材力第五章第一讲

版权所有,2000,2002(c)华中理工大学力学系华中科技大学力学系李国清材料力学copyright,2000,2002(c)Dept.Mech.,HUST,China机械、土木大平台课程§5–1概述§5–2梁的挠曲线近似微分方程及其积分§5–3求梁的挠度与转角的共轭梁法§5–4

按叠加原理求梁的挠度与转角§5–5

梁的刚度校核第五章弯曲变形

§5–6

简单超静定梁的求解方法5梁的变形5.1梁的挠度和转角挠曲线方程,即y=y(x)挠曲线转角挠度几个重要概念挠曲线挠曲线-梁变形后的轴线，称为挠曲线

是一条位于载荷平面内的光滑连续曲线

挠度和转角是度量梁弯曲变形的两个基本量横截面的形心在垂直于轴线（x轴）方向的线位移，称为挠度，用y表示

横截面在xy平面的角位移，称为转角，用θ表示

1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。与f

同向为正，反之为负。

2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用表示，顺时针转动为正，反之为负。

二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：

y

=y

(x)三、转角与挠曲线的关系：一、度量梁变形的两个基本位移量小变形PxvCqC1f

§6-2

梁的挠曲线近似微分方程及其积分一、挠曲线近似微分方程式（2）就是挠曲线近似微分方程。弯曲变形小变形fxM>0fxM<0对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：二、求挠曲线方程（弹性曲线）1.微分方程的积分2.位移边界条件PABCPD3.7.2梁的挠曲线微分方程梁的(近似)挠曲线二阶微分方程细长梁(l/h>4)横力弯曲近似适用纯弯曲公司小变形条件：梁的挠曲线二阶微分方程的适用性和近似性是什么？梁的挠曲线的其它形式梁的（2阶）弯矩方程梁的（3阶）剪力方程梁的（4阶）弯矩方程梁的（2阶）挠曲线方程梁的转角方程梁的挠度方程求解以上微分方程分别需要几个边界条件？梁的边界条件固定端自由端滑动固定端固定铰支座和可动铰支座自由端固定和可动铰支座y=0q=~Q=~M=0固定端y=0q=0Q=~M=~滑动固定端y=~q=0Q=0M=~自由端y=~q=~Q=0M=0位移条件静力条件梁的连续条件相邻梁段的交接处，相邻两截面应具有相同的挠度与转角，即满足连续、光滑条件位移的连续条件a位移的连续条件在梁的各部分挠曲线y连续，挠度y连续一阶导数连续（光滑）积分法求梁的变形对于等刚度梁，梁挠曲线的二阶微分方程可写为对此方程连续积分两次，可得利用边界条件确定上面二式中的积分常数C1、C2，即可得梁的挠度方程和转角方程例3.11求图所示受载的悬臂梁的挠曲线方程及转角方程，并求自由端B的挠度和转角。梁内弯矩方程:连续积分两次得利用两个边界条件:自由端的挠度和转角最大求得c1、c2都为零。将其代入挠曲线方程和转角方程:例312

图示抗弯刚度为EIz的简支梁受集中力P作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并确定最大挠度和最大转角。APBLCyxba解：利用平衡方程易求得两个支反力显然，AC段与CB段弯矩方程的表达式不一样。分别列出AC、CB段弯矩方程并积分APBLCRAyxRBbaAC段CB段边界条件：支承条件连续条件光滑条件APBLCyxba利用边界条件解得最大转度，显然在支座处从AB，中间必经过0最大挠度当P力作用在跨中央时，ymax发生在梁中央。当P力无限接近端点B时，即b0时简支梁无论P作用在何处用叠加法求梁的变形在几个载荷共同作用下引起的某一力学量等于各载荷单独作用下所引起的此量的代数和叠加原理小变性条件（几何线性）材料遵循胡克定律（物理线性）适用条件P1P2小变性条件：计算P2的作用时，忽略P1的作用对几何尺寸的影响。例3.13试用叠加法求图（a）所示阶梯形变截面悬臂梁自由端C的挠度由于梁的抗弯刚度EI在B处不连续，若由挠曲线微分方程积分求解，须分段进行，工作量较大。可用叠加法求解。假定AB段刚化，研究自由端C对截面B的相对挠度，即考虑图（b）解除AB段的刚化并令BC段刚化考虑图（c）由梁的变形连续条件，直线BC因AB段的弯曲变形而移位，使C点有相应的挠度将图3.46（b）和（c）两种情况的变形叠加后，即可求得自由端C的挠度这种分析方法叫做梁的逐段刚化法。梁的刚度条件在工程设计中，除了要保证梁的强度条件外，还要保证其刚度条件，即梁的变形不能超过允许的限度。即此两式称为梁的刚度条件。式中[y]、[q]分别为构件的许可挠度和许可转角，对不同构件有不同的要求，如：吊车梁:[y]=(1/400~1/750)l，（l为跨长）；机械中的一般轴，[y]=（0.0003～0.0005）l；机械中的精密轴，[y]=（0.0001～0.0002）l；

轴上齿轮，[q]=（0.001～0.002）rad（弧度）。例6－7已知:q=10kN/m，L=3m，试设计截面。ABLqhb解：(1)按强度条件设计最大弯矩发生在A截面，A截面为危险截面强度条件代入强度条件：(2)按刚度条件设计刚度条件为代入刚度条件可得综合考虑强度和刚度条件，可取2.提高梁的刚度的措施所谓提高梁的刚度，即尽量降低梁的最大挠度和转角。梁的最大挠度和转角，除与荷载大小有关外，还与Ln成正比，与EIz成反比。因此，在不改变荷载的情况下，要减小梁的变形可采用以下两方面的措施。叠加法求梁的变形在几个载荷共同作用下引起的某一力学量等于各载荷单独作用下所引起的此量的代数和叠加原理运用条件小变性条件材料遵循胡克定律例3.13试用叠加法求图（a）所示阶梯形变截面悬臂梁自由端C的挠度由于梁的抗弯刚度EI在B处不连续，若由挠曲线微分方程积分求解，须分段进行，工作量较大。可用叠加法求解。假定AB段刚化，研究自由端C对截面B的相对挠度，即考虑图（b）解除AB段的刚化并令BC段刚化考虑图（C）由梁的变形连续条件，直线BC因AB段的弯曲变形而移位到的位置，使C点有相应的挠度将图3.46（b）和（c）两种情况的变形叠加后，即可求得自由端C的挠度这种分析方法叫做梁的逐段刚化法。a.增大梁的抗弯刚度EIz大部分钢材的E值是相近的，因此，增大梁的抗弯刚度，主要是增大Iz值。将截面面积布置在距中性轴较远处，可在面积不变的情况下获得较大的Iz，这样不但能降低应力，还能减小位移。讨论：①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。④优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。支点位移条件：连续条件：光滑条件：例1求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程的积分并积分应用位移边界条件求积分常数解：PLxf写出弹性曲线方程并画出曲线最大挠度及最大转角弯曲变形xfPL解：建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程的积分并积分xfPLa应用位移边界条件求积分常数弯曲变形PLaxf写出弹性曲线方程并画出曲线最大挠度及最大转角弯曲变形PLaxf§6-4按叠加原理求梁的挠度与转角一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形

等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。二、结构形式叠加（逐段刚化法）：弯曲变形例4按叠加原理求A点转角和C点

挠度。解、载荷分解如图由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。弯曲变形qqPP=+AAABBB

Caa弯曲变形qqPP=+AAABBB

Caa叠加例5按叠加原理求C点挠度。解：载荷无限分解如图由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。叠加弯曲变形q00.5L0.5LxdxbxfC例6

结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明。=+弯曲变形PL1L2ABCBCPL2f1f2等价等价xfxffPL1L2ABC刚化AC段PL1L2ABC刚化BC段PL1L2ABCMxf§6-5梁的刚度校核一、梁的刚度条件其中[]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：

、校核刚度：

、设计截面尺寸；、设计载荷。弯曲变形(但：对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例7下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的[f/L]=0.00001,B点的[]=0.001弧度,试核此杆的刚度。=++=弯曲变形P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=++图1图2图3解：结构变换，查表求简单

载荷变形。弯曲变形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfP2BCa=++图1图2图3弯曲变形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf叠加求复杂载荷下的变形校核刚度弯曲变形dxxQQ+dQMM+dM一、弯曲应变能的计算：§6–6

梁内的弯曲应变能

弯曲变形应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去dqM(x)P1MxfP2dxdqr例8

用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能在应用对称性，得：思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？弯曲变形Paaqxf二、梁的冲击问题1.假设：

冲击物为钢体；

不计被冲击物的重力势能和动能；冲击物不反弹；

不计声、光、热等能量损耗（能

量守恒）。

弯曲变形mgLhABCABCxffd弯曲变形冲击前、后，能量守恒，所以：ABCxffdhBACmgE=P三、动响应计算：解：求C点静挠度动响应计算等于静响应计算与动荷系数之积.例9

结构如图，AB=DE=L，A、C

分别为

AB和

DE的中点，求梁在重物mg的冲击下，C面的动应力。C1A1

D弯曲变形LC2动荷系数求C面的动应力弯曲变形hBACmgE=PC1A1DLC2§6-7

简单超静定梁的求解方法1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。解：建立静定基确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构——静定基。=弯曲变形q0LABLq0MABAq0LRBABxf几何方程——变形协调方程+弯曲变形q0LRBAB=RBABq0AB物理方程——变形与力的关系补充方程求解其它问题（反力、应力、

变形等）几何方程

——变形协调方程：解：建立静定基=例10

结构如图，求B点反力。LBC弯曲变形xfq0LRBABCq0LRBAB=RBAB+q0AB=LBC弯曲变形xfq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程——变形与力的关系补充方程求解其它问题（反力、应力、

变形等）§6-8如何提高梁的承载能力强度：正应力：剪应力：刚度：稳定性：都与内力和截面性质有关。弯曲变形弯曲变形一、选择梁的合理截面矩形木梁的合理高宽比北宋李诫于1100年著«营造法式

»一书中指出:矩形木梁的合理高宽比(h/b=)1.5英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义

»一书中指出:矩形木梁的合理高宽比为Rbh一般的合理截面弯曲变形1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面zDzaa弯曲变形