微积分实验课程

数学建模

与

全国大学生数学建模竞赛数学建模介绍培养兴趣、提高能力、增长知识数学教研室吴建国TelQ:2542237992010.10.14

数学实验是大学数学教学改革的内容。该内容的开设使得学生学会使用计算机中的数学软件去做计算和研究工作，而不再是花大量的时间去钻研计算技巧。本章介绍用MATLAB软件进行数学实验的方法。在MATLAB软件中，%后的内容为注释内容，程序不执行，以下用“↘”表示回车。背景

实验内容

一

什么是数学实验

二

一元函数图形的实验三数列的极限四一元函数的极限五一元函数的导数

一数学实验的方法

与数学教学内容相结合，进行数学实验，对现行的教学方法进行改革，是当前数学教学改革的一个重要内容。数学这门学科由于其自身的特性，要想达到像化学和物理那样进行实验是比较困难的，但是可以根据它的特征，改进学习方法，加进新的内容，特别是用现代化的学习工具，帮助我们加快掌握这门学科知识。计算机的发展，为学习数学提供了一个现代化的环境，把计算机引入到数学学习中，使用计算机进行数学运算，就能提高数学学习的效率。我们将这种用计算机借助于数学软件代替纸和笔以及人的部分脑力劳动进行数学学习的手段称作数学实验。

<<微积分实验>>我们选用的软件是MATLAB。简单的问题只要按规则输入表达式就可以直接得到结果，复杂的问题也可以用软件提供的语言编写程序完成，而这种程序设计语言简单且容易掌握。当然,我们也应认识到计算机只是纸和笔的延伸，计算机是数学探索的工具，计算机提供对抽象概念的直观感受。数学实验课不是计算机程序课，数学思维是目的，计算机的使用只是手段。二数学实验的内容在教学内容的选择上，将微积分实验作为微积分的辅助课程，教学内容互补，不重复微积分课程讲述的基本内容，而是让学生了解MATLAB软件的基本使用方法，对微积分课程所讲述内容通过数学实验去完成。主要介绍利用MATLAB软件完成微积分基本运算的方法，包括画出初等函数的图形，求数列、函数的极限，求导数等。三MATLAB简介

MATLAB是一种功能非常强大的科学计算软件，在正式使用它之前应对它有一个整体的认识。这里将介绍MATLAB的历史、MATLAB的特点及MATLAB工具箱。(一)MATLAB历史

MATLAB源于MATrixLABoratory一词，原意为矩阵实验室。在20世纪70年代中期，CleveMoler和其同事在美国国家科学基金的资助下研究开发了调用UNPACK和EISPACK的FORTRAN子程序库。这两个程序库代表着当时矩阵计算的最高水平。到20世纪70年代后期，身为新墨西哥大学计算机科学系系主任的CleveMoler在给学生开线性代数课程时，他开始用业余时间为学生编写使用方便的UNPACK和EISPACK的接口程序。CleveMoler给这个接口程序取名为MATLAB,意思是“矩阵实验室”。不久以后，MATLAB受到了学生的普遍欢迎，并且MATLAB也成了应用数学界的一个术语。

(二)MATLAB特点

MATLAB语言主要有以下其他语言无可比拟的特点。

1．功能强大

MATLAB4.0以上（不包括4.0版本）的各版本，不仅在数值计算上继续保持着相对其他同类软件的绝对优势，而且还开发了自己的符号运算功能。特别是MATLAB6版本在符号运算功能上丝毫不逊于其他各类软件．如MathCAD,Mathematica等。这样，用户就不必像以前的计算人员那样在掌握MATLAB的同时还要学习另一种符号运算软件,用户只要学会了MATLAB6x,就可以方便地处理诸如矩阵变换及运算、多项式运算、微积分运算、线性与非线性方程求解、常微分方程求解、偏微分方程求解、插值与拟合、统计及优化等问题了。

2．语言简单

MATLAB还专门为初学者（包括其中某一个工具箱的初学者）提供了功能演示窗口，用户可以从中得到感兴趣的例子及演示。

3.扩充能力强、可开发性强

MATLAB能发展到今天这种程度，它的可扩充性和可开发性起着不可估量的作用。MATLAB本身就像一个解释系统，对其中的函数程序的执行以一种解释执行的方式进行。这样的好处是MATLAB完全成了一个开放的系统，用户可以方便地看到函数的源程序，也可以方便地开发自己的程序，甚至创建自己的“库”另外，MATLAB并不“排他”，MATLAB可以方便地与FORTRAN,C等语言接口，以充分利用各种资源。用户只需将己有的EXE文件转换成MEX文件，就可以方便地调用有关程序和子程序。

4.编程易、效率高

从形式上看，MATLAB程序文件是一个纯文本文件，扩展名为m.用任何字处理软件都可以对它进行编写和修改，因此程序易调试，人机交互性强。

(三)MATLAB工具箱及启动

MATLAB工具箱主要包括：

(1)控制系统工具箱(ControlSystemsToolbox)；

(2)系统辨识工具箱(SystemIdentificationToolbox）；

(3)鲁棒控制工具箱(RobustControlToolbox）；

(4)多变量频率设计工具箱(Multivariab一eFrequencyDesignToolbox）；

(5)p分析与综合工具箱(x-analysisAndSynthesisToolbox)；

(6)神经网络工具箱(NeuralNetworkToolbox)；

(7)最优化工具箱(OptimizationToolbox）；

(8)小波分析工具箱(WaveletToolbox）；

(9)通讯工具箱(CommunicationToolbox)；（10)财政金融工具箱(FinanicalToolbox）；

(11）颇率域系统辨识工具箱(FrequencyDomainSystem

IdentificationToolbox)；

（12）模糊逻辑工具箱(FuzzyLogicToolbox）；（13）商阶谱分析工具箱(HigherOrderSpectralAnalysisToolbox）；（14）图像处理工具箱(ImageProcessingToolbox）；（15）线性矩阵不等式控制工具箱(LMIControlToolbox)；（16）模型预测控制工具箱(ModelPredictiveControlToolbox）；（17)偏徽分方程工具箱(PartialDifferentialEquationToolbox)；（18）信号处理工具箱(SignalProcessingToolbox）；（19)样条工具箱(SplineToolbox）；

(20)统计工具箱(StatisticsToolbox)；

(21)符号数学工具箱(SymbolicMathToolbox)；

(22)电厂系统(PowerSystem)1.进入MATLAB

双击桌面上MATLAB图标,即可进入MATLAB系统。这时，屏幕上会显示一个启动画面，片刻之后，出现一个工作屏幕（命令窗口）。命令窗口工作空间浏览命令历史窗口命令窗口、编辑窗口、图形窗口在MATLAB的命令窗口里，可用Ctrl+C来终止正在运行的程序。进入matlab后的设置:1,设置字号(缺省设置为8):File->Priferences->CommandWindowfont->TimesNewRoman,字号大小设为24较好.便于演示时能清楚显示.2.设置输出格式(缺省设置为短格式):File->Priferences->general->NumericFormat->Rationa.设置为有理格式.这样输出的结果为有理数了.本实验课程采用matlab5.3的免安装版本,运行后只有命令窗口.若安装6.0以上版本,则窗口界面如上所示.进入Matlab界面3.退出MATLAB

要退出MATLAB系统,可按如下方式进行：

1.在文件菜单(File)中选择“Exit”或“Quit”。

2.用鼠标点击窗口右上角的关闭图标“X”。2.MATLAB的主要特点

①强大的数值运算功能

②强大的图形处理能力

③高效、简单的程序环境

④丰富的工具箱微积分运算的实验教学内容复习:第一章函数的极限(重点:初等函数及图形，数列、函数的极限，二个重要极限，连续与间断)第二章导数(重点:导数的定义，运算法则)

实验目的

本实验的目的是熟悉MATLAB软件在微积分运算方面的命令函数：画图形的函数plot，fplot,ezplot；求极限的函数limit；求导数的函数diff。

用计算机完成微积分的基本运算。微积分运算实验

一、绘图功能二、微积分运算的注意事项

三、极限运算四、微分与导数运算

作为一个功能强大的工具软件，Matlab具有很强的图形处理功能，提供了大量的二维、三维图形函数。由于系统采用面向对象的技术和丰富的矩阵运算，所以在图形处理方面即方便又高效。一、绘图功能1.二维图形一、plot—数据点绘图命令命令格式：plot(x,y)

其中x和y为坐标向量命令功能：以向量x、y为轴，绘制曲线。【例1】在区间0≤X≤2内，绘制正弦曲线Y=sin(x)，其程序为：x=0:pi/100:2*pi;y=sin(x);plot(x,y)【例2】同时绘制正、余弦两条曲线y1=sin(x)和y2=cos(x)，其程序为：x=0:pi/100:2*pi;y1=sin(x);y2=cos(x);plot(x,y1,x,y2)plot函数还可以为plot(x,y1,x,y2，x,y3，…)形式，其功能是以公共向量x为X轴，分别以y1，y2，y3，…为Y轴，在同一幅图内绘制出多条曲线。（一）线型与颜色格式：plot(x,y1,’cs’,...)其中c表示颜色，s表示线型。【例3】用不同线型和颜色重新绘制例2图形，其程序为：x=0:pi/100:2*pi;y1=sin(x);y2=cos(x);plot(x,y1,'go',x,y2,'b-.')其中参数'go'和'b-.'表示图形的颜色和线型。g表示绿色，o表示图形线型为圆圈；b表示蓝色，-.表示图形线型为点划线。绘图基本线型和颜色（二）图形标记在绘制图形的同时，可以对图形加上一些说明，如图形名称、图形某一部分的含义、坐标说明等，将这些操作称为添加图形标记。title(‘加图形标题');xlabel('加X轴标记');ylabel('加Y轴标记');text(X,Y,'添加文本');（三）设定坐标轴用户若对坐标系统不满意，可利用axis命令对其重新设定。axis([xmin

xmax

ymin

ymax])设定最大和最小值axis（’auto’）将坐标系统返回到自动缺省状态axis（’square’）将当前图形设置为方形axis（’equal’）两个坐标因子设成相等axis（’off’）关闭坐标系统axis（’on’）显示坐标系统【例4】在坐标范围0≤x≤2π,-2≤y≤2内重新绘制正弦曲线，其程序为：x=linspace(0,2*pi,60);

%生成含有60个数据元素的向量xy=sin(x);plot(x,y);axis([02*pi-22]);%设定坐标轴范围（四）加图例给图形加图例命令为legend。该命令把图例放置在图形空白处，用户还可以通过鼠标移动图例，将其放到希望的位置。格式:legend('图例说明','图例说明');【例5】为正弦、余弦曲线增加图例，其程序为：x=0:pi/100:2*pi;y1=sin(x);y2=cos(x);plot(x,y1,x,y2,'--');legend('sin(x)','cos(x)');（五）加网格线命令若在图形中加网格线，用gridon。阅读以下程序：x=-2:0.1:2;%产生横坐标x数组y=x.^3-3*x;%计算由y=x^3-3x确定的纵坐标y数组plot(x,y)

%绘图gridon

%给图形加上网格线axisequal

%使x,y轴单位刻度相等（一）subplot（m,n,p）该命令将当前图形窗口分成m×n个绘图区，即每行n个，共m行，区号按行优先编号，且选定第p个区为当前活动区。二、subplot—并列绘图命令【例6】在一个图形窗口中同时绘制正弦、余弦、正切、余切曲线，程序为：x=linspace(0,2*pi,60);y=sin(x);z=cos(x);t=sin(x)./(cos(x)+eps);%eps为系统内部常数ct=cos(x)./(sin(x)+eps);subplot(2,2,1);%分成2×2区域且指定1号为活动区plot(x,y);title('sin(x)');axis([02*pi-11]);subplot(2,2,2);plot(x,z);title('cos(x)');axis([02*pi-11]);subplot(2,2,3);plot(x,t);title('tangent(x)');axis([02*pi-4040]);subplot(2,2,4);plot(x,ct);title('cotangent(x)');axis([02*pi-4040]);（二）figure—多图形窗口绘图命令需要建立多个图形窗口，绘制并保持每一个窗口的图形，可以使用figure命令。每执行一次figure命令，就创建一个新的图形窗口，该窗口自动为活动窗口，若需要还可以返回该窗口的识别号码，称该号码为句柄。句柄显示在图形窗口的标题栏中，即图形窗口标题。用户可通过句柄激活或关闭某图形窗口，而axis、xlabel、title等许多命令也只对活动窗口有效。重新绘制上例4个图形，程序变动后如下：x=linspace(0,2*pi,60);y=sin(x);z=cos(x);t=sin(x)./(cos(x)+eps);ct=cos(x)./(sin(x)+eps);H1=figure;%创建新窗口并返回句柄到变量H1plot(x,y);%绘制图形并设置有关属性title('sin(x)');axis([02*pi-11]);H2=figure;%创建第二个窗口并返回句柄到变量H2plot(x,z);%绘制图形并设置有关属性title('cos(x)');axis([02*pi-11]);H3=figure;%同上plot(x,t);title('tangent(x)');axis([02*pi-4040]);H4=figure;%同上plot(x,ct);title('cotangent(x)');axis([02*pi-4040]);（三）hold—图形保持命令若在已存在图形窗口中用plot命令继续添加新的图形内容，可使用图形保持命令hold。发出命令holdon后，再执行plot命令，在保持原有图形或曲线的基础上，添加新绘制的图形。阅读如下程序：x=linspace(0,2*pi,60);y=sin(x);z=cos(x);plot(x,y,'b');%绘制正弦曲线holdon;%设置图形保持状态plot(x,z,'g');%保持正弦曲线同时绘制余弦曲线axis([02*pi-11]);legend('cos','sin');holdoff%关闭图形保持三、fplot--函数f(x)绘图命令fplot函数则可自适应地对函数进行采样，能更好地反应函数的变化规律。fplot函数格式：fplot(fname，lims)其中fname为函数名，以字符串形式出现，

lims=[a,b]或[a,b,c,d]，为变量取值范围。

a,b为x的区间，c,d为y的区间。例：fplot('sin(x)',[02*pi],'-+')fplot('[sin(x),cos(x)]',[02*pi],'.')

%同时绘制正弦、余弦曲线为绘制f(x)=cos(tan(πx))曲线，可先建立函数文件fct.m，其内容为：functiony=fct(x)y=cos(tan(pi*x));用fplot函数调用fct.m函数，其命令为：fplot(‘fct’,[01])四、ezplot—符号函数的绘图命令ezplot函数格式：ezplot(‘fname’，lims)其中fname为函数名，以字符串形式出现，

lims=[a,b]或[a,b,c,d]，为变量取值范围。例：%绘制正弦函数从0到2pi区间上的图形ezplot(‘sin(x)’,[02*pi])%绘制隐函数f(x,y)=0在[a,b]与[c,d]区间上的图形

ezplot('4*x^2+16*y^2-3',[-11-11])%绘制参数方程x=sinx,y=cosx的图形ezplot('sin(x)','cos(x)',[02*pi])二、极坐标图函数polar(theta,rho)用来绘制极坐标图，theta为极坐标角度，rho为极坐标半径【例8】绘制sin(2*θ)*cos(2*θ)的极坐标图，程序为：theta=[0:0.01:2*pi];rho=sin(2*theta).*cos(2*theta);polar(theta,rho);%绘制极坐标图命令title('polarplot');3其它图形函数一、阶梯图形函数stairs(x,y)可以绘制阶梯图形，如下列程序段：x=[-2.5:0.25:2.5];y=exp(-x.*x);stairs(x,y);%绘制阶梯图形命令title('stairsplot');二、条形图形函数bar(x,y)可以绘制条形图形，如下列程序段将绘制条形图形x=[-2.5:0.25:2.5];y=exp(-x.*x);bar(x,y);%绘制条形图命令三、填充图形fill(x,y,’c’)函数用来绘制并填充二维多边图形，x和y为二维多边形顶点坐标向量。字符’c’规定填充颜色，其取值前已叙述。下述程序段绘制一正方形并以黄色填充：x=[01100];%正方形顶点坐标向量y=[00110];fill(x,y,'y');%绘制并以黄色填充正方形图再如：x=[0:0.025:2*pi];y=sin(3*x);fill(x,y,[0.50.30.4]);%颜色向量Matlab系统可用向量表示颜色，通常称其为颜色向量。基本颜色向量用[rgb]表示，即RGB颜色组合；以RGB为基本色，通过r,g,b在0~1范围内的不同取值可以组合出各种颜色。小结常用绘图命令：plot:用于数据点绘图。fplot:用于函数绘图。ezplot:用于符号函数绘图。可绘制隐函数和参数方程的图形。区别与差异：plot,fplot可对图形的线形，颜色作出控制，而ezplot则不能。fplot可绘出比较精确的图形，而ezplot一般较适宜画不太精确的图形。二维绘图函数小结plot二维图形基本函数fplotf(x)函数曲线绘制ezplot

符号函数绘图fill填充二维多边图形polar极坐标图bar条形图loglog

双对数坐标图semilogxX轴为对数的坐标图semilogyY轴为对数的坐标图stairs阶梯形图axis设置坐标轴figure创建图形窗口grid放置坐标网格线hold保持当前图形窗口内容subplot创建子图title放置图形标题xlabel

放置X轴坐标标记ylabel

放置Y轴坐标标记阅读下面程序:%绘制摆线:holdont=0:0.01:4*pi;fora=1:1:3x=a*(t-sin(t));y=a*(1-cos(t));

plot(x,y)endh=[3210.5];%在曲线上取不同的点a=(exp(h)-1)./h;%计算连接点M与与点P的各条割线的斜率x=-1:0.1:3;%选定图形的自变量范围plot(x,exp(x),'r');%作函数图形holdon;%在图形上继续作图fori=1:4

plot(h(i),exp(h(i)),'w')%在图上作出不同的点

plot(x,a(i)*x+1)%作割线的图endaxissquare%把所有图形放在一个正方形框内plot(x,x+1,'g')%画出切线的图形画出在点P(0,1)处的切线及若干条割线,观察割线的变化趋势,理解导数的定义及几何意义.

三维图形一、plot3函数最基本的三维图形函数为plot3，它是将二维函数plot的有关功能扩展到三维空间，用来绘制三维图形。函数格式：plot3(x1,y1,z1,c1,x2,y2,z2,c2,…)

其中x1,y1,z1…表示三维坐标向量，c1，c2…表示线形或颜色。函数功能：以向量x，y，z为坐标，绘制三维曲线。【例9】绘制三维螺旋曲线，其程序为：t=0:pi/50:10*pi;y1=sin(t);y2=cos(t);plot3(y1,y2,t);title('helix'),text(0,0,0,'origin');xlabel('sin(t)'),ylabel('cos(t)'),zlabel('t');grid;二、mesh函数mesh函数用于绘制三维网格图。在不需要绘制特别精细的三维曲面结构图时，可以通过绘制三维网格图来表示三维曲面。三维曲面的网格图最突出的优点是：它较好地解决了实验数据在三维空间的可视化问题。函数格式：mesh(x,y,z,c)其中x，y控制X和Y轴坐标，矩阵z是由(x，y)求得Z轴坐标，(x,y,z)组成了三维空间的网格点；c用于控制网格点颜色。【例10】下列程序绘制三维网格曲面图x=[0:0.15:2*pi];y=[0:0.15:2*pi];z=sin(y')*cos(x);%矩阵相乘mesh(x,y,z);三、surf函数surf用于绘制三维曲面图，各线条之间的补面用颜色填充。surf函数和mesh函数的调用格式一致。函数格式:surf(x,y,z)其中x，y控制X和Y轴坐标，矩阵z是由x，y求得的曲面上Z轴坐标。【例11】下列程序绘制三维曲面图形x=[0:0.15:2*pi];y=[0:0.15:2*pi];z=sin(y')*cos(x);%矩阵相乘surf(x,y,z);xlabel('x-axis'),ylabel('y-axis'),zlabel('z-label');title('3-Dsurf');例绘制马鞍面的图形，并用平行截面法观察马鞍面的特点x=-4:0.1:4;y=x;[mx,my]=meshgrid(x,y);mz=mx.^2-my.^2;ix=find(mx==2);px=2*ones(1,length(ix));py=my(ix);pz=mz(ix);subplot(1,2,1)holdonmesh(mx,my,mz)plot3(px,py',pz','r*')subplot(1,2,2)plot3(px,py',pz')非数值的微积分运算，在MATLAB中称为符号二、微积分运算的注意事项

(1)均需使用命令“sym”或“syms”创建符号变量和(2)先创建符号变量，然后才能创建符号表达式；符号表达式，然后才能进行符号运算；运算，使用时有以下要求：求表达式极限的命令用“limit”，基本用法见下表表达式输入命令格式备注limit(f,x,a)若a=0，且是对x求极限，可简写为limit(f)limit(f,x,a,’left’)趋于a的左极限limit(f,x,a,’right’)趋于a的右极限二、极限运算例1、求函数f(x)=ax2+bx+c的极限。解

输入及结果如下：f2=a*x^2+3*x+c

>>symsabcx%定义a,b,c,x为符号变量>>f=sym(‘a*x^2+b*x+c’);

%定义函数

>>f1=limit(f,x,2)

%求x->2时的极限f1=4*a+2*b+c>>f2=limit(f,b,3)

%求b->3时的极限

[例2]计算>>symsxt;>>limit(tan(x)/x)ans=1绘图命令：ezplot('tan(x)/x',[-11])>>limit((x-1)/(x^2-1),1)ans=1/2>>limit((cos(x+t)-cos(x))/t,t,0)ans=-sin(x)>>limit(1/x,x,0,'left')

ans=

-inf

>>limit(1/x,x,0,'right')

ans=

inf[例3]求极限>>symsx;>>limit((tan(x))^(1/log(x)),x,0,'right')

ans=

x

ans=

exp(1)[例4]求极限>>symsx>>y=limit(x*(sqrt(x^2+1)-x),x,inf,’right’)

y=

1/2例5、用导数定义求函数

f(x)=cos(x)的导数。解

输入及结果如下：ans=-sin(x)

>>symstx>>limit((cos(x+t)-cos(x))/t,t,0)阅读以下程序：symsx;f=1/(x+1)-3/(x^3+1);limit(f,x,1)%画出函数图形X=-6:0.1:6;Y=-6:0.1:6;ezplot(f,[-66])holdon;plot(X,-1,-1,Y)>>symsx;>>limit(sin(x)/x)ans=1

%绘图命令：ezplot(‘sin(x)/x',[-11])[例7]计算二个重要极限：>>symsn;>>limit((1+1/n)^(n))ans=exp(1)

%绘图命令：ezplot('(1+1/n)^n',[11000])例

在区间[-4,4]上作出函数的图形,并研究和>>fplot('(x^3-9*x)/(x