机械工程测试技术CH2

第2章信号及其描述

SignalandItsDescription2.1信号的分类2.2信号的描述2.3周期信号及其离散频谱2.4

非周期信号及其连续频谱2.5随机信号1信号（signal）：随时间或空间变化的物理量。信号是信息的载体，信息是信号的内容。依靠信号实现电、光、声、力、温度、压力、流量等的传输。电信号易于变换、处理和传输，非电信号电信号。2信号无处不在通信古老通信方式：烽火、旗语、信号灯。近代通信方式：电报、电话、无线通讯。现代通信方式：计算机网络通信、视频电视传播、卫星传输、移动通信。3000110100111110001100101010101110110010100011000摩尔码4心电图波形医学5故障诊断62.1信号的分类

（SignalClassification）信号7确定性信号：能用明确的数学关系式或图像表达的信号称为确定性信号。

2.1.1.确定性信号和非确定性信号mx(t)0x(t)f0Atk8周期信号(periodsignal)：依一定的时间间隔周而复始、重复出现；无始无终。周期：满足上式的最小T值。频率(frequency)：周期的倒数，f=1/T，单位：（Hz赫兹）圆频率/角频率：频率乘以2

f,即

=2

f=2

/T

实际应用中，n通常取为正整数。数学表达：T0

=2/0=1/f09谐波信号频率单一的正弦或余弦信号。常用特征参量：均值、绝对均值、均方差值、均方根值（有效值）和均方值（平均功率）描述。一般周期信号（如周期方波、周期三角波等）由多个乃至无穷多个频率成分（频率不同的谐波分量）叠加所组成，叠加后存在公共周期。准周期信号(quasi-periodicsignal)也由多个频率成分叠加而成，但不存在公共周期。10(a)正弦信号：(b)复杂周期信号：x(t)=Asin0.5t+Asint+Asin2tx(t)t0tT0Ax(t)0011t例：准周期信号12x(t)ttx(t)瞬变信号：在有限时间段存在，或随时间的增加幅值衰减至零。13非确定性信号又称为随机（random）信号，是无法用明确的数学关系式表达的信号。如：加工零件的尺寸机械振动环境的噪声等根据是否满足平稳随机过程的条件，非确定性信号又可以分为：平稳随机信号非平稳随机信号14t0x(t)随机信号：白噪声t0x(t)随机信号：叠加白噪声的正弦信号非确定性信号。具有不重复性（在相同条件下，每次观测的结果都不一样）、不确定性、不可预估性。采用概率和统计的方法进行描述。随机信号15

2.1.2连续（continuous）信号和离散（discrete）信号采样信号：时间离散而幅值连续的信号数字信号：时间离散、幅值也离散（量化）的信号离散信号16

信号的时域描述以时间为独立变量，描述信号随时间的变化特征，反映信号幅值随时间变化的关系。波形图：时间为横坐标的幅值变化图。

优点：形象、直观。

缺点：不能明显揭示信号的内在结构（频率组成关系）。2.2信号的描述

（SignalDescription）

17

信号的频域描述应用傅里叶级数或傅里叶变换，对信号进行变换（分解），以频率为独立变量建立信号幅值、相位与频率的函数关系。频谱图：以频率为横坐标的幅值、相位变化图。幅值谱：幅值-频率图相位谱：相位-频率图频域描述抽取信号内在的频率组成及其幅值和相角的大小，描述更简练、深刻、方便。18信号时域与频域描述的关系时域描述与频域描述是等价的，可以相互转换，两者蕴涵的信息相同。时域描述与频域描述各有用武之地。将信号从时域转换到频域称为频谱(specrtrum)分析，属于信号的变换域分析。采用频谱图描述信号，需要同时给出幅值谱(amplitude

spectrun)和相位谱(phasespectrum)。19狄里赫利（Dirichet）条件在一个周期内，若存在间断点，则间断点的数目为有限个。在一个周期内，极大值和极小值数目为有限个。在一个周期内，信号绝对可积，即2.2.1周期信号的描述（1）三角函数展开式

20其中则可以展开为21式中进一步，可以改写为22例：方波信号的描述时域描述……T0T0T02T020tx(t)≤≤23

频域，4A4A34A50A()03050003050()/2幅值谱相位谱24x(t)0tT0周期方波信号的合成25周期方波信号的时、频域描述

周期信号的频谱特点：离散性谐波性收敛性26例：周期性三角波的傅里叶级数

0T0/2-T0/2Ax(t)t......≤≤27解：28因此，有：4A24A92

4A2520A()03050003050()

A2229周期信号的频谱特点：离散性谐波性收敛性4A24A92

4A2520A()03050003050()

A2230，，（2）复指数展开式所以：欧拉公式31复指数展开式其中，两种展开式中的系数关系见表2－4。32例：画出余弦、正弦函数的实频及虚频谱图。

解：C-1=1/2，C1=1/2，Cn=0（n=0,2,

3,…）C-1=j/2，C1=-j/2，Cn=0（n=0,2,3,…

）331x(t)=cos0t0t1x(t)=sin0tt0CnR00-01/21/2CnR00-000-01/2-1/2CnICnI00-0|Cn|00-01/21/2|Cn|00-01/21/2An001An001单边幅频谱单边幅频谱双边幅频谱双边幅频谱34负频率

“负频率”是运算的需要。实际中，只有把负频率项与相应的正频率项成对合并起来，才是实际的频谱函数。从向量旋转的角度：一个向量的实部可以看成两个旋转方向相反的矢量在其实轴上的投影之和，虚部为其在虚轴上的投影之差。AA/20-00ReIm-负频率的说明35几点结论复指数函数形式的频谱为双边谱（从-到

+），三角函数形式的频谱为单边谱（从0到+）。两种频谱各谐波幅值之间存在如下关系：一般周期函数的复指数傅里叶展开式的实频谱总是偶对称的，虚频谱总是奇对称的。

36周期信号的强度指标1、峰值2、均值3、有效值4、方均值（平均功率）372.2.2非周期信号的描述38（1）傅里叶变换（Fouriertransform）设周期信号x(t)在一周期内的傅里叶级数表示为其中：

因此

1/T0=0/2π=/2π0A()02030因此d；n0连续变化的频率

。39因此

1/T0=0/2π=/2πdn0连续变化的频率

40傅里叶变换（FT）

傅里叶逆变换（IFT）

以代入得记为：x(t)X()FTIFT41用实、虚频谱形式和幅、相频谱形式写为

非周期信号的幅频谱和周期信号的幅频谱很相似，但是两者量纲不同。为信号幅值。为信号单位频宽上的幅值，是频谱密度函数。工程测试中为方便，仍称为频谱。

42例：单位矩形窗函数的频谱

1-T/2T/2tw(t)0解：森克函数，也称采样函数、滤波函数。431T2T3TW(f)函数只有实部，没有虚部。sinc以2为周期并随的增加作衰减振荡。sinc是偶函数，在n（n=1,2,…）处其值为0。W(f)T01T1Tf3T3T(f)01T2T3T2T2Tf思考：窗宽T的大小对频谱有何影响？44非周期信号频谱的特点

谐波性连续性收敛性W(f)T01T1Tf3T3T2T2T45应用某齿轮箱各特征频率值

齿数1X2X3X4X5X6X7X电动机工频

16.9033.8050.7067.6084.50101.40118.30II轴转频

3.737.4611.1814.9118.6422.3726.10III轴转频

0.951.892.843.794.735.686.63VI轴转频

0.260.530.791.051.311.581.84V轴转频

0.010.380.460.54电动机与II轴啮合15/68253.50507.00760.501014.001267.501521.001774.50II轴与III轴啮合16/6359.65119.29178.94238.59298.24357.88417.53III轴与VI轴啮合15/5414.2028.4042.6156.8171.0185.2199.41VI轴与V轴啮合14/483.687.3611.0514.7318.4122.0925.77Hz46某齿轮箱体实测振动速度频谱图

47例：某车床加工外圆表面时，表面振纹主要由转动轴上的齿轮的不平衡惯性力而使主轴箱振动所引起，振纹幅值谱如左图所示。主轴箱传递示意图如右图所示。传动轴I、传动轴II和传动轴III上的齿轮齿数分别为z1=30，z2=40，z3=20，z4=50，传动轴转速n1=1000r/min。则（）轴上的齿轮不平衡量对加工表面的振纹影响最大？

A.传动轴IB.传动轴IIC.传动轴IIID.传动轴I和传动轴III48（2）

傅里叶变换的主要性质

积分x(t

t0)时移

频域微分x(kt)尺度变换

时域微分x(-f)X(t)对称性

X1(f)X2(f)x1(t)x2(t)频域卷积AX(f)+bY(f)ax(t)+by(t)线性叠加

X1(f)X2(f)x1(t)x2(t)时域卷积实奇函数虚奇函数X*(-f)x*(t)共轭虚偶函数虚偶函数X(-f)x(-t)翻转

虚奇函数实奇函数X(f

f0)频移

实偶函数实偶函数函数的奇偶虚实性频域时域性质频域时域性质49

奇偶虚实性

若x(t)为实偶函数，则ImX(f)=0，X(f)为实偶函数。若x(t)为实奇函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚奇函数。若x(t)为虚偶函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚偶函数。若x(t)为虚奇函数，则ImX(f)=0，X(f)为实奇函数。50对称性：X(t)x(-f

)证明：

互换t

和f从而：X(t)x(-f)51尺度改变性

证明：因此时间尺度特性表明：信号在时域中压缩（k>1，变化速度加快）等效于在频域扩展（频带加宽）；反之亦然。52尺度改变性质举例00000053证明：若t0为常数

则时移结果只改变信号的相频谱，不改变信号的幅频谱。时移性质

54(c)时移的时域矩形窗(d)图(c)对应的幅频和相频特性曲线

时移性质举例（a）时域矩形窗图（a）对应的幅频和相频特性曲线00000055例：求三个窗函数的频谱。x(t)tT/2-T/2ττ1对于矩形窗函数w(t)问题描述为求w(t-τ)+w(t)+w(t+τ)的频谱根据时移性质56频移特性

若f0为常数证明57卷积特性

证明：函数x(t)与y(t)的卷积定义为同理可得58几种典型信号的频谱

（severaltypicalsignal’sspectrum）1.单位脉冲函数(δ函数)的频谱(1)δ函数定义且其面积（强度）：

/201/t(t)0t(t)59(2)δ函数的性质

1)函数的采样性质

2)筛选性

筛选结果为x(t)在发生δ函数位置的函数值(又称为采样值)

3)卷积性

60函数与其他函数的卷积示例

(t)0t1x(t)0tA0tAx(t)(t)(tt0)0tx(t)0t0t(t+t0)(t-t0)x(t)(tt

0)-t0t0-t0t061例：已知x(t)和y(t)的时域波形，画出z(t)＝x(t)*y(t)卷积波形。解：622.δ函数的频谱

对δ(t)取傅里叶变换

δ函数具有等强度、无限宽广的频谱，这种频谱常称为“均匀谱”。

δ函数是偶函数，即，则利用对称、时移、频移性质，还可以得到以下傅里叶变换对0t(t)10f(f)163（各频率成分分别移相2ft0）(tt0)(f)（单位脉冲谱线）1（幅值为1的直流量）1（均匀频谱密度函数）(t)（单位瞬时脉冲）频域时域单位脉冲函数的时、频域关系643.矩形窗函数和常值函数的频谱

（1）矩形窗(rectanglewindow)函数的频谱65W(f)T01T1Tf3T3T(f)01T2T3T1T2T3T2T2T1-T/2T/2tw(t)066（2）常值函数(又称直流量)的频谱幅值为1的常值函数的频谱为f=0处的δ函数。当矩形窗函数的窗宽T趋于无穷时，矩形窗函数就成为常值函数，其对应的频域为δ函数。式中，令f＝0后发现什么？67（3）指数(exponent)函数的频谱双边指数衰减函数

其傅里叶变换为

≥68指数衰减函数及其频谱

69（4）符号(sign)函数和单位阶跃(unitstep)函数的频谱符号函数的频谱符号函数可以看作是双边指数衰减函数当a→0时的极限形式，即：≥70单位阶跃函数的频谱单位阶跃函数可以看作是单边指数衰减函数a→0时的极限形式。≥71单位阶跃函数及其频谱

01tx(t)0X(t)1－172（5）正余弦(sine/cosine)函数的频谱密度函数

正余弦函数不满足绝对可积条件，不能直接对之进行傅里叶变换。由欧拉公式知：731/21/20fReX(f)-f0f01/2-1/20fImX(f)-f0f00tsin2f0t0tcos2f0t74（6）梳状(comb)函数（等间隔的周期单位脉冲序列）的频谱

Ts为周期；n为整数。梳状函数为周期函数。表示成傅里叶级数

（fs

=1/Ts）因为在（-Ts

/2，Ts/2）区间内只有一个函数(t)，故75从而所以即梳状函数的频谱也为梳状函数，且其周期为原时域周期的倒数（1/Ts），脉冲强度为1/Tb(t,Ts)10Ts2Ts-Ts-2Ts......COMB(f,fs)1/Ts01Ts2Ts1Ts2Ts762.2.3随机(random)信号的描述

随机信号是非确定性信号随机信号具有不重复性（在相同条件下，每次观测的结果都不一样）、不确定性、不可预估性随机信号通常采用概率和统计的方法进行描述相关概念

随机现象：产生随机信号的物理现象

样本(sample)函数：随机现象的单个时间历程，即对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录。记作xi(t)，i表示第i次观测。

样本记录：在有限时间区间上观测得到的样本函数。

随机过程：在相同试验条件下，随机现象可能产生的全体样本函数的集合（总体）。记作{x(t)}，即

{x(t)