电磁场与电磁波3静电场

目录电介质中静电场的分析静电场中的导体电容和部分电容静电场的能量静电力的虚位移求解一、电介质中静电场的分析1、基本方程折射定律一、电介质中静电场的分析【例题】厚度为t、介电常数为ε=3ε0的无限大介质板，放置于均匀电场中，板与成θ1角，如图所示。试求：（1）使的θ1值；（2）介质板两表面的极化电荷密度。【解】（1）根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有（2）设介质板中的电场为，根据分界面上的边界条件，有一、电介质中静电场的分析【例题】厚度为t、介电常数为ε=3ε0的无限大介质板，放置于均匀电场中，板与成θ1角，如图所示。试求：（1）使的θ1值；（2）介质板两表面的极化电荷密度。【解】即

介质板左表面的极化电荷面密度介质板右表面的极化电荷面密度一、电介质中静电场的分析2、分析方法一、电介质中静电场的分析3、电位参考点的选择原则场中任意两点的电位差与参考点无关。

同一个物理问题，只能选取一个参考点。选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。例如：点电荷产生的电场：表达式无意义

电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；

电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。一、电介质中静电场的分析【例1】计算电偶极子的电场强度。

x-q+qzylrr-r+O【解】电偶极子产生的电位应为

若观察距离远大于两电荷的间距l，则可认为，与平行，则求得l的方向规定由负电荷指向正电荷一、电介质中静电场的分析【例1】计算电偶极子的电场强度。

x-q+qzylrr-r+O【解】定义电偶极子的电矩，以p表示，即那么电偶极子产生的电位为

利用关系式，求得电偶极子的电场强度为:一、电介质中静电场的分析

电场线微分方程：

等位线方程：一、电介质中静电场的分析【例2】半径为R0的介质球，介电常数，其内均匀分布电荷ρ，试证明：介质球中心点的电位

【解】由高斯定理可得一、电介质中静电场的分析【解】采用球坐标系，分区域建立方程【例3】设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度为ρ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。体电荷分布的球形域电场

积分之，得通解一、电介质中静电场的分析【解】采用球坐标系，积分得通解【例3】设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度为ρ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。体电荷分布的球形域电场

一、电介质中静电场的分析【解】采用球坐标系，由边界条件得定解【例3】设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度为ρ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。体电荷分布的球形域电场

由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，电场线与等位面一定处处保持垂直电场线等位面E二、静电场中的导体静电平衡：当孤立导体放入静电场中以后，导体中自由电子发生定向运动，电荷重新分布。由于自由电子逆电场方向反向移动，因此重新分布的电荷产生的二次电场与原电场方向相反，使导体中的合成电场逐渐削弱，一直到导体中的合成电场消失为零，自由电子的定向运动方才停止，因而电荷分布不再改变，这种状态称为静电平衡。二、静电场中的导体当导体处于静电平衡时，自由电荷只能分布在导体的表面上。处于静电平衡状态的导体是一个等位体，导体表面是一个等位面。电场强度必须垂直于导体的表面。【例1】两个半径为R和R的导体球，相距甚远（可以看成孤立导体球），其中球1带电量q，球2不带电。现用一根细长导线连接两球，且分析中忽略导线对周围电场的影响。求：两个球上的电荷量；两个球面上的电场强度；概括电荷分布规律性。二、静电场中的导体【分析】根据题意，本题是属两孤立导体球的合成电场问题。“用一根细长导线连接两球”表征两导体球等电位。二、静电场中的导体【解】根据题意，可建立方程组：其中⑴解得⑵由边界条件得⑶由

得结论：曲率半径越大，电荷分布越少二、静电场中的导体【解】由于结构为球对称，场也是球对称的，应用高斯定理求解十分方便。取球面作为高斯面，由于电场必须垂直于导体表面，因而也垂直于高斯面。

【例2】已知半径为r1

的导体球携带的正电量为q，该导体球被内半径为r2

的导体球壳所包围，球与球壳之间填充介质，其介电常数为1

，球壳的外半径为r3

，球壳的外表面敷有一层介质，该层介质的外半径为r4

，介电常数为2

，外部区域为真空，如左下图示。r1r2r3r4

0

2

1试求：①各区域中的电场强度；②各个表面上的自由电荷和束缚电荷。二、静电场中的导体【解】在r<r1及r2<r<r3

区域中，因导体中不可能存静电场，所以E=0。r1r2r3r4

0

2

1在r3<r<r4区域中在r>r4区域中在r1<r<r2

区域中二、静电场中的导体【解】r1r2r3r4

0

2

1根据及，可以求得各个表面上的自由电荷及束缚电荷面密度分别为r=r1:r=r4:r=r2:r=r3:三、电容和部分电容静电独立系统双导体的电容

•

静电独立系统——D线从这个系统中的带电体发出，并终止于该系统中的其余带电体，与外界无任何联系，即

•电容的计算思路：电位系数和电容例如半径为a的孤立导体球：为便于衡量储存电荷的能力开放系统双导体的部分电容三、电容和部分电容q1q2C12C21C11C22电位系数表明导体上的电荷对导体电位的贡献；————感应系数表示导体电位对导体电荷的贡献。多导体的部分电容三、电容和部分电容三、电容和部分电容部分电容性质:•所有部分电容都是正值，且仅与导体的形状、尺寸、相互位置及介质的ε值有关；•互有部分电容Cij=Cji

，即[C]为对称阵；•(n+1)个导体静电独立系统中，共应有n(n+1)/2个部分电容；•部分电容是否为零,取决于两导体之间有否电力线相连。三、电容和部分电容【解】设内导体的电荷为q，则由【例1】同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为b，其间填充介电常数为εo的均匀介质。求此球形电容器的电容。图球形电容器同心导体间的电压球形电容器的电容当时三、电容和部分电容【解】设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为+ρl和-ρl

，

则由【例2】同轴线内导体半径为a，外导体半径为为b，内外导体间填充的介电常数为的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。内外导体间的电压同轴线故得同轴线单位长度的电容为三、电容和部分电容【解】建立球坐标系，设内球带电q1，球壳带电q2，则由高斯定理可求得球与球壳间的电场Ei以及球壳外的电场Eo（忽略地面的影响）【例3】已知金属内球半径为a，同心金属球壳（无限薄）半径为b，球壳不接地。球与球壳之间以及球壳以外均为空气。试求：该系统的部分电容以及对地总电容。ab12C12C22三、电容和部分电容【解】建立球坐标系，设内球带电q1，球壳带电q2【例3】已知金属内球半径为a，同心金属球壳（无限薄）半径为b，球壳不接地。球与球壳之间以及球壳以外均为空气。试求：该系统的部分电容以及对地总电容。ab12C12C22四、静电场的能量库仑定律静电场是保守场各向同性的线性介质四、静电场的能量Vt时刻带电体V的电位和电荷密度•建立电场过程缓慢（忽略动能与能量辐射）。假设:(根据静电场是保守场的基本特性)•电荷系统中的介质是线性的；•电场的建立与充电过程无关,导体上电荷与电位的最终值为

,在充电过程中，的增长比例为α，

t至t＋dt时间P点充电所做的功导体系统四、静电场的能量【例1】半径为a的球形空间内均匀分布有电荷体密度为ρ的电荷，试求静电场能量。

【解】方法一：利用计算。根据高斯定理求得电场强度

方法二：利用计算。先求出电位分布

五、静电力的虚位移求解广义坐标：描述一个完整系统的独立变数广义力：企图改变广义坐标的力功＝广义力×广义坐标对应的位移增量广义坐标参数数目N例：如图所示广义力功图：单摆约束方程就是转动力矩M=r×F图

多导体系统五、静电力的虚位移求解设(n+1)个导体组成的系统,只有P号导体发生位移，此时系统中带电体的电压或电荷将发生变化，其功能关系为外源提供能量静电能量增量=+电场力所作功常电荷系统（K打开）常电位系统（K合上）：五、静电力的虚位移求解【例1】计算带电肥皂泡的膨胀力。【解】设肥皂泡的电量为q，半径为a。利用常电荷系统公式，令式中广义坐标l代表体积V，则受到的膨