2023年湖南环境生物职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年湖南环境生物职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析（图片大小可自由调整）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第1卷一.综合题(共50题)1.已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）

A．2

B．6

C．4

D．12答案：C2.某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行．那么安排这6项工程的不同排法种数是______．（用数字作答）答案：依题意，乙必须在甲后，丙必须在乙后，丙丁必相邻，且丁在丙后，只需将剩余两个工程依次插在由甲、乙、丙丁四个工程之间即可，第一个插入时有4种，第二个插入时共5个空，有5种方法；可得有5×4=20种不同排法．故为：203.在同一坐标系下，函数y=ax，y=bx，y=cx，y=dx的图象如图，则a、b、c、d、1之间从小到大的顺序是______．答案：作直线x=1与各图象相交，交点的纵坐标即为底数，故从下到上依次增大．所以b＜a＜1＜d＜c故为：b，a，1，d，c4.两平行直线5x+12y+3=0与10x+24y+5=0间的距离是

______．答案：∵两平行直线

ax+by+m=0

与

ax+by+n=0间的距离是|m-n|a2+b2，5x+12y+3=0即10x+24y+6=0，∴两平行直线5x+12y+3=0与10x+24y+5=0间的距离是|5-6|102+242=1576=126．故为126．5.已知直线l1：（k-3）x+（4-k）y+1=0，与l2：2（k-3）x-2y+3=0，平行，则k的值是______．答案：当k=3时两条直线平行，当k≠3时有2=-24-k≠3

所以

k=5故为：3或5．6.已知A（1，0，0）、B（0，1，0）、C（0，0，1）三点，n=（1，1，1），则以n为方向向量的直线l与平面ABC的关系是（）A．垂直B．不垂直C．平行D．以上都有可能答案：由题意，AB=(-1，1，0)，BC=(0，-1，1)∵n•AB=0，n•BC=0∴以n为方向向量的直线l与平面ABC垂直故选A．7.关于x的不等式（k2-2k+）x（k2-2k+）1-x的解集是（）

A．x＞

B．x＜

C．x＞2

D．x＜2答案：B8.一个口袋中有红球3个，白球4个．

（Ⅰ）从中不放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，求恰好第2次中奖的概率；

（Ⅱ）从中有放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，连续摸4次，求中奖次数X的数学期望E（X）．答案：（I）“恰好第2次中奖“即为“第一次摸到的2个白球，第二次至少有1个红球”，其概率为C24C27×C23+C13C12C25=935；（II）摸一次中奖的概率为p=C23+C13C14C27=57，由条件知X～B（4，p），∴EX=np=4×57=207．9.由圆C：x=2+cosθy=3+sinθ（θ为参数）求圆的标准方程．答案：圆的参数方程x=2+cosθy=3+sinθ变形为：cosθ=2-xsinθ=3-y，根据同角的三角函数关系式cos2θ+sin2θ=1，可得到标准方程：（x-2）2+（y-3）2=1．所以为（x-2）2+（y-3）2=1．10.O、B、C为空间四个点，又、、为空间的一个基底，则（）

A．O、A、B、C四点不共线

B．O、A、B、C四点共面，但不共线

C．O、A、B、C四点中任意三点不共线

D．O、A、B、C四点不共面答案：D11.用WHILE语句求1+2+22+23+…+263的值．答案：程序如下：i=0S=0While

i＜=63s=s+2^ii=i+1WendPrint

send12.四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有两名相邻，但三名女生不能连排，则不同的排法数有（）A．3600B．3200C．3080D．2880答案：由题意知本题需要利用分步计数原理来解，∵三名女生有且仅有两名相邻，∴把这两名女生看做一个元素，与另外一名女生作为两个元素，有C32A22种结果，把男生排列有A44，把女生在男生所形成的5个空位中排列有A52种结果，共有C32A22A44A52=2880种结果，故选D．13.如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC中点，则二面角CBFD的正切值为（）

A．

B．

C．

D．

答案：D14.已知正数x，y，z满足5x+4y+3z=10．

（1）求证：25x

24y+3z+16y23z+5x+9z25x+4y≥5；

（2）求9x2+9y2+z2的最小值．答案：（1）根据柯西不等式，得[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)][25x24y+3z+16y23z+5x+9z25x+4y]≥（5x+4y+3z）2因为5x+4y+3z=10，所以25x24y+3z+16y23z+5x+9z25x+4y≥10220=5．（2）根据均值不等式，得9x2+9y2+z2≥29x2?9y2+z2=2?3x2+y2+z2，当且仅当x2=y2+z2时，等号成立．根据柯西不等式，得（x2+y2+z2）（52+42+32）≥（5x+4y+3z）2=100，即

（x2+y2+z2）≥2，当且仅当x5=y4=z3时，等号成立．综上，9x2+9y2+z2≥2?32=18．15.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（）

A．

B．

C．

D．答案：D16.已知x+2y+3z=1，则x2+y2+z2取最小值时，x+y+z的值为______．答案：由柯西不等式可知：（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+32）故x2+y2+z2≥114，当且仅当x1=y2=z3取等号，此时y=2x，z=3x，x+2y+3z=14x=1，∴x=114，y=214，x=314，x+y+z=614=37．故为：37．17.有50件产品编号从1到50，现在从中抽取抽取5件检验，用系统抽样确定所抽取的编号为（）

A．5，10，15，20，25

B．5，15，20，35，40

C．5，11，17，23，29

D．10，20，30，40，50答案：D18.求原点至3x+4y+1=0的距离？答案：由原点坐标为（0，0），得到原点到已知直线的距离d=|3?0+4?0+1|32+42=15．19.假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第2列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的4颗种子的编号______，______，______，______．

（下面摘取了随机数表第7行至第9行）

84

42

17

53

31

57

24

55

06

88

77

04

74

47

67

21

76

33

50

25

83

92

12

06

76

63

01

63

78

59

16

95

55

67

19

98

10

50

71

75

12

86

73

58

07

44

39

52

38

79

33

21

12

34

29

78

64

56

07

82

52

42

07

44

38

15

51

00

13

42

99

66

02

79

54．答案：第8行第2列的数3开始向右读第一个小于850的数字是301，第二个数字是637，也符合题意，第三个数字是859，大于850，舍去，第四个数字是169，符合题意，第五个数字是555，符合题意，故为：301，637，169，55520.以过椭圆+=1(a＞b＞0)的右焦点的弦为直径的圆与直线l：x=的位置关系是（）

A．相交

B．相切

C．相离

D．不能确定答案：C21.(本题满分12分)

已知:

求证:答案：.证明:…………2分由于=………………5分…………①………………6分由于………②……………8分同理:…………③……………10分①+②+③得:即原不等式成立………………12分解析：同答案22.半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积为（）A．22RB．4π3R3C．893R3D．193R3答案：∵半径为R的球内接一个正方体，设正方体棱长为a，正方体的对角线过球心，可得正方体对角线长为：a2+a2+a2=2R，可得a=2R3，∴正方体的体积为a3=（2R3）3=83R39，故选C；23.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x=5cosθ-1y=5sinθ+2（θ为参数）和直线l：x=4t+6y=-3t-2（t为参数），则直线l与圆C相交所得的弦长等于______．答案：∵在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x=5cosθ-1y=5sinθ+2（θ为参数），∴（x+1）2+（y-2）2=25，∴圆心为（-1，2），半径为5，∵直线l：x=4t+6y=-3t-2（t为参数），∴3x+4y-10=0，∴圆心到直线l的距离d=|-3+8-10|5=1，∴直线l与圆C相交所得的弦长=2×52-1=46．故为46．24.已知2，4，2x，4y四个数的平均数是5而5，7，4x，6y四个数的平均数是9，则xy的值是______．答案：因为2，4，2x，4y四个数的平均数是5，则2+4+2x+4y=4×5，又由5，7，4x，6y四个数的平均数是9，则5+7+4x+6y=4×9，x与y满足的关系式为x+2y=72x+3y=12解得x=3y=2故为6．25.若集合A={1，2，3}，则集合A的真子集共有（）A．3个B．5个C．7个D．8个答案：由集合A={1，2，3}，所以集合A的真子集有?，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．故选C．26.如果一个圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面积是______．答案：由已知，圆锥的底面直径为2，母线为2，则这个圆锥的表面积是12×2π×2+π?12=3π．故：3π．27.在方程（θ为参数且θ∈R）表示的曲线上的一个点的坐标是（）

A．（，）

B．（，）

C．（2，-7）

D．（1，0）答案：B28.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（

）

A．

B．

C．

D．2

答案：A29.已知空间两点A（4，a，-b），B（a，a，2），则向量AB=（）A．（a-4，0，2+b）B．（4-a，0，-b-2）C．（0，a-4，2+b）D．（a-4，0，-b-2）答案：∵A（4，a，-b），B（a，a，2）∴AB=(a-4，a-a，2-(-b))=(a-4，0，2+b)故选A30.一个容量为n的样本，分成若干组，已知某数的频数和频率分别为40、0.125，则n的值为（）A．640B．320C．240D．160答案：由频数、频率和样本容量之间的关系得到，40n=0.125，∴n=320．故选B．31.已知点M在z轴上，A（1，0，2），B（1，-3，1），且|MA|=|MB|，则点M的坐标是

______．答案：∵点M在z轴上，∴设点M的坐标为（0，0，z）又|MA|=|MB|，由空间两点间的距离公式得：12+02+(z-2)2=12+32+(z-1)2解得：z=-3．故点M的坐标是（0，0，-3）．故为：（0，0，-3）．32.如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）A．AB．BC．CD．D答案：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，下部相反，对应的点关于x轴对称．所以点A表示复数z的共轭复数的点是B．故选B．33.已知a，b，c是三条直线，且a∥b，a与c的夹角为θ，那么b与c夹角是______．答案：∵a∥b，∴b与c夹角等于a与c的夹角又∵a与c的夹角为θ∴b与c夹角也为θ故为：θ34.给出下列四个命题，其中正确的一个是（）

A．在线性回归模型中，相关指数R2=0.80，说明预报变量对解释变量的贡献率是80%

B．在独立性检验时，两个变量的2×2列联表中对角线上数据的乘积相差越大，说明这两个变量没有关系成立的可能性就越大

C．相关指数R2用来刻画回归效果，R2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差

D．随机误差e是衡量预报精确度的一个量，它满足E（e）=0答案：D35.若向量=（1，λ，2），=（-2，1，1），，夹角的余弦值为，则λ等于（）

A．1

B．-1

C．±1

D．2答案：A36.已知||=2，||=，∠AOB=150°，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设（m，n∈R），则=（）

A．

B．

C．

D．答案：B37.从一批产品中取出三件，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）

A．A与C互斥

B．B与C互斥

C．任两个均互斥

D．任两个均不互斥答案：B38.若a2+b2+c2=1，则a+2b+3c的最大值为______．答案：因为已知a、b、c是实数，且a2+b2+c2=1根据柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2故有（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+3c）2故（a+2b+3c）2≤14，即2a+b+2c≤14．即a+2b+3c的最大值为14．故为：14．39.某房间有四个门，甲要各进、出这个房间一次，不同的走法有多少种？（）

A．12

B．7

C．16

D．64答案：C40.要使直线y=kx+1（k∈R）与焦点在x轴上的椭圆x27+y2a=1总有公共点，实数a的取值范围是______．答案：要使方程x27+y2a=1表示焦点在x轴上的椭圆，需a＜7，由直线y=kx+1（k∈R）恒过定点（0，1），所以要使直线y=kx+1（k∈R）与椭圆x27+y2a=1总有公共点，则（0，1）应在椭圆上或其内部，即a＞1，所以实数a的取值范围是[1，7）．故为[1，7）．41.以抛物线y2=2px（p＞0）的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系是______．答案：根据抛物线定义可知|PF|=p2，而圆的半径为p2，圆心为（p2，0），|PF|正好等于所求圆的半径，进而可推断圆与y轴位置关系是相切．42.已知△ABC是边长为4的正三角形，D、P是△ABC内部两点，且满足AD=14(AB+AC)，AP=AD+18BC，则△APD的面积为______．答案：取BC的中点E，连接AE，根据△ABC是边长为4的正三角形∴AE⊥BC，AE=12(AB+AC)而AD=14(AB+AC)，则点D为AE的中点，AD=3取AF=18BC，以AD，AF为边作平行四边形，可知AP=AD+18BC=AD+AF而△APD为直角三角形，AF=12∴△APD的面积为12×12×3=34故为：3443.下列在曲线上的点是（）

A．

B．

C．

D．答案：D44.（1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（）A．6B．7C．8D．9答案：二项式展开式的通项为Tr+1=3rCnrxr∴展开式中x5与x6的系数分别是35Cn5，36Cn6∴35Cn5=36Cn6解得n=7故选B45.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB，CD=λCA+μCB，则λμ的值为______．答案：∵AD=2DB，∴CD=CA+23

AB∵AB=CB-CA∴CD=CA+23AB=CA+23(CB-CA)=13CA+23CB∵CD=λCA+μCB∴λ=13，μ=23∴λμ=12故为1246.“a=18”是“对任意的正数x，2x+ax≥1的”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：当“a=18”时，由基本不等式可得：“对任意的正数x，2x+ax≥1”一定成立，即“a=18”?“对任意的正数x，2x+ax≥1”为真命题；而“对任意的正数x，2x+ax≥1的”时，可得“a≥18”即“对任意的正数x，2x+ax≥1”?“a=18”为假命题；故“a=18”是“对任意的正数x，2x+ax≥1的”充分不必要条件故选A47.若正四面体ABCD的棱长为1，M是AB的中点，则MC

•MD

=______．答案：在正四面体中，因为M是AB的中点，所以CM=12(CA+CB)，DM=12(DA+DB)，所以CM⋅DM=12(CA+CB)⋅12(DA+DB)=14(CA⋅DA+CB⋅DA+CA⋅DB+CB⋅DB)=14(1×1×cos60∘+0+0+1×1×cos60∘)=14×1=14．所以MC

•MD

=CM⋅DM=14．故为：

1

4

．48.若点A分有向线段所成的比是2，则点C分有向线段所成的比是（）

A．

B．3

C．-2

D．-3答案：D49.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A．4B．6C．8D．12答案：抛物线y2=8x的准线为x=-2，∵点P到y轴的距离是4，∴到准线的距离是4+2=6，根据抛物线的定义可知点P到该抛物线焦点的距离是6故选B50.若直线x-y-1=0与直线x-ay=0的夹角为，则实数a等于（）

A.

B．0

C.

D．0或答案：D第2卷一.综合题(共50题)1.若点（2，-2）在圆（x-a）2+（y-a）2=16的内部，则实数a的取值范围是（）

A．-2＜a＜2

B．0＜a＜2

C．a＜-2或a＞2

D．a=±2答案：A2.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（

）

A．

B．

C．

D．答案：B3.若向量a=(4，2，-4)，b=(6，-3，2)，则(2a-3b)•(a+2b)=______．答案：∵2a-3b=(-10，13，-14)，a+2b=(16，-4，0)∴(2a-3b)•(a+2b)=-10×16+13×（-4）=-212故为-2124.在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆x23+y2=1上的一个动点，求S=x+y的最大值．答案：因椭圆x23+y2=1的参数方程为x=3cos?y=sin?（?为参数）故可设动点P的坐标为(3cos?，sin?)，其中0≤?＜2π．因此S=x+y=3cos?+sin?=2(32cos?+12sin?)=2sin(?+π3)所以，当?=π6时，S取最大值2．5.化简的结果是（）

A．a2

B．a

C．a

D．a答案：C6.已知随机变量ξ服从正态分布N（2，0.2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）等于（）A．0.16B．0.32C．0.68D．0.84答案：∵随机变量ξ服从正态分布N（2，0.2），μ=2，∴p（ξ≤0）=p（ξ≥4）=1-p（ξ≤4）=0.16．故选A．7.集合{1，2，3}的真子集总共有（）A．8个B．7个C．6个D．5个答案：集合{1，2，3}的真子集有?，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．故选B．8.设集合A={1，2，4}，B={2，6}，则A∪B等于（）A．{2}B．{1，2，4，6}C．{1，2，4}D．{2，6}答案：∵集合A={1，2，4}，B={2，6}，∴A∪B={1，2，4}∪{2，6}={1，2，4，6}，故选B．9.如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD=3，点P为△BCD内（含边界）的动点，设（α，β∈R），则α+β的最大值等于

（）

A．

B．

C．

D．1

答案：B10.已知△ABC，D为AB边上一点，若AD=2DB，CD=13CA+λCB，则λ=

．答案：∵AD=2DB，CD=13CA+λCB，CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(

CB-CA)=13CA+23CB，∴λ=23，故为：23．11.设k＞1，则关于x，y的方程（1-k）x2+y2=k2-1所表示的曲线是（）

A．长轴在x轴上的椭圆

B．长轴在y轴上的椭圆

C．实轴在x轴上的双曲线

D．实轴在y轴上的双曲线答案：D12.若一个圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为______cm2．答案：如图所示：∵轴截面是边长为4等边三角形，∴OB=2，PB=4．圆锥的侧面积S=π×2×4=8πcm2．故为8π．13.已知x，y的取值如下表：

x0134y2.24.34.86.7从散点图分析，y与x线性相关，则回归方程为.y=bx+a必过点______．答案：.X=0+1+3+44=2，.Y=2.2+4.3+4.8+6.74=92，故样本中心点的坐标为（2，92）．故为：（2，92）．14.抛物线y2=4x的焦点坐标为（）

A．（0，1）

B．（1，0）

C．（0，2）

D．（2，0）答案：B15.△ABC内接于以O为圆心的圆，且∠AOB=60°．则∠C=______．答案：∵△ABC内接于以O为圆心的圆，∴∠C=12∠AOB，∵∠AOB=60°∴∠C=12×60°=30°故为30°．16.某公司招聘员工，经过笔试确定面试对象人数，面试对象人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y=4x，1≤x≤102x+10，10＜x≤1001.5x

，x＞100其中x代表拟录用人数，y代表面试对象人数．若应聘的面试对象人数为60人，则该公司拟录用人数为（）A．15B．40C．130D．25答案：∵y=4x，1≤x≤102x+10，10＜x≤1001.5x

，x＞100=60，∴当1≤x≤10时，由4x=60得x=15?[1，10]，不满足题意；当10＜x≤100时，由2x+10=60得x=25∈（10，100]，满足题意；当x＞100时，由1.5x=60得x=40?（100，+∞），不满足题意．∴该公司拟录用人数为25．故选D．17.已知a、b、c是△ABC的三边，且关于x的二次方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lga+1=0有等根，判断△ABC的形状．答案：解：∵方程有等根，∴Δ=4-4[lg(c2-b2)-2lga+1]=4-4lg=0，∴lg=1，∴=10，∴c2-b2=a2，即a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．18.为了了解某地母亲身高x与女儿身高Y的相关关系，随机测得10对母女的身高如下表所示：

母亲身x（cm）159160160163159154159158159157女儿身Y（cm）158159160161161155162157162156计算x与Y的相关系数r≈0.71，通过查表得r的临界值r0.05=0.632，从而有______的把握认为x与Y之间具有线性相关关系，因而求回归直线方程是有意义的．通过计算得到回归直线方程为y═34.92+0.78x，因此，当母亲的身高为161cm时，可以估计女儿的身高大致为______．答案：查对临界值表，由临界值r0.05=0.632，可得有95%的把握认为x与Y之间具有线性相关关系，回归直线方程为y=34.92+0.78x，因此，当x=161cm时，y=34.92+0.78x=34.92+0.78×161=161cm故为：95%，161cm．19.已知某几何体的三视图如图，画出它的直观图，求该几何体的表面积和体积．答案：由三视图可知：该几何体是由下面长、宽、高分别为4、4、2的长方体，上面为高是2、底面是边长分别为4、4的矩形的四棱锥，而组成的几何体．它的直观图如图．∴S表面积=4×2×4+4×4+4×12×4×22=48+162．V体积=4×4×2+13×4×4×2=1283．20.右图程序运行后输出的结果为（）

A．3456

B．4567

C．5678

D．6789

答案：A21.用反证法证明：“方程ax2+bx+c=0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”正确的假设是方程存在实数根x0为（）

A．整数

B．奇数或偶数

C．正整数或负整数

D．自然数或负整数答案：A22.已知x1＞0，x1≠1，且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1，（n=1，2，…）．试证：数列{xn}或者对任意自然数n都满足xn＜xn+1，或者对任意自然数n都满足xn＞xn+1．答案：证：首先，xn+1-xn=xn(x2n+3)3x2n+1-xn=2xn(1-x2n)3x2n+1，由于x1＞0，由数列{xn}的定义可知xn＞0，（n=1，2，…）所以，xn+1-xn与1-xn2的符号相同．①假定x1＜1，我们用数学归纳法证明1-xn2＞0（n∈N）显然，n=1时，1-x12＞0设n=k时1-xk2＞0，那么当n=k+1时1-x2k+1=1-[xk(x2k+3)3x2k+1]2=(1-x2k)3(3x2k+1)2＞0，因此，对一切自然数n都有1-xn2＞0，从而对一切自然数n都有xn＜xn+1②若x1＞1，当n=1时，1-x12＜0；设n=k时1-xk2＜0，那么当n=k+1时1-x2k+1=1-[xk(x2k+3)3x2k+1]2=(1-x2k)3(3x2k+1)2＜0，因此，对一切自然数n都有1-xn2＜0，从而对一切自然数n都有xn＞xn+123.实数系的结构图如图所示，其中1、2、3三个方格中的内容分别为（）

A．有理数、零、整数

B．有理数、整数、零

C．零、有理数、整数

D．整数、有理数、零

答案：B24.将3封信投入5个邮筒，不同的投法共有（）

A．15

种

B．35

种

C．6

种

D．53种答案：D25.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（

）

A．

B．

C．

D．答案：B26.已知平面向量a=(0，1)，b=(x，y)，若a⊥b，则实数y=______．答案：由题意平面向量a=(0，1)，b=(x，y)，由a⊥b，∴a?b=0∴y=0故为027.用反证法证明命题：“三角形的内角至多有一个钝角”，正确的假设是（）

A．三角形的内角至少有一个钝角

B．三角形的内角至少有两个钝角

C．三角形的内角没有一个钝角

D．三角形的内角没有一个钝角或至少有两个钝角答案：B28.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…，用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是（）

A．

B．

C．

D．

答案：B29.参数方程为t为参数)表示的曲线是（）

A．一条直线

B．两条直线

C．一条射线

D．两条射线答案：D30.（不等式选讲选做题）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，则3a+1+3b+1+3c+1的最大值为______．答案：根据柯西不等式，可得（3a+1+3b+1+3c+1）2=（1?3a+1+1?3b+1+1?3c+1）2≤（12+12+12）[（3a+1）2+（3b+1）2+（3c+1）2]=3[3（a+b+c）+3]=18当且仅当3a+1=3b+1=3c+1），即a=b=c=13时，（3a+1+3b+1+3c+1）2的最大值为18因此3a+1+3b+1+3c+1的最大值为32．故为：3231.下列4个命题

㏒1/2x>㏒1/3x

其中的真命题是（）

、A．（B．C．D．答案：D解析：取x＝,则＝1,＝＜1,p2正确当x∈(0,)时,()x＜1,而＞1.p4正确32.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且|NF|=32|MN|，则∠NMF=（）A．π6B．π4C．π3D．5π12答案：设N到准线的距离等于d，由抛物线的定义可得d=|NF|，

由题意得cos∠NMF=d|MN|=|NF||MN|=32，∴∠NMF=π6，故选A．33.已知空间四边形ABCD的对角线为AC、BD，设G是CD的中点，则+（+）等于（）

A．

B．

C．

D．

答案：C34.用反证法证明命题“如果a＞b，那么a3＞b3“时，下列假设正确的是（）

A．a3＜b3

B．a3＜b3或a3=b3

C．a3＜b3且a3=b3

D．a3＞b3答案：B35.为了调查上海市中学生的身体状况，在甲、乙两所学校中各随意抽取了

100名学生，测试引体向上，结果如下表所示：

（1）甲乙两校被测学生引体向上的平均数分别是：甲校______个，乙校______个．

（2）若5个以下（不含5个）为不合格，则甲乙两校的合格率分别为甲校______

乙校______

（3）若15个以上（含15个）为优秀，则甲乙两校中优秀率______校较高（填“甲”或“乙”）

（4）用你所学的统计知识对两所学校学生的身体状况作一个比较．你的结论是______．答案：（1）甲校被测学生引体向上的平均数是=6×3+15×5+44×8+20×11+9×5+6×20100=8.3，乙校被测学生引体向上的平均数是=6×3+11×5+51×8+18×11+8×15+6×20100=9.19；（2）甲校的合格率=15+44+20+9+6100×100%=94%，乙校的合格率=11+51+18+8+6100×100%=94%；（3）甲校中优秀率=9+6100×100%=15%，乙校中优秀率=8+6100×100%=14%，所以甲校较高；（4）虽然合格率相等，但是乙校平均数更高一些，所以乙校更好一些．故为：8.3，9.19，94%，94%，乙校更好一些36.一个凸多面体的各个面都是四边形，它的顶点数是16，则它的面数为（）

A．14

B．7

C．15

D．不能确定答案：A37.已知x与y之间的一组数据是（）

x0123y2468则y与x的线性回归方程y=bx+a必过点（）A．（2，2）B．（1，2）C．（1.5，0）D．（1.5，5）答案：根据所给的表格得到.x=0+1+2+34=1.5，.y=2+4+6+84=5，∴这组数据的样本中心点是（1.5，5）∵线性回归直线一定过样本中心点，∴y与x的线性回归方程y=bx+a必过点（1.5，5）故选D．38.某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．

若使每个同学游8次，每人最少应交多少元钱？答案：设买x张游泳卡，总开支为y元，则每批去x名同学，共需去48×8x=384x批，总开支又分为：①买卡所需费用240x；②包车所需费用384x×40．∴y=240x+384x×40（0＜x≤48，x∈Z）．因此，y=240（x+64x）≥240×2x?64x=3840当且仅当x=64x时，即x=8时取等号．∴当x=8时，总开支y的最大值为3840元，此时每人最少应交384048=80（元）．答：若使每个同学游8次，每人最少应交80元钱．39.曲线C：x=t-2y=1t+1（t为参数）的对称中心坐标是______．答案：曲线C：x=t-2y=1t+1（t为参数）即y-1=1x+2，其对称中心为（-2，1）．故为：（-2，1）．40.从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（）A．59B．49C．1121D．1021答案：基本事件总数为C93，设抽取3个数，和为偶数为事件A，则A事件数包括两类：抽取3个数全为偶数，或抽取3数中2个奇数1个偶数，前者C43，后者C41C52．∴A中基本事件数为C43+C41C52．∴符合要求的概率为C34+C14C25C39=1121．41.已知a为常数，a＞0且a≠1，指数函数f（x）=ax和对数函数g（x）=logax的图象分别为C1与C2，点M在曲线C1上，线段OM（O为坐标原点）与曲线C1的另一个交点为N，若曲线C2上存在一点P，且点P的横坐标与点M的纵坐标相等，点P的纵坐标是点N的横坐标2倍，则点P的坐标为______．答案：设点M的坐标为（m，am），点N的坐标为（n，an）∵点P的横坐标与点M的纵坐标相等∴点P的坐标为（am，m）∵点P的纵坐标是点N的横坐标2倍，∴m=2n而O、M、N三点共线则amm=ann=

am2m2解得：am=4即m=loga4∴点P的坐标为（4，loga4）故为：（4，loga4）42.已知A(3，0)，B(0，3)，O为坐标原点，点C在第一象限内，且∠AOC=60°，设OC=OA+λOB

(λ∈R)，则λ等于（）A．33B．3C．13D．3答案：∵OC=OC=OA+λOB(λ∈R)，∠AOC=60°∴|λOB|=

3tan60°=33又∵|OB|=3∴λ=3故选D．43.已知圆C：x2+y2-4x-5=0．

（1）过点（5，1）作圆C的切线，求切线的方程；

（2）若圆C的弦AB的中点P（3，1），求AB所在直线方程．答案：由C：x2+y2-4x-5=0得圆的标准方程为（x-2）2+y2=9-----------（2分）（1）显然x=5为圆的切线．------------------------（4分）另一方面，设过（5，1）的圆的切线方程为y-1=k（x-5），即kx-y+1-5k=0；所以d=|2k-5k+1|k2+1=3，解得k=-43于是切线方程为4x+3y-23=0和x=5．------------------------（7分）（2）设所求直线与圆交于A，B两点，其坐标分别为（x1，y1）B（x2，y2）则有(x1-2)2+y21=9(x2-2)2+y22=9两式作差得（x1+x2-4）（x2-x1）+（y2+y1）（y2-y1）=0--------------（10分）因为圆C的弦AB的中点P（3，1），所以（x2+x1）=6，（y2+y1）=2

所以y2-y1x2-x1=-1，故所求直线方程为

x+y-4=0-----------------（14分）44.已知a，b，c是三条直线，且a∥b，a与c的夹角为θ，那么b与c夹角是______．答案：∵a∥b，∴b与c夹角等于a与c的夹角又∵a与c的夹角为θ∴b与c夹角也为θ故为：θ45.直线2x-3y+10=0的法向量的坐标可以是答案：C46.若不等式对一切x恒成立，求实数m的范围.答案：见解析解析：∵x2-8x+20=(x-4)2+4>0,∴只须mx2-mx-1<0恒成立，即可：①

当m=0时，-1<0,不等式成立；②

当m≠0时，则须，解得-4<m<0.由（1）、（2）得：-4<m≤0.</m<0.47.设求证答案：证明略解析：左边-右边===

=

∴原不等式成立。证法二:左边>0，右边>0。∴原不等式成立。48.在平面直角坐标系xOy中，双曲线x24-y212=1上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是______答案：MFd=e=2，d为点M到右准线x=1的距离，则d=2，∴MF=4．故为449.已知z=1+i，则|z|=______．答案：由z=1+i，所以|z|=12+12=2．故为2．50.10件产品中有7件正品，3件次品，则在第一次抽到次品条件下，第二次抽到次品的概率______．答案：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为29；故为29．第3卷一.综合题(共50题)1.某细胞在培养过程中，每15分钟分裂一次（由1个细胞分裂成2个），则经过两个小时后，1个这样的细胞可以分裂成______个．答案：由于每15分钟分裂一次，则两个小时共分裂8次．一个这样的细胞经过一次分裂后，由1个分裂成2个；经过2次分裂后，由1个分裂成22个；…经过8次分裂后，由1个分裂成28个．∴1个这样的细胞经过两个小时后，共分裂成28个，即256个．故为：2562.某公司招聘员工，经过笔试确定面试对象人数，面试对象人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y=4x1≤x≤102x+1010＜x≤1001.5xx＞100其中x代表拟录用人数，y代表面试对象人数．若应聘的面试对象人数为60人，则该公司拟录用人数为（）A．15B．40C．25D．130答案：由题意知：当10＜x≤100时，y=2x+10∈（30，210]，又因为60∈（30，210]，∴2x+10=60，∴x=25．故：该公司拟录用人数为25人．故选C．3.已知空间四边形ABCD的对角线为AC、BD，设G是CD的中点，则+（+）等于（）

A．

B．

C．

D．

答案：C4.(本小题满分12分)

如图，已知椭圆C1的中心在圆点O，长轴左、右端点M、N在x轴上，椭圆C1的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C1交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D.

（I）设e=，求|BC|与|AD|的比值；

（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO//AN,并说明理由.答案：（II）t=0时的l不符合题意，t≠0时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即，解得。因为，又，所以，解得。所以当时，不存在直线l，使得BO//AN；当时，存在直线l使得BO//AN。解析：略5.对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如表：

花期（天）11～1314～1617～1920～22个数20403010则这种卉的平均花期为______天．答案：由表格知，花期平均为12天的有20个，花期平均为15天的有40个，花期平均为18天的有30个，花期平均为21天的有10个，∴这种花卉的评价花期是12×20+15×40+18×30+21×10100=16，故为：166.如图：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E，F分别是线段AB，BC上的点，且EB=FB=1．

（1）求二面角C-DE-C1的大小；

（2）求异面直线EC1与FD1所成角的大小；

（3）求异面直线EC1与FD1之间的距离．答案：（1）以A为原点AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D（0，3，0），D1（0，3，2），E（3，0，0），F（4，1，0），C1（4，3，2）．（1分）于是DE=（3，-3，0），EC1=（1，3，2），FD1=（-4，2，2）（3分）设向量n=（x，y，z）与平面C1DE垂直，则有n⊥DEn⊥EC1⇒3x-3y=0x+3y+2z=0⇒x=y=-12z．∴n=（-z2，-z2，z）=z2（-1，-1，2），其中z＞0．取n0=（-1，-1，2），则n0是一个与平面C1DE垂直的向量，（5分）∵向量AA1=（0，0，2）与平面CDE垂直，∴n0与AA1所成的角θ为二面角C-DE-C1的平面角．（6分）∴cosθ=n0•AA1|n0||AA1|=-1×0-1×0+2×21+1+4×0+0+4=63．（7分）故二面角C-DE-C1的大小为arccos63．（8分）（2）设EC1与FD1所成角为β，（1分）则cosβ=EC1•FD1|EC1||FD1|=1×(-4)+3×2+2×21+1+4×0+0+4=2114（10分）故异面直线EC1与FD1所成角的大小为arccos2114（11分）（3）设m=（x，y，z）m⊥EC1m⊥FD1⇒m=(17，-57，1)又取D1C1=(4，0，0)$}}\overm}=（\frac{1}{7}，-\frac{5}{7}，1）$$}}\overC}_1}=（4，0，0）$（13分）设所求距离为d，则d=|m⋅D1C1||m|=4315$}}\overC}}_1}|}}{|\vecm|}=\frac{{4\sqrt{3}}}{15}$（14分）．7.证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．答案：证明见解析：建立如图所示的直角坐标系．设，，其中，．则直线的方程为，直线的方程为．设底边上任意一点为，则到的距离；到的距离；到的距离．因为，所以，结论成立．8.在同一平面直角坐标系中，直线变成直线的伸缩变换是（）A．B．C．D．答案：A解析：解：设直线上任意一点（x′，y′），变换前的坐标为（x，y），则根据直线变成直线则伸缩变换是，选A9.已知直线l的参数方程为x=3+12ty=7+32t（t为参数），曲线C的参数方程为x=4cosθy=4sinθ（θ为参数）．

（I）将曲线C的参数方程转化为普通方程；

（II）若直线l与曲线C相交于A、B两点，试求线段AB的长．答案：（I）由x=4cosθy=4sinθ得x2=16cos2θy2=16sin2θ故圆的方程为x2+y2=16．（II）把x=3+12ty=7+32t代入方程x2+y2=16，得t2+83t+36=0∴线段AB的长为|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=43．10.在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条答案：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求．故选B．11.如图，D、E分别在AB、AC上，下列条件不能判定△ADE与△ABC相似的有（）

A．∠AED=∠B

B．

C．

D．DE∥BC

答案：C12.直线y=2x+1的参数方程是（）

A.（t为参数）

B.（t为参数）

C.（t为参数）

D.（θ为参数）

答案：B13.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定

是（）

A．所有不能被2整除的整数都是偶数

B．所有能被2整除的整数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的整数是偶数

D．存在一个能被2整除的整数不是偶数答案：D14.如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且AP=15AB+25AC，则△ABP与△ABC的面积之比等于（）A．15B．12C．25D．23答案：连接CP并延长交AB于D，∵P、C、D三点共线，∴AP=λAD+μAC且λ+μ=1设AB=kAD，结合AP=15AB+25AC得AP=k5AD+25AC由平面向量基本定理解之，得λ=35，k=3且μ=25∴AP=35AD+25AC，可得PD=25CD，∵△ABP的面积与△ABC有相同的底边AB高的比等于|PD|与|CD|之比∴△ABP的面积与△ABC面积之比为25故选：C15.函数y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．

（1）求f（0）的值；

（2）若f（1）=1，求f（2），f（3），f（4）的值，猜想f（n）的表达式并用数学归纳法证明你的结论；

（3）若f（1）≥1，求证：f(12n)＞0(n∈N*)．答案：（1）令x=y=0得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0?f（0）=0（2）f（1）=1，f(2)=f(1+1)=1+1+2=4f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16猜想f（n）=n2，下用数学归纳法证明之．①当n=1时猜想成立．②假设n=k时猜想成立，即：f（k）=k2，那么f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=k2+2k+1=（k+1）2．这就是说n=k+1时猜想也成立．对于一切n≥1，n∈N+猜想都成立．（3）f（1）≥1，则f(1)=2f(12)+2×12×12≥1?f(12)≥14＞0假设n=k（k∈N*）时命题成立，即f(12k)≥122k＞0，则f(12k)=2f(12k+1)+2×12k+1×12k+1≥122k?f(12k+1)≥122(k+1)，由上知，则f(12n)＞0(n∈N*)．16.极坐标方程pcosθ=表示（）

A．一条平行于x轴的直线

B．一条垂直于x轴的直线

C．一个圆

D．一条抛物线答案：B17.如图过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为（）

A．y2=x

B．y2=9x

C．y2=x

D．y2=3x

答案：D18.设，则之间的大小关系是

.答案：b>a>c解析：略19.设F1、F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|=3，则P点到椭圆左焦点距离为______．答案：由题意知，OM是三角形PF1P的中位线，∵|OM|=3，∴|PF2|=6，又|PF1|+|PF2|=2a=10，∴|PF1|=4，故为4．20.集合{1，2，3}的真子集总共有（）A．8个B．7个C．6个D．5个答案：集合{1，2，3}的真子集有?，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．故选B．21.设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则用“＞”表示a，b，c的大小关系式是______．答案：∵0＜0.32＜1，log20.3＜0，20.3＞1∴0.32＜20.3＜log20.3故为：a＞b＞c22.已知直线的斜率为3，则此直线的倾斜角为（）A．30°B．60°C．45°D．120°答案：∵直线的斜率为3，∴直线倾斜角α满足tanα=3结合α∈[0°，180°），可得α=60°故选：B23.函数y=x2x4+9（x≠0）的最大值为______，此时x的值为______．答案：y=x2x4+9=1x2+9x2≤129=16，当且仅当x2=9x2，即x=±3时取等号．故为：16，

±324.已知x与y之间的一组数据：

x

0

1

2

3

y

2

4

6

8

则y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点（）

A．（1.5，4）

B．（1.5，5）

C．（1，5）

D．（2，5）答案：B25.

如图梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的斜二侧直观图，若A1D1∥O′y′A1B1∥C1D1，A1B1=C1D1=2，A1D1=1，则四边形ABCD的面积是（）

A．10

B．5

C.2

D.10

答案：B26.随机变量X的概率分布规律为P（X=n）=（n=1，2，3，4），其中a是常数，则P（）的值为（）

A．

B．

C．

D．

答案：D27.下图是由A、B、C、D中的哪个平面图旋转而得到的（

）答案：A28.若函数y=f（x）的定义域是[2，4]，则y=f（log12x）的定义域是（）A．[12，1]B．[4，16]C．[116，14]D．[2，4]答案：∵y=f（log12x），令log12x=t，∴y=f（log12x）=f（t），∵函数y=f（x）的定义域是[2，4]，∴y=f（t）的定义域也为[2，4]，即2≤t≤4，∴有2≤log12x≤4，解得：116≤x≤14，∵函数的定义域即解析式中自变量的取值范围，∴y=f（log12x）的定义域为116≤x≤14，即：[116，14]．故选C．29.（不等式选讲）

已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明：.答案：略解析：:证明：由，所以同理：

，

相加得：左³……………(10分)30.设向量a，b，c满足a+b+c=0，a⊥b，且a，b的模分别为s，t，其中s=a1=1，t=a3，an+1=nan，则c的模为______．答案：∵向量a，b，c满足a+b+c=0，a⊥b，∴向量a，b，c构成一个直角三角形，如图∵s=a1=1，t=a3，an+1=nan，∴a21=1，即a2=1，∴a31=2，t=a3=2．∴|c|=1+4=5．故为：5．31.

如图，已知PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，PA=6，PB=BC，⊙O的半径OC=5，那么弦BC的弦心距OM=（）

A．4

B．3

C．5

D．6

答案：A32.等边三角形ABC中，P在线段AB上，且AP=λAB，若CP•AB=PA•PB，则实数λ的值是______．答案：设等边三角形ABC的边长为1．则|AP|=λ|AB|=λ，|PB|=1-λ．（0＜λ＜1）CP•AB=(CA+AP)•AB=CA•AB+

AP•AB=PA•PB，所以1×1×cos120°+λ×1×cos0°=λ×（1-λ）cos180°．化简-12+λ=-λ（1-λ），整理λ2-2λ+12=0，解得λ=2-22（λ=2+22＞1舍去）故为：2-2233.四面体ABCD中，设M是CD的中点，则化简的结果是（）

A．

B．

C．

D．答案：A34.设椭圆的左焦点为F，AB为椭圆中过点F的弦，试分析以AB为直径的圆与椭圆的左准线的位置关系．答案：设M为弦AB的中点（即以AB为直径的圆的圆心），A1、B1、M1分别是A、B、M在准线l上的射影（如图）．由圆锥曲线的共同性质得|AB|=|AF|+|BF|=e（|AA1|+|BB1|）=2e|MM1|．∵0＜e＜1，∴|AB|＜2|MM1|，即|AB|2＜|MM1|．∴以AB为直径的圆与左准线相离．35.以下四组向量中，互相平行的是．（）

（1）=(1，2，1)，=(1，-2，3)；

（2）=(8，4，-6)，=(4，2，-3)；

（3）=(0，1，-1)，=(0，-3，3)；