探索性试题的解答要求

探索性试题的解答要求

1探索性试题的解答要求（2014·泰安市）29．二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在(2)的条件下,点N在何位置时,BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．2探索性试题的解答要求3

解答：(3)连接MN、BN，BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC，即﹣

x2﹣x=

，且(-x+1)2+(x+3)2=

，解得：x=1，

故点N(-1,4)时，

MN和NC互相垂直平分．

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（2012·泰安市）29.如图,半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为(1,0).若抛物线

过A、B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；

（3）------

5解答：（2）存在．如图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P．

∵B（0，

），O（0，0），

∴直线l的表达式为

．代入抛物线的表达式

得

，解得

，

∴P（

）．

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（2011·泰安市）26.如图，一次函数

的图像经过

两点，与反比例函数

的图像在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2.

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）在

轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

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解答：(2)存在.

过点M作MP⊥AM,MD⊥BP分别交x轴于点P,D,

∵MD⊥BP,∴∠PMD=∠MBD=∠ABO.

∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO==2.

∴PD=2MD=8,∴OP=OD+PD=11.

∴在x轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11,0）.

8（2010·泰安市）25．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点

（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；

（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由。

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解答：（2）当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形.

由（1）知△ABD为等腰直角三角形,

当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°.

又∵∠A=90°，∠PDQ=90°，

∴四边形APDQ为矩形.

又∵DP=AP=AB,

∴四边形APDQ为正方形. .

10（2008·泰安市）26．在等边ΔABC中，点D为AC上一点，连结BD，直线l与AB,BC,BD分别相交于点E,F,P,且∠BPF=600

．

（1）如图1，写出图中所有与ΔBPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；

（2）若直线l向右平移到图2、图3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；

（3）探究：如图1，当

满足什么条件时（其它条件不变）

？请写出探究结果，并说明理由．

11解答：（3）BD平分∠ABC时，．.

证明：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABP=∠PBF=300.

∵

∠BPF=600,∴∠BPF=900.

∴PF=1/2PB,

又------12（2007·泰安市）21．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC

，∠BAD的平分线AE交BC于E，F、G分别是AB、AD的中点．

（1）求证：EF=EG；

（2）当AB与AC满足怎样的数量关系时，EG∥CD？并说明理由．

13解答：（2）当AB=2EC时，EG∥CD.

∵AB=2EC，∴AD=2EC.

∴GD=1/2AD=EC,

又∵GD∥EC，∴四边形GECD是平行四边形.

∴EG∥CD14

（2007·泰安市）25．如图，在ΔOAB中，∠B=900

，∠BOA=300,OA=4，将ΔOAB绕点O按逆时针方向旋转至ΔOA’B’，点C的坐标为(0,4).

（1）求A’点的坐标；

（2）求过C,A’,A三点的抛物线的解析式；

（3）在(2)中的抛物线上是否存在点P，使以O,A,P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有点

的坐标；若不存在，请说明理由．

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解答：（3）

①若以点O为直角顶点，由于OC=OA=4，点C在抛物线上，则点C(0,4)为满足条件的点;②若以点A为直角顶点，则使ΔPAO为等腰直角三角形的点P的坐标应为(4,4)或(4,-4)