第九章 波动率

第九章波动率

1.波动率的定义2.金融资产的收益率是否服从正态分布3.从期权价格反推波动率：隐含波动率4.采用历史数据来估算波动率5.检测日波动率6.波动率模型的参数估计7.波动率预测第九章波动率假设Si为金融资产在第i日的价格，该资产的对数收益率为：的波动率用其标准差衡量。假设日对数收益率服从正态分布，则可以根据日波动率计算该资产的T日波动率：提问：年波动率如何计算？波动率的定义假设Si为金融资产在第i日的价格，该资产的对数收益率为：的波动率用其标准差衡量。假设日对数收益率服从正态分布，则可以根据日波动率计算该资产的T日波动率：提问：年波动率如何计算？波动率的定义假设Si为金融资产在第i日的价格，该资产的对数收益率为：的波动率用其标准差衡量。假设日对数收益率服从正态分布，则可以根据日波动率计算该资产的T日波动率：提问：年波动率如何计算？波动率的定义在计算波动率时，我们应当采用日历天数还是交易天数？研究证明在交易所开盘交易时的波动率比交易所关闭时的波动率要大很多；因此，当由历史数据估计波动率时，分析员常常忽略交易所关闭的天数。在计算时通常假定每年有252个交易日，因此年波动率是日波动率的倍。波动率的定义1.波动率的定义2.金融资产的收益率是否服从正态分布3.从期权价格反推波动率：隐含波动率4.采用历史数据来估算波动率5.检测日波动率6.波动率模型的参数估计7.波动率预测第九章波动率正态分布和厚尾分布正态分布和厚尾分布

（以中国短期利率的分布为例）现实当中，股票收益率一般不服从正态分布，而是具有尖峰厚尾的特征：其尾部比（同期望同方差的）正态分布的尾部要肥大其峰值比（同期望同方差的）正态分布的峰值要高厚尾分布所对应的极大及极小变化数量事件比在正态分布中相应数量要多。很多市场变量都有这种被称为厚尾的特性。厚尾性峰度系数（Kurtosis）是对数据分布平峰或尖峰程度的测度。若峰度系数为3，称为正态分布；若峰度系数大于3，称为尖峰分布；若峰度系数小于3，称为扁平分布。峰度指标幂律（powerlaw）：对于许多变量v而言，存在常数K及a

，使得当x很大时，下式成立：

Prob(v>x)=Kx-a

在分析很多市场变量的收益行为时，利用幂律似乎要比利用正态分布更好。比如估计波动率、计算VaR。正态分布的代替：幂律将幂率公式变形为：

ln[Prob(v>x)]=lnK-a

lnx可以通过画ln[Prob(v>x)]与lnx的关系曲线来验证幂率的准确性（即是否适用于特定研究对象）。见下面的例子。正态分布的代替：幂律汇率日收益率的例子：汇率日收益率的例子：1.当x>3时，汇率的日收益率大于x个标准差的概率的对数与lnx近似呈线性关系；2.这说明可以借助幂率分析汇率的日收益率的分布特征。提问：如何得到常数K及a

？？汇率日收益率的例子：提问：如何得到常数K及a

？线性回归。以上面汇率日收益率的例子为例：利用上表中x=3,4,5,6的数据对以下多元线性回归模型进行回归

ln[Prob(v>x)]=lnK-a

lnx+ε从而得到

lnK=1.06,a=5.51汇率日收益率的例子：1.波动率的定义2.金融资产的收益率是否服从正态分布3.从期权价格反推波动率：隐含波动率4.采用历史数据来估算波动率5.检测日波动率6.波动率模型的参数估计7.波动率预测第九章波动率期权公式中唯一不能直接观察到的一个参数就是股票价格的波动率。其中，

c表示期权的价格，S表示标的资产的价格、r表示无风险利率、T表示到期时间、t表示第t期，X表示期权的执行价格，σ表示标的资产价格的波动率，

表示标准正态分布的分布函数。隐含波动率期权公式中唯一不能直接观察到得一个参数就是股票价格的波动率。其中，隐含波动率是从期权价格隐含反推计算出的波动率。可以采用数值方法求解隐含波动率，也可以采用计量方法估计隐含波动率。隐含波动率VIX指数是S&P500指数的波动率指数VIX指数1.波动率的定义2.金融资产的收益率是否服从正态分布3.从期权价格反推波动率：隐含波动率4.采用历史数据来估算波动率5.检测日波动率6.波动率模型的参数估计7.波动率预测第九章波动率假设S是某股票的价格；取过去的n+1个观测值；单位时间间隔的长度为

τ

；S表示第i个时间段结束时的观测值，i=0,1,…,n；第i个区间的收益率为：

的波动率如何估计？采用历史数据来估算波动率假设S是某股票的价格；取过去的n+1个观测值；单位时间间隔的长度为

τ

；S表示第i个时间段结束时的观测值，i=0,1,…,n；第i个区间的收益率为：

的波动率如何估计？无偏估计：或采用历史数据来估算波动率1.波动率的定义2.金融资产的收益率是否服从正态分布3.从期权价格反推波动率：隐含波动率4.采用历史数据来估算波动率5.检测日波动率标准方法ARCH模型EWMA模型（指数加权移动平均模型）GARCH（1,1）模型6.波动率模型的参数估计7.波动率预测第九章波动率条件异方差的估计和检测定义Si为市场变量在第i天末的价格；定义sn为第n-1天所估计的市场变量在第n天的波动率（即假设标准差是随时间变化的）；定义利用有关的m天观测数据（从第n天开始往前推），得出：估计波动率的标准方法当时间间隔很小时，对数收益率可以用百分比收益率替代定义：假定的均值为0m-1被m代替于是方差公式简化为简化形式对等权重进行改进其中加权权重的格式在ARCH（m）模型中，我们给长期平均方差设定权重：其中

这一模型最早由Engle提出。ARCH（m）模型在指数加权移动平均模型中，其权重随着回望时间加长而按指数速度递减，于是可以推得这个式子说明，第n天波动率是由第n-1天波动率及最近一天变化率的数据来决定的。指数加权移动平均（EWMA）模型

以下式子说明，

的权重随着回望时间的加长而以指数速度下降。指数加权移动平均（EWMA）模型需要的数据相对较少对于任一时刻，仅需记忆对当前波动率的估计以及市场变量的最新观察值。当得到市场变量的最新观测值后，可以计算每天价格变化的比例，然后采用前面的公式更新方差估计。对波动率进行跟踪监测。数值λ决定了每天波动率估计对于最新市场价格百分比变化的反应速度。RiskMetrics采用λ=0.94来更新每天波动率的估计EWMA的诱人之处在GARCH（1，1）中，我们赋予长期平均方差一定的权重因为权重之和为1，故有（1,1）表示每天的由最近的u的观测值以及最新的方差而估算所得。

GARCH（1,1）令，可以将GARCH（1,1）模型写成其中GARCH（p,q）许多其它的GARCH模型已被提出比如，我们可以设计一个GARCH模型，使其赋予的权重依赖于的正负值其它模型1.波动率的定义2.金融资产的收益率是否服从正态分布3.从期权价格反推波动率：隐含波动率4.采用历史数据来估算波动率5.检测日波动率6.波动率模型的参数估计7.波动率预测第九章波动率一种估计GARCH（1,1）参数的很好方法是所谓的方差目标将长期平均方差设定为由数据计算出的抽样方差模型只需要估计两个参数方差目标选择合适的参数使得数据发生的几率达到最大最大似然估计法随机抽取某一天10只股票的价格，我们发现一只股票价格在这一天价格下降了，而其它9只股票的价格有所增加或至少没有下跌，将任意股票价格下降的概率计为p。那么，一只股票价格下降的概率的最好估计为多少？概率为使上式取最大值，观察其最大似然估计：p=0.1例1估计一个变量服从均值为0的正态分布的方差对求导，并令导数为0，得：例2选择参数，最大化下式GARCH（1,1）的应用日元汇率数据的计算DaySiuivi=si2-lnvi-ui2/vi10.00772820.0077790.00659930.007746-0.0042420.000043559.628340.0078160.0090370.000041988.132950.0078370.0026870.000044559.8568….24230.0084950.0001440.000084179.382422063.5833日元日波动率：1988-19971.波动率的定义2.金融资产的收益率是否服从正态分布3.从期权价格反推波动率：隐含波动率4.采用历史数据来估算波动率