材料力学-7应力分析、强度理论

第七章

应力和应变分析强度理论前言横截面应力分析非横截面破坏低碳钢拉伸铸铁压缩铸铁扭转斜截面应力研究一、一点的应力状态

1.一点的应力状态：通过受力构件一点处所有斜截面上的应力情况。

2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。第一节应力状态的概念二、研究应力状态的方法—单元体法

1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。应力与应变分析（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面的法线方向，第二角标表示应力平行的轴。两角标相同时，只用一个角标表示2.单元体上的应力分量应力与应变分析9个应力分量(二阶张量)（2）切应力互等定理：9->63.截取原始单元体的方法、原则①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体②单元体各个面上的应力已知或可求；③几种受力情况下截取单元体方法：应力与应变分析PMeMePPMeMec)同b)，但从上表面截取Ctssb)横截面，周向面，直径面各一对Ba)一对横截面，两对纵截面As=P/Ast=Me/WnABCBCAPCABtBtCsCsCsAsA三、应力状态主要概念及分类1.①主平面：单元体上剪应力为零的面；

②主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对主平面；

③主应力：主平面上的正应力，用s1、s2、s3表示，有s1≥s2≥s3。应力与应变分析旋转y'x'z's2s3s1xyzsxsztxytxztzxtzytyztyxsy2.应力状态按主应力分类：

①只有一个主应力不为零称单向应力状态；②只有一个主应力为零称两向应力状态(平面应力状态)；③三个主应力均不为零称三向应力状态(空间应力状态)；

④单向应力状态又称简单应力状态，平面和空间应力状态又称复杂应力状态。应力与应变分析思考：复杂应力状态下的强度校核？一、平面应力分析的解析法

1.平面应力状态图示：第二节平面应力状态下的应力研究、应力圆

sytyxtxysxsxsxtxysysysxtyx应力与应变分析2.任意a角斜截面上的应力sxtxysysysxtyxABxyantasαtαsxtxytyxsyxdAsxsytxytyx

得

应力与应变分析C符号规定（代入公式前确认）：a角—以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负s—拉为正，压为负t—使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负3.主应力及其方位（两种方法）

①由主平面定义，令tα

=0，得：

可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。②令得：即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。应力与应变分析③主应力大小：④由s'、s"、0按代数值大小排序得出：s1≥s2≥s3

⑤判断s'、s"作用方位(与两个a0如何对应)

txy箭头指向第几象限(一、四)，则s'(较大主应力)在第几象限，即先判断s'大致方位，再判断其与算得的a0相对应，还是与a0+90o相对应。

⑥txys's"a0*txys"s'a0*应力与应变分析4.极值切应力：

①令：，可求出两个相差90o

的

a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。②极值切应力：③(极值切应力平面与主平面成45o)应力与应变分析403020单位：MPaasata40203014.9os"s's"s'

例一图示单元体，试求：①a=30o斜截面上的应力；②主应力并画出主单元体；③极值切应力。确定各个量正负-确定斜角tABCDx45o-45oMeMeDCBAs3s1s1s3分析圆轴扭转时的应力状态4)圆轴扭转时，横截面为纯剪切应力状态，最大拉、压应力在与轴线成±45o斜截面上，它们数值相等，均等于横截面上的剪应力；5)对于塑性材料(如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时，通常是横截面上的最大剪应力使圆轴沿横截面剪断；6)对于脆性材料(如铸铁、粉笔)抗拉性能差，扭转破坏时，通常沿与轴线成45o的螺旋面发生拉断。例7-2分析圆轴扭转时的应力状态。二、平面应力分析的图解法—应力圆

1.理论依据：①②以s、t为坐标轴，则任意a斜截面上的应力sx‘、tx’y‘为：以)为半径的圆。2.应力圆的绘制（利用已知点）：

①定坐标及比例尺；②取x面，定出D()点；取y面，定出D‘()点；③连DD'交s轴于C点，以C为圆心，DD1为直径作圆；sxsxtxytyxtxytyxsysyOstxynaC2a0A1s'B1s"2a(sa,ta)EG1t'G2t"

D'(sy,tyx)BAD(sx,txy)sata3.应力圆的应用

①点面对应关系：应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的应力；

②角度对应关系：应力圆上半径转过2a，单元体上坐标轴转过a;

③旋向对应关系：应力圆上半径的旋向与单元体坐标轴旋向相同；

④求外法线与x轴夹角为a斜截面上的应力，只要以D为起点，按a转动方向同向转过2a到E点，E点坐标即为所求应力值。

⑤用应力圆确定主平面、主应力：由主平面上剪应力t=0，确定D转过的角度；D转至s轴正向A1点代表s‘所在主平面，其转过角度为2，转至s轴负向B1点代表s"所在主平面；

⑥确定极值剪应力及其作用面：应力圆上纵轴坐标最大的G1点为t’，纵轴坐标最小的G2点为t”，作用面确定方法同主应力。思考两种简单应力状态的应力圆单向拉伸纯剪切求：1)a=30o斜截面上的应力；

2)主应力及其方位；

3)极值剪应力。sOtD(30,-20)D'(-40,20)C60o(29.8,20.3)35.3-45.329.8o403020单位：MPaxasata40.3-40.3

例7-3

用应力圆法重解例7-1题。

1.三向应力状态应力圆：

①平行s3斜截面上应力由s1、s2作出应力圆上的点确定；

②平行s2斜截面上应力由s1、s3作出应力圆上的点确定；

③平行s1斜截面上应力由s2、s3作出应力圆上的点确定；

④由弹性力学知，任意斜截面上的应力点落在阴影区内。一、三向应力状态下的应力圆2.三向应力状态下的最大剪应力

tmax所在平面与s1和s3两个主平面夹角为45o。第三节三向应力状态下的最大应力s3s2s1s2s3s1s2s1s3s3C1C3s1s2Otst12t23t13C2三个应力圆周上的点对应分别与主方向1，2，3平行的斜截面上的应力例7-4试确定左图所示应力状态的主应力和最大剪应力，并确定主平面和最大剪应力作用面位置。x300150y140z90解：①给定应力状态中有一个主应力是已知的，即sz=90MPa。因此，可将该应力状态沿z方向投影，得到平面应力状态，可直接求主应力及其方位。②sx=300MPa，sy=140MPa，txy=-150MPa，因此：③根据s1、s2、s3的排列顺序，可知：

s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPa④主应力方位：最大剪应力所在平面法线与主平面夹角45o即与x轴夹角76o或-14o。⑤单元体内的最大剪应力：xzyxzy90300150140Asy=140txy=150sx=300A视s2y'31o31os1x's3一、广义虎克定律1.有关概念：

①主应变：沿主应力方向的应变，分别用e1≥e2≥e3表示；

②正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变；2.广义虎克定律：①推导方法：叠加原理②主应变与主应力关系：③一般情况：第四节广义虎克定律s1s2s3s1s1Is2s2IIs3IIIs1Is1s2IIs2s1方向上的应变：s2方向上的应变：s3方向上的应变：IIIs3④用应变表示应力：上式中：

二、例题

例7-5在一体积较大的钢块上有一直径为50.01mm的凹座，凹座内放置一直径为50mm的钢制圆柱如图，圆柱受到P=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取E=200GPa，n=0.30。P应用：实验法测应力pPP/Apppp④柱内各点的三个主应力为：求得：③由广义虎克定律：②在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力p。柱体内任一点均为二向均压应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为-p，考虑到柱与凹座之间的间隙，可得应变e2的值为：解：①在柱体横截面上的压应力为：（拉压）（弯曲）（正应力强度条件）（弯曲）（扭转）（切应力强度条件）一、

杆件基本变形下的强度条件第五节强度理论满足是否强度就没有问题了？对于复杂应力状态，几个主应力不等于0主应力之间有无穷种比例关系，无法根据实验结果来直接建立强度条件只有提出某种假说，然后用实验验证强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。二、强度理论构件由于强度不足将引发两种失效形式

(1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于屈服的强度理论：最大切应力理论和形状改变比能理论

(2)塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢的拉、扭，铸铁的压。关于断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论1.最大拉应力理论（第一强度理论）材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值－构件危险点的最大拉应力－极限拉应力，由单拉实验测得断裂条件强度条件最大拉应力理论（第一强度理论）铸铁拉伸铸铁扭转局限：p2422.最大伸长拉应变理论（第二强度理论）无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。－构件危险点的最大伸长线应变－极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。局限：P242强度条件

最大伸长拉应变理论（第二强度理论）断裂条件即无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。3.最大切应力理论（第三强度理论）－构件危险点的最大切应力－极限切应力，由单向拉伸实验测得屈服条件强度条件最大切应力理论（第三强度理论）低碳钢拉伸低碳钢扭转实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。局限性：

2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，1、未考虑的影响，试验证实最大影响达15%。最大切应力理论（第三强度理论）无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。4.形状改变比能理论（第四强度理论）－构件危险点的形状改变比能－形状改变比能的极限值，由单拉实验测得屈服条件强度条件

形状改变比能理论（第四强度理论）实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。强度理论的统一表达式：相当应力四个强度理论，都用应力的形式表达出来，成为相当应力。1，2用于断裂破坏，3，4用于屈服破坏。强度理论的应用进行内力分析，找出危险截面确定危险点，分析危险点应力状态，计算单元体各界面上的应力，主应力第1理论只考虑最大主应力，第2理论考虑了最大和最小主应力但没考