材料力学-能量方法

能量法13-1概述 13-2杆件应变能的计算

13-3应变能的普遍表达式13-4互等定理13-5虚功原理13-6莫尔积分弹性体受拉力P作用，当P从零开始到终值缓慢加载时，力P在其作用方向上的相应位移也由零增至终值ΔL；一方面：力要做功；弹性体因变形而具有做功的能力，力的作用点沿力的方向有位移另一方面：表明杆件内储存了应变能13-1概述 P如果略去变形过程中的动能及其它能量的损失；功能原理若外力在由零缓慢加载到终值，变形中的每一瞬间，变形体均处于平衡状态；由能量守恒原理，杆件的变形能U在数值上应等于外力做的功W；对变形体都适用的普遍原理W=U因为变形体产生塑性变形时要消耗一部分能量，留下残余变形。弹性固体变形是可逆的；当外力解除后，弹性体将恢复其原来形状，释放出变形能而做功。但当超出了弹性范围，对于发生塑性变形的固体，变形能不能全部转变为功，也是当今应用甚广的有限元法求解力学问题的重要基础。能量原理固体力学中运用功与能有关的基本原理；由能量原理发展出来的方法；能量法能量原理是从功与能的角度考察变形体的受力、应力与变形的原理与方法；是进一步学习固体力学的基础能量法的用处能量法的优点不管中间过程，只算最终状态能量是标量，容易计算用于求位移13-2杆件应变能的计算

线弹性条件下，通过外力功求应变能常力P

沿其方向线位移l上所作的功常力作功（P为恒力）：变力作功（P从0逐渐增加到最终值）：在线弹性范围内，外力P

与位移l

间呈线性关系。荷载由零缓慢加载到终值；变形也由零缓慢变化到终值式中：——广义力（力、力偶）——广义位移（线位移、角位移）l变力作功（P从0逐渐增加到最终值）：1、轴向拉伸或压缩LPP杆的应变能由拉压杆件组成的杆系的应变能：受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的应变能P2PKBCD12345qLxdx2、圆截面杆的扭转应变能圆截面杆的应变能

m受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量)

xdxLtAB3、平面弯曲的应变能纯弯曲梁的应变能：m横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量)的应变能（忽略剪力影响）Pm=PaACBaa一、克拉贝依隆原理13-3应变能的普遍表达式广义力P1，P2，…，Pn作用于物体，且设按同一比例系数β从零增长到终值。相应地物体产生变形δ1，δ2，…，δn，对于线性弹性材料，则变形也将按相同比例β增加；P2P1Pnδ1δ2δnβ从0到1外力做功物体的应变能为克拉贝依隆原理组合变形时的变形能，，

杆件在拉（压）、剪切、扭转和弯曲这些基本变形共同作用下例

试分别计算图示各梁的变形能例图解：求各梁的变形能从例

可看出abc13-4互等定理考虑两组力P，Q作用于物体;第一组力有m个载荷P1，P2，…，Pm;第二组力有n个载荷Q1，Q2，…，Qn。若先将第一组力Pi（i=1,2,…,m）力做功P1PiδP1δPiδQ1δQjQ1QjQj在其相应位移上做功为随后作用上第二组力Qj（j=1,2,…,n）因为Pi力的存在，且已达到终值且值不变；Pi在Qj产生的位移做功P1PiδP1δPiδQ1δQjQ1Qjδ’Piδ’P1第二组力Qj引起第一组力的作用点的位移先加P后加Q时做功总和为：

将加载次序反过来，先加力Q后加力P，Qj在相应位移上做功为：再加Pi(i=1,2,…,m)力，Pi在其相应位移做功同时物体上已作用有Qj且其值不变，Qj在由于Pi引起的Qj作用点沿Qj方向的位移上做功两组力所做的总功为：由于变形能只决定于力与位移的最终值，与加力次序无关，故有V1=V2，

功的互等定理位移互等定理设两组力Pi、Qj只有一个力P1、Q1作用于物体，若，则有位移互等定理F2F1位移发生点荷载作用点F2F1功的互等定理:位移互等定理:APLaB例题：装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁，如图，试用互等定理求解。第一组力：第二组力第一组力在第二组力引起的位移上做功APLaBRP、RX=1δ1δ2X=1第二组力在第一组力引起的位移上做功：功互等定理APLaBRX=1δ1δ2零1、相关概念

实功—力在其自身引起的线位移或角位移上所做的功。13-5虚功原理一物体在大小与方向不变的力F

作用下，沿光滑地面移动距离△，力F

作的功可表示为W=F△

（a）圆盘在大小与转向都不变的力偶M=2Pr作用下，转动的角位移为φ，力偶M作的功为W=Mφ

（b）虚位移—与做功力无关的其它因素（如其它载荷、温度改变

及支座移动等）造成的位移；虚功—力在虚位移上所做的功。悬臂杆，外力F在环境温度变化引起的变形△l上作的功为:

W=F△l

（c）这个功就是虚功。ABFΔll右图所示为外力作用下处于平衡状态的杆件，图中实曲线为杆件实际受力下的真实变形。

再由其它因素（如其它载荷、温度改变及支座移动等），继续引起杆件产生变形，并位移到虚线位置，这种增加的位移称为“虚位移”，图中：D*。虚功为恒力做功，故没有1/2的系数，其表达式为：2、虚功原理若以表示杆件上的外力（广义力），表示外力作用点沿外力方向的虚位移，产生虚位移中外力保持不变，则其总虚功为：（a）杆件在外载作用下，形成一“力状态”，同时在其他因素作用下产生一“位移状态”，则力状态的力就会在位移状态的位移上做虚功

而按另一种方法计算总虚功，取右图所示微段，分析表明：只有两端内力在其虚变形上做虚功，为（b）积分式（b）得杆件的总虚功为（c）按上述两种方式求得的总虚功应相等，即：(a)=(c)为上式就是虚功原理，即：在虚位移中，外力所作虚功等于内力在相应虚变形上所作虚功（虚应变能）。若杆件上还有扭转力偶矩Me1,Me2,…；则微段内力就会存在扭矩Mx，此时上式表示为（e）（d）常见应用:（1）虚设位移状态，可求出相应未知力；称为虚位移原理。（2）虚设力状态，可求出相应位移；称为虚力原理，见下节莫尔积分。1单位载荷法利用虚功原理可导出计算结构一点位移的单位载荷法，具体步骤如下：就在结构的位移点沿位移方向虚设一单位力（如图b所示）。为求结构任一指定位移D（如图a所示）；位移状态力状态把图（b）作为虚功原理的力状态，再把图（a）作为其位移状态，则虚功原理可化为：13-6莫尔积分（13.1）对以抗弯为主的杆件，（13.1）式化为：对只有轴力的拉伸或压缩杆件，（13.1）式化为：（13.3）若轴力沿杆轴线为常量，（13.3）式化为：（13.4）（13.5）（13.2）同理，对受扭杆件，亦可推导得：注意点:（1）单位载荷法中的单位力，可为一个力或力偶，也可是广义力。（2）以上诸式中的D，是单位力作功1·D的缩写，若其结果为正，表示D和单位力方向相同，为负则相反。在线弹性下，则杆件的弯曲、拉伸和扭转变形分别是：（13.7）故线弹性下，式（13.2）,（13.3）,（13.5）可简化为：（13.6）（13.8）式（13.6）,（13.7）,（13.8）统称为莫尔定理，式中的积分称为莫尔积分；注意：它们只适用于线弹性结构。（13.8）对于以弯矩为主，且杆轴为曲线的结构，其莫尔积分可由式（13.6）改写为：（13.9）（13.7）（13.6）步骤：

1.写出原结构在真实荷载作用下的弯矩方程M；

2.构造虚力状态，沿计算方向加单位力（广义）；

3.写出原结构只在单位力作用下的弯矩方程（坐标系必须与第一步求弯矩方程所用的相同）4.计算Mohr积分（刚架中全部杆件，略去FN,FQ）；5.结果若为正，位移方向与单位力相同，负则相反；例题：图（a）所示均布载荷作用下的悬臂梁，其EI为常数。试用莫尔积分计算梁端点A竖直位移DA。解：位移状态力状态分别计算图（a），（b）的弯矩方程：构建一虚拟力状态：图（b）代入莫尔积分公式有：试用莫尔定理求截面B点的垂直位移和水平位移.求B点的垂直位移,在B点加垂直单位力1如图(b)所示.(2)求B点的水平位移,在B点加水平单位力1如图(c)所示.图(a)RFBA1图(b)RBAR1BA图(c)用能量法求C点的挠度和转角。梁为等