第三章 离散Fourier变换

第三章离散Fourier变换Chapter3DiscreteFourierTransform由于数字信号处理器只能处理离散信号，所以我们需要继续将离散时间序列进行频域离散化（即就是要找到依赖于离散时间变量到依赖于离散频率变量之间的一种映射关系）——这就是DFT的作用。仅此变换对适合于在数字信号处理器上实现总之，一个域的离散就必然造成另一个域的周期延拓，而一个域的非周期与另一个域的连续是相对应的。3.1离散Fourier变换的定义1.定义（1）x(n)是有限长序列，且长度为M。与Fourier变换和z变换不同，n仅定义在[0,N-1]的整数区间上；（2）变换核为，将时域序列x(n)变换为频域序列X(k)；（3）序列x(n)经离散Fourier变换后得到k定义在[0,N-1]上的频域序列X(k)，其中N称为变换区间长度，N≥M；（4）离散Fourier变换使得时域序列与频域序列之间建立关系，使信号在微处理器上的频域分析成为可能；（5）x(n)的离散Fourier变换的结果与变换区间长度有关。k=0,1,…,N–1

n=0,1,…,N–1

称为变换核例3.1.1x(n)=R4(n),求x(n)的8点和16点DFT。解：设变换区间N=8设变换区间N=16，用MATLAB实现DFTfunction[Xk]=dft(xn,N)%ComputesDiscreteFourierTransform%-----------------------------------%[Xk]=dft(xn,N)%Xk=DFTcoeff.arrayover0<=k<=N-1%xn=N-pointfinite-durationsequence%N=LengthofDFT%n=[0:1:N-1];%rowvectorfornk=[0:1:N-1];%rowvecorforkWN=exp(-j*2*pi/N);%Wnfactornk=n'*k;%createsaNbyNmatrixofnkvaluesWNnk=WN.^nk;%DFTmatrixXk=xn*WNnk;%rowvectorforDFT

coefficients2.DFT和Z变换的关系说明DFT是Z变换在单位圆上等间隔采样N个点的结果说明DFT是序列Fourier变换在[0,2]区间上等间隔采样N个点的结果。,0

k

N–1

,0k

N–1例：R8(n)的Fourier变换与64点DFT、128点DFT

由此例我们可以看出，对同一个序列x(n)：（1）DFT的变换区间不同，得到不同的X(k)。当n确定后，X(k)与x(n)是一一对应的；（2）当N足够大时，|X(k)|的包络可逼近|X(ej)|曲线；（3）|X(k)|表示=(2/N）

k频率点的幅度谱线。3.DFT的隐含周期性Ⅰ）∴DFT后的X(k)具周期性，周期为NX(k+mN)=X(k)∴IDFT后的x(n)具周期性，周期为Nx(n+mN)=x(n)Ⅱ）概念周期延拓序列记作主值序列k,m,N

均为整数Ⅲ）周期延拓序列的离散Fourier级数（DFS）（1）x(n)的N点DFTX(k)正好是x(n)的周期延拓序列x((n))N的DFS的主值序列。（2）对周期序列，只要知道它的一个周期的内容就可以完全确定这个序列，也就是说只有一个周期承载信息，其它周期的值都是冗余的；（3）点数为N的有限长序列和周期为N的周期序列，都是由N个值来定义。（4）与有限长序列的DFT变换对相比，可以发现，周期序列和有限长序列本质上是一样的；（5）有限长序列及其DFT可以分别看作周期序列及其DFS的主值序列，因此，一定要注意有限长序列的隐含周期性。（这个隐含周期性主要对有限长序列的移位运算产生较大影响，进而使得对有限长序列只能计算循环卷积）如果x(n)的长度为N，且，则可写出的离散Fourier级数表示式(DFS公式见P41公式(2.3.6))3.2离散Fourier变换的基本性质线性时域循环卷积定理复共轭序列的DFT离散Fourier变换的基本性质DFT的共轭对称性循环移位性质1.序列的循环移位定义：将x(n)以N为周期进行周期延拓得到再将左移m得到最后取的主值序列则得到有限长序列x(n)

的循环移位序列y(n).N=6时域循环移位定理频域循环移位定理若则若则2.循环卷积定理Ⅰ）时域循环卷积定理X1(k)=DFT[x1(n)]X2(k)=DFT[x2(n)]如果X(k)=X1(k)X2(k)则或x(n)=x1(n)*x2(n)〇记作Ⅱ）频域循环卷积定理如果

x(n)=x1(n)x2(n)则或式中X1(k)=DFT[x1(n)]X2(k)=DFT[x2(n)]，0

k

N–1〇〇710循环卷积的计算（1）离散频域的有限长序列卷积（圆周卷积）与连续频域的卷积（线性卷积）有很大的区别，这是由于FT在[-∞,∞]区间讨论问题，而DFT仅能在[0,N-1]区间上讨论问题，更重要的是有限长序列的卷积本质上是周期序列的线性卷积；（2）手工计算圆周卷积的法则依然是“翻、移、乘、加”，只是序列的翻转是在圆周上进行的；（3）有限长序列的圆周卷积与线性卷积相等的条件是L≥L1+L2-1有限长序列共轭对称的定义xep(n)=x*ep(N–n)，0

n

N–1xop(n)=–x*op(N–n)，0

n

N–1任何有限长序列都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和。x(n)=xep(n)+xop(n)，0

n

N–1

DFT的共轭对称性x(n)=xr(n)+jxi(n)X(k)=Xep(k)+Xop(k)x(n)=xep(n)+xop(n)X(k)=XR(k)+jXI(k)DFT的共轭对称性：如果序列x(n)的DFT为X(k),则x(n)的实部和虚部（包括j）的DFT分别为X(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量；而x(n)的共轭对称分量和共轭反对称分量的DFT分别为X(k)的实部和虚部乘以j。

用MATLAB实现有限长序列的奇偶分解function[xec,xoc]=circevod(x)%signaldecompositionintocircular-evenand%circular-oddparts%---------------------------------------%[xec,xoc]=circecod(x)%N=length(x);n=0:(N-1);xec=0.5*(x+(x(mod(-n,N)+1))'.');xoc=0.5*(x-(x(mod(-n,N)+1))'.');用MATLAB实现有限长序列的循环移位functiony=cirshftt(x,m,N)%CircularshiftofmsampleswrtsizeN%insequencex:(timedomain)%---------------------------------------%[y]=cirshftt(x,m,N)%y=outputsequencecontainingthecircularshift%x=inputsequenceoflength<=N%m=sampleshift%N=sizeofcircularbuffer%Checkforlengthofxiflength(x)>Nerror('Nmustbe>=thelengthofx')endx=[xzeros(1,N-length(x))];n=[0:1:N-1];n=mod(n-m,N);y=x(n+1);用MATLAB实现有限长序列的循环卷积functiony=circonvt(x1,x2,N)%N-pointcircularconvolutionbetweenx1andx2:(time-domain)%-----------------------------------------------------%[y]=circonvt(x1,x2,N)%y=outputsequencecontainingthecircularconvolution%x1=inputsequenceoflengthN1<=N%x2=inputsequenceoflengthN2<=N%N=sizeofcircularbufferx1=[x1zeros(1,N-length(x1))];x2=[x2zeros(1,N-length(x2))];m=[0:1:N-1];x2=x2(mod(-m,N)+1);H=zeros(N,N);forn=1:1:NH(n,:)=cirshftt(x2,n-1,N);endy=x1*H';X1(k)=DFT[x1(n)]X2(k)=DFT[x2(n)]如果

X(k)=X1(k)X2(k)则3.3频率域采样什么条件下可以由频率离散采样恢复原来的信号？，0

k

N–1

表示在区间[0,2p]上对x(n)的Z变换的N点等间隔采样。下面推导序列xN(n)与原序列x(n)之间的关系，并导出频域采样定理。X(k)是xN(n)以N为周期的周期延拓序列的DFS系数的主值序列，即说明了X(z)在单位圆上的N点等间隔采样X(k)的N点IDFT，为原序列x(n)以N为周期的周期延拓序列的主值序列所以（1）若x(n)不是有限长序列，则由于频域的采样使得时域周期延拓后，必然造成混叠现象；（2）如果x(n)是有限长序列，点数为M，则当频域采样不够密时，即当N<M时，x(n)以N为周期延拓，也会造成混叠；频率域的抽取造成时域的周期延拓如果序列x(n)的长度为M，则只有当频域采样点数NM时，才有xN(n)=IDFT[X(k)]=x(n)即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)，否则产生时域混叠现象。这就是频域采样定理。%一个对指数序列x(n)=a^n*u(n)进行Z变换后%再进行IDFT的实例，程序中a=0.85N1=5;k=0:1:(N1-1);wk1=2*pi*k/N1;zk1=exp(j*wk1);Xk1=(zk1)./(zk1-0.85);xn1=real(idft(Xk1,N1));xtilde1=xn1'*ones(1,8);xtilde1=(xtilde1(:))';subplot(2,2,1);stem(0:39,xtilde1);axis([0,40,-0.2,1.8]);grid;xlabel(‘n’);ylabel(‘序列x(n)');title('N=5');显示时域混叠的MATLAB例程1.00000.85000.72250.61410.52200.44370.37710.32060.27250.23160.19690.16730.14220.12090.10280.08740.07430.06310.05360.04560.03880.03290.02800.02380.02020.01720.01460.01240.01060.00901.00770.85650.72810.61880.52600.44710.38000.32300.27460.23340.19840.16860.14330.12180.10360.08800.07480.06360.05410.04600.03910.03320.02820.02400.02040.01730.01470.01250.01060.0090当N=30时0.85nu(n)的序列及取值当N=30时0.85nu(n)经Z变换并取样后IDFT的序列及取值怎样由X(k)恢复X(z)和X(ej)?k=0,1,2,…,

N–1

内插公式内插函数z=ej时

这是用X(k)表示序列x(n)的Fourier变换X(ej)的内插函数和内插公式3.4DFT应用1.用DFT计算线性卷积

DFT仅能计算两序列的循环卷积，但实际应用中需要计算两序列的线性卷积，所以有必要先来讨论以下两个问题：Ⅰ）循环卷积与线性卷积之间的关系结论：L点循环卷积等于线性卷积以L为周期的周期延拓序列的主值序列。Ⅱ）循环卷积与线性卷积相等的条件若L≥N1+N2-1，则L点循环卷积能代表线性卷积。用DFT计算线性卷积框图两个序列的长度相差很大时。如选取L=N+M–1，则要求对短序列补充很多零点，长序列必须全部输入后才能进行快速计算。很难实时处理。解决这个问题的方法是将长序列分段计算，这种分段处理法有重叠相加法和重叠保留法两种。2.用DFT对信号进行谱分析Ⅰ）用DFT对连续信号进行谱分析所谓信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。连续信号频谱与其采样序列频谱间关系连续信号频谱与其采样序列频谱间关系其中F为频率分辨率，F=1/NT通过对连续信号采样并进行DFT再乘以T，近似得到模拟信号频谱的周期延拓函数在第一个周期上的N点等间隔采样Ⅱ）用DFT进行谱分析的问题1、混叠现象：如果x(t)不是带限信号，必定产生频率混叠，但可以选择一个合理的采样频率fs使这种混叠可以忽略不计；如果x(t)的最高频率为fh，虽然fs>2fh可满足采样定理，但工程上通常取fs=(3~5)fh以取得更好的效果。2、栅栏效应：因为DFT计算频谱只限于离散点上频谱，而不是连续的函数，这就像通过一个“栅栏”观察连续频谱一样，因此称这种现象为“栅栏”现象。3、截断效应：如果x(t)是无限长信号，用DFT作谱分析时，必须取有限长的一段，这就相当于在时域给信号乘了一个矩形函数，结果得到的频谱是原信号的频谱与矩形函数频谱的卷积，造成频谱泄漏问题和谱间干扰问题。4、频率分辨率：F=1/NT，NT的增大会提高分辨率。当N固定时，过大的T会造成明显的混叠现象，而T的减小又会使观察时间缩短，从而增强截断效应、降低分辨率。加矩形窗前后的频谱主瓣旁瓣①取更长的数据，也就是窗宽加宽，但数据太长会使运算量和存储量都大大增加；②不要突然截断数据，即不加矩形窗而使用缓变的窗，使窗谱的旁瓣能量更小，卷积后造成的泄漏减小。减弱截断效应的方法Ⅲ）用DFT进行谱分析时的参数选择问题用DFT作连续信号的频谱分析时，必须选择合理的T和N，以防止混叠现象发生并且尽量提高频谱分辨率。例：对连续信号x(t)=e−0.1t

,t≥0用DFT进行谱分析。①固定分辨率（意味着T

增大一倍，N

需