数字信号处理教程 (第三版)程佩青 清华大学出版社dsp-ch2-1

第二章Z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT）第二章学习目标掌握z变换及其收敛域，掌握因果序列的概念及判断方法会运用任意方法求z反变换理解z变换的主要性质理解z变换与Laplace/Fourier变换的关系掌握序列的Fourier变换并理解其对称性质掌握离散系统的系统函数和频率响应，系统函数与差分方程的互求，因果/稳定系统的收敛域时域分析方法变换域分析方法： 连续时间信号与系统

Laplace变换

Fourier变换 离散时间信号与系统

z变换

Fourier变换一、z变换的定义序列x(n)的z变换定义为：

z是复变量，所在的复平面称为z平面2.2Z变换的定义及收敛域二、z变换的收敛域与零极点对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。

级数收敛的充要条件是满足绝对可和1）有限长序列2）右边序列因果序列n1=0的右边序列，Roc:因果序列的z变换必在处收敛在处收敛的z变换，其序列必为因果序列3）左边序列4）双边序列1、X(z)的收敛域为Ｚ平面内以原点为中心的一个环，内边界可以是原点，外边界可以是无穷远点。2、ROC内不包含任何极点。3、有限序列的ROC为全平面。（可能除了z=0and/orz=∞）。4、右边序列的ROC：当│ｚ│=r0

的圆位于ROC内，那么│ｚ│>r0的全部Z值都一定在这个ROC内。5、左边序列的ROC：当│ｚ│=r0

的圆位于ROC内，那么0<│ｚ│<r0的全部Z值都一定在这个ROC内。6、双边序列的ROC：如果│ｚ│＝

r0在ＲＯＣ内，则ＲＯＣ为Ｚ平面上包含│ｚ│＝

r0

的一个环。7、如果序列x(n)的z变换X(z)是有理的，那么它的ROC就被极点所界定，或者延伸至无限远。计算下述序列的Z变换，并给出它的收敛域。课堂练习给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内计算下述序列的Z变换，并给出它的收敛域。

作业实质：求X(z)幂级数展开式Z反变换的求解方法： 围线积分法（留数法） 部分分式法 长除法z反变换:从X(z)中还原出原序列x(n)2.3Z反变换一、围线积分法（留数法）根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即 而其中围线c是在X(z)的环状收敛域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。x(n)是沿围线逆时针方向的积分，留数定理2是沿围线顺时针方向的积分，因此在用留数定理2求x(n)时，需要在前面加负号，即：一般地：求因果序列的逆变换时用留数定理1求反因果序列的逆变换时用留数定理2（注意需满足的条件：分母次数比分子次数大二或以上）二、部分分式展开法三、幂级数展开法（长除法）把X(z)展开成幂级数级数的系数就是序列x(n)解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数，分子分母按降幂排列解：由Roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数，分子分母按升幂排列解：X