小专题(八) 教材P90习题第14题的变式与应用

小专题(八)

教材P90习题第14题的变式与应用【例】(人教版九年级上册教材第90页第14题)如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，判断△ABC的形状，并证明你的结论．证明：因为∠APC＝∠ABC，∠CPB＝∠BAC，又因为∠APC＝∠CPB＝60°.所以∠ABC＝∠BAC＝60°.于是∠ACB＝60°.所以△ABC为等边三角形．1．如图，延长BP至E，若∠EPA＝∠CPA，判断△ABC的形状并证明你的结论．△ABC是等腰三角形，理由：因为∠CPA＝∠ABC，四边形APBC是圆内接四边形，所以∠EPA＝∠ACB.因为∠EPA＝∠CPA，所以∠ACB＝∠ABC.所以AB＝AC.故△ABC是等腰三角形．2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB＝DC.求证：AD是△ABC外角∠EAC的平分线．证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠DCB＋∠DAB＝180°.又

∠DAE＋∠DAB＝180°，

∴∠DCB＝∠EAD.

∵DB＝DC，

∴∠DBC＝∠DCB.

∵∠DBC＝∠DAC，

∴∠DAC＝∠EAD.

∴AD平分∠EAC.

3．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)求圆心O到BC的距离OD.(1)证明：∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠APC＝60°，

∴∠ABC＝∠BAC＝60°.

∴△ABC是等边三角形．4．如图，△ABC内接于⊙O，P为弧AB上异于A，B两点的一动点时，当△ABC满足什么条件时，PA能否平分∠BPC的外角∠CPE.若能，请证明，若不能，请说明理由．当AB＝AC时，PA平分∠BPC的外角∠CPE.理由：

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠APE＋∠APB＝180°，

∠ACB＋∠APB＝180°，

∴∠APE＝∠ACB.又∵∠APC＝∠ABC，

∴∠APE＝∠APC.即AB＝AC时，PA平分∠BPC的外角∠CPE.

5．(1)如图1，△ABC内接于⊙O，AD为∠BAC的平分线，过D作DE垂直于AB于E，AE与△ABC的两边AB，AC有怎样的关系呢？(2)如图2，若AD为△ABC的外角∠CAG的平分线时，AE与△ABC的两边AB，AC又有怎样的关系呢？6．如图，平面直角坐标系中，O′为y轴上一点，⊙O′交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点．直线AE交⊙O′于F点，连接FC.过C作CH垂直AF交其延长线于H.试问：当点F在弧AC上运动时，FB－FA与FH的比值是否为定值？并说明理由．7．如图，△ABC的三个顶点均在⊙O上，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交⊙O于点D，连接BD，DC.(1)求证：BD＝DC＝DI；(2)若⊙O的半径为10cm，∠BAC＝120°，

求△BDC的面积．(1)证明：∵AI平分∠BAC，

∵∠BAD＝∠DAC，

∴BD＝DC.

∵BI平分∠ABC，

∴∠ABI＝∠CBI.

∵∠BAD＝∠DAC，∠DBC＝∠DAC，

∴∠BAD＝∠DBC.又∠DBI＝∠DBC