大学工程力学3章

静力学平衡问题一.多个汇交力的合成力多边形法则§3-1平面力系平衡条件与平衡方程力多边形力多边形法则

平衡条件平面汇交力系平衡的几何条件

平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的力多边形自行封闭.一、力在坐标轴上的投影

X=Fx=F·cosa=F·sinbY=Fy=F·cosb

=

F·sina

平面汇交力系合成与平衡的解析法由合矢量投影定理，得合力投影定理即合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和合力的大小为：方向为：

作用点为力的汇交点.二.平面汇交力系合成的解析法三.平面汇交力系的平衡方程平衡条件平衡方程[例]已知压路机碾子重P=20kN,r=60cm,欲拉过h=8cm的障碍物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。又由几何关系：①选碾子为研究对象②取分离体画受力图解： ∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,这时拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力系。由平衡的几何条件，力多边形封闭，故（用几何法中的数解法求解）由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。此题也可用力多边形方法用比例尺去量（图解法）。F=11.5kN,NB=23.1kN所以几何法（图解法）解题步骤：①选研究对象；②作出受力图；③选择适当的比例尺，作力多边形;④求出未知数。图解法解题不足：①精度不够，误差大②作图要求精度高；③不能表达各个量之间的函数关系。下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法：

解析法。

[例]已知P=2kN求SCD,RA由EB=BC=0.4m，解得：；解：①研究AB杆；④列平衡方程求解：③取Axy直角坐标轴；②受力分析：[例]已知如图P、Q，求平衡时=？地面的反力ND=？由①得①②解：①研究球体；②受力分析：如图；③选Axy直角坐标轴；④列平衡方程求解：由②得求：此力系的合力.解：用解析法例已知：图示平面共点力系；已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN；求：系统平衡时，杆AB,BC受力.例解：AB、BC杆为二力杆，

取滑轮B（或点B），画受力图.建图示坐标系例求：平衡时，压块C对工件与地面的压力，AB杆受力.已知：F=3kN,l=1500mm,h=200mm，忽略自重；解：AB、BC杆为二力杆.取销钉B.得解得选压块C解得解得直接投影法一、力在直角坐标轴上的投影§3-2空间汇交力系平衡问题间接（二次）投影法合矢量（力）投影定理空间汇交力系的合力二、空间汇交力系的合力与平衡条件合力的大小方向余弦(由于力多边形是空间力多边形，合成并不方便，一般不采用几何法合成） 空间汇交力系平衡的充分必要条件是：称为空间汇交力系的平衡方程.该力系的合力等于零，即

空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点.

空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.例：求图示手柄上的力F在三个坐标轴上的投影例求：三根杆所受力.已知：P=1000N,各杆重不计.解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受力图。（拉）§3-2

刚体系统平衡问题未知力的数目等于独立平衡方程数目，称为静定问题未知约束力的数目多于独立平衡方程数目，称为静不定问题例题如图所示的平面刚架ABCD,自重不计。

在B点作用一水平力P,设P=20kN。

求支座A和D的约束反力。PADBC2m4mPADBCRDRA解:1、取平面钢架ABCD为研究对象,画出受力图。PADBCRDRA2、取汇交点C为坐标原点，建立坐标系：tg=0.5cos=0.89sin=0.447X

=0

P+RAcos=0RA=-22.36kNY=0RAsin+RD=0RD=10kNxy4m2m负号说明它的实际方向和假设的方向相反。3、列平衡方程并求解：ABClllPl/2例.求图示支座A和B的约束反力.解:画整体的受力图ABCPRARBO取O点为研究对象Sin=0.32X=00.71RA-0.32RB=0Y=00.71RA+0.95RB–P=0联立两式得:RA=0.35PRB=0.79P一、静定与静不定问题的概念我们学过：平面汇交力系 有两个独立的平衡方程，只能解两个未知量。 一个独立方程，只能解出一个未知量。 三个独立方程，只能解出三个未知量。平面力偶系平面任意力系当：未知量数目≤独立方程数目时，是静定问题（可求解）未知量数目＞独立方程数目时，是静不定问题（超静定问题）静定和超静定问题[例]①物体受平面汇交力系作用未知量数2=独立平衡方程数2静定问题未知量数3＞独立平衡方程数2静不定问题②物体受平面平行力系作用未知量数2=独立平衡方程数2静定问题未知量数3＞独立平衡方程数2静不定问题静不定问题在变形体力学（材力,结力,弹力）中，除列出静力学平衡方程外，还需考虑变形谐调条件，列出补充方程来联合求解。静定问题未知量数3=独立平衡方程数3静不定问题

未知量数4＞独立平衡方程数3③物体受平面一般力系作用例已知:F=20kN,q=10kN/m,l=1m;求:固定端A处,铰链B处的约束力.解:取CD梁,画受力图.FB=45.77kN取整体,画受力图.例已知:P=60kN,P1=20kN,P2=10kN,风载F=10kN,

尺寸如图;求:A,B处的约束力.解:取整体,画受力图.取吊车梁,画受力图.取右边刚架,画受力图.例已知：P=20kN，q=5kN／m

，a=45°；求支座A、C的反力和中间铰B处的压力。解：㈠先研究

BC梁（附属部分）

受力分析如图，列平衡方程求解：①②③解得：

NC=14.14kN;XB=10kN

YB=10kN

㈡再研究AB

部分（基本部分）

受力分析如图，列平衡方程求解：其中：Q=q﹒2=5×2=10kN,10kNMA=30kN·m,解得：10kNYA=20kN④⑤⑥例已知：尺寸如图；求：BC杆受力及铰链A受力.解:取AB

梁，画受力图.又可否列下面的方程？（2）可否列下面的方程?ABD[例]已知:构架ABC由AB、AC

、AF三杆组成，受力及尺寸如图所示。DF杆上的销子E可在AC

杆的槽内滑动，求AB杆上A、D和B点所受的力。分析:它有六个反力，不可直接求解。2、整体优先，再看整体。1、ADB杆中包含了所有未知数，先分析它。四个未知数，也不可直接求解。但可求出垂直方向反力。FDE3、从已知力处分析，分析DEF杆。故先分析DEF杆，则D处两个反力已知。三个未知数，可直接求解。E处反力如何？接下来分析何处？整体？ADB杆？AEC杆？4、分析整体，求出B处垂直反力。5、分析ADB

杆，求出其余反力。整体→ADB杆DEF杆→