疲劳和断裂第七讲

第七章弹塑性断裂力学简介7.1裂纹尖端的小范围屈服7.2裂纹尖端张开位移7.3COD测试与弹塑性断裂控制设计返回主目录1用线弹性材料物理模型，按照弹性力学方法，研究含裂纹弹性体内的应力分布，给出描述裂纹尖端应力场强弱的应力强度因子K，并由此建立裂纹扩展的临界条件,处理工程问题。第七章弹塑性断裂力学简介线弹性断裂力学(LEFM)线弹性断裂力学给出的裂纹尖端附近的应力趋于无穷大。然而，事实上任何实际工程材料，都不可能承受无穷大的应力作用。因此，裂尖附近的材料必然要进入塑性，发生屈服。2Linearelasticfracturemechanicspredictsinfinitestressesatthecracktip.Inrealmaterials,however,stressatthecracktiparefinitebecausethecracktipradiusmustbefinite.Inelasticmaterialdeformation,suchasplasticityinmetal,leadstofurtherrelaxationofthecracktipstress.线弹性断裂力学预测裂纹尖端应力无穷大。然而在实际材料中，由于裂尖半径必定为有限值，故裂尖应力也是有限的。非弹性的材料变形，如金属的塑性，将使裂尖应力进一步松弛。37.1裂纹尖端的小范围屈服1.裂尖屈服区当r0时，s，必然要发生屈服。因此，有必要了解裂尖的屈服及其对K的影响。无限大板中裂纹尖端附近任一点(r,)处的正应力x、y和剪应力xy的线弹性解为：ssxy2adxdyrqsysxtxyssqyar=+221cos[qq232sinsin]tsqqqxyar=22232sincoscosssqxar=-221cos[qq232sinsin](5-1)4这里仅简单讨论沿裂纹线上屈服区域的大小。线弹性断裂力学裂尖附近任一点处的x、y

xy，一点的应力状态计算主应力屈服准则裂纹尖端屈服区域的形状与尺寸ssqyar=+221cos[qq232sinsin]tsqqqxyar=22232sincoscosssqxar=-221cos[qq232sinsin](5-1)在裂纹线上(=0)，注意到，有；aKps=rKrayxpsss221===0=xyt；ssxy2adxdyrqsysxtxy5

对于平面问题，还有：yz=zx=0；

z=0平面应力

z=(x+y)平面应变rKrayxpsss221===0=xyt；则裂纹线上任一点的主应力为：îíì=rKpns2/2013平面应力平面应变ssrKp2121==；塑性力学中，vonMises屈服条件为：213232221)()()(sssss22yss=-+-+-s6将各主应力代入Mises屈服条件，得到：(平面应力)(平面应变)ysprKsp=2/1ysprsp=2Kn-/)21(1式中，ys为材料的屈服应力，为泊松比。对于金属材料，0.3，这表明平面应变情况下裂尖塑性区比平面应力时小得多。故塑性屈服区尺寸rp为：

(平面应力)

21)(21yspKrsp=221)21()(21nsp-=yspKr(平面应变)(7-3)7虚线为弹性解，r0，y。由于y>ys，裂尖处材料屈服，塑性区尺寸为rp。当=0时(在x轴上)，裂纹附近区域的应力分布及裂纹线上的塑性区尺寸如图。rpaxyysABDoHK与原线弹性解(虚线HK)相比较，少了HB部分大于ys的应力。假定材料为弹性-理想塑性，屈服区内应力恒为ys，应力分布应由实线AB与虚线BK表示。8Thesimpleanalysisasaboveisnotstrictlycorrectbecauseitwasbasedonanelasticcracktipsolution.Whenyieldingoccurs,stressmustredistributeinordertosatisfyequilibrium.rpaxyysABDoHK上述简单分析是以裂纹尖端弹性解为基础的，故并非严格正确的。屈服发生后，应力必需重分布，以满足平衡条件。TheregionABHrepresentsforcesthatwouldbepresentinanelasticmaterialbutcannotbecarriedintheelastic-plasticmaterialbecausethestresscannotexceedyield.Theplasticzonemustincreaseinsizeinordertocarrytheseforces.ABH区域表示弹性材料中存在的力，但因为应力不能超过屈服，在弹塑性材料中却不能承受。为了承受这些力，塑性区尺寸必需增大。

9为满足静力平衡条件，由于AB部分材料屈服而少承担的应力需转移到附近的弹性材料部分，其结果将使更多材料进入屈服。因此，塑性区尺寸需要修正。设修正后的屈服区尺寸为R；假定线弹性解答在屈服区外仍然适用，BK平移至CD，为满足静力平衡条件，修正后ABCD曲线下的面积应与线弹性解HBK曲线下的面积相等。由于曲线CD与BK下的面积是相等的，故只须AC下的面积等于曲线HB下的面积即可。rpaxyysABoHK

RCD10于是得到：积分后得到，平面应力情况下裂尖的塑性区尺寸R为：

ysKRpr2)(121==sp注意到式中：y=,平面应力时：Krp2/121)(21yspKrsp=ò=pryysdxxR0)(ssrp

RaxyysABCDoHK11依据上述分析，并考虑到平面应变时三轴应力作用的影响，Irwin给出的塑性区尺寸R为：上式指出：裂纹尖端的塑性区尺寸R与(K1/ys)成正比；平面应变时的裂尖塑性区尺寸约为平面应力情况的1/3。21)(12yspKrRsap==îíì=221a(平面应力)(平面应变)(7-4)12Mostoftheclassicalsolutioninfracturemechanicsreducetheproblemtotwodimensions.Thatisatleastoneoftheprincipalstressesorstrainsisassumedtoequalzero(planestressandplanestrainrespectively).断裂力学中的大部分经典解都将问题减化为二维的。即主应力或主应变中至少有一个被假设为零，分别为平面应力或平面应变。Ingeneral,theconditionsaheadofacrackareneitherplanestressnorplanestrain,butarethree-dimensional.Thereare,however,limitingcaseswhereatwodimensionalassumptionisvalid,oratleastprovidesagoodapproximation.一般地说，裂纹前的条件既不是平面应力，也不是平面应变，而是三维的。然而，在极限情况下，二维假设是正确的，或者至少提供了一个很好的近似。132.考虑裂尖屈服后的应力强度因子曲线CD与线弹性解BK相同。假想裂纹尺寸由a增大到a+rp,则裂纹尖端的线弹性解恰好就是曲线CD。rprpaxyysABCDoHKr'ro'对于理想塑性材料，考虑裂纹尖端的屈服后，裂尖附近的应力分布应为图中ACD曲线。a+rp称为有效裂纹长度，用a+rp代替a，由原来的线弹性断裂力学结果可直接给出考虑Irwin塑性修正的解答。即有：)(1praK+=ps(7-5)14rprpaxyysABCDoHKr'ro'考虑Irwin塑性修正后，裂尖应力强度因子K为：)(1praK+=ps(7-5)裂纹线上(=0)的应力y为：ysyss=21yr’K=psr2rp；

r2rp；)(21prrK-=p15例7.1无限宽中心裂纹板，受远场拉应力作用，试讨论塑性修正对应力强度因子的影响。解：由线弹性断裂力学给出无限宽中心裂纹板的应力强度因子为：Kaps=1考虑塑性修正时，由(7-5)式有：)(1praK+=¢ps将(7-4)式给出的rp代入上式，得到：2/12]})(21[{ysaaspsapps+=1K¢2/12]})(211{[ysassaps+=或写为：2/12])(211[ysssal+=1Kl=1K¢；16对于平面应力情况，=1；若(/ys)=0.2，=1%；若(/ys)=0.5，=6%；当(/ys)=0.8时，达15%。对于平面应变情况，3，二者相差要小一些。考虑塑性修正后有：2/12])(211[ysssal+=1Kl=1K¢；

>1，故考虑塑性修正后应力强度因子增大。二者的相对误差为：==1-l111-¢KKK可见，(/ys)越大，裂尖塑性区尺寸越大，线弹性分析给出的应力强度因子误差越大。173.小范围屈服时表面裂纹的K修正前表面修正系数通常取为Mf=1.1；E(k)是第二类完全椭圆积分。考虑裂尖屈服，按Irwin塑性修正，用a+rp代替原裂纹尺寸a，故有：)()(1.11kEraKp+=ps无限大体中半椭圆表面裂纹最深处处于平面应变状态，故由(7-4)式知：21)(241yspKrsp=无限大体中半椭圆表面裂纹最深处的应力强度因子为：)(1kEaMKfps=18可见，小范围屈服时，表面裂纹的K计算只须用形状参数Q代替第二类完全椭圆积分E(k)即可。QaKps1.11=2/122})(212.0)]({[yskEQss-=

(7-8)代入整理后即得：形状参数利用E(k)的近似表达，Q可写为：2/1264.1])/(212.0)/(47.11[yscaQss-+=越大，Q越小，K越大，裂尖屈服区越大。/ysss利用E(k)式的近似表达，可将形状参数Q写为：19例7.2某大尺寸厚板含一表面裂纹，受远场拉应力

作用。材料的屈服应力为ys=600MPa,断裂韧性K1c=50MPam1/2，试估计：1)=500MPa时的临界裂纹深ac。(设a/c=0.5)2)a/c=0.1，a=5mm时的临界断裂应力c；解：1)无限大体中半椭圆表面裂纹最深处的K最大，考虑小范围屈服，在发生断裂的临界状态有：ccKQaK111.1==psps221221.1ccKQa=32.1)600/500(212.0)5.0(47.11264.12=-+=Q；20故得到：mmmKQacc47.300347.014.350021.15032.121.1222212====ps2)断裂临界状态有：ccKQaK111.1==ps

Q是c

的函数：)600/(212.0)1.0(47.11264.12-+=Qsc=)600/(212.02-sc1.034将断裂判据式二边平方，再将Q2代入，得：ccKa121.1=ps22s)/(212.02-sc1.034ys[]2112622.8)/(212.021.1034.121212=+=spsyscccKaK=s112.4

MPac即有：)(1kEaMKfps=讨论：若不考虑屈服，有：c1360021.1034.1212==pscaK=s116.6

MPac则：c=21.1034.1250p0.005

不考虑屈服，将给出偏危险的预测。22一般地说，只要裂尖塑性区尺寸rp与裂纹尺寸a相比是很小的(a/rp=20-50)，即可认为满足小范围屈服条件，线弹性断裂力学就可以得到有效的应用。对于一些高强度材料；对于处于平面应变状态(厚度大)的构件；对于断裂时的应力远小于屈服应力的情况；

小范围屈服条件通常是满足的。23PlasticitycorrectingcanextendLEFMbeyondit’snormalvaliditylimits.Onemustremember,however,thatIrwincorrectionareonlyroughapproximateofelastic-plasticbehavior.Whennonlinearmaterialbehaviorbecomessignificant,oneshoulddiscardstressintensityandadoptacracktipparameter(suchasthecracktipopeningdisplacement,CTOD)thattakesthematerialbehaviorintoaccount.塑性修正可将LEFM延用至超过其原正确性限制。但必需记住Irwin修正只是弹塑性行为的粗略近似。当非线性材料行为为主时，应抛弃应力强度因子而采用如CTOD的裂尖参数考虑材料的行为。24WhenWellsattemptedtomeasureK1cvalueinanumberofstructuralsteels,hefoundthatthesematerialsweretootoughtobecharacterizedbyLEFM.Thisdiscoverybroughtbothgoodnewsandbadnews:hightoughnessisobviouslydesirabletodesignersandfabricators,butWells’experimentsindicatedthatexistingfracturemechanicstheorywasnotapplicabletoanimportantclassofmaterials.Wells试图测量结构钢材的K1c时，发现这些材料韧性太大而不能用LEFM描述。这一发现带来的既有好消息也有坏消息：高韧性显然是设计及制造者所希望的，但Wells的试验指出现有的断裂力学理论不能用于这类重要的材料。25Whileexaminingfracturedtestspecimens,Wellsnoticethatthecrackfaceshadmovedapartpriortofracture;plasticdeformationbluntedaninitiallysharpcrack.Thedegreeofcrackbluntingincreasedinproportiontothetoughnessofmaterial.ThisobservationledWellstoproposetheopeningatthecracktipasameasureoffracturetoughness.Todaythisparameterisknownasthecracktipopeningdisplacement.检查已断的试件，Wells注意到断裂前裂纹面已分开；塑性变形使原尖锐的裂纹钝化。钝化的程度随材料的韧性而增加。这一观察使Wells提出用裂尖的张开作为断裂韧性的度量。此参数即现在的裂纹尖端张开位移。26

7.2裂纹尖端张开位移

(CTOD-CrackTipOpeningDisplacement)2aWss屈服区则塑性区将扩展至整个截面，造成全面屈服，小范围屈服将不再适用。如果作用应力大到使裂纹所在截面上的净截面应力

净=W/(W-2a)ys中低强度材料ys低K1c高断裂c大裂尖rp大272aCODxyo显然，COD是坐标x的函数，且裂纹尺寸a越大，COD越大。裂尖张开位移(CTOD)是在x=a处的裂纹张开位移。裂尖端屈服范围大CTODLEFMIrwen修正不再适用断裂与裂纹张开尺寸相关裂纹张开位移(COD)

c大，rp大，裂纹越来越张开。可用于建立适于大范围屈服的弹塑性断裂判据。28Dugdale设想有一虚拟裂纹长aeff=a+rp,在虚拟裂纹上、下裂纹面上加上=ys

的应力作用而使裂纹闭合，然后进行准弹性分析。平面应力条件下，在全面屈服之前净/ys<1，Dugdale给出裂尖张开位移与间的关系为：(7-10))]2ln[sec(8ysysEaspspsd=2aCODxyo2aeff=2a+2rpCTODys29如果/ys<<1，则可将上式中sec项展开后略去高次项，得到：1222]81ln[ysssp)]2ln[sec(yssps-=-Dugdale解：(7-10))]2ln[sec(8ysysEaspspsd=2222228)]8(1ln[ysyssspssp=+=)]2ln[sec(yssps得到：注意到当x<<1时有：11-x1+x1-x2=≈1+x;ln(1+x)≈x30故在小范围屈服时，平面应力的(7-10)式成为：(7-11)EKEaysyssspsd212==在发生断裂的临界状态下，K1=K1c，=c。故上式给出了平面应力情况下，小范围屈服时

c与材料断裂韧性K1c的换算关系。写为一般式：(7-12)

=1，平面应力；=(1-2)/2，平面应变。EKyssbd21=由和)]2ln[sec(8ysysEaspspsd=2228ysssp=)]2ln[sec(yssps31发生断裂时的判据为c；如何确定？需要研究CTOD的试验确定方法。在小范围屈服情况下，线弹性断裂判据为：K1K1c；也可以用裂纹尖端张开位移(CTOD)表达为：

c且EKyssbd21=cc若屈服范围较大，由(7-10)给出为：)]2ln[sec(8ysysEaspspsd=327.3COD测试与弹塑性断裂控制设计7.3.1.裂尖张开位移(COD)的测试L=4WWaPh三点弯曲试件缺口处粘贴一对刀口安装夹式引伸计测量裂纹张开位移V记录P-V曲线33将分为弹性部分e和塑性部分p，即

=e+pL=4WWaPhVd机械切口疲劳裂纹a试验P-V曲线V是切口张开位移求CTOD？弹性部分e可由前面由(7-12)式给出，即：EKyssbd21=e34O’为转动中心，O’到裂尖的距离为r(W-a),r称为转动因子。裂尖屈服区大（甚至全面屈服），韧带处将形成塑性铰。假设发生开裂之前二裂纹面绕塑性铰中心O’作刚性转动，如图。由DOBB’与DODD’相似，可得p与刀口张开位移塑性部分Vp的关系为：(7-14))()()(haaWrVaWrpp++--=dVdr(W-a)O'appBD’B’D刀口厚度为h35大范围屈服情况下，不同材料测得的r多在0.3-0.5间。故国标GB2358-1994建议将转动因子r取为0.45。英国标准协会建议r取0.4。

)()()(haaWrVaWrpp++--=d欲确定pr？用更精细的实验测量变形后的二裂纹面位置线，由其交点确定转动中心O’，可确定转动因子r。Vdr(W-a)O'appBD’B’Dr0.20.50d(mm)r-COD关系36MostlaboratorymeasurementsofCTODhavebeenmadeonedge-crackedspecimensloadedinthree-pointbending.Thedisplacementatthecrackmouthismeasured,andtheCTODisinferredbyassumingthespecimenhalvesarerigidandrotateaboutahingepoint.大部分实验室的CTOD测定是用三点弯曲加载的单边裂纹试件进行的。测量裂纹嘴位移，假定试件的一半是刚性的，它绕某铰点转动，由此推断CTOD。37Thehingemodelisinaccuratewhendisplacementsareprimarilyelastic.Consequently,standardmethodsforCTODtestingadoptamodifiedhingemodel,inwhichdisplacementsareseparatedintoelasticandplasticcomponents;thehingeassumptionisappliedonlytoplasticcomponents.若位移以弹性为主，则铰链模型是不正确的。故CTOD试验标准采用修正的铰链模型，这一方法将位移分成为弹性分量和塑性分量；塑性铰假设仅适用于塑性分量。38因此，裂纹尖端张开位移可写为：

(7-15)此式给出了与Vp的关系。)()()(21haaWrVaWrEKpyspe++--+=+=sbddd式中，K1按第五章计算，它是载荷P与裂纹长度a

等的函数；在国家标准GB2358-80中建议按平面应变情况取为(1-2)/2。延性断裂的临界情况下，CTOD值为可描述材料延性断裂抗力的指标c，要确定c，须确定Vpc。39确定Vpc的方法：

GB2358-1994由断口测量确定裂纹尺寸aPcVP0CVcVpc确定发生失稳断裂的临界点C(PC，VC)声发射等监测技术加载，记录P-V曲线过临界点C作一与P-V曲线起始直线段斜率相同的直线直线与横坐标的交点给出Vpc40PcVP0CVcTheshapeoftheload-displacementcurveissimilartostress-straincurve:itisinitiallylinearbutdeviatesfromlinearitywithplasticdeformation.Vpc载荷-位移曲线的形状类似于应力-应变曲线:开始是线性的,然后随着塑性变形而偏离线性.Atagivenpointonthecurve,thedisplacementisseparatedintoelasticandplasticcomponentsbyconstructingalineparalleltotheelasticloadingline.Thebluelinerepresentsthepathofunloadingforthisspecimen,assumingthecrackdoesnotgrowduringthetest.在曲线上某点，划一条平行于弹性加载线的直线，位移被分为弹性分量和塑性分量。假定裂纹在试验中未发生扩展，则兰线表示的是试件的卸载路径。41例7.3已知某钢材E=210GPa,=0.3,ys=450MPa。三点弯曲试样B=25mm，W=50mm；刀口厚度h=2mm，预制裂纹长度a=26mm。1)P=50KN时测得Vp=0.33mm，求此时的CTOD。2)若在P=60KN，Vpc=0.56mm时裂纹开始失稳扩展，求材料的临界CTOD值C。解：1)三点弯曲试样的K由(5-8)式给出为：])(57.14)(18.14)(20.8)(735.1090.1[2343221WaWaWaWaaBWPLK+-+-=p标准三点弯曲试样，L=4W；本题a/W=26/50=0.52；代入上式后可计算K1。42

])(57.14)(18.14)(20.8)(735.1090.1[2343221WaWaWaWaaBWPLK+-+-=p])52.0(57.14)52.0(18.14)52.0(20.8)52.0(735.1090.1[432+-+-=1.4765用MN-m-MPa单位系，有：1KmMPa3.1014765.1026.014.305.0025.0105063==-裂纹尖端张开位移的弹性项e由(7-12)式给出为：=0.0000494m=0.049mm322221102104502)3.01(3.1012)1(-=-=EKysesnd43塑性部分p由（7-14）式给出为：

)()()(haaWrVaWrpp++--=d)226()2650(45.033.0)2650(45.0++--==0.092mm2)失稳临界状态时的应力强度因子为：K4765.1026.014.305.0025.01060631mMPa5.121==-故CTOD为：=0.049+0.092=0.141mmpeddd+=44故材料的临界CTOD值为：=0.071+0.156=0.227mmpceccddd+=塑性项pc为：=0.156mm)()()(haaWrVaWrpcpc++--=d)226()2650(45.056.0)2650(45.0++--=临界裂尖张开位移之弹性项ec为：=0.000071m=0.071mm322221102104502)3.01(5.1212)1(-=-=EKysecsnd457.3.2CTOD与弹塑性断裂控制设计与控制低应力脆断的K1c一样，临界CTOD值(c)可作为控制弹塑性断裂是否发生的材料参数。以CTOD为控制参量的弹塑性断裂判据写为：(7-16)cdd£上述判据给出了断裂应力、裂纹尺寸、断裂抗力间的关系，已知其中二者，即可估计另一个参数的可用范围，即进行初步的弹塑性断裂控制设计。作用d(s,a)抗力(材料