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文档简介
小专题(八)
教材P90习题第14题的变式与应用【例】(人教版九年级上册教材第90页第14题)如图,A,P,B,C是⊙O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°,判断△ABC的形状,并证明你的结论.证明:因为∠APC=∠ABC,∠CPB=∠BAC,又因为∠APC=∠CPB=60°.所以∠ABC=∠BAC=60°.于是∠ACB=60°.所以△ABC为等边三角形.1.如图,延长BP至E,若∠EPA=∠CPA,判断△ABC的形状并证明你的结论.△ABC是等腰三角形,理由:因为∠CPA=∠ABC,四边形APBC是圆内接四边形,所以∠EPA=∠ACB.因为∠EPA=∠CPA,所以∠ACB=∠ABC.所以AB=AC.故△ABC是等腰三角形.2.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,DB=DC.求证:AD是△ABC外角∠EAC的平分线.证明:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠DCB+∠DAB=180°.又
∠DAE+∠DAB=180°,
∴∠DCB=∠EAD.
∵DB=DC,
∴∠DBC=∠DCB.
∵∠DBC=∠DAC,
∴∠DAC=∠EAD.
∴AD平分∠EAC.
3.如图,A,P,B,C是半径为8的⊙O上的四点,且满足∠BAC=∠APC=60°.(1)求证:△ABC是等边三角形;(2)求圆心O到BC的距离OD.(1)证明:∵∠ABC=∠APC=60°,∠BAC=∠APC=60°,
∴∠ABC=∠BAC=60°.
∴△ABC是等边三角形.4.如图,△ABC内接于⊙O,P为弧AB上异于A,B两点的一动点时,当△ABC满足什么条件时,PA能否平分∠BPC的外角∠CPE.若能,请证明,若不能,请说明理由.当AB=AC时,PA平分∠BPC的外角∠CPE.理由:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,又∵∠APE+∠APB=180°,
∠ACB+∠APB=180°,
∴∠APE=∠ACB.又∵∠APC=∠ABC,
∴∠APE=∠APC.即AB=AC时,PA平分∠BPC的外角∠CPE.
5.(1)如图1,△ABC内接于⊙O,AD为∠BAC的平分线,过D作DE垂直于AB于E,AE与△ABC的两边AB,AC有怎样的关系呢?(2)如图2,若AD为△ABC的外角∠CAG的平分线时,AE与△ABC的两边AB,AC又有怎样的关系呢?6.如图,平面直角坐标系中,O′为y轴上一点,⊙O′交x轴于A,B两点,交y轴于C,D两点.直线AE交⊙O′于F点,连接FC.过C作CH垂直AF交其延长线于H.试问:当点F在弧AC上运动时,FB-FA与FH的比值是否为定值?并说明理由.7.如图,△ABC的三个顶点均在⊙O上,∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I,延长AI交⊙O于点D,连接BD,DC.(1)求证:BD=DC=DI;(2)若⊙O的半径为10cm,∠BAC=120°,
求△BDC的面积.(1)证明:∵AI平分∠BAC,
∵∠BAD=∠DAC,
∴BD=DC.
∵BI平分∠ABC,
∴∠ABI=∠CBI.
∵∠BAD=∠DAC,∠DBC=∠DAC,
∴∠BAD=∠DBC.又∠DBI=∠DBC
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