2023年直线和圆知识点总结

练习一(直线和圆部分）知识梳理1.直线的倾斜角的范围是;求直线斜率的两种方法：①定义:；②斜率公式:.答案2．直线方程的几种形式：①点斜式，合用范围:不含直线;特例:斜截式，合用范围：不含垂直于轴的直线;②两点式，合用范围：不含直线和直线;特例:截距式,合用范围：不含垂直于坐标轴和过原点的直线；③一般式,合用范围：平面直角坐标系内的直线都合用.3.求过，的直线方程时：（1)若,且时，直线垂直于轴,方程为;（2)若,且时,直线垂直于轴,方程为；（3）若,且时，直线即为轴,方程为;（4)若,且时，直线即为轴,方程为。4．已知直线:，直线:，则①与相交；②与平行；③与重合;④与垂直．5.已知直线:，直线:，则①与相交；②与平行；③与重合;④与垂直.6.两点,之间的距离;点到直线:的距离；两平行直线:与:之间的距离．７.圆的标准方程为,其中为圆心，为半径;圆的一般方程为表达圆的充要条件是，其中圆心为，半径为．8．点与圆的位置关系圆的标准方程为，点，（１)点在圆上:；（2）点在圆外：；（３)点在圆内:。９．直线与圆的位置关系判断直线与圆的三种位置关系常用的两种判断方法：(1）代数法：直线方程和圆的方程联立方程组消去或整理成一元二次方程后,计算判别式①；②；③。(2）几何法：运用圆心到直线的距离和圆半径的大小关系①；②；。10.圆的切线方程①若圆的方程为,点在圆上,则过点，且与圆相切的切线方程为；②通过圆上的的切线方程为:。点在圆外，则可设切线方程为,运用直线与圆相切，运用圆心到直线的距离等于半径，解出k。11．计算直线被圆截得的弦长的两种方法:(1）几何法：运用弦心距、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。（２）代数法:运用韦达定理及弦长公式12．设圆：，圆：，则有两圆①相离；②外切;③内切；④相交;⑤内含．13．对称问题①点关于点的对称：运用中点坐标公式。②直线关于点对称:运用取特殊点法或转移法。③点关于直线对称:运用垂直和平分。④直线关于直线对称：转化为点关于直线对称问题解决。假如是平行直线,还可以运用平行直线之间距离。假如是相交直线,可以运用已知交点,夹角相等的方法。常用的对称关系：点(a,ｂ)点(a,b)关于原点的对称点（-a，-b）,点关于点的对称点的坐标为点（ａ，b)关于x轴的对称点（a，-b），点(a,b)关于y轴的对称点为(-a,b)，点(a，b）关于直线y=ｘ的对称点为(b,a),点（a,b)关于直线y=－x的对称点(－ｂ，-a),点(a,b)关于直线y＝ｘ+m的对称点为(b-m,a+m)，点(ａ,ｂ)关于直线y＝-x+m的对称点(ｍ-b,m－a）.练习题(第一部分）1.直线的倾斜角为若,则此直线的斜率是（)A．B.C.Ｄ.2.直线过点(-1,２）且与直线垂直，则的方程是ﻩA. B. ﻩC.ﻩ D.3.已知两条直线和互相垂直,则等于（)A．2B．1C.０D．解析：两条直线和互相垂直，则,∴a=-1,选Ｄ.点评:直线间的垂直关系要充足运用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况4．已知、,直线过且与线段有交点，设直线的斜率为，则的取值范围（）A．或B.Ｃ.或D.解析:过点、的直线斜为,过点、的直线斜率为,画图可看出过点的直线与线段有公共点可看作直线绕点从旋转至的全过程。5.直线通过点,且与两坐标轴围成的三角形的面积为,假如符合条件的直线能作且只能作三条，则(）A．B.C.D.解析:设直线方程为，则有,当时，,得,即与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积的最小值为４,显然与两坐标轴围成的三角形在二、四象限时各有一个面积为４,共可作且只可作三条符合条件的直线。6.已知直线:，：，若直线与关于对称,则的方程为(）A.Ｂ.C．D.解析:在上取两点，则它关于直线的对称点为，所以的方程为。７．已知点，点在直线上,若直线垂直于直线,则点的坐标是(）ﻩ ﻩ Ａ. B.ﻩC．ﻩD.二、填空题8．过点(1，2)且与直线平行的直线方程是_＿.9.已知两条直线若，则＿_＿_.解：两条直线若，,则2．10．若过点和的直线的倾斜角为钝角，那么实数的取值范围是．11．假如直线的倾斜角为且则直线的斜率为.解析：由,由于直线的倾斜角为所以,又,所以,，所以,所以，所以,。三、解答题12.已知直线通过直线与直线的交点，且垂直于直线.(Ⅰ)求直线的方程;（Ⅱ)求直线与两坐标轴围成的三角形的面积.解：（Ⅰ)由解得由于点Ｐ的坐标是(,2).则所求直线与直线垂直，可设直线的方程为．把点P的坐标代入得,即.所求直线的方程为.(Ⅱ)由直线的方程知它在轴、轴上的截距分别是、，所以直线与两坐标轴围成三角形的面积.13.求通过直线：与直线：的交点M，且满足下列条件①通过原点;②与直线：平行；③与直线:垂直的直线方程。答案：１4.在平面直角坐标系中,已知矩形ＡBCD的长为2,宽为1,ＡB、ＡD边分别在轴、轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合，将矩形折叠,使Ａ点落在线段ＤC上，若折痕所在的直线的斜率为，试写出折痕所在直线的方程。解:（1)当时,、重合,折痕所在直线方程为（２）当时,设折叠后落在线段上的点为,所以与关于折痕所在直线对称。，可得,从而,线段之中点为,折痕所在直线方程为,化简得。练习题(第二部分）１．直线与圆的位置关系是（）Ａ．相交但直线但是圆心Ｂ.相切C.相离D.相交且直线过圆心2.与圆同圆心,且面积为圆面积的一半的圆的方程为(）Ａ． ﻩB.C. D.３.圆心为的圆与直线交于、两点,为坐标原点，且满足，则圆的方程为()A.Ｂ．C．Ｄ．4．是曲线上任意一点,则的最大值为()A.B.Ｃ.Ｄ.５．两个圆:与：的公切线有且仅有(）A.条B.条C.条D.条解析:由于，所以,所以两圆相交，故两圆公切线有条。６.从圆外一点向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为（)A.Ｂ．Ｃ.D．解析:圆的圆心为M(１,1),半径为1，从外一点向这个圆作两条切线，则点P到圆心Ｍ的距离等于，每条切线与PM的夹角的正切值等于，所以两切线夹角的正切值为,该角的余弦值等于。7.若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的斜率的取值范围是（)A.［］B.［]C.[D．解析:圆整理为,∴圆心坐标为(２，２），半径为3,规定圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则圆心到直线的距离应小于等于，∴,∴，∴，，∴,选B.８．若直线按向量平移后与圆相切，则的值为（)A．或B.或C．或D.或解:将直线按向量平移得，即,由于与圆相切，所以,,或。二、填空题9.圆关于直线对称的圆的方程是，则实数的值是

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.10．若半径为1的圆分别与轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为.解析：若半径为１的圆分别与轴的正半轴和射线相切，则圆心在直线上，且圆心的横坐标为１，所以纵坐标为，这个圆的方程为。１１．已知圆：,直线:，下面四个命题:①对任意实数与,直线和圆相切；②对任意实数与,直线和圆有公共点；③对任意实数,必存在实数,使得直线与和圆相切④对任意实数，必存在实数，使得直线与和圆相切．其中真命题的序号是＿＿_＿___＿______(写出所有真命题的序号)解：②④,圆心坐标为，。12.函数的最小值为．13.从原点向圆作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为.解析：运用数形结合解此题有优势。由于,所以,圆心在，半径为3，设圆心为，切点为，则在中，,，所以,所以两切线的夹角为,劣弧所对的圆心角为，故劣弧的弧长为。三、解答题14．求过直线和圆的交点,且满足下列条件之一的圆的方程．（１）过原点；(2）有最小面积.15．假如实数满足,求①的最大值；②的最小值;③的最值.分析：表达以点为圆心,半径为的圆,为圆上的点与原点连线的斜率；设，则,可知是斜率为1的直线在轴上的截距，于是问题①实质上是求圆上的点与原点连线的斜率的最大值；②实质上是求斜率为1的直线与已知圆有公共点时直线的纵截距的最小值;③实质上是求圆上一点到原点距离平方的最大值与最小值。16.已知点及圆：.（Ⅰ）若直线过点且与圆心的距离为１，求直线的方程；（Ⅱ）设过点P的直线与圆交于、两点，当时,求以线段为直径的圆的方程;（Ⅲ）设直线与圆交于，两点,是否存在实数，使得过点的