实验十一 向量自回归模型(VAR模型)

实验十一协整与向量自回归模型1协整0、问题的提出经典回归模型（classicalregressionmodel）是建立在稳定数据变量基础上的，对于非稳定变量，不能使用经典回归模型，否则会出现虚假回归等诸多问题。由于许多经济变量是非稳定的，这就给经典的回归分析方法带来了很大限制。但是，如果变量之间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的（cointegration)，则是可以使用经典回归模型方法建立回归模型的。例如，中国居民人均消费水平与人均GDP变量的例子中：因果关系回归模型要比ARMA模型有更好的预测功能，

其原因在于，从经济理论上说，人均GDP决定着居民人均消费水平，而且它们之间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的（cointegration）。

经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期均衡关系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述

1、长期均衡式中:t是随机扰动项。

该均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应的均衡值也随之确定为0+1X。

在t-1期末，存在下述三种情形之一：

（1）Y等于它的均衡值：Yt-1=0+1Xt

；（2）Y小于它的均衡值：Yt-1<0+1Xt

；（3）Y大于它的均衡值：Yt-1>

0+1Xt

；在时期t，假设X有一个变化量Xt，如果变量X与Y在时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系，则Y的相应变化量由式给出:式中，vt=t-t-1。

实际情况往往并非如此

如果t-1期末，发生了上述第二种情况，即Y的值小于其均衡值，则Y的变化往往会比第一种情形下Y的变化Yt大一些；反之，如果Y的值大于其均衡值，则Y的变化往往会小于第一种情形下的Yt

。

可见，如果Yt=0+1Xt+t正确地提示了X与Y间的长期稳定的“均衡关系”，则意味着Y对其均衡点的偏离从本质上说是“临时性”的。因此，一个重要的假设就是:随机扰动项t必须是平稳序列。显然，如果t有随机性趋势（上升或下降），则会导致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被消除。

式Yt=0+1Xt+t中的随机扰动项也被称为非均衡误差（disequilibriumerror），它是变量X与Y的一个线性组合：

(*)

因此，如果Yt=0+1Xt+t式所示的X与Y间的长期均衡关系正确的话，（*）式表述的非均衡误差应是一平稳时间序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。

从这里已看到，非稳定的时间序列，它们的线性组合也可能成为平稳的。

例如：假设Yt=0+1Xt+t式中的X与Y是I(1)序列，如果该式所表述的它们间的长期均衡关系成立的话，则意味着由非均衡误差（*）式给出的线性组合是I(0)序列。这时我们称变量X与Y是协整的（cointegrated）。

如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d阶单整，存在向量=(1,2,…,k)，使得

Zt=XT~I(d-b)

其中，b>0，X=(X1t,X2t,…,Xkt)T，则认为序列{X1t,X2t,…,Xkt}是(d,b)阶协整，记为Xt~CI(d,b)，为协整向量（cointegratedvector）。⒉协整

在中国居民人均消费与人均GDP的例中，该两序列都是2阶单整序列，而且可以证明它们有一个线性组合构成的新序列为0阶单整序列，于是认为该两序列是(2,2)阶协整。

由此可见:如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不可能协整。（d,d）阶协整是一类非常重要的协整关系，它的经济意义在于：两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但是如果它们是（d,d）阶协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的比例关系。

例如：假设中国CPC和GDPPC，它们各自都是2阶单整，并且将会看到，它们是(2,2)阶协整，说明它们之间存在着一个长期稳定的比例关系，从计量经济学模型的意义上讲，建立如下居民人均消费函数模型

从协整的定义可以看出:变量选择是合理的，随机误差项一定是“白噪声”（即均值为0，方差不变的稳定随机序列），模型参数有合理的经济解释。这也解释了尽管这两时间序列是非稳定的，但却可以用经典的回归分析方法建立回归模型的原因。

从这里，我们已经初步认识到：检验变量之间的协整关系，在建立计量经济学模型中是非常重要的。而且，从变量之间是否具有协整关系出发选择模型的变量，其数据基础是牢固的，其统计性质是优良的。11假如有序列Xt和Yt，一般有如下性质存在：(1)如果Xt~I(0)，即Xt是平稳序列，则a+bXt也是I(0)；(2)如果Xt~I(1)，这表示Xt只需经过一次差分就可变成平稳序列。那么a+bXt也是I(1)；(3)如果Xt和Yt都是I(0)，则aXt+bYt是I(0)；12（4）如果Xt~I(0)，Yt~I(1)，则aXt+bYt是I(1)，即I(1)具有占优势的性质。（5）如果Xt和Yt都是I(1)，则aXt+bYt一般情况下是I(1)，但不保证一定是I(1)。如果该线性组合是I(0)，Xt和Yt就是协整的，a、b就是协整参数。13二、协整检验的具体方法（一）EG检验假如Xt和Yt都是I(1)，如何检验它们之间是否存在协整关系，我们可以遵循以下思路：首先用OLS对协整回归方程进行估计。然后，检验残差是否是平稳的。因为如果Xt和Yt没有协整关系，那么它们的任一线性组合都是非平稳的，残差也将是非平稳的。14检验是否平稳可以采用前文提到的单位根检验，但需要注意的是，此时的临界值不能再用(A)DF检验的临界值，而是要用恩格尔和格兰杰（EngleandGranger）提供的临界值，故这种协整检验又称为（扩展的）恩格尔格兰杰检验(简记(A)EG检验）。15误差修正模型Engle和Granger于1987年提出了误差修正模型的完整定义并加以推广。假设Yt和Xt之间的长期关系式为：（11.13）式中，K和为估计常量。例如，Y可以是商品的需求量，X则是价格。就是Y对X的长期弹性。16对式（11.13）两边取对数可得：所以当y不处在均衡值的时候，等式两边就会有一个差额存在，即（11.15）

来衡量两个变量之间的偏离程度。当X、Y处于均衡的时候，这时误差值为零。（11.14）我们用小写字母表示对数，其中=ln(K)。但是这种均衡情况在经济体系中是很少存在的。17由于X和Y通常处于非均衡状态，可以建立一个包含X和Y滞后项的短期或非均衡关系，假设采取如下形式：

（11.16）（11.16）式是基础的形式，只包括一阶滞后项，说明对于变量X的变化，变量Y需要一段时间进行调整。18在对（11.16）进行估计的时候，其中的变量可能是不平稳的，不能运用OLS估计，否则将出现伪回归现象。对此，重新进行转化。两边分别减去yt-1：得

（11.17）19并进一步进行变化：，即：

（11.18）在这里。我们对上式进行重新整理，得到：20在这里。我们对上式进行重新整理，得到：

（11.19）其中定义新变量β1=（b1+b2）/，并进一步进行变换得到：

（11.20）其中定义第二个新变量β0=b0/。21根据式（11.20），Y的当前变化决定于X的变换以及前期的非均衡程度，也就是说前期的误差项对当期的Y值进行调整。所以（11.20）就是一阶误差修正模型，也是最简单的形式。表示系统对均衡状态的偏离程度，可以称之为“均衡误差”。在模型（11.20）中，描述了对均衡关系偏离的一种长期调解。这样在误差修正模型中，长期调节和短期调节的过程同样被考虑进去。因而，误差修正模型的优点在于它提供了解释长期关系和短期调节的途径。22

当且的时候，后者意味着比均衡值高出太多。由于，那么，因此。换句话说，如果高于均衡值水平，那么在下一个时间段，会开始下降，误差值就会被慢慢修正，这就是所说的误差修正模型。当，则是完全相反的情况，整个机制是相同的。

23向量自回归模型24VAR模型的起源

巨大的模型均未预测到20世纪70年代早期由于石油危机而引发的世界经济的衰退和随之而来的滞胀，也未能就治理滞胀开出有效的“药方”。由此导致了对结构模型的批判，其中最具影响的便是著名的“卢卡斯批判（theLucascritique）”。卢卡斯指出：使用计量经济模型（结构模型）预测未来经济政策的变化所产生的效用是不可信的。他认为，如果一个模型的某些参数所反映的是私人行为对以前的经济政策的反应函数的适应性，如果政策反应函数被改变，则私人行为对新的反应函数将再适应，其结果是，所估计的参数将不再描述这种适应。卢卡斯批判所隐含的是，如果政策反应函数出现变化，这种变化也将改变模型的参数，于是，联立方程的简约形式也将随之发生变化。25此外，在联立方程模型设定过程中，必须人为的假定一些外生变量，并且假定外生变量事先给定，不受模型中内生变量的影响；为达到识别的目的，常常假定某些前定变量仅仅出现在某些方程中，这些假定也招致了希姆斯（C.A.Sims）的严厉批判。希姆斯认为，为使结构模型可识别而施加了许多约束，这种约束是不可信的。他认为，如果在一组变量之间有真实的联立性，那么就应该对这些变量平等的加以对待，而不应事先区分内生变量和外生变量。本着这一精神，希姆斯提出了VAR（VectorAutoregressive）模型。在VAR模型中，没有内生变量和外生变量之分，而是所有的变量都被看作内生变量，初始对模型系数不施加任何约束，即每个方程都有相同的解释变量——所有被解释变量若干期的滞后值。

26VAR模型的形式和特点在一个含有n个方程（被解释变量）的VAR模型中，每个被解释变量都对自身以及其它被解释变量的若干期滞后值回归，若令滞后阶数为k，则VAR模型的一般形式可用下式表示：其中，表示由第t期观测值构成的n维列向量，为n*n系数矩阵，是由随机误差项构成的n维列向量，其中随机误差项（i=1,2,…n）为白噪音过程，且满足(i,j=1,2,…,n,且ij)。

27为便于直观理解，我们假定n=2,k=2,则VAR模型可写成：即被解释变量分别对自身以及对方的2阶滞后值回归28VAR模型的识别、估计、检验和预测

（一）VAR模型的识别

前面提到，建立VAR模型的一个难点就是确定滞后项数。通常，金融理论知识给出滞后项数的一个大致范围，例如货币政策的时滞一般为6-12个月，因此若应用VAR模型对货币政策效应进行分析时，如果是月度数据我们就可以确定滞后阶数应小于12。如果要具体得确定滞后项数，就需要用到其它的一些方法，下面我们将介绍其中的几种方法：29信息准则法Akaike信息准则：AIC=

Schwartz信息准则：

SC=

其中，代表由估计残差的方差和协方差组成的矩阵的行列式，T代表样本容量，表示的是所有方程中回归项的个数（包括常数项）。例如，对于一个含有a个方程，滞后项数为b的VAR模型，。30（二）VAR模型的估计

前面我们提到，如果VAR模型中变量是平稳的，并且方程右边包含相同的解释变量，随机误差项满足基本假定，则我们可以分别应用普通最小二乘法对单个方程予以估计，所得到的估计值是一致的、渐进有效的。当上述条件不满足时，我们需要用到估计联立方程模型的其它方法。由于所用到的数学知识已经超出了本书的范围，并且在Eviews软件中可以方便的实现对VAR模型的估计（我们会在例子中予以介绍），在此我们不再多做介绍。31(三)VAR模型的检验

前面已经提到，VAR模型是缺乏理论依据的。在VAR模型中，很难逐一解释各个变量系数的意义，特别是在很多情况下，解释变量系数会随滞后期数的变化而改变符号，同时模型内部不同方程之间也存在联系，因此很难判断当某个变量发生变化时，其他变量的未来值会有什么样的变化。为弥补上述VAR模型的缺陷，发挥VAR模型的作用，应用中一般做如下的检验：321、对某变量全部滞后项系数的联合检验在VAR模型中，单个变量系数的意义是很难确认的，但有时我们会对如下的问题感兴趣：即对于模型内的某一方程，某变量的全部滞后值是否对被解释变量有显著的解释作用。我们可以发现，如果VAR模型仅包含两个方程，这实际上就是因果检验：如果该变量的所有滞后值对被解释变量有显著的解释作用，则就说该变量是被解释变量的“格兰杰原因”，反之则不是。33因果检验因果关系检验主要有两种：格兰杰（Granger）因果检验和希姆斯（Sims）检验一、格兰杰因果检验该理论的基本思想是：变量x和y，如果x的变化引起了y的变化，x的变化应当发生在y的变化之前。即如果说“x是引起y变化的原因”，则必须满足两个条件：34第一，x应该有助于预测y，即在y关于y的过去值的回归中，添加x的过去值作为独立变量应当显著的增加回归的解释能力。第二，y不应当有助于预测x，其原因是如果x有助于预测y，y也有助于预测x，则很可能存在一个或几个其他的变量，它们既是引起x变化的原因，也是引起y变化的原因。35

要检验这两个条件是否成立，我们需要检验一个变量对预测另一个变量没有帮助的原假设。首先，检验“x不是引起y变化的原因”的原假设，对下列两个回归模型进行估计：无假设条件回归：有假设条件回归：

（11.21）（11.22）36然后用各回归的残差平方和计算F统计值，检验系数β1，β2，…，βm是否同时显著的不为0。如果是这样，我们就拒绝“x不是引起y变化的原因”的原假设。37其中F统计值的构成为：

（11.23）其中和分别为有限制条件回归和无限制条件回归的残差平方和；N是观察个数；K是无限制条件回归参数个数；q是参数限制个数。该统计量服从F(q,N-K)分布。38显然，如果F统计值大于临界值，我们就拒绝原假设，得到x是引起y变化的原因。反之，接受原假设。接下来，检验“y不是引起x变化的原因”的原假设，做同样的回归估计，但是交换