，则该质点对力心的角动量一定守恒。2.5.3质点角动量守恒定律2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇99b、对轴的角动量守恒律：

若Mz=0，则Lz=常数，即若力矩在某轴上的分量为零（或力对某轴的力矩为零），则质点对该轴的角动量守恒。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇100在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒例2.16在光滑的水平桌面上，放有质量为M的木块，木块与一弹簧相连，弹簧的另一端固定在O点，弹簧的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以初速垂直于OA射向M并嵌在木块内，如图2.31所示.弹簧原长，子弹击中木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l，此时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速度.解击中瞬间，在水平面内，子弹与木块组成的系统沿

方向动量守恒，即有在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设

与OB方向成θ角，则有2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇101由①、②式联立求得

的大小为由③式求得

与OB的夹角为2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇102例2.17一质点m被一长为l的轻线悬于天花板上的B点，质点m在水平面内作匀角速ω的圆周运动，设圆轨道半径为

.试计算(1)质点m对圆心O和悬点B的角动量

和

；(2)作用在质点m上的重力mg和张力T对圆心O和悬点B的力矩

和

；(3)试讨论m对O点或B点的角动量是否守恒(如图2.32所示).解(1)在图(a)中由圆心O点向质量m引矢量

，则其方向垂直于轨道平面沿OB方向向上，因为

⊥mv，故即圆锥摆对圆心O点的角动量

是个沿OB向上的大小和方向都不变的恒矢量.2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇103在图(b)中，由悬点B向在某位置P处的质点m引矢径

，则(2)如图(c)，质点m所在位置对于圆心O，张力T的力矩为因在竖直方向有Tcosθ＝mg，所以即的方向垂直于与mv所组成的平面.显然，质点m在不同的位置处，例如在p′点处，其矢径和动量mv′各不相同，因此，其矢积也不相同.即的方向是不断地变化着的.这时的大小为其方向垂直于纸面向外，大小为2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇104此时重力对圆心O的力矩为由上面计算可以得出，作用在质点m上的张力T，重力mg对圆心O的合力矩为其方向垂直于纸面向里.因mg始终垂直于轨道平面，所以

⊥mg，故

的大小为同样，如图(c)质点所在位置，对于悬点B，张力T因与

始终共线，故T对B点的力矩为零.而重力mg对B点的力矩为其方向始终垂直于

与重力作用线mg所组成的平面.由于

的方向在不断地变化，所以的方向也在不断地变化，如图(c)所在位置，的方向垂直于纸面向里.2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇105(3)由(2)中的讨论可知，重力mg和张力T对O点的合力矩为零(实际上mg与T的合力构成了m作圆周运动的向心力，为有心力，其对O点合力矩必定为零)，所以质点m对O点的角动量守恒，这与(1)中讨论一致.同样，由(2)中讨论知，因mg对B点的力矩方向始终变化，即对B点的力矩不为零，故质点m对B点的角动量不守恒.这与前面结果也是一致的.2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇106

§2-6刚体的定轴转动

刚体是指在任何情况下，都没有形变的物体。

当物体自身线度l与所研究的物体运动的空间范围r相比不可以忽略；物体又不作平动而作转动时，即必须考虑物体的空间方位时，我们可以引入刚体模型。

刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连续分布的质点系。质点模型基本上只能表征物体的平动特征。平动和转动是刚体的两种基本运动形式。刚体的任何复杂运动都可以看成平动与转动的合成。本节讨论转动中最简单的运动－定轴转动。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇1072.6.1刚体定轴转动的描述

若物体在运动过程中，其所有的质元都绕某一直线作圆周运动，这种运动称之为转动。该直线称为转轴。

2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇108

若转动轴固定不动，即既不能改变方向又不能平移，这个转轴为固定轴，这种转动称为定轴转动。

我们只讨论定轴转动。OZ１、转动瞬轴、定轴转动

若转轴的方向或位置在运动过程中变化，这个轴在某个时刻的位置称为该时刻的转动瞬轴。

2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇109垂直于转动轴的平面为转动平面。

１）角量描述：角位移角速度角加速度

由于这时组成刚体的各质点均在各自的转动平面内绕轴作圆周运动，因此前面关于质点圆周运动的全套描述方法，此处全部可用。

以转动平面与轴的交点为原点，任引一射线为极轴，原点引向考察点的矢径与极轴的夹角为角位置，并引入0x2、定轴转动的角量描述2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇110２)刚体定轴转动的特点所有质点的角量都相同

；质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比

。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇1112.6.2质点系的角动量定理1、质点系对固定点的角动量定理i质点对固定点O的角动量定理设有一质点系，共有n个质点，其第i个质点受力为则i质点对固定点o的角动量定理为2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇112对i求和——质点系对固定点O的角动量定理由于内力成对出现，每对内力对O的力矩之和为零，因此内力矩之总和为零，于是有（i)内力矩对系统的总角动量无贡献，（与质点系的动量定理相似）2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇113(iii)质点系对固定点的角动量定理的物理意义：质点系对o点的角动量随时间的变化率等于外力对该点力矩的矢量和。(ii)在质点系的情况下，求外力对固定点的力矩之和时，不能先求合力，再求合力矩。只能说外力矩之和不能说合外力之矩。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇1142、质点系对轴的角动量定理如果将作用于质点系上的外力矩之矢量和及质点系的角动量分别向给定轴投影，即可得质点系对轴的角动量定理。

式中ri

为i质点到z轴的距离，i

是vi与ri

间的夹角。若质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度作圆周运动，则这时则有

为简单记只讨论沿z轴的角动量定理——这时组成质点系的n个质点位于z轴的转动平面内，于是有2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇115将其与线动量 相比若令

m

表示物体的平动惯性，则I表示转动惯性，故将命名为对轴的转动惯量，（式中ri

为mi

到轴的距离）3、转动惯量的引入即：若质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度作圆周运动，则这时系统对轴的角动量为此时质点系对轴的角动量定理为2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇116

转动惯量计算举例：转动惯量的单位：千克·米2（kg·m2）4、转动惯量的计算对于单个质点质点系若物体质量连续分布，2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇117解(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直例2.18如图2.35所示，求质量为m，长为l的均匀细棒的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直；(2)转轴通过棒一端并与棒垂直.在棒上任取一质元，其长度为dx，距轴O的距离为x，设棒的线密度(即单位长度上的质量)为

，则该质元的质量dm＝λdx.该质元对中心轴的转动惯量为整个棒对中心轴的转动惯量为2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇118(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇119解(1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图2.36(a)所示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距离为R，则该质元对转轴的转动惯量为考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为例2.19设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量.2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇120则整个圆盘对中心轴的转动惯量为(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量.整个圆盘可以看成许多半径不同的同心圆环构成.为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，如图2.36(b)所示，其面积为dS＝2πrdr，设圆盘的面密度(单位面积上的质量)

，则小圆环的质量dm＝σdS＝σ2πrdr，该小圆环对中心轴的转动惯量为以上计算表明，质量相同，转轴位置相同的刚体，由于质量分布不同，转动惯量不同.2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇121(2)质量元的选取：线分布面分布

体分布(1)刚体的转动惯量

以上各例说明：线分布体分布面分布与刚体的总质量有关，与刚体的质量分布有关，与轴的位置有关。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇122(3)由于刚体是一个特殊质点系，即各质点之间无相对位移，对于给定的刚体其质量分布不随时间变化，故对于

定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇1232.6.3刚体的转动定律1、刚体定轴转动的角动量定理：当刚体作定轴转动时，所有质点均在各自的转动平面内以相同角速度绕轴作圆周运动，故有即刚体作定轴转动时，刚体对轴的角动量为刚体对轴的角动量故刚体定轴转动的角动量定理为2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇1242、刚体定轴转动的转动定理

由于刚体是一个特殊质点系，即刚体对给定轴的转动惯量是常数，故有

即：作定轴转动的刚体，其转动角加速度与外力对该轴的力矩之和成正比，与刚体对该轴的转动惯量成反比。其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质点运动中地位相当。

转动定律说明了I

是物体转动惯性大小的量度。因为：2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇125即I越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动惯性就越大；反之，I

越小，越容易改变其转动状态，保持原有状态的能力越弱，或者说转动惯性越小。

如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若受力和力矩一样，谁转动得快些呢？MM2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇126例2.20如图2.37(a)所示，质量均为m的两物体A，B.A放在倾角为α的光滑斜面上，通过定滑轮由不可伸长的轻绳与B相连.定滑轮是半径为R的圆盘，其质量也为m.物体运动时，绳与滑轮无相对滑动.求绳中张力和及物体的加速度a(轮轴光滑).解物体A，B，定滑轮受力图见图2.37(b).对于作平动的物体A，B，分别由牛顿定律得对定滑轮，由转动定律得2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇127由于绳不可伸长，所以联立式①，②，③，④，⑤得2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇128例2.21转动着的飞轮的转动惯量为I，在t＝0时角速度为.此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数为k(k为大于零的常数)，当ω＝

时，飞轮的角加速度是多少？从开始制动到现在经历的时间是多少？解(1)由题知，故由转动定律有即将代入，求得这时飞轮的角加速度为2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇129(2)为求经历的时间t，将转动定律写成微分方程的形式，即分离变量，并考虑到t＝0时，

，两边积分故当时，制动经历的时间为2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇1301、转动动能

可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。注意比较转动动能平动动能i质点的动能

整个刚体的动能—对i求和2.6.4定轴转动的动能定理2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇1312、力矩的功对于i质点其受外力为Fi，对i求和，当整个刚体转动d

，则力矩的元功

式中M为作用于刚体上外力矩之和---其表明：力矩的元功等于力矩与角位移之乘积（∵内力矩之和为零）

∴当刚体转过有限角时，力矩的功为2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇1323、刚体定轴转动的动能定理：力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇1334、刚体的势能其中m为刚体的总质量,yc为刚体质心的高度。

质量分布均匀而有一定几何形状的刚体，质心的位置为它的几何中心。OXYmiMC2023/2/5徐州工程学院大学物理滕绍勇134例2.22如图2.39所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可绕固定点O在竖直平面内转动.今使棒从水平位置开始自由