第七章 第二讲 偏导数

第二讲偏导数一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数上页下页铃结束返回首页

横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。

岭：1、本义:山道;山坡；2、顶上有路可通行的山,亦泛指山峰；3、相连的山,山脉；4、高大的山脉;山脉的干系。峰：1、山顶；

2、最高点;顶点；

3、拔地而起的高山；

4、突起。一、偏导数的定义及其计算法类似地,可定义函数zf(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数.偏导数的定义

下页设函数zf(x

y)在点(x0

y0)的某一邻域内有定义若极限存在则称此极限为函数zf(x

y)在点(x0

y0)处对x的偏导数

记作下页一、偏导数的定义及其计算法偏导数的定义

偏导数的符号

如果函数zf(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么f(x,y)对x的偏导数是x、y的函数,这个函数称为函数zf(x,y)对x的偏导函数(简称偏导数),记作偏导函数下页一、偏导数的定义及其计算法偏导数的定义

偏导数的符号

偏导函数偏导函数的符号

下页偏导函数

偏导数的概念还可推广到二元以上的函数

例如三元函数uf(x

y

z)在点(x

y

z)处对x的偏导数定义为其中(x

y

z)是函数uf(x

y

z)的定义域的内点

偏导数的求法

求函数对一个自变量的偏导数时,只要把其它自变量看作常数,然后按一元函数求导法求导即可.

下页偏导函数

例1

求zx23xyy2在点(1,2)处的偏导数.

解

例2

求zx2sin2y的偏导数.

解

下页

解

证

下页

例3

例4

练习求三元函数的偏导数.解把y和z看作常数,得到把z,x看作常数,得到把x,y看作常数,得到

证

本例说明一个问题:偏导数的记号是一个整体记号,不能看作分子分母之商.

下页例5

已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数),求证下页偏导数的几何意义

fx(x0,

y0)=[f(x,

y0)]x

fy(x0,

y0)=[f(x0,

y)]yz=f(x,

y0)z=f(x0,

y)是截线z=f(x,

y0)在点(x0,

y0)处的切线Tx对x轴的斜率.是截线z=f(x0,

y)在点(x0,

y0)处的切线Ty对y轴的斜率.偏导数的几何意义

fx(x0,

y0)=[f(x,

y0)]x

fy(x0,

y0)=[f(x0,

y)]y是截线z=f(x,

y0)在点(x0,

y0)处的切线Tx对x轴的斜率.是截线z=f(x0,

y)在点(x0,

y0)处的切线Ty对y轴的斜率.下页偏导数与连续性

对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.例如首页但函数在点(0,0)并不连续.在点(0,0),有fx(0,0)0,fy(0,0)0,提示：提示：当点P(x

y)沿直线ykx趋于点(00)时有因此函数f(x

y)在(00)的极限不存在当然也不连续

二、高阶偏导数二阶偏导数如果函数zf(x,y)的偏导数fx(x,y)、fy(x,y)也具有偏导数,则它们的偏导数称为函数zf(x,y)的二阶偏导数.函数zf(x,y)的二阶偏导数有四个:其中fxy(x,y)、fyx(x,y)称为混合偏导数.类似地可定义三阶、四阶以及n阶偏导数.下页

解

此例中两个混合偏导数是相等的.下页下页那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等

定理

解

证

下页

例7

证

例8

提示

下页结束

证

例8

四全微分有且一元函数微分推广到多元函数就是全微分.已知一元函数在可微,即微分是的线性函数，并且与之差是比是高阶无穷小.定理1若二元函数f在其定义域内一点(x0,y0)处可微,则f在该点关于每个自变量的偏导数都存在．此时,于是,函数的全微分

(2)

可惟一地表示为与一元函数一样,若约定自变量的增量等于自变量的微分，即则全微分又可写为若函数f在区域D的每一点(x,y)都可微,则称函数f在区域D上可微，且f在