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文档简介

一、隐函数的导数二、参数方程确定的函数的导数隐函数及参数方程所确定的函数的导数

第三章一、隐函数的导数若由方程可确定y

是

x

的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x

的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:两边对x求导(含导数的方程)用复合函数求导法则直接对方程两边求导.例1.

求由方程在x=0

处的导数解:

方程两边对

x

求导得因x=0时y=0,故确定的隐函数例2.

求椭圆在点处的切线方程.解:

椭圆方程两边对x求导故切线方程为即例3、函数y=y(x)由方程所确定,求解：方程两边同时对ｘ求导例5.

求的导数.解:

两边取对数,化为隐式两边对x

求导二、由参数方程确定的函数的导数例如消去参数问题:

消参困难或无法消参如何求导?若参数方程可确定一个y与

x

之间的函数可导,且则时,有时,有(此时看成x是

y的函数)关系,若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得?已知解:注意:例4.(1)

设求例4.(2)

设,且求解:

三、相关变化率为两关于t可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率例8.设由方程确定函数求解:方程组两边对t

求导,得故内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法极坐标方程求导4.相关变化率问题列出依赖于t的相关变量关系式对t求导相关变化率之间的关系式转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式作业:P90第4题(2);第5题(1)2.设求提示:分别用对数求导法求答案:3.设由方程确定,解:方程两边对x求导,得再求导,得②当时,故由①得再代入②得求①例9.

抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向.解:先求速度大小:速度的水平分量为垂直分量为故抛射体速度大小再求速度方向(即轨迹的切线方向):设

为切线倾角,则抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量垂直分量在刚射出(即t=0)时,倾角为达到最高点的时刻高度落地时刻抛射最远距离速度的方向例10.

一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为500m

时,观察员视线的仰角增加率是多少?解:设气球上升t分后其高度为h,仰角为,则两边对t求导已知

h=500m时,求其反函数的导数.解:方法1方法2等式两边同时对求导备用题1.设,求解：

2.设方程组两边同时对t求导,得例４设y=y(x)由方程ey=xef(y)确定,f(x)二阶可导,

f(x)1,求y.解方程两边对x求导:eyy=e

f(y)+xe

f(y)f(y)y故对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:1)对幂指函数可用对数求导法求导

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