第二章24 初等积分法

第二章初等积分法2.4初等变换一、变量变换与可化为变量分离的方程(2.1)—齐次方程解法：作变量代换：代入原式，得可分离变量的方程例6求微分方程解原微分方程的通解为：例7抛物线的光学性质实例:探照灯反射镜面的形状.在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将光源射出的光线平行地反射出去，以保证探照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状.解绕x轴旋转而成.则求反射镜面的问题归结为：求xOy面上的由光的反射定律：PSx∴得微分方程PSx①①式化为变量代回，得旋转抛物面：为齐次方程.（其中h和k是待定的常数）否则为非齐次方程.解法：类型2′(2.1)´——准齐次方程有唯一一组解.求其通解，再变量代回xyo齐次方程即可得到原方程(2.1)´的通解.上述方法不能用.(2.1)为可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程.解代入原方程得例8分离变量法得得原方程的通解方程变为例9利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为例10例11传染病SI模型.1.建立模型假设：在疾病传播期内，所考察地区的总人数N

不变，且时间以天为单位；(2)人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类，简称健康者和病人：(3)每个染病者每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率.由假设，每个病人每天可使s(t)个健康者变成病人于是2.求解变量分离方程3.解释与预测iotioio当t=tM时，病人增加得最快，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻.由图可知：

tM与成反比.tioio由于日接触率表示该地区的卫生水平，越小卫生水平越高.所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来.

这表明：所有人终将被传染，全变为病人.这显然不符合实际情况.原因：该模型没有考虑病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，而病人不会再变成健康者.可修改SI模型如下：在SI模型的假设(1)、(2)、(3)下,再增加一条假设：易得到修改的模型(SIS

模型)：(4)病人每天被治愈的占病人总数的比例为，称为日治愈率.病人治愈后成为仍可被感染的健康者.补(习题)常数变易法齐次线性方程的通解为：1º齐次线性方程：分离变量：2º非齐次线性方程：作变换变量分离方程积分得一阶非齐次线性微分方程(3.1)的通解为:2.常数变易公式1

常数变易法的实质:注未知函数的变量代换法，通过变量代换将原方程化为可分离变量的方程.2在常数变易公式(3.3)中，应将积分解PQ得例3例4解一阶线性方程解关于y非线性关于x为线性方程例5通解：方程为线性微分方程.

方程为非线性微分方程.求解法:

用变量代换化为线性微分方程.二、可化为线性方程的方程———伯努利(Bernoulli)方程代入上式，得——关于z的线性方程通解：解例6用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为例7解分离变量法得所求通解为解代入原式分离变量法得所求通解为另解：———黎卡提(Riccati)方程一般地，黎卡提方程不能用初等积分法求解.如：1841年，法国数学家Liouville证明了黎卡提方程：不能用初等积分法求解.然而，在某些特殊情形下也可用初等积分法求解.定理证——n=2时的伯努利方程注1º到目前为止，关于黎卡提方程在何种条件下可用初等积分法求解的研究仍在继续进行中.2º黎卡提方程在历史上和近代都有重要的应用.例如：它曾用于证明贝塞尔方程的解不是初等函数；此外，它还出现在现代控制论和向量场分支理论的一些问题中.例8解易观察出，代入原方程代入此方程变