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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如果直线与圆相交,则点与圆C的位置关系是()A.点M在圆C上 B.点M在圆C外C.点M在圆C内 D.上述三种情况都有可能2.双曲线x2a2A.y=±2x B.y=±3x3.在四面体中,为正三角形,边长为6,,,,则四面体的体积为()A. B. C.24 D.4.国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是()A.12个月的PMI值不低于50%的频率为B.12个月的PMI值的平均值低于50%C.12个月的PMI值的众数为49.4%D.12个月的PMI值的中位数为50.3%5.的二项展开式中,的系数是()A.70 B.-70 C.28 D.-286.已知圆M:x2+y2-2ay=0a>0截直线x+y=0A.内切 B.相交 C.外切 D.相离7.已知为虚数单位,实数满足,则()A.1 B. C. D.8.已知向量,若,则实数的值为()A. B. C. D.9.在中,角,,的对边分别为,,,若,,,则()A. B.3 C. D.410.已知双曲线的左、右焦点分别为,过作一条直线与双曲线右支交于两点,坐标原点为,若,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.11.设函数,当时,,则()A. B. C.1 D.12.已知函数,,则的极大值点为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图所示,边长为1的正三角形中,点,分别在线段,上,将沿线段进行翻折,得到右图所示的图形,翻折后的点在线段上,则线段的最小值为_______.14.已知向量,且,则___________.15.如图,直线平面,垂足为,三棱锥的底面边长和侧棱长都为4,在平面内,是直线上的动点,则点到平面的距离为_______,点到直线的距离的最大值为_______.16.某部队在训练之余,由同一场地训练的甲、乙、丙三队各出三人,组成小方阵开展游戏,则来自同一队的战士既不在同一行,也不在同一列的概率为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知等差数列的前n项和为,,公差,、、成等比数列,数列满足.(1)求数列,的通项公式;(2)已知,求数列的前n项和.18.(12分)已知函数,若的解集为.(1)求的值;(2)若正实数,,满足,求证:.19.(12分)如图,已知平面与直线均垂直于所在平面,且.(1)求证:平面;(2)若,求与平面所成角的正弦值.20.(12分)已知数列满足,且.(1)求证:数列是等差数列,并求出数列的通项公式;(2)求数列的前项和.21.(12分)已知函数,函数().(1)讨论的单调性;(2)证明:当时,.(3)证明:当时,.22.(10分)已知数列的前项和为,且满足.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
根据圆心到直线的距离小于半径可得满足的条件,利用与圆心的距离判断即可.【详解】直线与圆相交,圆心到直线的距离,即.也就是点到圆的圆心的距离大于半径.即点与圆的位置关系是点在圆外.故选:【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质,考查点到直线距离公式的应用,属于中档题.2.A【解析】分析:根据离心率得a,c关系,进而得a,b关系,再根据双曲线方程求渐近线方程,得结果.详解:∵e=因为渐近线方程为y=±bax点睛:已知双曲线方程x2a23.A【解析】
推导出,分别取的中点,连结,则,推导出,从而,进而四面体的体积为,由此能求出结果.【详解】解:在四面体中,为等边三角形,边长为6,,,,,,分别取的中点,连结,则,且,,,,平面,平面,,四面体的体积为:.故答案为:.【点睛】本题考查四面体体积的求法,考查空间中线线,线面,面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力.4.D【解析】
根据图形中的信息,可得频率、平均值的估计、众数、中位数,从而得到答案.【详解】对A,从图中数据变化看,PMI值不低于50%的月份有4个,所以12个月的PMI值不低于50%的频率为,故A正确;对B,由图可以看出,PMI值的平均值低于50%,故B正确;对C,12个月的PMI值的众数为49.4%,故C正确,;对D,12个月的PMI值的中位数为49.6%,故D错误故选:D.【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算,考查数据处理能力,属于基础题.5.A【解析】试题分析:由题意得,二项展开式的通项为,令,所以的系数是,故选A.考点:二项式定理的应用.6.B【解析】化简圆M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r7.D【解析】,则故选D.8.D【解析】
由两向量垂直可得,整理后可知,将已知条件代入后即可求出实数的值.【详解】解:,,即,将和代入,得出,所以.故选:D.【点睛】本题考查了向量的数量积,考查了向量的坐标运算.对于向量问题,若已知垂直,通常可得到两个向量的数量积为0,继而结合条件进行化简、整理.9.B【解析】由正弦定理及条件可得,即.,∴,由余弦定理得。∴.选B。10.B【解析】
由题可知,,再结合双曲线第一定义,可得,对有,即,解得,再对,由勾股定理可得,化简即可求解【详解】如图,因为,所以.因为所以.在中,,即,得,则.在中,由得.故选:B【点睛】本题考查双曲线的离心率求法,几何性质的应用,属于中档题11.A【解析】
由降幂公式,两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式,然后由正弦函数性质求得参数值.【详解】,时,,,∴,由题意,∴.故选:A.【点睛】本题考查二倍角公式,考查两角和的正弦公式,考查正弦函数性质,掌握正弦函数性质是解题关键.12.A【解析】
求出函数的导函数,令导数为零,根据函数单调性,求得极大值点即可.【详解】因为,故可得,令,因为,故可得或,则在区间单调递增,在单调递减,在单调递增,故的极大值点为.故选:A.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点,属基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
设,,在中利用正弦定理得出关于的函数,从而可得的最小值.【详解】解:设,,则,,∴,在中,由正弦定理可得,即,∴,∴当即时,取得最小值.故答案为.【点睛】本题考查正弦定理解三角形的应用,属中档题.14.【解析】
由向量平行的坐标表示得出,求解即可得出答案.【详解】因为,所以,解得.故答案为:【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数,属于基础题.15.【解析】
三棱锥的底面边长和侧棱长都为4,所以在平面的投影为的重心,利用解直角三角形,即可求出点到平面的距离;,可得点是以为直径的球面上的点,所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离,最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径,即可求出结论.【详解】边长为,则中线长为,点到平面的距离为,点是以为直径的球面上的点,所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离,最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径.又三棱锥的底面边长和侧棱长都为4,以下求过和的两个平行平面间距离,分别取中点,连,则,同理,分别过做,直线确定平面,直线确定平面,则,同理,为所求,,,所以到直线最大距离为.故答案为:;.【点睛】本题考查空间中的距离、正四面体的结构特征,考查空间想象能力,属于较难题.16.【解析】
分两步进行:首先,先排第一行,再排第二行,最后排第三行;其次,对每一行选人;最后,利用计算出概率即可.【详解】首先,第一行队伍的排法有种;第二行队伍的排法有2种;第三行队伍的排法有1种;然后,第一行的每个位置的人员安排有种;第二行的每个位置的人员安排有种;第三行的每个位置的人员安排有种.所以来自同一队的战士既不在同一行,也不在同一列的概率.故答案为:.【点睛】本题考查了分步计数原理,排列与组合知识,考查了转化能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1),();(2).【解析】
(1)根据是等差数列,,、、成等比数列,列两个方程即可求出,从而求得,代入化简即可求得;(2)化简后求和为裂项相消求和,分组求和即可,注意讨论公比是否为1.【详解】(1)由题意知,,,由得,解得.又,得,解得或(舍).,.又(),().(2),①当时,.②当时,.【点睛】此题等差数列的通项公式的求解,裂项相消求和等知识点,考查了化归和转化思想,属于一般性题目.18.(1);(2)证明见详解.【解析】
(1)将不等式的解集用表示出来,结合题中的解集,求出的值;(2)利用柯西不等式证明.【详解】解:(1),,,因为的解集为,所以,;(2)由(1)由柯西不等式,当且仅当,,,等号成立.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,利用柯西不等式证明不等式的问题,属于中档题.19.(1)见解析;(2)【解析】
(Ⅰ)证明:过点作于点,∵平面⊥平面,∴平面又∵⊥平面∴∥,又∵平面∴∥平面(Ⅱ)∵平面∴,又∵∴∴∴点是的中点,连结,则∴平面∴∥,∴四边形是矩形设,得:,又∵,∴,从而,过作于点,则∴是与平面所成角∴,∴与平面所成角的正弦值为考点:面面垂直的性质定理;线面平行的判定定理;线面垂直的性质定理;直线与平面所成的角.点评:本题主要考查了线面平行的证明和直线与平面所成的角,属立体几何中的常考题型,较难.本题也可以用向量法来做:用向量法解题的关键是;首先正确的建立空间直角坐标系,正确求解平面的一个法向量.注意计算要仔细、认真.≌20.(1)证明见解析,;(2).【解析】
(1)将等式变形为,进而可证明出是等差数列,确定数列的首项和公差,可求得的表达式,进而可得出数列的通项公式;(2)利用错位相减法可求得数列的前项和.【详解】(1)因为,所以,即,所以数列是等差数列,且公差,其首项所以,解得;(2),①,②①②,得,所以.【点睛】本题考查利用递推公式证明等差数列,同时也考查了错位相减法求和,考查推理能力与计算能力,属于中等题.21.(1)答案不唯一,具体见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】
(1)求出的定义域,导函数,对参数、分类讨论得到答案.(2)设函数,求导说明函数的单调性,求出函数的最大值,即可得证.(3)由(1)可知,可得,即又即可得证.【详解】(1)解:的定义域为,,当,时,,则在上单调递增;当,时,令,得,令,得,则在上单调递减,在上单调递增;当,时,,则在上单调递减;当,时,令,得,令,得,则在上单调递增,在上单调递减;(2)证明:设函数,则.因为,所以,,则,从而在上单调递减,所以,即.(3)证明:当时,.由(1)知,,所以,即.当时,,,则,即,
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