第3章亚音速翼型和机翼的气动特性

第3章亚声速翼型和机翼的气动特性

3.1亚声速可压流中绕翼型的流动特点

3.2定常理想可压流速势方程

3.3小扰动线化理论

全速势方程的线化，压强系数的线化，边界条件的线化

3.4亚声速可压流中薄翼型的气动特性

葛泰特法则，普兰特-葛涝渥法则，卡门-钱学森公式

3.5亚声速机翼的气动特性及马赫数对气动特性的影响

机翼平面形状的变换，葛泰特法则，普兰特-葛涝渥法则，马赫数对机翼气动特性的影响3.1亚声速可压流中绕翼型的流动特点

在流场中，如果处处都是亚声速的，则称该流场为亚声速流场。我们知道，当马赫数小于0.3时，可以忽略空气的压缩性，按不可压缩流动处理；当马赫数大于0.3时，就要考虑压缩性的影响，否则会导致较大误差。

亚声速可压流流过翼型的绕流图画与低速不可压流动情况相比，无本质区别，只是在翼型上下流速加速、流管收缩处，亚声速可压流在受到加速扰动使流管收缩的程度要比低速不可压流的流管收缩小，见下图。3.1亚声速可压流中绕翼型的流动特点

这说明压缩性使翼型在竖向产生的扰动要比低速时传播得更远，因此可压流的扰动比不可压流的扰动要强，。上面现象可以用一维等熵流的理论来分析。取AA’和BB’之间的流管，我们知道，有即对相同的速度增量的dV/V，亚声速可压流引起的截面积减小dA/A，要小于不可压的情况，故当地流管相对较大，因为可压流时，随着速度的增加，密度要减小，故为保持质量守恒，截面积减小的程度就要小于不可压情况，即流管比不可压情况为大。

类似地，根据公式：相同的截面积变化情况下，亚声速的速度变化要大于不可压的情况。从以上两点可知可压流扰动比不可压流扰动强3.1亚声速可压流中绕翼型的流动特点3.2定常理想可压流速势方程

在定常理想中，对等熵可压问题，由于密度不再是常数，故不再有简单的速度势拉普拉斯方程。此时，连续方程为无粘、定常、可压缩、不计彻体力的欧拉方程为3.2定常理想可压流速势方程

在等熵流动中，密度只是压强的函数，是正压流体，故，同样有

上式将密度导数代换成压强导数，再利用欧拉方程将压强导数代换为速度导数，代入连续方程，即得只含速度和声速的方程：，3.2定常理想可压流速势方程对无旋流，存在速度势，将其代入，即得只包含一个未知函数的方程该方程即为定常理想可压流速度势方程，又称全速度势方程。

不可压流动相当于声速趋于无穷大的情况，代入全速度势方程，即得拉普拉斯方程。即当

这样，求解定常、理想、等熵、可压缩绕流问题，即成为求解满足具体边界条件的全速度势方程的数学问题，由于方程非线性，对于实际物体形状的绕流问题，一般很难求解，现在计算机和计算方法高速发展条件下可以采用差分方法将上述非线性方程离散化后求解（全流场分布网格）。3.2定常理想可压流速度势方程

因为全速度势方程的系数仍然是未知速度势的函数，因此方程是非线性的二阶偏微分方程，这是方程难于求解的根本原因；为了求解上述绕流问题，可以采用小扰动线性化（简称“线化”）的近似解法以及数值解法等。3.3小扰动线化理论

飞行器作高速飞行时,为减小阻力,机翼的相对厚度、弯度都较小,且迎角也不大,如图所示，因此对无穷远来流的扰动，除个别地方外，总的来说不大，满足小扰动条件。

取x轴与未经扰动的直匀来流一致，即在风轴系中，流场各点的速度为，可以将其分成两部分，一是前方来流，一是由于物体的存在，对流场产生的扰动，设为，故3.3小扰动线化理论若扰动分速与来流相比都是小量，即，则称为小扰动。从而，方程、压强系数以及边界条件均可在上述条件下线性化。3.3小扰动线化理论令为扰动速度势：3.3.1全速度势方程的线化在小扰动条件下，全速度势方程可按如下简化为线性方程。通过能量方程给出声速a：3.3小扰动线化理论将上述声速表达代入全速度势方程，略去三阶以上小量后可推得：上方程为跨声速小扰动速度势方程。注：当跨声速时第一项为与右端同量级的二阶小量，若保留第一项则需保留右端。3.3小扰动线化理论上式的左侧是线性项，右侧则是非线性项。现假设1.流动满足小扰动条件；2.非跨声速流，即不太接近于1，故不是小量；3.非高超声速流，即不是很大。此时，上式左侧同一量级，右侧为二阶小量，略去，得

该方程是线性二阶偏微分方程，故称为全速度势方程的线化方程。3.3小扰动线化理论

可见，线化方程在亚声速时为椭圆型的，超声速时为双曲型的。时，令，上面方程为时，令，上面方程为3.3小扰动线化理论3.3.2压强系数的线化按压强系数的定义应用能量方程上式可写为因为等熵时，此外3.3小扰动线化理论从而可解得：代入压强系数表达可得：把代入上式，将上式按二项式展开，略去扰动速度的三次及更高阶小量，得3.3小扰动线化理论对于薄翼，只取一次近似得对细长旋成体，径向扰动速度的平方不是二阶小量不能忽略3.3小扰动线化理论3.3.3边界条件的线化1.物面边界条件2.远场边界条件厚度问题：升力问题：3.3小扰动线化理论3.后缘条件（库塔条件）:4.自由尾涡面（速度势间断面）:在小扰动条件下，可获得较简单的线化物面边界条件。设物面的方程是:则物面法向量方向数为:3.3小扰动线化理论小扰动假设下，物体厚度弯度都很小，

忽略二阶小量，上式成为速度向量写为则物面边条为3.3小扰动线化理论由于物体的厚度、弯度很小，当迎角较小时有从而得到线化的物面边界条件注：

为翼面几何方程可见在小扰动条件下，定常、理想、等熵、可压缩绕流问题原则上可由上述线化方程和边界条件求解，其中压强系数也是线性的。这就是用数值方法解定常、理想、可压流线化方程的基础

理想可压流线化方程数值解法类似于理想不可压线性方程的数值解法（面元法/涡格法，只在物面上划分网格），要点是可压流线性方程包含了基本解，例如源、偶极子等，其表达自然有别于不可压点源、偶极子，而涡的表达与压缩性无关。无升力厚度问题可用分布在机翼平面的源来模拟，而有升力的迎角和弯度问题则可用分布在机翼平面以及尾涡平面上的偶极子或涡来模拟。根据机翼表面的不穿透边界条件来确定各处分布的基本解强度，进而求出机翼的可压流气动特性。三维可压流的面元法要繁杂得多。下面介绍另一种求解可压流问题的基于仿射变换的分析方法。3.3小扰动线化理论3.4亚声速可压流中薄翼型的气动特性一、戈泰特法则

二维亚声速可压流的线化速度势方程和线化物面边界条件为：式中，作仿射变换3.4亚声速可压流中薄翼型的气动特性即可得上面式中带上标′的参数代表的是不可压流场中的参数。

说明采用上述仿射变换时亚声速翼型绕流问题可化为不可压翼型绕流问题。而后一问题在第一章已经解决。亚声速翼型与相应不可压低速翼型之间的几何参数关系为：相对厚度相对弯度迎角3.4亚声速可压流中薄翼型的气动特性可见，对应不可压翼型比原始翼型薄、弯度小、迎角小。（a）可压流场 （b）不可压流场可压与不可压流场翼型的对应关系翼型上对应点压强系数之间的关系为

即可压流场某点的压强系数等于不可压流场上对应点的压强系数乘以1/β23.4亚声速可压流中薄翼型的气动特性上面的式子可写为

有了压强系数的关系后，两翼型之间的其它气动特性的关系就可以建立：注：上述第一式来源于变换，后三个式子成立的原因是3.4亚声速可压流中薄翼型的气动特性戈泰特法则：使用弯度、厚度和迎角均缩小β倍得到的不可压翼型，将其不可压压强系数、升力系数和力矩系数放大1/β2倍，升力线斜率放大1/β倍即得对应的可压流特性。3.4亚声速可压流中薄翼型的气动特性二、普朗特-葛劳渥法则

戈泰特法则中为获得亚声速翼型的气动特性，需计算不可压流中不同翼型在不同迎角下的绕流流场，给研究带来不便，能否建立同一个翼型在同样迎角下可压流和不可压流压强系数之间的关系呢？

据薄翼理论,小扰动不可压翼型对气流的扰动,可认为是翼型的厚度,弯度和迎角三者所引起扰动的叠加,并分别与三者成正比。根据此原理，在不可压流场中将翼型厚度、弯度和迎角放大一下，都乘以1/β。其引起的扰动速度也必放大1/β倍，线化压强系数与之成正比，故也放大1/β倍。3.4亚声速可压流中薄翼型的气动特性所以又因为从而

不可压流和可压流在完全相同的翼型和迎角条件下，其对应点上的压强系数的关系是，把不可压流的Cp乘以1/β就是亚声速可压流的Cp值。

该换算关系称为普朗特-葛劳渥法则。这是葛劳渥于1927年提出来的。普朗特也在那个年代前后提出这个法则。1/β称为亚声速流的压缩性因子。3.4亚声速可压流中薄翼型的气动特性

有了压强系数的关系后，两翼型其它气动特性的关系就可以建立：普朗特-葛劳渥法则：使用弯度、厚度和迎角均相同的不可压流翼型，将其压强系数、升力系数、力矩系数和升力线斜率均放大1/β倍，即得到对应的可压流特性。Thelastthreeformulaecomefrom:9.4Thinairfoilsubsonicaerodynamiccharacteristics3.4亚声速可压流中薄翼型的气动特性

NACA4415在不同马赫数下的压强系数分布

下图（a）（b）（c）是NACA4415翼型在同一个迎角和三个来流马赫数下的Cp分布曲线，来流马赫数分别为0.191，0.512，0.596。这三条曲线是实验的结果。按普-葛法则，这三条曲线可以按1/β彼此换算（即β1Cp1=β2Cp2）。从实验结果来看压强系数分布确实随马赫数的增大而绝对值增大，吸力峰增高。可压流气动系数比不可压流时增大也说明可压流扰动比不可压流时的扰动增大了。3.4亚声速可压流中薄翼型的气动特性三、卡门-钱公式

实验发现，当来流马赫数在0.5~0.7之间时，普朗特-葛劳渥的修正结果与实验数据的差别较大。1939年，钱学森在一篇著名的学术论文中提出了一个新的压缩性修正公式——卡门-钱公式：

该公式的修正量不再是常数，而与当地的压强有关，如果是吸力点的话，其为负值，修正量比大些，如果是压力点，是正值，则修正量比小一些。准确度更高。3.4亚声速可压流中薄翼型的气动特性下图是同一个NACA4412翼型的三组压强系数曲线对比：一是在二维亚声速风洞做实验得出的数据；二是用卡门-钱学森公式做修正的结果；三是用普-葛公式做修正的结果。翼型的迎角用的都是-2°，量静压的测孔距前缘30%弦长。一直做到当地流速达到声速。从图上看到，卡门-钱学森的修正公式一直可以用到当地流速达声速，而普-葛公式在马赫数不太大时，已经显示出修正量不足来了。图8-8NACA4421的~关系曲线3.5亚声速机翼的气动特性及马赫数对气动特性的影响3.5.1戈泰特法则亚声速机翼：式中，，物面方程为y=f(x，z)。作仿射变换控制方程：物面边界条件：3.5亚声速机翼的气动特性及马赫数对气动特性的影响不可压流机翼：控制方程：物面边界条件：

对应不可压流中的机翼，其展弦比变小，后掠角变大，而根梢比不变。时可压流中原始翼时不可压流对应翼时不可压流对应翼3.5亚声速机翼的气动特性及马赫数对气动特性的影响

可压流中机翼与其相对应的不可压流中机翼气动力的对应关系为：注：上述第一式来源于变换，后三个式子成立的原因是戈泰特法则：使用弯度、厚度和迎角均缩小β倍，展弦比缩小β倍，后掠角正切放大1/β倍得到的不可压机翼，将其不可压压强系数、升力系数和力矩系数放大1/β2倍，升力线斜率放大1/β倍即得对应的可压流机翼特性。3.5亚声速机翼的气动特性及马赫数对气动特性的影响3.5亚声速机翼的气动特性及马赫数对气动特性的影响3.5.2普朗特-葛涝渥法则

戈泰特法则中，可压和不可压流场中对应机翼的剖面形状、平面形状和气流迎角都不同，因此用起来不方便。我们希望在剖面翼型相同、迎角相同，但展弦比和后掠角可以不一样的情况下来比较相对应机翼的气动特性。

在小扰动条件下，相同平面形状的机翼，翼型对气流的扰动,可认为是翼型的厚度,弯度和迎角三者所引起扰动的叠加，并分别与三者成正比。根据此原理，在不可压流场中将翼型厚度、弯度和迎角放大一下，都乘以1/β。其引起的扰动速度也必放大1/β倍，线化压强系数与之成正比，故也放大1/β倍。3.5亚声速机翼的气动特性及马赫数对气动特性的影响从而即又因为两机翼其它气动特性的关系为：从而得到普朗特-葛涝渥法则：使用与可压流机翼完全相同的迎角、厚度和弯度函数的翼型，机翼根梢比不变，但展弦比缩小β倍，后掠角的正切放大1/β倍的不可压机翼，得到的不可压机翼气动特性如压强系数、升力系数、力矩系数和升力线斜率等，放大1/β倍后即得到相应可压流机翼的气动特性。3.5亚声速机翼的气动特性及马赫数对气动特性的影响时可压流中原始翼时不可压流对应翼时不可压流对应翼分别对可压流中机翼和不可压中机翼应用上式，并代前述公式，可得即可压流机翼压心相对位置与不可压机翼的相等。对于无扭转对称翼型机翼升力主要由迎角产生，故机翼压心就是机翼焦点（因为,且），从而可压流中机翼焦点相对位置与不可压流中机翼焦点相对位置的关系是：设

xp为机翼压力中心距机翼顶点的x向距离，3.5亚声速机翼的气动特性及马赫数对气动特性的影响3.5亚声速机翼的气动特性及马赫数对气动特性的影响3.5.3亚声速流时的机翼气动特性

有了上述普朗特-葛涝渥法则后，亚声速可压流中机翼的气动特性就可以从不可压流中对应机翼的气动特性求出。注意到，则上式可写为（迎角、厚度、弯度不变省写）右边是平面几何参数（λβ，λtgχ,η）的函数，可写为3.5亚声速机翼的气动特性及马赫数对气动特性的影响上式表明，只要参数λβ，λtgχ,η

相同，一定平面形状亚声速机翼的CLα/λ

值就相同，因此将不同平面形状的无扭转对称翼型的机翼按照λβ，λtgχ,η

三个组合参数进行实验并整理曲线，就可以得到任何平面形状机翼在亚声速时的CLα/λ

值。同理，压心或焦点（此时重合）也可表为即可按上式整理关于压心或焦点的实验或计算结果，得到任意几何形状下亚声速机翼的压心或焦点位置。3.5亚声速机翼的气动特性及马赫数对气动特性的影响3.5亚声速机翼的气动特性及马赫数对气动特性的影响3.5.4亚声速流时来流马赫数对机翼气动特性的影响1.对机翼升力特性的影响

由图可见，在亚声速范围内，同一平面形状的机翼（λ确定），其升力线斜率随增大而增大，因为在同一迎角下，随增大，机翼上表面负压强系数的绝对值和下表面正压强系数的绝对值都增大，所以增大。

在亚声速范围内，机翼的最大升力系数与翼型形状有关，一般随的增大而下降。这是由于随的增大，翼型上最小压强点的压强降低得最多。这样翼型后部的逆压梯度就增大，使翼型在较小迎角下就分离失速。因此，随的增大而降低。3.5亚声速机翼的气动特性及马赫数对气动特性的影响随亚声速M∞增大αCL3.5亚声速机翼的气动特性及马赫数对气动特性的影响2.对机翼压力中心位置的影响

根据普朗特-葛劳渥法则，机翼在亚声速流中的压力中心相对位置与展弦比变小为，后掠角增大为的机翼在不可压流中的压力中心相对位置一样。随着的增大，其对应的不可压流机翼展弦比变小、后掠角增大。

低速实验表明，展弦比越小，机翼的压力中心位置越靠前，而后掠角越大，压力中心位置越靠后，这两种因素的作用是相反的，故压力中心的位置取决于二者的综合作用。一般来说，和较大的后掠翼，通常起作用的是第二个因素，因此压心随增大而后移，对