理论力学 2 汇交力系

2汇交力系汇交力系（Concurrentforcesystem）是指作用在物体上的所有力的作用线汇交与同一点的力系。平面汇交力系：各力作用线在同一平面内且汇交于同一点的力系。空间汇交力系：各力作用线不在同一平面内且汇交于同一点的力系。2.1

汇交力系合成的几何法

2.1.1合成的几何法F

1F2F3F4AF

RaF2bF3cdF4FRoF1FR1FR2FR=F1+F2+F3+F4（2-1）汇交力系一般可合成为一合力，合力的作用线通过力系的汇交点，合力矢FR等于力系各力的矢量和(见图2-1)。图2-1

把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形（Forcepolygon）

见图2-2。2.1.2力的多边形规则aF2bF3cdF4FRoF1F2F3F4FRF1对空间汇交力系，仍可接上述确定力的多边形，且主矢仍由式（2-1）确定。但空间汇交力系的力多边形是空间折线多边形。给实际作图带来困难。图2-22.2

汇交力系平衡的几何法设刚体上作用n个作用线汇交与同一点的汇交力系F1、F2、…、Fn，则该刚体平衡的必要与充分条件为合力矢等于零矢量。（2-2）汇交力系平衡的必要与充分的几何条件：力多边形自行封闭。例2-1如图2-3所示托架。A为铰链，B、C为固定铰支座，在托架的C处作用有力F，F=10kN，不计各杆重。试求AB、AC杆所受的力。解：(1)取整个托架作为研究对象。(4)解出：(2)画出受力图。(3)应用平衡条件画出闭合力三角形。

30

oABCFFBABCFFC30

oFCFBF30

oabc图2-3(a)(b)2.3

汇交力系合成与平衡的解析法（2-3）

2.3.1力在坐标轴上的投影按照矢量的运算规则，可将一个力矢分解成两个或两个以上的分力。最常用的是将一个力分解成为沿直角坐标轴x、y、z的三个分力。其中i、j、k是沿坐标轴正向的单位矢量，

Fx、Fy、Fz分别是力F在x、y、z轴上的投影，如图2-4所示。图2-4

2.3.1.1直接投影法（2-5）（2-4）力在某一轴上的投影，等于该力与沿该轴方向的单位矢量之标积。如果已知F与坐标轴正向的夹角分别为a、b、g(见图2-5)，则图2-5

这结论不仅适用于力在直角坐标轴上的投影，也适用于在任何一轴上的投影。例如，设有一轴x，沿该轴正向的单位矢量为n，则力F在x轴上的投影为设n在坐标系Oxy中的方向余弦为l1

、l2

、l3

，则

（2-6）

2.3.1.2二次投影法

若已知的是力F与坐标轴z的夹角为j，以及力F在平行于xy平面上的投影F′与x轴正向的夹角q

，如图2-6所示。则力F在坐标轴上的投影为（2-7）若已知力F在x、y、z

轴上的投影Fx

、Fy、Fz

，则可求得力F的大小及方向余弦为

（2-8）

（2-9）图2-62.3.2汇交力系合成的解析法由式（2-1）可得汇交力系的合力矢为

（2-10）

设刚体上作用有汇交力系F1、F2、…、Fn

。在刚体上n个力的汇交点处建立标准正交坐标系{0；i、j、k}。则力矢F1、F2、…、Fn可表示为由式（2-10），得合力矢的大小及方向余弦为（2-11

）

（2-12）解(1)求合力矢FR在坐标轴上的投影：(2)求合力矢FR的大小及方向余弦

合力矢FR的方向角为

例2-2

如图2-7所示平面汇交力系，已知：试求汇交力系的合力矢。图2-72.3.3汇交力系平衡的解析法设在刚体上作用汇交力系F1，F2，…，Fn，则由式（2-2）汇交力系平衡的必要与充分条件及式（2-11）得

（2-13）汇交力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系中各力在直角坐标轴上的投影的代数和均为零。式(2-13)称为空间汇交力系的平衡方程（Equationsofequilibriumofthreedimensionalconcurrentforcesystem）

。此式包含三个独立方程，可求解三个未知量。对于平面汇交力系，可取力系作用面为坐标平面Oxy，则有意义的平衡方程只有两个，即

（2-14）平衡方程式（2-13）虽然是在直角坐标系下推导的，但在实际应用中，三根投影轴并不限定必须相互垂直，只要三个投影轴既不共面，又不相互平行即可。根据这一原则，可恰当选取投影轴，以简化计算。例2-3如图2-8所示简易起重设备，重力G=20kN的重物吊在钢丝绳一端，钢丝绳另一端绕过定滑轮A接在绞车D上。A、B、C处为铰链连接。不计滑轮和各杆重力。试求重物匀速提升时，杆AB、AC作用于滑轮上的力。GABCD30º

30º

FT2FACFT1A解：取滑轮作为研究对象，作其受力图(见图2-9)。FAB图2-8FT2FACFT1yxAFAB建立坐标系Axy，列平衡方程有

（1）

（2）联解式（1）、式（2）得kNkN（与假设相反）图2-9例2-4杆系由球形铰链连接，位于正方体的对角线上，如图2-10所示。在节点B沿

BG边铅直向下作用力F。如球形铰链H、K和L固定，杆重不计，求各杆的内力。解：

取节点B为研究对象，作受力图312yzxFGKLDCHBAaF2F