电能质量分析与控制2-肖湘宁

第二章电能质量的数学分析方法

第一节概述

电能质量主要的分析方法可以分为三种：时域、频域和基于数学变换的分析方法。时域仿真方法在电能质量分析中应用最为广泛。eg.:EMTP/EMTDC/NETOMAC系统暂态仿真MATLAB/PSPICE/SABER电力电子电路仿真第二章电能质量的数学分析方法

第一节概述频域分析方法主要用于电能质量中谐波问题。

频谱分布、谐波潮流计算基于数学变换的方法

主要指傅立叶变换方法、短时傅立叶变换方法、矢量变换方法以及小波变换方法和人工神经网络分析方法。第二节傅立叶变换与波形的数学分析方法一、非正弦周期信号分解为傅立叶三角级数周期性电压和电流等信号都可用一个周期函数表示为

f（t）=f（t+kT）（k=0，1，2……）（2-1）其中：T——基本周期非正弦周期函数满足狄里赫利条件时可分解为傅立叶级数，而在电气工程中所处理的光滑函数通常都能满足这个条件。

傅立叶的三角级数形式为（2-2）也可写成（2-3）式中——周期函数的角频率，

h——谐波次数。

比较式（2-2）和式（2-3），对h次谐波可得出下列关系利用三角函数的正交性，可求得为

从上面分析可知，傅立叶级数展开结果是离散的傅氏系数组合。电力系统的非正弦量往往有某种对称性，对称性可使傅立叶级数简化。奇对称偶对称镜对称双对称如，表2-1中的方波为奇函数，只含正弦项，将其坐标原点变为如图2-1（a）示，则其傅立叶级数为（2-4）但无论如何选择计时起点，总是有

把各次谐波的有名值或对于基波的相对值作成以谐波次数或谐波频率未横坐标的直线图，称为幅频谱图或简称频谱图。图2-1（b）为方波的幅频特性，第h次谐波的幅值与1/h成正比。傅立叶级数具有无穷项，但在实际工程中只截取有限项。表2-1中列出了常见的几种波形的傅立叶级数和表征畸变波形的系数。二、连续傅立叶变换设f（t）为以连续非周期时间信号，若f（t）满足狄里赫利条件及（2－5）那么，f（t）的傅立叶变换存在，并定义为（2－6）起反变化为（2－7）

是的连续函数，称为信号f（t）的频谱密度函数，或简称为频谱，它又可进一步分成实部和虚部、幅度谱和相位谱，即（2－8）（2－9）（2－10）式中称为幅度值，称为相位谱。显然，傅立叶变换的结果是连续谱。三、离散傅立叶变化为了计算傅立叶变换，需要用到数值积分，即取f（t）在R上的离散点的值来计算这个积分。

在实际应用中，我们希望在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工作，对信号的要求是：在时域和频域应是离散的，且都是有限长。由此，给出DFT的定义。

给定实的或复的离散时间序列，设该序列绝对可和，即满足，则（n＝0，1，…,N-1）（2－11）被称为序列的离散傅立叶变换。（n＝0，1，…,N-1）（2－12）被称为序列的逆离散傅立叶变换。式（2－12）中，n相当于对时间域的离散化，k相当于频率域的离散化，且它们都是以N点为周期的。而离散傅立叶序列是以为周期的，且具有共轭对称性。式（2－11）和式（2－12）又可表示为

(2-13)由此，对于离散傅立叶序列，我们可以用矩阵的形式进行表述

(2-14)离散傅立叶变换(DFT)是数字信号处理中最基本也是最常用的运算之一，它涉及到信号与系统的分析和综合这一广泛的信号处理领域，实际上其他许多算法，如相关、滤波、谐估计等也都可化为DFT来实现。由公式(2-13)可知，求出N点需要次复数乘法，N(N-1)次复数加法。众所周知，实现1次复数乘法需要4次实数相乘及2次实数相加，实现1次复数加法则需要2次实数相加。当N很大时，其计算量是相当可观的。例如，若N=1024，则需要1048576次复数实数相乘。所需时间过长，难以“实时”计算。四、内奎斯特定理和频谱混叠现象由离散傅立叶变换式(2-13)系数的共轭对称性，即，可以看出，即幅频特性是与纵坐标轴对称的。由的周期性，即及，可以看出，即幅频特性为周期性的偶函数(见图2-2)。当采样点数为N时，由式(2-13)仅给出N/2个频谱分量的数值。例如选取每周期128个采样点时，只能得到64个及以下的谐波幅值。

由此可以对采样定理作这样的解释：采样频率至少是原信号最高频率的2倍以上，即，采样才能正确地表述原信号的信息。通常将最高频率的2倍频率称为内奎斯特频率。由图2-3可见，当采样频率低于内奎斯特频率时，原信号中高于的频谱分量将会低于的频率中再现，即会出现频谱的混叠，会使频谱分析出现误差。

频谱的混叠为了防止出现频谱的混叠，可先使原信号提供带宽低于fs/2的低通滤波器，滤去高于fs/2的分量。对这样的信号采样并作离散傅立叶变换，所得频谱不发生混叠。这样原信号中低于fs/2的频率分量能够得到准确的表述，但是在滤波的过程中将会失掉高于fs/2的频率分量。例如对于方波信号，如果不经过低通滤波而对其采样作离散傅立叶变换，则会出现频率混叠而引入误差；如果经过低通滤波，比如使其只包含7次以下的谐波分量，则再对其采样作16点以上的离散傅立叶变换的频谱分析，使不会出现混叠。但这样已预先在方波中舍去了高于7次的谐波分量。

五、快速傅立叶变换

快速傅立叶变换(FFT)最早由J.W.Cooley和J.W.Tukey于1965年提出，他们巧妙地利用W因子的周期性和对称性，导出了高效的快速算法，即快速傅立叶变换算法(FFT)。FFT使N点DFT的乘法计算量由N^2次将为N/2log2次。以N=1024为例，计算量将为5120次，仅为原来的4.88%。因此人们公认，FFT的问世是数字信号处理发展史上的一个转折点，也可以称之为一个里程碑。

自J.W.Cooley和J.W.Tukey的快速傅立叶变换算法提出之后，围绕这一算法的新算法不断涌现。迄今为止，快速傅立叶变换的发展方向主要有两个：一个是针对N等于2的整数次幂的算法，如基2算法、基4算法和分裂基算法等。另一个是N不等于2的整数次幂的算法，它是以Winograd为代表的一类算法，如素因子算法和Winograd算法等。下面介绍经典的Cooley-Tukey时间抽取(DIT)基2FFT算法，对于其他的FFT算法，读者可参考有关书籍。时间抽取(DIT)基2FFT算法：

对于式(2-12)，令，M为正整数。我们可将按奇、偶分成两组，即令及，于是

(2-15)由于式中，故式(2-15)又可表示为

(2-16)

令(2-17)(2-18)那么(2-19a)

都是N/2点的DFT，是N点的DFT，因此单用式(2-19)表示并不完全。但由于

(2-19b)这样用就可完整表示(前N/2点用式(2-19a)表示，后N/2点用式(2-19b)表示)。时，及的关系如图2-4所示。由以上分析可见，只要求出区间内各个整数k值所对应的值，即可求出区间内的全部值，这一点恰恰是FFT能大量节省计算的关键所在。由此，一个

N点的DFT分解为两个N/2点

的DFT后，计算全部共需次复数乘法和次复数加法，而直接计算N点的DFT需要次复数乘法和次复数加法，由此可见，仅仅作了一次分解，即可使计算量差不多节省了一半。既然这样分解是有效的，由于，N/2仍然是偶数，所以可以进一步把每个N/2点子序列[即]再按奇偶部分分解为两个N/4点子序列。我们可按上述方法继续加以分解，则则可分别表示为

(2-20a)(2-20b)同理可得

(2-21a)(2-21b)若N=8，这时都是2点的DFT，无需再分，即上述过程可用图2-5表示。其基本运算单元如图2-6表示。

推广到点的DFT的一般情况，不难看出，第m次分解的结果是由点的DFT两两组成共个点的DFT。由于，通过次分解后，最终达到了N/2个两点DFT的运算，从而构成了由x(n)到X(k)的M级运算过程。其迭代过程如图2-7所示。

六、傅立叶变换的特点及其应用

1.傅立叶变换的特点傅立叶变换是时域到频域相互转换的工具。从物理意义上讲，傅立叶变换的实质是把这个波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加和。这样我们就可以把对原函数的研究转化为其权系数即傅立叶变换的研究。

从傅立叶变换式中可以看出，这些标准基是由正弦波及其高次谐波组成的，因此它在频域内是局部化的。虽然傅里叶谱变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从时域和频域对信号进行观察，但不能把二者有机结合起来。这时因为信号的时域波形中不包括任任何频域信息，而其傅里叶谱是信号的功能，完全不具备时域信息。也就是说，对于傅里叶谱中某一频率，不知道这个频率是什么时候产生的。这样，在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：时域和频域的局部化矛盾。

在电能质量分析领域中，傅里叶变换得到了广泛应用。但是，在运用FFT时，必须满足以下条件：①满足采样定理的要求，即采样频率必须是最高信号频率的2倍以上；②被分析的波形必须是稳态的、随时间周期变化的。当采样频率或信号不能满足上述条件时，利用FFT分析就会产生“频谱混叠”和“频谱泄露”现象，给分析带来误差。此外，对于一些非平稳信号，例如电能质量领域中的电压暂降等问题，由于信号在任一时刻附近的频域特征都很重要，且信号在局部有突变，对它们仅从时域或频域上分析是不够的，因此它们不适合用傅里叶变换来进行分析。这是由于FFT变换是对整个时间段的积分，时间信息得不到充分利用，且信号若有任何突变量，其频谱将散布于整个频带。这些问题，可采用后面介绍的小波变换来进行分析。2.快速傅里叶变换的应用在谐波分析仪中，一般都是对电压及电流两个时间信号同时进行采样，同时作频谱分析，以便快速给出它们的谐波幅值、相角以及谐波功率等。设有两个离散时间序列，它们的频谱序列分别为，由于两者均为实序列，故可作成复序列一起进行FFT计算。设

(2-22)

频谱算式为

(2-23)对按FFT方法计算，得

(2-24)(2-25)由于系数，故从而得(2-26)由式(2-24)及式(2-26)解得(2-27)所以，可以用两个实序列构成一个复序列，求其傅立叶变换，然后用式(2-27)求取两个实序列的傅立叶变换。谐波分析仪可以通过及时测定电网电压和电流中各次谐波的含有率和相角，从而掌握电网谐

谐波潮流分布、谐波阻抗和谐波放大等情况；另外，还可以用作电网谐波的实时监控。谐波分析仪主要由完善的数据采集系统和很强处理能力的FFT程序、统计分析程序以及实现各项功能的监控程序组成。其工作原理框图如图2-8

所示。

谐波分析仪的软件主要由实时数据采集子程序、FFT处理与统计子程序、功能操作子程序和显示与输出打印子程序四部分组成，其中FFT处理与统计子程序是软件的核心部分。谐波分析仪的基本工作流程如图2-9所示。

七、短时傅立叶变换

为了弥补傅里叶变换不能同时进行时域和频域局部分析的缺陷，DennisGabor于1946年提出了短时傅立叶变换(Short-timeFourierTransform，也称窗口傅立叶变换)。短时傅立叶变换的基本思想是：在傅立叶变换的框架中，把非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加，而短时性则是通过一个参数的平移来覆盖整个时域，也就是说采用一个窗函数对信号作乘积运算来实现在附近的开窗和平移，然后再进行傅里叶变换。其表达式为

(2-28)

式中——积分核，；

——的复共轭。由短时傅立叶变换公式得知，表示的是的以为中心、左右为的局部时间内的频谱特性。窗口宽度的大小决定了时间域的分辨率。式(2-28)中实际是[即加窗后的]的傅氏变换。设为窗口函数的傅氏变换，由（2-29）可知，在时，短时傅立叶变换实际上描述的是信号频谱经频域窗

卷积平滑后的结果[见式(2-29)]。其平滑作用对原函数频谱的影响由的窗口决定，因此窗口函数的频域窗口的大小又决定了短时傅立叶变换的频域分辨率。总之，短时傅立叶变换的时域和频域的分辨率是由窗函数在时域和频域的窗口大小直接决定的，一旦窗口函数选定，其时频分辨率就已经确定，并且不随频率和时间而变化。通常，为了提高时域、频域的分辨率，我们希望、都尽量小。但由傅立叶变换的性质可知，、不可能同时减小，其一方面的减小必引起另一方面的增大。因此，对同一窗口函数来说，时域、频域的分辨率是相关联的。著名海森堡测不准原理告诉我们：(c为一常数)，因此时域、频域的分辨率不可能无限地无限提高。

由此可见，短时傅立叶变换虽然在一定程度上克服了傅立叶变换不具有局部分析能力的缺陷，但也存在着自身不可克服的缺陷，即一旦窗函数选定，其时频分辨率就已确定，并且不随频率和时间而变化。对于要分析的非平稳信号来说，也许某一小时间段上是以高频信息为主，我们希望以小时间窗口进行分析，而在紧跟着的一个长时间段上的一些低频信息，我们希望以大时间窗口进行分析，因此，对一个时变的非稳态信号，我们很难找到一个“好的”时间窗口来适合不同的时间段，这是短时傅立叶变换的不足之处。再者，短时傅立叶变换很难实现高效算法，由此限制了期应用范围。

第三节小波变换与电能质量扰动识别

小波(wavelet)变换是由法国理论物理学家Grossmann与法国数学家Morlet等共同提出的，是当前应用数学中一个迅速发展起来的新领域。经过近十多年的探索与研究，小波变换的重要数学形式化体系已经建立，理论基础更加坚实。与傅立叶变换、窗口傅立叶变换(Gabor变换)相比，小波变换是时间和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取有用的信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行

多尺度细化分析(MultiscaleAnalysis)，解决了傅立叶变换不能解决的许多困难问题，因而赢得了“数学显微镜”的美誉。

小波变换在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、CT成像、地震勘探、大气与海洋波的分析、分形力学、故障诊断等许多方面都取得了具有科学意义和应用价值的重要成果。小波变换在电力系统分析中也有广泛的应用。除了微分方程的求解问题之外，原则上，能用Fourier分析的地方均可用小波分析，甚至能获得更好的结果。一、连续小波变换

定义1设,其Fourier变换为,当满足允许条件

(2-30)

时，我们称为一个基本小波或母小波(MotherWavelet)。将基本小波伸缩和平移后得

(2-31)

称其为一个小波序列。其中为伸缩参数，b为平移参数。对于任意函数的连续小波变换为

(2-32)其重构公式为

(2-33)

由于基本小波生成的小波在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以还应满足一般函数的约束条件

(2-34)故是一个连续函数。为了满足完全重构条件式(2-34),在原点必须等于0，即

(2-35)二、离散小波变换

伸缩参数和平移参数b为连续取值的小波变换是连续小波变换，主要用于理论分析方面。在实际应用中，需要对伸缩参数和平移参数b进行离散化处理，通常选取，，这里m，n是整数，是大于1的固定伸缩步长，且与母小波的具体形式有关。这种离散化的基本思想体现了小波变换作为“数学显微镜”的主要功能。选择适当的放大倍数，在一个特定的位置研究一个函数或信号过程，然后再平移到另一位置继续进行研究；如果放大倍数过大，也就是尺度太小，就可按小步长移动一个距离，反之亦然。这一点通过选择递增步长反比于放大倍数(也就是与尺度成比例)

很容易实现。而放大倍数的离散化则可由上述平移参数b的离散化来实现，于是离散小波可以定义为相应的小波变换

(2-36)

就称为离散小波变换。三、二进制小波变换

为了使小波变换具有可变化的时间和频率分辨率，适应待分析信号的非平稳性，我们很自然地需要改变和b的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。换言之，在实际中，经常采用的是动态的采样网络，最常用的是二进制的动态采样网络，即、,每个网络点对应的尺度为,而平移为。由此得到的小波

(2-37)称为二进制小波(DyadicWavelet)。二进制小波在分析信号时具有变焦距的作用。假定有一放大倍数为，对应地观测到信号的某部分内容。如果想进一步观看信号更小的细节，就需要增加放大倍数，即减少值；反之，若想了解信号更粗的内容，则可以减少放大倍数，即增大值。正是在这个意义上，小波变换被誉为数学显微镜。

定义2设函数，如果存在两个常数使得稳定性条件几乎处处成立，即

(2-38)则为一个二进制小波。若，则式(2-38)称为最稳定条件。而函数序列叫作的二进制小波变换，其中

上式相应的逆变换为二进制小波不同于连续小波的离散小波，它只是对尺度参数进行了离散化，而对时间域上的平移参量保持连续变化。因此，二进制小波不破坏信号在时间域上的平移不变量，这也正是它同正交小波基相比所具有的独特优点。四、多分辨分析

多分辨分析(Multi-resolutionAnalysis—MRA)，又称为多尺度分析，是建立在函数空间概念上的理论。其思想的形成来源于工程，其创建者S.mallat是在研究图像处理问题时建立这套理论的。当时人们研究图像的一种很普遍的方法是将图像在不同尺度下分解，并将结果进行比较，以取得有用的信息。Meyer正交小波基的提出，使得S.mallat想到是否可以用正交小波基的多尺度特性将图像展开，以得到图像不同尺度的“信息增量”。

正是这种想法导致了多分辨分析理论的建立。多分辨分析不仅为正交小波基的构造提供了一个简单的方法，而且为正交小波变换的快速算法提供了理论依据。多分辨分析思想又同多采样率滤波器组不谋而合，使得我们又可将小波变换与数字滤波器的理论结合起来。因此，多分辨分析在正交小波变换理论中具有非常重要的地位。

若我们把尺度理解为照相机的镜头的话，当尺度由大到小变化时，就相当于将照相机镜头由远及近地接近目标。在大尺度空间里，对应以远镜头来观察目标，只能看到目标大致的概貌；在小尺度空间里，对应以近镜头来观察目标，可观测到目标的细微部分。因此，随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗及精地观察目标，这就是多分辨(即多尺度)的思想。定义3

在空间中,多分辨分析是指满足下列条件的一个空间序列：（1）单调性：，对任意；（2）逼近性：,；（3）伸缩性：；（4）平移不变性：对于任意，有；（5）正交基存在性：存在，使得构成的正交基。

定理1

设是空间的多分辨逼近，则存在函数，使

(2-39)

构成的规范正交基，其中称为尺度函数。定理2

设是空间的多分辨逼近，为尺度函数，H为所对应的滤波器，空间是空间在上一级空间的正交补空间，则存在函数，其傅立叶变换满足

(2-40)使构成空间的规范正交基，其中称为小波函数，G为所对应的滤波器。设是在空间中的投影，分辨对应在分辨率下的平滑逼近，是在空间中的投影，对应量平滑逼近间的细节差异，则有如下关系

(2-41)其中

(2-42a)(2-42b)(2-42c)

式中——对应在分辨率下的离散逼近；

——对应在分辨率下的离散细节，亦即小波变换系数。由于分辨率为的多分辨率分析子空间可以用有限子空间逼近，即

(2-43)任何函数，都可根据在空间中的投影和在空间中的投影完全重构，即

(2-44)

五、Mallat算法

信号分析专家Mallat受金字塔算法的启发，以多分辨分析为基础提出了著名的快速小波算法——Mallat算法(FWT)，这是小波理论突破性的成果，其作用和地位相当于傅里叶分析中的快速傅立叶变换(FFT)。

Mallat算法的主要思想是：如已知信号在分辨率下的离散逼近，则信号在分辨率下的离散逼近可由尺度函数构成的低通滤波器对滤波而得；信号在两种分辨率下的离散逼近之差——离散细节，可由小波函数构成的高通滤波器对滤波而得。具体离散算法为

(2-45)

式中——分别为低通滤波器和高通滤波器的系数。从数字滤波器的角度来看，式(2-45)所描述的系数一次分解总过程可用如2-11表示。如以表示信号在尺度2°下的采样近似值，则连续重复以上过程可得如图2-11所示的原始采样信号多尺度小波分解过程算法。

通过图2-11所示的不断分解，可得信号在不同分辨率下的离散逼近和离散细节，从而可对信号进行所希望的分析。Mallat算法不仅包括小波分解过程算法，还包括小波重构过程算法。小波重构过程是小波分解过程的逆过程，是用低分辨率下的离散逼近和离散细节重新构造高分辨率下的离散逼近的过程。具体离散重构算法如下

(2-46)信号重构过程算法如图2-12所示。连续重复以上过程可得利用小波分解后的系数重构信号过程，如图2-13所示。小波变换的出现为电能质量分析提供了新的数学工具和研究方向。目前,国内外已有许多学者开始应用小波变换对电能质量若干问题进行研究,其应用主要集中在对电能质量扰动进行检测和定位、电能质量扰动信号数据压缩、电能质量扰动识别以及暂态电能质量扰动建模与分析等方面。在研究问题的过程中,一般采用的小波母函数有Morlet小波、Daubechies小波、样条小波、Meyer小波等,而采用的算法一般为Mallat在多分辨(多尺度)分析(MRA)基础上提出的塔式快速小波算法——Mallat算法。六、基于小波变换的电能质量扰动分析

一方面，在应用小波变换方法对电能质量扰动进行检测和定位的问题上,大量的文献表明,目前基于小波变换对电能质量扰动进行检测和定位所采用的小波及相应算法大体上可分为两大类。一种是连续小波变换。尽管这种方法具有检测精度高、抗噪性能好的优点,但由于计算量太大,使得它的实际应用受到了限制。另一种是离散正交小波变换。该方法具有实现简单、计算效率高{采用滤波器技术对长度为N的序列进行离散序列小波变换,需要O(N)次计算量,而采用FFT方法计算时需要O[Nlog(N)]次计算量}等优点,克服了连续小波变换的缺点,已成为电能质量扰动分析中普遍采用的方法。但由于该方法抗噪能力不如连续小波变换,当检测到环境中的背景噪声较强时,该方法的检测精度将大大下降。

另一方面，在电能质量扰动识别问题上，可采用小波变换和人工神经网络(ANN)相结合的方法，即将小波变换在每个尺度得到的扰动信息作为扰动信号的特征量，并将这些特征量作为相应ANN的输入信号，供ＡＮＮ来辨识扰动类型。该方法可对波形进行自动识别，并确定扰动类型。下面对小波分析在电能质量扰动检测和定位中的应用进行举例说明。

电压暂降(voltagesag)是配电系统中最常见的一种电压扰动，当系统中发生短路故障、大容量电动机启动、变压器或电容器组投切时，都可能引起电压暂降。近年来，微处理器控制设备和电力电子设备在工业中得到广泛的应用，这些设备对电压暂降特别敏感，电压暂降往往会导致设备损坏或误动作。因此，电压暂降已成为近年来各方面都很关注的电能质量问题，因而对它进行监测和统计也就显得特别重要。过去常采用电压下降深度和持续时间两个指标来表征电压暂降。这两个指标通常是从电压均方根值曲线得到的，因此，很难对敏感的电力电子设备在供电电压发生电压暂降的起止时刻、电压不平衡程度、畸变度和相位移等指标。其中，电压暂降扰动起止时间的精确确定则是为获取以上指标而首先要解决的问题。电压暂降的起止时刻常常对应着电压信号的奇异点，小波分析由于可在时-频域局部化，并且时窗和频窗的宽度可调节，所以能够检测到突变信号；当取小波母函数为平衡函数的一阶导数时，信号的小波变换的模在信号的突变点取得局部极大值；如再考虑多分辨(多尺度)小波分析，则随着尺度的增大，噪声引起的小波变换模的极大值点迅速减少，因而突变信号引起的小波变换模的极大值点得以显露，所以小波分析不但可以在低信噪比的信号中检测到突变信号，而且可以滤去噪声恢复原信号。因此可以通过小波分析来检测扰动产生的奇异点，从而实现对电压变换扰动起止时刻的精确确定。

小波变换的一个重要特点是能表征函数的奇异性。函数在某点具有奇异性，是指信号在该点间断或其阶导数不连续。在数学上，通常采用Lipschitz指数来表征信号的奇异性。如信号在点的Lipschitz指数，则称信号在点是奇异的。长期以来，傅立叶变换是研究信号奇异性的主要工具。一般可通过观察信号的傅立叶变换的衰减性判断其奇异性。

但由于傅立叶变换缺乏空间局部性，因而只能确定信号的整体性质，而难以确定奇异点在空间的位置及其分布情况。小波变换则具有很好的空间局部化性质，因而可用来分析信号的局部奇异性，通过信号的小波变换模的极值点在多尺度上的综合表现来表示信号的突变或暂态特征。

图2-14为一电压暂降扰动波形。由图可见，对应于电压暂降扰动发生时刻(点a处)和电压暂降扰动波形恢复时刻(点b处)，电压的时域波形具有局部奇异性。由于小波变换所得小波系数数值的大小取决于信号在奇异点附近的特性以及小波变换所选取的尺度，因而在较小的尺度上，它能够提供信号的局部化性质。因此，信号在突变点的奇异点可通过小波变换模的局部极小值来描述。1.信号奇异性检测原理

设积分为1而在无限远处衰减为0的任意光滑函数用表示。由于任何一个低通光滑函数的导数为带通函数，即满足，所以可作为小波变换的基本小波。用表示函数对尺度因子的伸缩，则对应尺度因子的小波函数为信号在尺度上对应于基本小波的小波变换为

(2-47)(2-48)对于固定的尺度，即信号的局部的突变点，而的零交叉点对应于[即信号被平滑函数平滑]的拐点。因此，当小波取为光滑函数的一阶导数[即]

时，小波变换模极大值的点对应于信号的突变点。另外，如在某区间，信号的小波变换系数在小尺度上无局部模极大值，则该信号在该区间无奇异性，信号的非Lipschitz指数的点集的闭包必定包含在信号的小波变换模极大值的闭包内。这说明信号所有奇异点的位置，在尺度趋于零的过程中都可沿小波变换模极大值线定位，即可以利用小尺度上的小波变换模极大值点的位置来检测信号的奇异点。

由于在电压暂降扰动信号发生的起止社科，电压波形中会出现一个细小的突变，通过小波变换可将这细小突变放大、显示，从而检测出这一突变，即能够检测出突变所对应的电压暂降扰动信号的发生时刻和恢复时刻，这两次突变的时间间隔即为扰动持续时间。这样，就可以实现对短时低电压扰动信号突变时刻的定位。2.检测中的信号去噪

由于实际电压信号的测量过程中总会引入噪声，即检测到的电压扰动信号是由原始扰动信号和噪声线性组合而成的。小波变换上线性变换，因此检测到的信号的小波变换值也是由原始扰动信号的小波变换值和噪声的小波变换值叠加而成的。这样，小波变换模极大值也就是有可能是由检测噪声所产生。因此，对于实际电压信号，当背景噪声信号较强时，仅利用小波变换模极大值检测其奇异点从而判断扰动的发生时刻和恢复时刻，有可能会产生较大误差。

定理3

函数的奇异点与小波变换模极大值之间有以下关系：如为函数的局部奇异点，即在该点上函数的小波变换有极大值，则在的某个领域内对任意给定的，存在一常数A，使在采用离散二进制尺度的小波变换中，上式变为。因此有

(2-49)由式(2-49)可知，如函数在t处的Lipschitz指数为正值，则随着j的增大，尺度不断增大，小波变换模极大值的幅值也变大；如函数具有负的Lipschitz指数，则情况相反。通常认为检测噪声为噪声，是一个几乎处处奇异的随机分布函数，具有负的Lipschitz指数。因此，由式(2-49)可知，其小波变换模极大值的幅值将随尺度j的增大而减小，从而主要集中在小尺度上。而一般电压扰动信号具有正的Lipschitz指数，其小波变换模极大值的幅值随尺度j的增大而增大。由此，可根据电压扰动信号噪声的小波变换模极大值在不同尺度上传递特性的不同，将扰动信号所对应的小波变换模极大值与由白噪声引起的小波变换模极大值区别开来，然后根据扰动信号所对应的小波变换模极大值点来判断电压电压暂降扰动的开始点和结束点的位置。3.电压暂降扰动信号检测算法

取光滑函数为三次样条光滑函数，则其一阶导数为紧支二次样条小波函数。对应的波形如图2-15所示。三次样条光滑函数和紧支二次样条小波函数相应的傅立叶变换分别为具有紧支集的二次样条小波函数相应的滤波器传递函数为采用上述小波在5个相邻尺度上计算信号的小波变换，并将其存入数组，检测在这5个相邻尺度上小波变换的极值。如在这5个相邻尺度上相应位置都有小波极值，而且其值不小于某一定值，则这一点便是候选点。

如上所述，检测噪声也可能产生小波变换模极大值，因此，需采用以下方法将其与扰动信号区别开来。在不同尺度上，当某小波变换的系数的模大于其相邻两点的值且至少严格大于其中一点的值时，记下该点坐标和相应的小波变换系数；然后，将不同尺度上的小波变换模极大值按尺度增加的次序排列起来，即可得信号的小波变换模极大值图。在小尺度上，小波变换的时间定位最精确，但由于检测噪声的存在，特别是当噪声较强时，有可能无法区分扰动信号的奇异点与检测噪声。但是，随着尺度数的增加，由扰动信号奇异点产生的小波变换模极大值逐渐增大，而由检测噪声产生的小波变换模极大值要比检测噪声产生的小波变换模极大值大得多，从而可将两者区别开来。为此，可在较大尺度上选择阈值，将每一小波变换模极大值与该尺度上的最大小波变换模极大值相比，如比值小于阈值，则说明该小波变换模极大值是由噪声产生的，可将其去除。然后对于尺度上余下的各极大值点向上搜索其对应的模极大值线，并将尺度上不在任一模极大值线上的极大值点舍去，则在小尺度上剩下的小波变换模极大值点中幅值最大的2个模极大值所对应的就是电压暂降发生的开始点和恢复点。4.仿真算例图2-16为实测的电压暂降扰动波形。图2-17为原扰动信号采用本文中提出的紧支二次样条小波函数在5个二进尺度上所得小波变换的结果。图2-18为原扰动信号及相应各尺度上小波变换模极大值。图2-19为原扰动信号去除检测噪声影响后各尺度上的小波变换模极大值。由图2-18可见，在第一级尺度上，由于检测噪声的存在，小波变换模极大值点的密度很大。随着小波变换尺度的增大，那些与检测噪声相对应的模极大值点的幅值不断减小，小波变换模极大值点的密度很快减小。由图2-19可知，在小尺度上，根据幅值最大的两个模极大值点，可以很容易地判断出相应的短时低电压发生的开始点和恢复点以及扰动的持续时间。仿真结果表明：信号的局部奇异性可通过信号的小波变换模极大值来表征。信号奇异点对应的小波变换模极大值与检测噪声对应的小波变换模极大值在不同的小波变换尺度上的传递性质上不同的。利用这一特性，可以用小波变换对电能质量分析中的电压暂降信号的局部奇异性进行分析，实现电压暂降扰动的产生、结束时刻的精确定位。

第四节矢量变换与瞬时无功功率理论

在电工技术中，常将一组变量以列矩阵来表示，并称其为矢量；一组变量的线性变换以矩阵形式表示称为矢量变换。在电能质量分析和控制中，往往通过矢量变换使问题的分析求解得以简化。例如，当三相供电系统供电电压为对称的正弦交流时，可通过矢量变换，用撤除负荷电流基波有功分量的补偿电流矢量作为可控变量，来实时补偿三相负荷的无功功率变动量，以抑制电力系统的电压动态变化。

矢量变换有多种形式，可分为变换、变换以及120变换等。

从坐标变换和电机工程的观点来看，变换和120变换属于定子坐标系变换，而变换属于转子坐标系变换。一、矢量变换

1.变换假定同步电机的定子三相绕组空间上互差120°，且通以时间上互差120°的三相正弦交流电，此时，在空间上会建立一个角速度为的旋转磁场。另外，若定子空间上有互相垂直的两相绕组,且在绕组中通以互差90°的两相平衡交流电流时，也能建立与三相绕组等效的旋转磁场,因而可用两相绕组等效代替定子三相绕组的作用。这就是变换的思路,也是变换的思路,也是变换的物理解释。如图2-20所示，习惯上取相轴线与a相轴线重合

(为的是使变换关系式简化并且具有统一的形式)，相绕组轴线则越前相

90°。从上面的分析可以看出，变换是根据电机双反应原理所作的变换，其变换后的参考坐标仍置于电机定子侧，abc三相正弦交流电流经过变换后，在两相绕组上呈现为两相交流电。

假设同步电机的定子三相绕组通以时间上互差120°的三相正弦交流电，其分别为，而经过变换后的两相电流分别为，则变换的公式为

(2-50)其反变换为(2-51)2.dq变换

变换，即著名的派克变换，是一种将参考坐标自旋转电机的定子侧转移到转子侧的坐标变换。1928年，派克(R.H.Park)提出用坐标系统来表示同步电机基本方程，奠定了同步电机暂态分析的理论基础、经过半个多世纪，变换在电能质量分析、无功补偿及电机调速等技术领域又开拓了新的应用。

如图2-21所示，定子三相绕组的轴线a、b、c顺序逆时针排列，转子d轴相对定子a相轴线逆时针以角速度旋转(初角度的选择任意)，q轴超前

d轴90°电角度。

从物理的角度来看，定子三相电流相量的作用与转子两轴线直流电流以角速度(相对定子a相轴线)旋转相当。相当于定子三相基波有功电流的作用，而相当于定子三相基波无功电流的作用。这就是变换的思路，也是变换的物理解释。其矢量图如图2-22所示。

由图2-22可得

(2-52)由式(2-52)可以解出

(2-53)

若由式(2-53)求解式(2-52)，则需增加一个方程，在有零序电流时增加，而在无中性线或无零序电流时，则增加。此外，为使三相和两相的变换功率守恒(即三相功率之和等于两相功率之和)，对变换系数进行修改，最终可得标准变换矩阵方程式为

(2-54)其反变换矩阵方程式为

(2-55)通过上面分析可以看出，经过变换、三相交流系统中的基波电流有功分量和无功分量在d-q坐标系表示为直流分量(相当于定子三相基波有功电流，而相当于定子三相基波无功电流)。换一个角度讲，当被变换的三相电流轴既有基波电流，又有高次谐波电流时，那么，经过变换后所获得的直流分量对应原来的h-1次谐波电流。因此，在电能质量分析中，可以利用变换及反变换的结果来获取除了基波成分之外的其他谐波分量之和。另外，通过以上分析可知，变换和变换的结果是有本质区别的。变换属于定子坐标系变换，其变换后的结果仍是频率保持不变的交流分量，且变换后两变量为正交分量；而变换则属于转子坐标系变换，其变换后的结果为直流分量(对应原来的基波电流)和谐波分量(对应原来的h-1次谐波电流)。【例2-1】若给出无中性线的三相不平衡波动负荷的三相电流，在电源仅向负荷提供与电压同相的基波有功电流的情况下，如何实现负荷的基波无功电流和谐波电流的补偿？解设三相不平衡波动负荷的三相电流分别为,

通过变换可得

(2-56)将上式中的计算结果分解为

(2-57)

式中——分别为的直流分量；

——分别为的交流分量。为补偿负荷的基波无功电流和谐波电流，而电源只向负荷提供与电压同相的基波有功电流，只要将变换至轴的电流，经选频电路滤除的直流分量，便可得欲被补偿的三相无功电流()，从而构成补偿电流矢量，以该矢量为可控变量，控制静止无功补偿器的输出。由反变换矩阵方程式(2-55)可算出补偿电流为

(2-58)上述变换矢量控制框图可用2-23表示。

3.120变换

120变换又称对称分量变换，它是一种把三相电流相量用正序、负序和零序对称分量来表示的变换。这种变换方法在《电力系统暂态分析》中已有详细阐述，这里不再作详细的说明，只列出其变换公式以供参考。其变换公式为

(2-59)

式中，互为共轭。

120变换的反变换公式为

(2-60)4.矢量相互变换的矩阵算式

(1)坐标系矢量和坐标系矢量

(2-61)(2-62)(2)坐标系矢量和120坐标系矢量

(2-63)(2-64)(3)坐标系矢量和120坐标系矢量

(2-65)(2-66)三、瞬时无功功率理论

三相电路瞬时无功功率理论由S.Fryze、

W.Quade和Akagi(赤木泰文)等先后提出，随后

得到广泛深入地研究并逐渐完善。该理论突破了传统的以平均值为基础的功率定义，系统地定义了瞬时无功功率、瞬时有功功率等瞬时功率量，以该理论为基础，可以得到用于有源电力补偿器的谐波和无功电流实时检测方法。此方法在工程应用中受到极大的关注。

1.瞬时有功功率和瞬时无功功率

设三相平衡电路各项电压和电流的瞬时值分别为和。为了分析问题方便，把它们变换到两相正交的坐标系上，经变换可以得到两相瞬时电压和两相瞬时电流，即

(2-67)(2-68)式中

在图2-24所示的平面上,矢量和分别可以合成为(旋转)电压矢量和电流矢量(实际上矢量和分别为和在轴和轴的投影)，即

(2-69)(2-70)

式中根据式(2-67)和式(2-68)引入瞬时有功功率和瞬时无功功率，有

(2-71)(2-72)式(2-71)和式(2-72)写成矩阵形式为

(2-73)

式中把式(2-67)、式(2-72)代入上式，可得出对于三相电压、电流的表达式

(2-74)(2-75)

由此可将和作出含项的分解。如果不作变换，在有中线电流的情况下，三相有3个独立电流分量，就不能唯一确定地将三相电流作出含项的分解，这就是为什么要作变换来分析的一个原因。

2.瞬时有功电流和瞬时无功电流

定义4

三相电路瞬时有功电流和瞬时无功电流分别为矢量在矢量及其法线上的投影，即

(2-77a)(2-77b)

式中定义5

相的瞬时无功电流(瞬时有功电流),为三相电路瞬时无功电流(瞬时无功电流)分别在()轴上的投影，即

(2-78a)(2-78b)(2-78c)(2-78d)

3.瞬时无功功率理论和传统功率理论比较

传统意义上的有功功率、无功功率等是在平均值基础上定义的，而瞬时无功功率理论轴的概念，都是在瞬时值的基础上定义的。瞬时无功功率理论中的概念，在形式上和传统理论非常相似，可以看成是传统理论的推广和延伸。下面分析三相对称电压和电流均为正弦波时的情况，设三相电压、电流分别为