新高考数学二轮复习专题25 极值点偏移之积(x1x2)型不等式的证明 (教师版)_第1页
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(2)设g(x)＝f(x)－eq\f(1,2)x2＋1，若函数g(x)有两个极值点x1，x2，且x1<x2，证明：g(x1)＋g(x2)>2．6．解析(1)f(x)＝ex＋ax－1，则f′(x)＝ex＋a，由已知得，函数y＝ex＋a的图象与直线y＝x有两个交点，即方程ex－x＋a＝0有两个不相等的实数解，设h(x)＝ex－x＋a，则h′(x)＝ex－1，令h′(x)＝0，解得x＝0，当x∈(－∞，0)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(0)＝a＋1，所以a＋1<0，所以a<－1，当x→－∞时，h(x)→＋∞；当x→＋∞时，h(x)→＋∞所以a<－1时，函数y＝f′(x)的图象与直线y＝x有且只有两个交点．(2)g(x)＝f(x)－eq\f(1,2)x2＋1＝ex－eq\f(1,2)x2－ax，g′(x)＝ex－x－a，因为函数g(x)有两个极值点x1，x2，SKIPIF1<0方程g′(x)＝0有两个不同的实数解x1，x2，由(1)知，h(x)＝ex－x＋a，h(x1)＝h(x2)＝0，且x1<0<x2，所以g(x)在区间(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在区间(x1，x2)上单调递减，且得a＝SKIPIF1<0－x2，所以h(－x2)＝SKIPIF1<0＋x2－a＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＋2x2．设k(x)＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＋2x(x>0)，则k′(x)＝－SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＋2<0，所以k(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以k(x)<k(0)＝0，h(x2)＝h(－x2)<0，所以x1<－x2<0．又因为g(x)在(x1，0)单调递减，所以g(x1)>g(－x2)，要证g(x1)＋g(x2)>2，只须证g(－x2)＋g(x2)>2，即证SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0－SKIPIF1<0－2>0，设r(x)＝SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0－SKIPIF1<0－2，则r′(x)＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0－2x，令p(x)＝r′(x)＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0－2x，则p′(x)＝SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0－2>0，所以p(x)在(0，＋∞)单调递增，p(x)>p(0)＝0，即r′(x)>0，所以r(x)在(0，＋∞)单调递增，r(x)>r(0)＝0，故当x>0时，SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0－SKIPIF1<0－2>0，即SKIPIF1<0＋SKIPIF1

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