独立性检验的基本思想及其应用

独立性检验的基本思想在现实生活中，会遇到各种各样的变量，并需要研究它们之间的关系，观察下面两组变量，分析在取不同的“值”时表示的个体有何差异?

(1)国籍、宗教信仰、性别（2）成绩、身高、年龄（1）中的变量每取不同的“值”时，表示不同的类别；（2）中的变量每取不同的“值”时，表示不同的个体。独立性检验本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系：例如，吸烟是否与患肺癌有关系？性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。5月31日是世界无烟日，有关医学研究表明，许多疾病，如：心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血之后的第二号全球杀手。这些疾病与吸烟有关的结论是怎么得出的呢？我们来看下面的问题为调查吸烟是否对患肺癌有影响,某肿瘤研究所随机地调查了9965人,得到如下结果(单位:人)不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计9874919965那么吸烟是否对肺癌有影响?吸烟与患肺癌列联表列出两个分类变量的频数表,称为列联表不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计9874919965说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大。通过图形直观判断两个分类变量是否相关：1.列联表不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计98749199652.等高条形图y1y2总计x1aba+bx1cdc+d总计a+cb+da+b+c+d假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表和登高条形图如下表所示，试说明如何根据图表来判断分类变量X和Y是否可能有关系？

上面我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？这需要用统计观点来考察这个问题。

现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，为此先假设

H0：吸烟与患肺癌没有关系.不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌独立”，即假设H0等价于P(AB)=P(A)P(B).因此|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；|ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d在表中，a恰好为事件AB发生的频数；a+b和a+c恰好分别为事件A和B发生的频数。由于频率接近于概率，所以在H0成立的条件下应该有

为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量-----卡方统计量（1）若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应很小。根据表3-7中的数据，利用公式（1）计算得到K2的观测值为：那么这个值到底能告诉我们什么呢？（2）

独立性检验在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率

即在H0成立的情况下，K2的值大于6.635的概率非常小，近似于0.01。

也就是说，在H0成立的情况下，对随机变量K2进行多次观测，观测值超过6.635的频率约为0.01。思考

答：判断出错的概率为0.01。判断是否成立的规则如果，就判断不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断成立，即认为吸烟与患肺癌有关系。独立性检验的定义上面这种利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验。在该规则下，把结论“成立”错判成“不成立”的概率不会差过即有99%的把握认为不成立。独立性检验的基本思想（类似反证法）(1)假设结论不成立,即“两个分类变量没有关系”.(2)在此假设下我们所构造的随机变量K2应该很小,如果由观测数据计算得到K2的观测值k很大,则在一定可信程度上说明不成立.即在一定可信程度上认为“两个分类变量有关系”；如果k的值很小，则说明由样本观测数据没有发现反对的充分证据。(3)根据随机变量K2的含义,可以通过评价该假设不合理的程度,由实际计算出的,说明假设不合理的程度为1%,即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信度为约为99%.怎样判断K2的观测值k是大还是小呢？这仅需要确定一个正数，当时就认为K2的观测值k大。此时相应于的判断规则为：如果，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”。----临界值按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误的判断为“两个分类变量之间有关系”的概率为P().在实际应用中，我们把解释为有的把握认为“两个分类变量之间有关系”；把解释为不能以的把握认为“两个分类变量之间有关系”，或者样本观测数据没有提供“两个分类变量之间有关系”的充分证据。表1-112x2联表

一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表（称为2x2列联表）为：y1y2总计x1aba+bx2cdc+d总计a+cb+da+b+c+d在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值：0.500.400.250.150.100.4550.7081.3232.0722.7060.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6367.87910.828具体作法是：(1)根据实际问题需要的可信程度确定临界值；(2)利用公式(1)，由观测数据计算得到随机变量的观测值；(3)如果，就以的把握认为“X与Y有关系”；否则就说样本观测数据没有提供“X与Y有关系”的充分证据。0.50.40.250.150.10.050.0250.010.0050.001xo0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828卡方临界值表：则有99.9%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；（1)若观测值χ2＞10.828.（3)若观测值χ2＞2.706，则（4)若观测值χ2＜2.706，则（2)若观测值χ2＞6.635，则有99%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；则有90%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；则没有充分的证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”，但也不能作出结论“H0成立”，即Ⅰ与Ⅱ没有关系。例1为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关,某同学调查了361名高二在校学生,调查结果如下:理科对外语有兴趣的有138人,无兴趣的有98人,文科对外语有兴趣的有73人,无兴趣的有52人．试分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？【解】列出2×2列联表独立性检验理文合计有兴趣13873211无兴趣9852150合计236125361【名师点评】运用独立检验的方法:(1)列出2×2列联表,根据公式计算K2的观测值k.(2)比较k与k0的大小作出结论．特别注意本题类型的无关问题．跟踪训练1.研究人员选取170名青年男女大学生作为样本,对他们进行一种心理测验,发现60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是:作肯定的有22名,作否定的有38名;男生110名在相同的题目上作肯定的有22名,作否定的有88名,问:性别与态度之间是否存在某种关系？试用独立性检验的方法判断．解:根据题意,得如下2×2列联表:肯定否定合计男生2288110女生223860合计441261701．K2的计算公式中字母取值勿取错;在2×2列联表中,a,b,c,d是有顺序的,因此在计算K2的值时容易取错字母a,b,c,d的值．2．只有当K2的值大于或等于k0时,我们才说两个变量“有关系”;否则就说“没有充分的证据显示两个变量有关系”,即认为两个变量无关系．方法感悟精彩推荐典例展示独立性检验中的易误点对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究,调查他们是否又发作过心脏病,调查结果如下表所示:试根据上述数据,比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别．例2易错警示又发作过心脏病未发作过心脏病合计心脏搭桥手术39157196血管清障手术29167196合计68324392【常见错误】

在独立性检验中当K2≤2.706时,得出结论:“我们判定又发作过心脏病和他是否做过这两种手术无关”,这里的错误主要是结论下的太过武断．【防范措施】

在利用2×2列联表进行独立性检验时,如果K2≤2.706,并不是表示两个分类变量没有关系,只是没有充分证据表明它们有关系而已,