第10章 能量法(2006版)

第10章（目录）材料力学§10.1

概述

§10.2

弹性应变能的计算§10.3

互等定理§10.4

卡氏第二定理§10.5

虚功原理*§10.6

单位载荷法

§10.7

图乘法§10.9

超静定结构的基本解法第十章能量法§10.10

力法正则方程第十章能量法§10.1概述（目录）一、基本概念

§10.1

概述二、能量原理第十章能量法一、基本概念能量原理功能原理用途：计算结构的变形求解超静定结构数值计算——计算力学——固体力学中利用功与能之间的关系建立能

量

法——利用能量原理求解可变形固体的位移、变形、内力或外力的计算方法。的一些定理一、基本概念

§10.1

概述二、能量原理对变形固体：外力功即：弹性范围内应变能可逆杆件应变能＝不计动能和其它能量静载：能量原理二、能量原理

第十章能量法§10.2弹性应变能的计算（目录）一、克拉贝依隆原理

§10.2

弹性应变能的计算二、杆件应变能的计算§10.2

弹性应变能的计算一、克拉贝依隆原理一、克拉贝依隆原理

即：

对于线弹性体，变形能是外力或位移的二次函数

线弹性体的应变能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和§10.2

弹性应变能的计算二、杆件应变能的计算（1.轴向拉压）1.轴向拉伸或压缩(1)应变能

a.轴力沿轴线不变

二、杆件应变能的计算

b.轴力沿轴线变化§10.2

弹性应变能的计算二、杆件应变能的计算（1.轴向拉压）1.轴向拉伸或压缩(2)比能

二、杆件应变能的计算

§10.2

弹性应变能的计算二、杆件应变能的计算（2.扭转）2.扭转(1)应变能

a.扭矩沿轴线不变

b.扭矩沿轴线变化

二、杆件应变能的计算

§10.2

弹性应变能的计算二、杆件应变能的计算（2.扭转）(2)纯剪切应力状态下的比能

二、杆件应变能的计算

2.扭转(1)应变能§10.2

弹性应变能的计算二、杆件应变能的计算（3.弯曲）3.弯曲(1)纯弯曲(弯矩沿轴线不变)二、杆件应变能的计算

§10.2

弹性应变能的计算二、杆件应变能的计算（3.弯曲）(2)横力弯曲微段dx整个梁3.弯曲(1)纯弯曲(弯矩沿轴线变化)二、杆件应变能的计算

§10.2

弹性应变能的计算二、杆件应变能的计算（4.组合变形）4.组合变形

二、杆件应变能的计算

§10.2

弹性应变能的计算例1例1

求图示简支梁的应变能，并求yC。解：

1.求支反力

2.列弯矩方程

AC段：

CB段：

3.求梁的应变能

4.利用U=W求yC第十章能量法§10.3互等定理（目录）一、功的互等定理§10.3

互等定理二、位移互等定理§10.3

互等定理一、功的互等定理一、功的互等定理

以图示梁为例证明如下：§10.3

互等定理一、功的互等定理1.先在1点作用F1

再在2点作用F2

外力功：

外力功：

应变能：

一、功的互等定理

§10.3

互等定理一、功的互等定理1.先在1点作用F1

2.先在2点作用F2

再在1点作用F1

外力功：

外力功：

应变能：

一、功的互等定理

§10.3

互等定理一、功的互等定理应变能只决定于力与位移的最终值，

与加载次序无关

即：功的互等定理1.先在1点作用F1

2.先在2点作用F2

一、功的互等定理

§10.3

互等定理一、功的互等定理应变能只决定于力与位移的最终值，

与加载次序无关

即：功的互等定理1.先在1点作用F1

2.先在2点作用F2

一、功的互等定理

§10.3

互等定理二、位移互等定理二、位移互等定理

由功的互等定理

位移互等定理注意：1.上述互等定理对于所有的线弹性结构都适用2.力和位移应理解为广义力和广义位移

当F1

=

F2

=

F时

力与位移成线弹性关系的结构线弹性结构——§10.3

互等定理例2例3

试求图示梁的跨中挠度yC。

解：

1.当Me作用时

设想在C点作用F

2.

由功的互等定理3.查表讨论：若应用位移互等定理如何求解？第十章能量法§10.4卡氏第二定理（目录）一、定理推导§10.4

卡氏第二定理二、定理应用§10.4

卡氏第二定理一、定理推导已知：弹性体受一组相互独立的广义力F1、F2、…、

Fi、…作用

求：任一广义力Fi的作用点沿Fi方向的广义位移i

例如：一、定理推导

§10.4

卡氏第二定理一、定理推导给：

总应变能：

有：

一、定理推导

§10.4

卡氏第二定理一、定理推导改变加载次序

总应变能：

先加dFi：再加F1,F2,…,Fi,…：一、定理推导

§10.4

卡氏第二定理一、定理推导由

卡氏第二定理：

说明：1.卡氏定理适用于线弹性结构；2.Fi为广义集中力，i为广义位移。得到

卡氏定理：

一、定理推导

§10.4

卡氏第二定理二、定理应用

1.梁的弯曲

二、定理应用

§10.4

卡氏第二定理二、定理应用二、定理应用

2.桁架§10.4

卡氏第二定理二、定理应用

3.求没有集中力作用的点的位移

在该点沿要求位移的方向，作用一个假想的力F0(附加力)，计算出在载荷和附加力共同作用时的变形能，在求得U

对F0的偏导数后，再令F0=

0，即0——广义位移

F0——广义力二、定理应用

§10.4

卡氏第二定理例3例3

图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响，求B、D。解：

1.求B(1)列弯矩方程，并求导

DC段：CB段：BA段：(2)求B§10.4

卡氏第二定理例3解：

2.求D

(1)加附加力

DC：CB：BA：(3)求D(2)列弯矩方程例3

图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响，求B、D。第十章能量法§10.6单位载荷法（目录）一、定理推导§10.6

单位载荷二、莫尔定理的其它情形三、莫尔定理与卡氏定理的关系§10.6

单位载荷法一、定理推导已知：弹性体受一组相互独立的广义力F1、F2、…、

Fi、…作用

求：任一点C的广义位移一、定理推导

§10.6

单位载荷法一、定理推导图(a)：

图(b)：图(c)：图(d)：

一、定理推导

§10.6

单位载荷法一、定理推导——广义位移

——实际载荷引起的弯矩

——单位广义力引起的弯矩

莫尔定理：

这种计算位移的方法称为单位载荷法

式中

莫尔积分

一、定理推导

§10.6

单位载荷法二、莫尔定理的其它形式1.桁架2.扭转二、莫尔定理的其它情形§10.6

单位载荷法二、莫尔定理的其它形式4.组合变形情况

3.求相对位移二、莫尔定理的其它情形§10.6

单位载荷法三、莫尔定理与卡氏定理的关系卡氏定理：

莫尔定理：

以弯曲为例说明两者之间的关系若i=

，则有：

三、莫尔定理与卡氏第二定理的关系§10.6

单位载荷法例4解：

1.

求yC

(1).列弯矩方程(2).求yC

由对称性例4

求图示梁的yC和B。§10.6

单位载荷法例4(1).列弯矩方程(2).求B

2.

求B

解：

1.

求yC

例4

求图示梁的yC和B。第十章能量法§10.7图乘法（维利沙金法）（目录）一、莫尔积分的计算方法§10.7

图乘法(维利沙金法)二、几种常用图形的面积及其形心位置

§10.7

图乘法（维利沙金法）一、莫尔积分的计算方法上述积分可以简化必为直线或折线

对于等直杆在单位力或单位力偶的作用下，一、莫尔积分的计算方法

§10.7

图乘法（维利沙金法）1、M（x）为直线情况1.为直线的情况

一、莫尔积分的计算方法

§10.7

图乘法（维利沙金法）1、M（x）为直线情况——M图的面积

——M图的形心坐标

——图中与M图形心所对应的值

式中

图乘法——上述计算莫尔积分的方法1.为直线的情况

一、莫尔积分的计算方法

§10.7

图乘法（维利沙金法）2、M（x）为折线情况(1)以折线的转折点为界，将积分分成若干段(2)逐段使用图乘法

(3)求和

一、莫尔积分的计算方法

2.为折线的情况

§10.7

图乘法（维利沙金法）3、积分值的符号3.积分值的符号

M图的形心C与

在同侧，积分值为

+

异侧，积分值为

-

一、莫尔积分的计算方法

§10.7

图乘法（维利沙金法）4、M图由几种常用图形组合情况4.M图由几种常用图形组合情况

(1)将M图分解为几种常用图形的组合

(2)分别应用图乘法

(3)叠加

一、莫尔积分的计算方法

§10.7

图乘法（维利沙金法）5、一般情况5.一般情况

若一个为直线或折线，

可使用图乘法。

一、莫尔积分的计算方法

§10.7

图乘法（维利沙金法）二、几种常用图形的面积及其形心位置二、几种常用图形的面积及其形心位置

1.三角形

§10.7

图乘法（维利沙金法）二、几种常用图形的面积及其形心位置2.二次抛物线

二、几种常用图形的面积及其形心位置

§10.7

图乘法（维利沙金法）二、几种常用图形的面积及其形心位置3.n次抛物线二、几种常用图形的面积及其形心位置

§10.7

图乘法（维利沙金法）例5例5

用图乘法求图示梁的yC。

分为AC和CB两段使用图乘法

解：1.作M

图

2.作

图3.求解§10.7

图乘法（维利沙金法）例6例6

图乘法求图示外伸梁A端转角A。

1.叠加法作M图3.求解A

解：2.作

图第十章能量法§10.9超静定结构的基本解法（目录）一、超静定结构的基本解法

二、例题§10.9

超静定结构的基本解法§10.9

超静定结构的基本解法一、超静定结构的基本解法1.确定超静定次数，选定静定基2.作出相当系统3.写出相当系统的应变能4.根据多余约束处的位移条件，5.联立求解补充方程，得到全部多余约束力6.按静定结构求其余约束力、内力、应力和位移

应用卡氏定理列出补充方程一、超静定结构的基本解法§10.9

超静定结构的基本解法二、例题二、例题§10.9

超静定结构的基本解法例7例7

图示超静定梁的EI为常量，试求多余约束力。解：一次超静定1.取静定基

2.作相当系统

4.求解变形协调方程3.列变形协调方程§10.9

超静定结构的基本解法例75.讨论

利用求得例7

图