理论力学 第12章 达朗贝尔原理

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目录TheoreticalMechanics12.1主要内容12.2基本要求12.3重点讨论12.4例题分析12.5典型习题返回首页

第12章达朗贝尔原理

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第12章达朗贝尔原理

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第12章达朗贝尔原理

12.1.1质点的达朗贝尔原理设一质量为m的质点M，在主动力F、约束力FN的作用下运动，根据牛顿第二定律ma=F+FN

移项后整理得F＋FN＋FI=0其中FI

=–ma称为惯性力，它可表述为：质点在作非惯性运动的任意瞬时，对于施力于它的物体会作用一个惯性力，这个力的方向与其加速度的方向相反，大小等于其质量与加速度的乘积。此式表明：在质点运动的任意瞬时，如果在其质点上假想地加上一惯性力FI

，则此惯性力与主动力、约束力在形式上组成一平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。

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第12章达朗贝尔原理

12.1.2质点系的达朗贝尔原理设某质点系由n个质点组成。如果在某质点mi上假想地加上一惯性力FIi＝–miai

则对于整个质点系来说，在运动的任意瞬时，虚加于质点系上各质点的惯性力与作用于该系上的主动力、约束力将组成一平衡力系，即

这就是质点系的达朗贝尔原理。

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第12章达朗贝尔原理

12.1.3刚体惯性力系的简化

（１）刚体平移平移刚体的惯性力系可简化为一合力FI=–maC

它的作用线通过刚体的质心，方向与平移加速度的方向相反，大小等于刚体质量与加速度的乘积。（２）定轴转动

惯性力系简化的主矢为绕定轴转动刚体的惯性力系向转轴上任意点O简化时，惯性力主矢、主矩由上式计算。但应注意，惯性力系的简化结果，主矢和主矩必须作用在同一个简化中心上。

惯性力系对简化中心O的主矩为

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第12章达朗贝尔原理（３）平面运动

随同质心平移而虚加的惯性力系将合成为一合力FI，合力作用线通过质心，方向与aC的方向相反，大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，即FI＝–MaC

主矩为一惯性力偶矩，且作用于质心C处，它的转向与角加速度的转向相反，大小等于角加速度与刚体对于质心的转动惯量的乘积，即MIC=–IC

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第12章达朗贝尔原理根据达朗贝尔原理求解可知，轴承动约束力由两部分组成：一是由主动力引起的，与运动无关，为静约束力；二是由惯性力主矢、主矩引起的，为附加动约束力。若xC＝yC＝0，Ixz＝Iyz＝0，则轴承动约束力为零。所以，为了消除轴承的附加动约束力，刚体绕定轴转动时，刚体的转轴必须是中心惯性主轴。

12.1.4定轴转动刚体的轴承动约束力设刚体上的惯性力系向O点简化的主矢和主矩为

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第12章达朗贝尔原理

12.1.5静平衡和动平衡简介

（１）静平衡

当刚体的质心在转轴上时，称刚体为静平衡。（２）刚性转子动平衡

当刚体的质心在转轴上，且作匀速转动时，轴承处的附加动反力等于零时称为动平衡。动平衡的刚体必然是静平衡，但静平衡的刚体不一定是动平衡。

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第12章达朗贝尔原理

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第12章达朗贝尔原理12.2基本要求

１.对惯性力的概念有清晰的理解。

２.熟练掌握质点系惯性力简化的方法，能正确地计算平移、定轴转动和平面运动刚体的惯性力主矢和主矩。

３.能熟练地应用达朗贝尔原理求解动力学问题及求解定轴转动刚体对轴承的附加动约束力。

４.了解静平衡与动平衡的概念及其转子质量均衡调试的方法。

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第12章达朗贝尔原理

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第12章达朗贝尔原理12.3重点讨论１.惯性力不是真实作用在质点上的力，当质点与周围物体相联系时，它表现为质点对周围施力物体的反作用力的合力。惯性力是假想的加在质点或质点系上的虚拟力，真正作用在质点或质点系上的力是主动力和约束力。２.特别应注意在计算惯性力问题的主矢、主矩时，其作用点必须是相应的简化中心，因为主矩与简化中心有关。３.达朗贝尔原理是将牛顿定律的右端移到等式左端，从形式上变为静力学的平衡方程式，故又称为静法，是用静力学的平衡方程求解动力学的一种方法。

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第12章达朗贝尔原理12.3重点讨论向O点简化：向质点C点简化：作用在C点作用在O点例如：对于有惯性主轴物体的定轴转动的惯性力主矢、主矩与简化中心的关系为

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第12章达朗贝尔原理

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第12章达朗贝尔原理例12-1已知：均质杆AB的质量为m，球铰链A和绳子BC与铅垂轴OD相连，绳子的重量略去不计，小环可沿轴滑动，如图示。设AC＝BC＝l，CD＝OA＝l/2，匀角速度为，求绳子的张力、铰链A的约束力及轴承O、D的附加动约束力。解：研究AB杆作用点在距A点(2/3)AB处，由达朗贝尔原理

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第12章达朗贝尔原理FOy＝mg附加动约束力为 解得以整体为研究对象解得

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第12章达朗贝尔原理例12-2均质圆盘半径为r，质量为m，在重力作用下沿倾角为的斜面向下作纯滚动，求圆盘下降的加速度及斜面的摩擦力。解：1）研究圆盘，画受力图。由达朗贝尔原理解得

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第12章达朗贝尔原理例12-3均质直角构件ABC

，AB、BC的质量各为3.0kg，l=1.0m。假若突然剪断绳子，。求此瞬时连杆AD、BE所受的力。解：研究ABC杆，ABC作平移运动，初瞬时＝0，所以，受力图如图示，由达朗贝尔原理解得

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第12章达朗贝尔原理例12-4在悬臂梁AB的B端装有质量为mB、半径为r的均质鼓轮，如图示，一主动力偶，其矩为M，作用于鼓轮以提升质量为mC的物体。设AB=l，梁和绳子的自重都略去不计。求A处的约束力。解：研究鼓轮及物块mc，设物体mc上升加速度为a，则鼓轮角加速度为

=a/r，所以惯性力分别为a根据达朗贝尔原理解得

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第12章达朗贝尔原理研究整体解得解得

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第12章达朗贝尔原理例12-5传动轴上安装有两个齿轮，质量分别为m1、m2，偏心距分别为e1和e2。在图示瞬时，C1D1平行于z轴，该轴的转速是n。求此时轴承A、B的附加动约束力。解：研究AB轴，受力图如图示

根据达朗贝尔原理解得

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第12章达朗贝尔原理轴承A，B的附加动约束力为解得

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第12章达朗贝尔原理例12-6定滑轮的半径为r，质量为m0。软绳两端悬挂质量分别为m1、m2的物体，m1>m2。假设滑轮的质量均匀分布在轮缘上，求物体运动的加速度和轮轴O的约束力。解：已知m1>m2，则M1向下运动，M2向上运动。加速度为a，滑轮的角速度、角加速度为及，则有a＝r。

根据质点系的达朗贝尔原理

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第12章达朗贝尔原理解得

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第12章达朗贝尔原理例12-7图示装有圆盘的轴可绕水平轴转动。已知：两个质点的质量分别为m1＝0.5kg、m2＝1kg。圆盘的厚度为2cm。密度为7.8×103kg/m3，c＝e＝9cm，b＝18cm。为了动平衡，在盘上离轴d＝8cm处各钻一孔。求孔的直径d1、d2和方位角1、2。解：研究圆盘与轴，其惯性力分别为其中

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第12章达朗贝尔原理代入数据，得1＝-18.4，2＝-71.6由达朗贝尔原理

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第12章达朗贝尔原理例12-7均质圆柱体重为P，半径为R，由静止自O点开始纯滚动。平板对水平线的倾角为，试求OA=S时平板在O点的约束约束力。板的重力略去不计。解：1.研究圆柱体P即解得由达朗贝尔原理

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第12章达朗贝尔原理列出平衡方程：解得(2)用达朗贝尔原理求约束力,取系统为研究对象

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第12章达朗贝尔原理例12-8

绕线轮重P，半径为R及

r

，对质心O转动惯量为IO，在与水平成角的常力FT

作用下纯滚动，不计滚阻。求：(1)轮心的加速度；(2)分析纯滚动的条件。解：用达朗贝尔原理求解绕线轮作平面运动（纯滚动）由达朗贝尔原理，得将FI、MIO代入上式，可得

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第12章达朗贝尔原理纯滚动的条件

F≤fFN

解得解得

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第12章达朗贝尔原理例12-9在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试求：鼓轮A的角加速度。解：方法1用达朗伯原理求解,取轮O为研究对象，惯性力偶矩列出平衡方程：取轮A为研究对象，惯性力FIA

和惯性力偶MIA如图示。

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第12章达朗贝尔原理将MI，FIA，MIA及运动学关系代入并联立求解得列出动静方程运动学关系

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第12章达朗贝尔原理方法2动能定理求解，取系统为研究对象由两边对t求导数：得

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第12章达朗贝尔原理方法3：用动量定理、动量矩定理求解。

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第12章达朗贝尔原理例12-10质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为I，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。解：方法1用达朗伯原理求解取系统为研究对象,惯性力和惯性力偶为由动静法：列补充方程：得

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第12章达朗贝尔原理方法2用动量矩定理求解根据动量矩定理取系统为研究对象

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第12章达朗贝尔原理取系统为研究对象两边除以dt，并求导数，得方法3用动能定理求解

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第12章达朗贝尔原理

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第12章达朗贝尔原理

12-1已知物块与水平臂之间的摩擦系数fS

=0.2，水平臂下降加速度为a。求

1）a为多大，物块不滑？2）h/d为多大，物块在滑动之前先倾倒？

答：

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第12章达朗贝尔原理

12-2已知半径为r的圆轮对轴O的转动惯量为I，轮上作用有恒力偶矩M，轮缘上的销子C推动质量为m的滑槽ABD沿水平滑道运动，滑道处摩擦系数为f，其余各处光滑。求圆轮的转动微分方程。答：

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第12章达朗贝尔原理

12-3已知车重心为G，加速度为a，以及尺寸b、c、h；求前后轮的压力；又a为多大，方可使前后轮压力相等。

答：

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第12章达朗贝尔原理

12-4已知均质曲杆随转轴以匀角速度转动，OC=OB=a，欲使AB及CD段的横截面上只受沿杆的轴向力。求AB、CD段的曲线方程。

答：

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第12章达朗贝尔原理

12-5已知调速器外壳质量m2，两相同圆盘质量皆为m1，尺寸a、l，不计摩擦。求匀速转动时，调速器转速与圆盘偏转角的关系。

答：

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第12章达朗贝尔原理

12-6已知小球质量皆为m，当转速

=0时，铰接于转轴上O点的无重杆CD偏角

=0，扭转弹簧的恢复力矩为M=k(

0)。求轴的转速与偏角的关系。

答：

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第12章达朗贝尔原理

12-7已知直角均质杆以匀角速度随铅垂轴转动。求偏角与的关系。

答：

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第12章达朗贝尔原理

12-8已知火箭加速度为a，卫星整流罩从图(a)位置开始自由倒下，转到90位置时自动脱落。整流罩质心为C，OC=r，质量为m，对O点回转半径为。求

整流罩在脱落位置时的角速度。

答：

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第12章达朗贝尔原理

12-9已知均质矩形板质量m=27kg，突然撤去销子B。求此瞬时板的角加速度e和A处反力。

e

=47rad/s2FAx

=95.34

NFAy

=137.72N答：

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第12章达朗贝尔原理

12-10已知塔轮半径是R和r，重为P，对轴O转动惯量为IO，在质量为m1和m2的悬挂物作用下顺时针转动。求角加速度e和轴O处附加动约束力。

答：

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12-11