2018中考数学压轴题专题复习-圆的综合

..2017中考专题复习——圆题型一、勾股定理在圆中的应用1、〔2012XX如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G,连接AG交CD于K．〔1求证：KE=GE；〔2若=KD·GE,试判断AC与EF的位置关系,并说明理由；〔3在〔2的条件下,若sinE=,AK=,求FG的长．2、〔2014•XX如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分∠ACB,交AB于点F,连接BE．〔1求证：AC平分∠DAB；〔2求证：△PCF是等腰三角形；〔3若tan∠ABC=,BE=7,求线段PC的长．3、〔2015•黄陂区校级模拟如图,点P在y轴的正半轴上,⊙P交x轴于B、C两点,以AC为直角边作等腰Rt△ACD,BD分别交y轴和⊙P于E、F两点,交连接AC、FC．〔1求证：∠ACF=∠ADB；〔2若点A到BD的距离为m,BF+CF=n,求线段CD的长；〔3当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时,的值是否发生变化？若不发生变化,请求出其值；若发生变化,请说明理由．4、〔2013•XX模拟已知：如图,在半径为4的⊙O中,AB,CD是两条直径,M为OB的中点,CM的延长线交⊙O于点E,且EM＞MC．连接DE,DE=．〔1求证：AM•MB=EM•MC；〔2求sin∠EOB的值；〔3若P是直径AB延长线上的点,且BP=12,求证：直线PE是⊙O的切线．5、〔2012•XX如图,AE切⊙O于点E,AT交⊙O于点M,N,线段OE交AT于点C,OB⊥AT于点B,已知∠EAT=30°,AE=3,MN=2．〔1求∠COB的度数；〔2求⊙O的半径R；〔3点F在⊙O上〔是劣弧,且EF=5,把△OBC经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点E,F重合．在EF的同一侧,这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形,并求出这个三角形与△OBC的周长之比．6、〔2011•潍坊如图,AB是半径O的直径,AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D,连接BD交半圆于点C,连接AC．过O点作BC的垂线OE,垂足为点E,与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP,切点为P,与BN相交于点Q．〔1求证：△ABC∽△OFB；〔2当△ABD与△BFO的面枳相等时,求BQ的长；〔3求证：当D在AM上移动时〔A点除外,点Q始终是线段BF的中点．专题二、三角函数在圆中的应用1、〔2014XX如图,在⊙的内接△ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线交⊙O于另一点D,垂足为E.设P是eq\o<\s\up5<⌒>,\s\do2<AC>>{eq\o<AC\s\up4<⌒>>}上异于A,C的一个动点,射线AP交于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.〔1求证：△PAC∽△PDF；〔2若AB=5,eq\o<\s\up5<⌒>,\s\do2<AP>>=eq\o<\s\up5<⌒>,\s\do2<BP>>,求PD的长；〔3在点P运动过程中,设,,求与之间的函数关系式.〔不要求写出的取值范围,2、〔2012•襄阳如图,PB为⊙O的切线,B为切点,直线PO交⊙于点E、F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,延长AO与⊙O交于点C,连接BC,AF．〔1求证：直线PA为⊙O的切线；〔2试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系,并加以证明；〔3若BC=6,tan∠F=,求cos∠ACB的值和线段PE的长．3、〔2014•武侯区校级自主招生如图,⊙O与直线PC相切于点C,直径AB∥PC,PA交⊙O于D,BP交⊙O于E,DE交PC于F．〔1求证：PF2=EF•FD；〔2当tan∠APB=,tan∠ABE=,AP=时,求PF的长；〔3在〔2条件下,连接BD,判断△ADB是什么三角形？并证明你的结论．4、〔2014•XX如图,△ABC中,∠C=90°,点G是线段AC上的一动点〔点G不与A、C重合,以AG为直径的⊙O交AB于点D,直线EF垂直平分BD,垂足为F,EF交BC于点E,连结DE．〔1求证：DE是⊙O的切线；〔2若cosA=,AB=8,AG=2,求BE的长；〔3若cosA=,AB=8,直接写出线段BE的取值范围．专题三、相似三角形与圆的综合应用1、〔2010已知：如图,内接于,为直径,弦于,是的中点,连结并延长交的延长线于点,连结,分别交、于点、．〔1求证：是的外心；〔2若,求的长；〔3求证：．2、〔2014•XX如图,⊙O的直径AC与弦BD相交于点F,点E是DB延长线上的一点,∠EAB=∠ADB．〔1求证：EA是⊙O的切线；〔2已知点B是EF的中点,求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似；〔3已知AF=4,CF=2．在〔2条件下,求AE的长．3、〔2013•XX如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于D,过点D作DE⊥AD交AB于E,以AE为直径作⊙O．〔1求证：点D在⊙O上；〔2求证：BC是⊙O的切线；〔3若AC=6,BC=8,求△BDE的面积．4、〔2012•XX如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,OA=5．OA与⊙O相交于点P,AB与⊙O相切于点B,BP的延长线交直线l于点C．〔1试判断线段AB与AC的数量关系,并说明理由；〔2若PC=2,求⊙O的半径和线段PB的长；〔3若在⊙O上存在点Q,使△QAC是以AC为底边的等腰三角形,求⊙O的半径r的取值范围．5、〔2012•德阳如图,已知点C是以AB为直径的⊙O上一点,CH⊥AB于点H,过点B作⊙O的切线交直线AC于点D,点E为CH的中点,连接AE并延长交BD于点F,直线CF交AB的延长线于G．〔1求证：AE•FD=AF•EC；〔2求证：FC=FB；〔3若FB=FE=2,求⊙O的半径r的长．6、如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,它的内切圆分别与三角形的三边切于点D,E,F,连接AD与内切圆相交于点P,连接PC,PE,PF,FD,ED,且PC⊥PF。求证：△PFD∽△PDC；7、〔2012•XX如图1,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,OD∥AC,且∠CBD=∠BAC,OD交⊙O于点E．〔1求证：BD是⊙O的切线；〔2若点E为线段OD的中点,证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；〔3作CF⊥AB于点F,连接AD交CF于点G〔如图2,求的值．8、〔2004•XX已知：如图,直线y=kx+3〔k＞0交x轴于B点,交y轴于A点,以A为圆心,AB为半径作⊙A交x轴于另一点D,交y轴于E、F两点,交直线AB于C点,连接BE、CE,∠CBD的平分线交CE于I点．〔1求证：BE=IE；〔2若AI⊥CE,设Q为弧BF上一点,连接DQ交y轴于T,连接BQ并延长交y轴于G点,求AT•AG的值；〔3设P为线段AB上的一个动点〔异于A、B,连接PD交y轴于M点,过P、M、B三点作⊙O1交y轴于另一点N．设⊙O1的半径为R,当时,给出下列两个结论：①MN的长度不变；②的值不变,其中有且只有一个结论是正确的,请你判断哪一个结论正确,证明正确的结论并求出其值．专题四、圆中的面积问题1、〔2013如图,⊙的半径,四边形内接圆⊙,于点,为延长线上的一点,且.〔1试判断与⊙的位置关系,并说明理由：〔2若,,求的长；〔3在〔2的条件下,求四边形的面积.2、〔2013•XX如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,O是BC边上一点,以O为圆心的半圆与AB边相切于点D,与AC、BC边分别交于点E、F、G,连接OD,已知BD=2,AE=3,tan∠BOD=．〔1求⊙O的半径OD；〔2求证：AE是⊙O的切线；〔3求图中两部分阴影面积的和．3、如图,圆O的直径为5,在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,已知BC:CA＝4:3,点P在半圆弧AB上运动〔不与A、B两点重合,过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．〔1求证：AC·CD＝PC·BC；〔2当点P运动到AB弧中点时,求CD的长；〔3当点P运动到什么位置时,△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．AAOBPDC4、〔XX省XX市2009如图,Rt△ABC内接于⊙O,AC＝BC,∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D,与BC交于点E,延长BD,与AC的延长线交于点F,连结CD,G是CD的中点,连结OG．〔1判断OG与CD的位置关系,写出你的结论并证明；〔2求证：AE＝BF；ACBFDEOG〔3若OG·DE＝3<ACBFDEOG5、如图,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是弧eq\o<\s\up5<⌒>,APB>上的任一点〔与端点A、B不重合,DE⊥AB于点E,以D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C．CPDOCPDOBAE〔2判断∠ACB是否为定值,若是,求出∠ACB的大小；否则,请说明理由；〔3记△ABC的面积为S,若＝,求△ABC的周长．6、如图,等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,⊙O1经过⊙O2的圆心,顺次连接A、O1、B、O2．〔1求证：四边形AO1BO2是菱形；〔2过直径AC的端点C作⊙O1的切线CE交AB的延长线于E,连接CO2交AE于D,求证：CE＝2O2D；〔3在<2>的条件下,若△AO2D的面积为1,求△BO2D的面积．专题五、中点在圆中的应用1、〔2011已知：如图,以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心,OA长为半径作⊙O,⊙O经过B、D两点,过点B作BK⊥AC,垂足为K。过D作DH∥KB,DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．<1>求证：AE=CK；<2>如果AB=,AD=<为大于零的常数>,求BK的长：<3>若F是EG的中点,且DE=6,求⊙O的半径和GH的长．2、〔2014•XX如图,以△ABC的一边AB为直径作⊙O,⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D,过点D作⊙O的切线交AC于点E．〔1求证：DE⊥AC；〔2若AB=3DE,求tan∠ACB的值．3、〔2014•XX如图,AB为⊙O的直径,以AB为直角边作Rt△ABC,∠CAB=90°,斜边BC与⊙O交于点D,过点D作⊙O的切线DE交AC于点E,DG⊥AB于点F,交⊙O于点G．〔1求证：E是AC的中点；〔2若AE=3,cos∠ACB=,求弦DG的长．4、〔2010•XX如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC．O是CD边的中点,以O为圆心,OC长为半径作圆,交BC边于点E．过E作EH⊥AB,垂足为H．已知⊙O与AB边相切,切点为F．〔1求证：OE∥AB；〔2求证：EH=AB；〔3若,求的值．5、011•XX如图1,⊙O中AB是直径,C是⊙O上一点,∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,点D在线段AC上．〔1证明：B、C、E三点共线；〔2若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,证明：MN=OM；〔3将△DCE绕点C逆时针旋转α〔0°＜α＜90°后,记为△D1CE1〔图2,若M1是线段BE1的中点,N1是线段AD1的中点,M1N1=OM1是否成立？若是,请证明；若不是,说明理由．6、〔2011•XX如图,在平面直角坐标系中,点A〔10,0,以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上一动点,连接OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线,分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足,连接CF．〔1当∠AOB=30°时,求弧AB的长度；〔2当DE=8时,求线段EF的长；〔3在点B运动过程中,是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似？若存在,请求出此时点E的坐标；若不存在,请说明理由．/2015中考圆答案1、〔略2、〔2014•XX如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分∠ACB,交AB于点F,连接BE．〔1求证：AC平分∠DAB；〔2求证：△PCF是等腰三角形；〔3若tan∠ABC=,BE=7,求线段PC的长．解答：解：〔1∵PD切⊙O于点C,∴OC⊥PD．又∵AD⊥PD,∴OC∥AD．∴∠ACO=∠DAC．又∵OC=OA,∴∠ACO=∠CAO,∴∠DAC=∠CAO,即AC平分∠DAB．〔2∵AD⊥PD,∴∠DAC+∠ACD=90°．又∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°．∴∠PCB+∠ACD=90°,∴∠DAC=∠PCB．又∵∠DAC=∠CAO,∴∠CAO=∠PCB．∵CE平分∠ACB,∴∠ACF=∠BCF,∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF,∴∠PFC=∠PCF,∴PC=PF,∴△PCF是等腰三角形．〔3连接AE．∵CE平分∠ACB,∴=,∴．∵AB为⊙O的直径,∴∠AEB=90°．在Rt△ABE中,．∵∠PAC=∠PCB,∠P=∠P,∴△PAC∽△PCB,∴．又∵tan∠ABC=,∴,∴．设PC=4k,PB=3k,则在Rt△POC中,PO=3k+7,OC=7,∵PC2+OC2=OP2,∴〔4k2+72=〔3k+72,∴k=6〔k=0不合题意,舍去．∴PC=4k=4×6=24．3、〔2015•黄陂区校级模拟如图,点P在y轴的正半轴上,⊙P交x轴于B、C两点,以AC为直角边作等腰Rt△ACD,BD分别交y轴和⊙P于E、F两点,交连接AC、FC．〔1求证：∠ACF=∠ADB；〔2若点A到BD的距离为m,BF+CF=n,求线段CD的长；〔3当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时,的值是否发生变化？若不发生变化,请求出其值；若发生变化,请说明理由．解答：〔1证明：连接AB,∵OP⊥BC,∴BO=CO,∴AB=AC,又∵AC=AD,∴AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,又∵∠ABD=∠ACF,∴∠ACF=∠ADB．〔2解：过点A作AM⊥CF交CF的延长线于M,过点A作AN⊥BF于N,连接AF,则AN=m,∴∠ANB=∠AMC=90°,在△ABN和△ACM中,∴Rt△ABN≌Rt△ACM〔AAS∴BN=CM,AN=AM,又∵∠ANF=∠AMF=90°,在Rt△AFN和Rt△AFM中,∴Rt△AFN≌Rt△AFM〔HL,∴NF=MF,∴BF+CF=BN+NF+CM﹣MF,=BN+CM=2BN=n,∴BN=,∴在Rt△ABN中,AB2=BN2+AN2=m2+=m2+,在Rt△ACD中,CD2=AB2+AC2=2AB2=2m2+,∴CD=．〔3解：的值不发生变化,过点D作DH⊥AO于N,过点D作DQ⊥BC于Q,∵∠DAH+∠OAC=90°,∠DAH+∠ADH=90°,∴∠OAC=∠ADH,在△DHA和△AOC中,∴Rt△DHA≌Rt△AOC〔AAS,∴DH=AO,AH=OC,又∵BO=OC,∴HO=AH+AO=OB+DH,而DH=OQ,HO=DQ,∴DQ=OB+OQ=BQ,∴∠DBQ=45°,又∵DH∥BC,∴∠HDE=45°,∴△DHE为等腰直角三角形,∴=,∴=．4、〔2013•XX模拟已知：如图,在半径为4的⊙O中,AB,CD是两条直径,M为OB的中点,CM的延长线交⊙O于点E,且EM＞MC．连接DE,DE=．〔1求证：AM•MB=EM•MC；〔2求sin∠EOB的值；〔3若P是直径AB延长线上的点,且BP=12,求证：直线PE是⊙O的切线．解答：解：〔1连接AE,BC,∵∠AEC与∠MBC都为所对的圆周角,∴∠AEC=∠MBC,又∠AME=∠BMC〔对顶角相等,∴△AME∽△CMB,∴AM：CM=EM：MB,即AM•MB=EM•MC；〔2如图,∵DC为⊙O的直径,∴DE⊥EC,∵DC=8,DE=,∴EC===7,设EM=x,由于M为OB的中点,∴BM=2,AM=6,∴AM•MB=x•〔7﹣x,即6×2=x〔7﹣x,整理得：x2﹣7x+12=0,解得：x1=3,x2=4,∵EM＞MC,∴EM=4,∵OE=EM=4,∴△OEM为等腰三角形,过E作EF⊥OM,垂足为F,则OF=OM=1,∴EF===,∴sin∠EOB=；〔3在Rt△EFP中,EF=,PF=FB+BP=3+12=15,根据勾股定理得：EP===4,又OE=4,OP=OB+BP=4+12=16,∴OE2+EP2=16+240=256,OP2=256,∴OE2+EP2=OP2,∴∠OEP=90°,则EP为圆O的切线．5、〔2012•XX如图,AE切⊙O于点E,AT交⊙O于点M,N,线段OE交AT于点C,OB⊥AT于点B,已知∠EAT=30°,AE=3,MN=2．〔1求∠COB的度数；〔2求⊙O的半径R；〔3点F在⊙O上〔是劣弧,且EF=5,把△OBC经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点E,F重合．在EF的同一侧,这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形,并求出这个三角形与△OBC的周长之比．解答：解：〔1∵AE切⊙O于点E,∴AE⊥CE,又OB⊥AT,∴∠AEC=∠CBO=90°,又∠BCO=∠ACE,∴△AEC∽△OBC,又∠A=30°,∴∠COB=∠A=30°；〔2∵AE=3,∠A=30°,∴在Rt△AEC中,tanA=tan30°=,即EC=AEtan30°=3,∵OB⊥MN,∴B为MN的中点,又MN=2,∴MB=MN=,连接OM,在△MOB中,OM=R,MB=,∴OB==,在△COB中,∠BOC=30°,∵cos∠BOC=cos30°==,∴BO=OC,∴OC=OB=,又OC+EC=OM=R,∴R=+3,整理得：R2+18R﹣115=0,即〔R+23〔R﹣5=0,解得：R=﹣23〔舍去或R=5,则R=5；〔3以EF为斜边,有两种情况,以EF为直角边,有四种情况,所以六种,画直径FG,连接EG,延长EO与圆交于点D,连接DF,如图所示：∵EF=5,直径ED=10,可得出∠FDE=30°,∴FD=5,则C△EFD=5+10+5=15+5,由〔2可得C△COB=3+,∴C△EFD：C△COB=〔15+5：〔3+=5：1．∵EF=5,直径FG=10,可得出∠FGE=30°,∴EG=5,则C△EFG=5+10+5=15+5,∴C△EFG：C△COB=〔15+5：〔3+=5：1．6、〔2011•潍坊如图,AB是半圆O的直径,AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D,连接BD交半圆于点C,连接AC．过O点作BC的垂线OE,垂足为点E,与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP,切点为P,与BN相交于点Q．〔1求证：△ABC∽△OFB；〔2当△ABD与△BFO的面枳相等时,求BQ的长；〔3求证：当D在AM上移动时〔A点除外,点Q始终是线段BF的中点．．解答：〔1证明：∵AB为直径,∴∠ACB=90°,即：AC⊥BC,又OE⊥BC,∴OE∥AC,∴∠BAC=∠FOB,∵BN是半圆的切线,∴∠BCA=∠FBO=90°,∴△ABC∽△OFB．〔2解：由△ACB∽△OBF得,∠OFB=∠DBA,∠BCA=∠FBO=90°,∵AM、BN是⊙O的切线,∴∠DAB=∠OBF=90°,∴△ABD∽△BFO,∴当△ABD与△BFO的面积相等时,△ABD≌△BFO,∴AD=OB=1,∵DP切圆O,DA切圆O,∴DP=DA,∵△ABD≌△BFO,∴DA=BO=PO=DP,又∵∠DAO=∠DPO=90°,∴四边形AOPD是正方形,∴DQ∥AB,∴四边形ABQD是矩形,∴BQ=AD=1；〔3证明：由〔2知,△ABD∽△BFO,∴=,∴BF===,∵DP是半圆O的切线,射线AM、BN为半圆O的切线,∴AD=DP,QB=QP,过Q点作AM的垂线QK,垂足为K,在Rt△DQK中,DQ2=QK2+DK2,∴〔AD+BQ2=〔AD﹣BQ2+22．∴BQ=,∴BF=2BQ,∴Q为BF的中点．专题二、三角函数在圆中的应用1、〔2014XX如图,在圆O的内接ΔABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线l交圆O于另一点D,垂足为E,P为弧eq\o<\s\up5<⌒>,\s\do2<AC>>上异于A、C的一个动点,射线AP交l于点F,连接PC与PD,PD交AB与点C。〔1求证：ΔPAC∽ΔPDF；〔2若AB=5,eq\o<\s\up5<⌒>,\s\do2<AP>>=eq\o<\s\up5<⌒>,\s\do2<BP>>,求PD的长；〔3在点P运动过程中,设,tan∠AFD=y,求y与x之间的函数关系式。〔不要求写出x的取值范围解：〔1同弧所对的圆周角相等∠PAC=∠PDC,∠AFD=∠ABP=∠ACP,∴ΔPAC∽ΔPDF；〔2eq\o<\s\up5<⌒>,\s\do2<AP>>=eq\o<\s\up5<⌒>,\s\do2<BP>>且AB为直径；∴ΔAPB为等腰直角三角形；又∵AB=5,AC=2BC；∴；∴由射影定理可得DE=CE=2,BE=1,AE=4；又∵∠APB=∠AEF=90°；∴∠AFE=∠ABP=45°；∴FE=AE=4；由〔1的相似可得,即,∴。〔3如图,过点G作GH┴PB于点H,∵；∴；又∵eq\o<\s\up5<⌒>,\s\do2<AP>>=eq\o<\s\up5<⌒>,\s\do2<BP>>；∴∠HPG=∠CAB；∴∴y与x之间的函数关系式为.2、〔2012•襄阳如图,PB为⊙O的切线,B为切点,直线PO交⊙于点E、F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,延长AO与⊙O交于点C,连接BC,AF．〔1求证：直线PA为⊙O的切线；〔2试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系,并加以证明；〔3若BC=6,tan∠F=,求cos∠ACB的值和线段PE的长．解答：解：〔1连接OB,∵PB是⊙O的切线,∴∠PBO=90°,∵OA=OB,BA⊥PO于D,∴AD=BD,∠POA=∠POB,又∵PO=PO,∴△PAO≌△PBO〔SAS,∴∠PAO=∠PBO=90°,∴OA⊥PA,∴直线PA为⊙O的切线．〔2EF2=4OD•OP．证明：∵∠PAO=∠PDA=90°∴∠OAD+∠AOD=90°,∠OPA+∠AOP=90°,∴∠OAD=∠OPA,∴△OAD∽△OPA,∴=,即OA2=OD•OP,又∵EF=2OA,∴EF2=4OD•OP．〔3∵OA=OC,AD=BD,BC=6,∴OD=BC=3〔三角形中位线定理,设AD=x,∵tan∠F=,∴FD=2x,OA=OF=2x﹣3,在Rt△AOD中,由勾股定理,得〔2x﹣32=x2+32,解之得,x1=4,x2=0〔不合题意,舍去,∴AD=4,OA=2x﹣3=5,∵AC是⊙O直径,∴∠ABC=90°,又∵AC=2OA=10,BC=6,∴cos∠ACB==．∵OA2=OD•OP,∴3〔PE+5=25,∴PE=．3、〔2014•武侯区校级自主招生如图,⊙O与直线PC相切于点C,直径AB∥PC,PA交⊙O于D,BP交⊙O于E,DE交PC于F．〔1求证：PF2=EF•FD；〔2当tan∠APB=,tan∠ABE=,AP=时,求PF的长；〔3在〔2条件下,连接BD,判断△ADB是什么三角形？并证明你的结论．Rt△．解答：解：〔1∵AB∥PC,∴∠BPC=∠ABE=∠ADE．又∵∠PFE=∠DFP,△PFE∽△DFP,∴PF：EF=DF：PF,PF2=EF•FD．〔2连接AE,∵AB为直径,∴AE⊥BP．∵tan∠APB==,tan∠ABE==,令AE=a,PE=2a,BE=3a,AP=a=,∴a==AE,PE=,BE=．∵PC为切线,∴PC2=PE•PB=4．∴PC=2．∵FC2=FE•FD=PF2∴PF=FC==1,∴PF=1．〔3△ADB为等腰直角三角形．∵AB为直径,∴∠ADB=90°．∵PE•PB=PA•PD,∴PD=2BD===AD．∴△ADB为等腰Rt△．4、〔2014•XX如图,△ABC中,∠C=90°,点G是线段AC上的一动点〔点G不与A、C重合,以AG为直径的⊙O交AB于点D,直线EF垂直平分BD,垂足为F,EF交BC于点E,连结DE．〔1求证：DE是⊙O的切线；〔2若cosA=,AB=8,AG=2,求BE的长；〔3若cosA=,AB=8,直接写出线段BE的取值范围．解答：〔1证明：连接OD,如图,∵△ABC中,∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∵直线EF垂直平分BD,∴ED=EB,∴∠B=∠EDB,∵OA=OD,∴∠A=∠ODA,∴∠ODA+∠EDB=90°,∴∠ODE=90°,∴OD⊥DE,∴DE是⊙O的切线；〔2解：连接GD,∵AG为直径,∴∠ADG=90°,∵cosA=,∴∠A=60°,∴∠AGD=30°,∴AD=AG=,∵AB=8,∴BD=AB﹣AD=8﹣=7,∵直线EF垂直平分BD,∴BF=BD=,在Rt△BEF中,∠B=30°,∴EF=BF=,∴BE=2EF=7；〔3解：∵cosA=,∴∠A=60°,∴∠B=30°,∴AC=AB=4,由〔2得AD=AG,BF=〔AB﹣AD=4﹣AG,在Rt△BEF中,∠B=30°,∴EF=BF,∴BE=2EF=BF=〔4﹣AG=8﹣AG,∵0＜AG＜AC,即0＜AG＜4,∴6＜BE＜8．专题三、相似三角形与圆的综合应用1、〔略2、〔2014•XX如图,⊙O的直径AC与弦BD相交于点F,点E是DB延长线上的一点,∠EAB=∠ADB．〔1求证：EA是⊙O的切线；〔2已知点B是EF的中点,求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似；〔3已知AF=4,CF=2．在〔2条件下,求AE的长．解答：〔1证明：如图1,连接CD,∵AC是⊙O的直径,∴∠ADC=90°,∴∠ADB+∠EDC=90°,∵∠BAC=∠EDC,∠EAB=∠ADB,∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°,∴EA是⊙O的切线．〔2证明：如图2,连接BC,∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°,∴∠CBA=∠ABC=90°∵B是EF的中点,∴在RT△EAF中,AB=BF,∴∠BAC=∠AFE,∴△EAF∽△CBA．〔3解：∵△EAF∽△CBA,∴=,∵AF=4,CF=2．∴AC=6,EF=2AB,∴=,解得AB=2．∴EF=4,∴AE===4,3、〔2013•XX如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于D,过点D作DE⊥AD交AB于E,以AE为直径作⊙O．〔1求证：点D在⊙O上；〔2求证：BC是⊙O的切线；〔3若AC=6,BC=8,求△BDE的面积．解答：〔1证明：连接OD,∵△ADE是直角三角形,OA=OE,∴OD=OA=OE,∴点D在⊙O上；〔2证明：∵AD是∠BAC的角平分线,∴∠CAD=∠DAB,∵OD=OA,∴∠OAD=∠ODA,∴∠CAD=∠ODA,∴AC∥OD,∴∠C=∠ODB=90°,∴BC是⊙O的切线；〔3解：在Rt△ACB中,AC=6,BC=8,∴根据勾股定理得：AB=10,设OD=OA=OE=x,则OB=10﹣x,∵AC∥OD,△ACB∽△ODB,∴==,即=,解得：x=,∴OD=,BE=10﹣2x=10﹣=,∵=,即=,∴BD=5,过E作EH⊥BD,∵EH∥OD,∴△BEH∽△BOD,∴=,即=,∴EH=,∴S△BDE=BD•EH=．4、〔2012•XX如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,OA=5．OA与⊙O相交于点P,AB与⊙O相切于点B,BP的延长线交直线l于点C．〔1试判断线段AB与AC的数量关系,并说明理由；〔2若PC=2,求⊙O的半径和线段PB的长；〔3若在⊙O上存在点Q,使△QAC是以AC为底边的等腰三角形,求⊙O的半径r的取值范围．解答：解：〔1AB=AC,理由如下：连接OB．∵AB切⊙O于B,OA⊥AC,∴∠OBA=∠OAC=90°,∴∠OBP+∠ABP=90°,∠ACP+∠APC=90°,∵OP=OB,∴∠OBP=∠OPB,∵∠OPB=∠APC,∴∠ACP=∠ABC,∴AB=AC；〔2延长AP交⊙O于D,连接BD,设圆半径为r,则OP=OB=r,PA=5﹣r,则AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2,AC2=PC2﹣PA2=﹣〔5﹣r2,∴52﹣r2=﹣〔5﹣r2,解得：r=3,∴AB=AC=4,∵PD是直径,∴∠PBD=90°=∠PAC,又∵∠DPB=∠CPA,∴△DPB∽△CPA,∴=,∴=,解得：PB=．∴⊙O的半径为3,线段PB的长为；〔3作出线段AC的垂直平分线MN,作OE⊥MN,则可以推出OE=AC=AB=又∵圆O与直线MN有交点,∴OE=≤r,≤2r,25﹣r2≤4r2,r2≥5,∴r≥,又∵圆O与直线相离,∴r＜5,即≤r＜5．5、〔2012•德阳如图,已知点C是以AB为直径的⊙O上一点,CH⊥AB于点H,过点B作⊙O的切线交直线AC于点D,点E为CH的中点,连接AE并延长交BD于点F,直线CF交AB的延长线于G．〔1求证：AE•FD=AF•EC；〔2求证：FC=FB；〔3若FB=FE=2,求⊙O的半径r的长．解答：〔1证明：∵BD是⊙O的切线,∴∠DBA=90°,∵CH⊥AB,∴CH∥BD,∴△AEC∽△AFD,∴=,∴AE•FD=AF•EC．〔2证明：连接OC,BC,∵CH∥BD,∴△AEC∽△AFD,△AHE∽△ABF,∴=,=,∴==,∵CE=EH〔E为CH中点,∴BF=DF,∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=∠DCB=90°,∵BF=DF,∴CF=DF=BF〔直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即CF=BF．〔3解：∵BF=CF=DF〔已证,EF=BF=2,∴EF=FC,∴∠FCE=∠FEC,∵∠AHE=∠CHG=90°,∴∠FAH+∠AEH=90°,∠G+∠GCH=90°,∵∠AEH=∠CEF,∴∠G=∠FAG,∴AF=FG,∵FB⊥AG,∴AB=BG,∵BF切⊙O于B,∴∠FBC=∠CAB,∵OC=OA,CF=BF,∴∠FCB=∠FBC,∠OCA=∠OAC,∴∠FCB=∠CAB,∵∠ACB=90°,∴∠ACO+∠BCO=90°,∴∠FCB+∠BCO=90°,即OC⊥CG,∴CG是⊙O切线,∵GBA是⊙O割线,AB=BG〔已证,FB=FE=2,∴由切割线定理得：〔2+FG2=BG×AG=2BG2,在Rt△BFG中,由勾股定理得：BG2=FG2﹣BF2,∴FG2﹣4FG﹣12=0,解得：FG=6,FG=﹣2〔舍去,由勾股定理得：AB=BG==4,∴⊙O的半径是2．6、〔略7、〔略8、〔2004•XX已知：如图,直线y=kx+3〔k＞0交x轴于B点,交y轴于A点,以A为圆心,AB为半径作⊙A交x轴于另一点D,交y轴于E、F两点,交直线AB于C点,连接BE、CE,∠CBD的平分线交CE于I点．〔1求证：BE=IE；〔2若AI⊥CE,设Q为弧BF上一点,连接DQ交y轴于T,连接BQ并延长交y轴于G点,求AT•AG的值；〔3设P为线段AB上的一个动点〔异于A、B,连接PD交y轴于M点,过P、M、B三点作⊙O1交y轴于另一点N．设⊙O1的半径为R,当时,给出下列两个结论：①MN的长度不变；②的值不变,其中有且只有一个结论是正确的,请你判断哪一个结论正确,证明正确的结论并求出其值．解答：〔1证明：∵AE⊥BD,∴弧BE=弧DE．∴∠1=∠2．∵∠3=∠4,∠5=∠2+∠3,∠IBE=∠1+∠4,∴∠5=∠IBE．∴BE=IE．〔2解：连接QC、TB,则∠6+∠CBQ=90°,又∠7+∠8=90°,而∠6=∠7,∴∠CBQ=∠8=∠9．∴△ABG∽△ATB．∴AB2=AG•AT．∵AI⊥CE,∴I为CE的中点．∴AE=AC,IE=IC．∴△BEO∽△CBE．∴OE：OB=BE：CE=1：2．设⊙A的半径为R,由AB2﹣OA2=BO2,OE=R﹣3,得R2﹣32=4〔R﹣32解得R=5,或R=3〔不合题意,舍去．∴AT•AG=AB2=25．〔方法二提示：可连接AD、CD证△BAG∽△TAD〔3解：②的值不变．证明：作O1K⊥MN于K,连接O1N、PN、BM,则MN=2NK,且∠NO1K=∠1,∴==2sin∠NO1K=2sin∠1由直线y=x+3得OB=OD=4,OM⊥BD,∴∠2=∠3．又∠2=∠4+∠5,∠3=∠1+∠6,∵∠5=∠6,∴∠1=∠4=∠NO1K,=2sin∠4=2×=．所以的值不变,其值为．专题四、圆中的面积问题1、<1>如图,连接DO并延长交圆于点E,连接AE∵DE是直径,∴∠DAE=90°,∴∠E+∠ADE=90°∵∠PDA=∠ADB=∠E∴∠PDA+∠ADE=90°即PD⊥DO∴PD与圆O相切于点D<2>∵tan∠ADB=∴可设AH=3k,则DH=4k∵∴PA=∴PH=∴∠P=30°,∠PDH=60°∴∠BDE=30°连接BE,则∠DBE=90°,DE=2r=50∴BD=DE·cos30°=<3>由〔2知,BH=-4k,∴HC=<-4k>又∵∴解得k=∴AC=∴S=28．〔1〔2M的坐标是〔1-,--2、〔1+,-2、〔4,-1、〔2,-3、〔-2,-7〔3的最大值是/2、〔2013•XX如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,O是BC边上一点,以O为圆心的半圆与AB边相切于点D,与AC、BC边分别交于点E、F、G,连接OD,已知BD=2,AE=3,tan∠BOD=．〔1求⊙O的半径OD；〔2求证：AE是⊙O的切线；〔3求图中两部分阴影面积的和．解答：解：〔1∵AB与圆O相切,∴OD⊥AB,在Rt△BDO中,BD=2,tan∠BOD==,∴OD=3；〔2连接OE,∵AE=OD=3,AE∥OD,∴四边形AEOD为平行四边形,∴AD∥EO,∵DA⊥AE,∴OE⊥AC,又∵OE为圆的半径,∴AE为圆O的切线；〔3∵OD∥AC,∴=,即=,∴AC=7.5,∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5,∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×4.5﹣=3+﹣=．3略4略5略6略专题五、中点在圆中的应用、1、略2、〔2014•XX如图,以△ABC的一边AB为直径作⊙O,⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D,过点D作⊙O的切线交AC于点E．〔1求证：DE⊥AC；〔2若AB=3DE,求tan∠ACB的值．解答：〔1证明：连接OD,∵D是BC的中点,OA=OB,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC,∵DE是⊙O的切线,∴OD⊥DE,∴DE⊥AC；〔2解：连接AD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∵DE⊥AC,∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°,∴∠ADE=∠DCE在△ADE和△CDE中,∴△CDE∽△DAE,∴,设tan∠ACB=x,CE=a,则DE=ax,AC=3ax,AE=3ax﹣a,∴,整理得：x2﹣3x+1=0,解得：x=,∴tan∠ACB=或．〔可以看出△ABC分别为锐角、钝角三角形两种情况3、014•XX如图,AB为⊙O的直径,以AB为直角边作Rt△ABC,∠CAB=90°,斜边BC与⊙O交于点D,过点D作⊙O的切线DE交AC于点E,DG⊥AB于点F,交⊙O于点G．〔1求证：E是AC的中点；〔2若AE=3,cos∠ACB=,求弦DG的长．解答：〔1证明：连AD,如图∵AB为⊙O的直径,∠CAB=90°,∴AC是⊙O的切线,又∵DE与⊙O相切,∴ED=EA,∴∠EAD=∠EDA,而∠C=90°﹣∠EAD,∠CDE=90°﹣∠EDA,∴∠C=∠CDE,∴ED=EC,∴EA=EC,即E为AC的中点；〔2解：由〔1知,E为AC的中点,则AC=2AE=6．∵cos∠ACB=,设AC=2x,BC=3x,根据勾股定理,得AB==〔3x2﹣〔2x2=x,∴sin∠ACB=．连接AD,则∠ADC=90°,∴∠ACB+∠CAD=90°,∵∠CAD+∠DAF=90°,∴∠DAF=∠ACB,在Rt△ACD中,AD=AC•sin∠ACB=6×=．在Rt△ADF中,DF=AD•sin∠DAF=AD•sin∠ACB=×=,∴DG=2DF=．4略5、〔2011•XX如图1,⊙O中AB是直径,C是⊙O上一点,∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,点D在线段AC上．〔1证明：B、C、E三点共线；〔2若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,证明：MN=OM；〔3将△DCE绕点C逆时针旋转α〔0°＜α＜90°后