生医信号处理课件1随机信号数字特征

信自学院生医系生物医学信号处理第一章随机信号分析21.1随机信号概述1.1.1信号的一般分类一、确定性信号和随机信号1、确定性信号：2、随机信号（随机过程）：3图中每一条曲线代表随机信号的一个样本随机信号X(t)二、周期信号与非周期信号三、连续时间信号与离散时间信号41.1.2随机过程的分类5一、按照随机信号X（t）的时间和状态是连续还是离散来分类：

1、连续型随机过程

2、连续随机序列63、离散随机过程

4、离散随机序列

7二、按照随机信号的样本函数形式的不同来分类：1、确定的随机信号：2、不确定的随机信号：8三、

按照随机过程的分布函数（或概率密度）的不同特性进行分类9按照随机过程的功率谱特性宽带的和窄带的白色的和有色的1.2单一随机信号的基本特征10为了完整地描述随机信号统计特征需要采用随机信号各个时刻取值的高阶概率密度函数，即每一时刻一阶概率密度函数

每一时刻二阶概率密度函数

每一时刻三阶概率密度函数采用阶数越高，描述越完整，但实际很难做到，处理计算太繁琐，很少采用。通常用一阶、二阶统计特征描述，如均值、均方、自相关函数、功率谱等。1.2.1概率密度函数（概率分布）11概率密度函数是随机变量分布函数的导数，表示随机变量取值的统计特性。随机过程的概率分布函数一、

一维概率分布（一阶概率密度）对于任意的时刻t，X(t)是一个一维随机变量，设x为任意实数，定义为随机过程X(t)的一维分布函数。12若的一阶偏导数存在，则定义

为随机过程X(t)的一维概率密度。13二、

二维概率分布（二阶概率密度）对于随机过程X(t)，在任意两个时刻t1和t2可得到两个随机变量X(t1)和X(t2)，可构成二维随机变量{X(t1),X(t2)}，它的二维分布函数称为随机过程X(t)的二维概率分布函数。若对x1,x2的偏导数存在，则定义为随机过程X(t)的二维概率密度。14三、n维概率分布（n阶概率密度）对于任意的时刻t1,t2,…,tn，X(t1),X(t2),…,X(tn)是一组随机变量，定义这组随机变量的联合分布为随机过程X(t)的n维概率分布，即定义为随机过程X(t)的n维概率分布函数。为随机过程X(t)的n维概率密度。1.2.2随机信号的数字特征15概率密度函数能完整地表现随机变量和随机信号的统计特性，但是实际中往往很难求其概率密度函数。处理后信号也并不需要了解其全部统计特性，这时只需了解随机过程在某一时刻的平均值和实际值相对于这个平均值的分散程度，所以可以引用随机变量的均值、方差等数字特征。随机变量常用数字特征：随机信号常用数字特征：一、

数学期望（均值）：反映随机过程在各时刻的平均值16对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变量，将这个随机变量的数学期望定义为随机过程的数学期望，记为mX(t)，即二、均方值（方差）17均方对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变量，该随机变量X(t)的二阶原点矩称为随机过程的均方。方差对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变量，该随机变量X(t)的二阶中心矩称为随机过程的方差，记为D[X(t)]，即1819

三、自相关函数和协方差函数20数字特征表示单一时刻随机变量的特征，自相关函数表征信号在不同时刻取值间的关联程度。21

1、自相关函数——t1时刻随机变量X(t1)和t2时刻随机变量X(t2)乘积的统计均值。

222、自协方差函数——把均值（直流分量）除去后做剩余部分的相关函数。

设X(t1)和X(t2)是随机过程X(t)在t1和t2二个任意时刻的状态，称X(t1)和X(t2)的二阶联合中心矩为X(t)的自协方差函数233、二者关系补充定理241、求极限与求数学期望次序可换2、随机信号的积分运算与数学期望运算次序可换3、随机信号导数的数学期望等于其数学期望的导数4、随机信号导数的自相关函数，等于可微随机信号自相关函数的二阶混合偏导数5、随机信号积分运算与数学期望运算次序可换6、求随机信号积分的相关函数，只要对随机信号的相关函数作两次积分即可1.3平稳随机过程和遍历性过程

1.3.1平稳随机过程25一、严平稳随机过程及其数字特征1、严平稳随机过程的定义：2、严平稳随机过程的一、二阶概率密度函数及数字特征26二、宽平稳随机信号

1.3.2遍历性过程27为了求X（t）的统计特性，需要知道X（t）无穷多个样本，这在实际工作中显然是不现实的。因为我们在实际工作中能得到的往往是一次实验记录，也即一个样本函数。既然平稳随机信号的均值与时间无关，自相关函数又与时间选取的位置无关，那么，能否用一次的实验记录代替一族记录来计算的均值和自相关函数呢？对一部分平稳信号，答案是肯定的。一、遍历性过程的定义1、随机过程的两种时间平均-----时间均值和时间相关函数2、严遍历性过程的定义：各种时间平均依概率1收敛于相应的集合平均28

293、宽遍历性过程的定义30

其中满足①称X（t）的均值具有遍历性；满足②称X（t）的自相关函数具有遍历性。31随机信号的各态遍历特性(ergodicity)，使我们能由单一样本函数的时间平均来代替集合（ensemble）平均。随机信号的平稳特性可使我们能从任意时间原点开始求取统计特征，使得在实际工作中，估计统计平均量成为可实现。思考题信号的取值在+1与-1之间均匀分布，但对每一个样本，信号的值不随时间变化。求：总体均值？时间均值？32思考题信号的取值是二值的（0或A)，每隔T秒变一次，但每次的具体取值是随机且相互独立的，取0和取A的概率各为1/2。问其均值意义下是否平稳？是否各态遍历？331.3.3平稳随机过程相关函数的性质34（4）（5）（6）35（7）（8）361.4随机过程的联合概率分布和互相关函数

1.4.1两个随机过程的联合概率分布设两个随机过程X(t)和Y(t)，它们的概率密度分别为：则它们的n+m维联合概率密度函数为3738随机过程X(t)和Y(t)的四维联合概率密度1.4.2互相关函数设有两个随机过程X(t)和Y(t)，它们在任意两个时刻t1、t2取值为随机变量X(t1)和Y(t2)，则它们的互相关函数为：39互协方差函数设有两个随机过程X(t)和Y(t)，它们在任意两个时刻t1、t2取值为随机变量X(t1)和Y(t2)，则它们的互协方差函数为：40两个随机过程的几种关系414、5、两个宽平稳随机过程X(t)和Y(t)联合宽平稳（或称宽平稳相依）的条件：421.4.3联合宽平稳随机过程的互相关函数的性质43当两个随机过程联合平稳，时间互相关函数等于集合互相关函数时，称两者具有联合宽遍历性。441.5离散时间随机过程

随机信号的采样定理：如果随机信号x(t)的功率谱是限带的，其最高频率成分为fmax，当采样间隔Ts<1/(2fmax)时，则采样值的加权和45可以保证：即在均方误差意义下收敛于x(t)。1.6.1离散时间随机过程的定义和概率分布一、定义：若参量t取离散值t1，t2，t3，…，tn时，这种随机过程称为离散时间随机过程。二、概率分布4647数学特征是时间n的函数一、均值（数学期望）二、均方与方差1.6.2离散时间随机过程的数字特征48三、自相关函数与自协方差函数若随机过程是平稳的，则定义49广义平稳离散时间随机过程满足：50四、遍历性与时间平均量实离散时间随机过程的时间均值为时间自相关函数为以上两个时间平均量一般都是随机变量51宽遍历随机序列：设X(n)是一个平稳随机序列，如果皆依概率1成立，则称X(n)为宽遍历随机序列。5253实际中往往求均值和自相关函数的估值54两个随机序列具有联合宽遍历性的条件：1.6平稳随机过程的谱分析

1.6.1随机过程的谱分析一、随机过程的功率谱密度对于随机过程来说，由于它的持续期为无限长，因而它的任何一个非零样本函数都不满足绝对可积与能量可积条件，所以它的傅立叶变换不存在。但是样本函数的功率是有限的，即有因此研究随机过程的功率谱是有意义的55令x(t)表示随机过程X(t)的任一样本函数，在x(t)中任意截取长为2T的一段，记为56当T为有限值时，截取函数满足绝对可积的条件，因此其傅立叶变换存在，有定义随机过程的功率谱密度为：57两个结论1、一般随机过程平稳随机过程2、功率谱描述了随机过程的功率在各个不同频率上的分布。581.6.2平稳随机过程功率谱密度的性质591.6.3功率谱密度与自相关函数之间的关系确定性信号与它的频谱函数之间构成傅立叶变换对。一般随机信号：广义平稳随机过程：60常见确定性信号的傅立叶变换611.6.4联合平稳随机过程的互谱密度62二、互谱密度与互相关函数的关系631、一般随机信号：各自平稳且联合平稳的随机过程：三、互谱密度的性质641.6.5离散时间随机信号的功率谱密度651.7几种典型的随机信号

1.7.1正态（高斯）随机过程66一、正态（高斯）随机过程的一般概念二、正态过程的性质671.7.2白噪过程一、理想白噪