2023年重庆医药高等专科学校高职单招（数学）试题库含答案解析

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年重庆医药高等专科学校高职单招（数学）试题库含答案解析（图片大小可自由调整）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第1卷一.综合题(共50题)1.用0.618法确定的试点，则经过（

）次试验后，存优范围缩小为原来的0.6184倍．答案：52.“x2＞2012”是“x2＞2011”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：由于“x2＞2

012”时，一定有“x2＞2

011”，反之不成立．所以“x2＞2

012”是“x2＞2

011”的充分不必要条件．故选A．3.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X；

②长江上某水文站观察到一天中的水位X；

③某超市一天中的顾客量X．

其中的X是连续型随机变量的是（）

A．①

B．②

C．③

D．①②③答案：B4.对于一组数据的两个函数模型，其残差平方和分别为153.4

和200，若从中选取一个拟合程度较好的函数模型，应选残差平方和为______的那个．答案：残差的平方和是用来描述n个点与相应回归直线在整体上的接近程度残差的平方和越小，拟合效果越好，由于153.4＜200，故拟合效果较好的是残差平方和是153.4的那个模型．故为：153.4．5.执行如图的程序框图，若p=15，则输出的n=______．答案：当n=1时，S=2，n=2；当n=2时，S=6，n=3；当n=3时，S=14，n=4；当n=4时，S=30，n=5；故最后输出的n值为5故为：56.在输入语句中，若同时输入多个变量，则变量之间的分隔符号是（）

A．逗号

B．空格

C．分号

D．顿号答案：A7.设复数z满足条件|z|=1，那么|z+22+i|的最大值是______．答案：∵|z|=1，∴可设z=cosα+sinα，于是|z+22+i|=|cosα+22+(sinα+1)i|=(cosα+22)2+(sinα+1)2=10+6sin(α+θ)≤10+6=4．∴|z+22+i|的最大值是4．故为48.若a＜b＜c，x＜y＜z，则下列各式中值最大的一个是（）

A．ax+cy+bz

B．bx+ay+cz

C．bx+cy+az

D．ax+by+cz答案：D9.设p，q是简单命题，则“p且q为真”是“p或q为真”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：若“p且q为真”成立，则p，q全真，所以“p或q为真”成立若“p或q为真”则p，q全真或真q假或p假q真，所以“p且q为真”不一定成立∴“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件故选B10.设函数f（x）=（2a-1）x+b是R上的减函数，则a的范围为______．答案：∵f（x）=（2a-1）x+b是R上的减函数，∴2a-1＜0，解得a＜12．故为：a＜12．11.点P（x，y）是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点，则x+2y的最大值为______．答案：把椭圆2x2+3y2=12化为标准方程，得x26+y24=1，∴这个椭圆的参数方程为：x=6cosθy=2sinθ，（θ为参数）∴x+2y=6cosθ+4sinθ，∴(x+2y)max=6+16=22．故为：22．12.下列说法中正确的是（）A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a＞b”与“a+c＞b+c”不等价C．“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真答案：A、逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故A错误；B、由不等式的性质可知，“a＞b”与“a+c＞b+c”等价，故B错误；C、“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a2+b2≠0”，故C错误；D、否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性，故D正确；故选D13.把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（）

A．一条线段

B．一段圆弧

C．圆上一群孤立点

D．一个单位圆答案：D14.已知A（4，1，9），B（10，-1，6），则A，B两点间距离为______．答案：∵A（4，1，9），B（10，-1，6），∴A，B两点间距离为|AB|=(10-4)2+(-1-1)2+(6-9)2=7故为：715.已知|a=2，|b|=1，a与b的夹角为60°，求向量.a+2b与2a+b的夹角．答案：由题意得，a?b=2×1×12=1，∴（a+2b）?（2a+b）=2a2+5a?b+2b2=15，|a+2b|=a2+4a?b+4b2=23，|2a+b|=4a2+4a?b+b2=21，设a+2b与2a+b夹角为θ，则cosθ=(a+2b)?(2a+b)|a+2b||2a+b|=1523×21=5714，则θ=arccos571416.某种灯泡的耐用时间超过1000小时的概率为0.2，有3个相互独立的灯泡在使用1000小时以后，最多只有1个损坏的概率是（）

A．0.008

B．0.488

C．0.096

D．0.104答案：D17.已知函数f(x)=2-x，x≤112+log2x，x＞1，则满足f（x）≥1的x的取值范围为______．答案：当x≤1时，2-x≥1，解得-x≥0，即x≤0，所以x≤0；当x＞1时，12+log2x≥1，解得x≥2，所以x≥2．所以满足f（x）≥1的x的取值范围为(-∞，0]∪[2，+∞)．故为：(-∞，0]∪[2，+∞)．18.从集合M={1，2，3，…，10}选出5个数组成的子集，使得这5个数的任两个数之和都不等于11，则这样的子集有______个．答案：集合{1，2，…，10}中和是11的有：1+10，2+9，3+8，4+7，5+6，选出5个不同的数组成子集，就是从这5组中分别取一个数，而每组的取法有2种，所以这样的子集有：2×2×2×2×2=32故这样的子集有32个故为：3219.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）

A．2

B．4

C．8

D．16

答案：C20.化简下列各式：

（1）AB+DF+CD+BC+FA=______；

（2）(AB+MB)+(BO+BC)+OM=______．答案：（1）AB+DF+CD+BC+FA=（AB+BC+CD+DF）+FA=AF+FA=0；（2）(AB+MB)+(BO+BC)+OM=（AB+BC）+MB+（BO+OM）=AC+MB+BM=AC+（MB+BM）=AC+0=AC，故为：（1）0；（2）AC21.复数z=（2+i）（1+i）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：因为z=（2+i）（1+i）=2+3i+i2=1+3i，所以复数对应点的坐标为（1，3），所以位于第一象限．故选A．22.△ABC中，，若，则m+n=（）

A．

B．

C．

D．1答案：B23.若把A、B、C、D、E、F、G七人排成一排，则A、B必须相邻，且C、D不能相邻的概率是______（结果用数值表示）．答案：把AB看成一个整体，CD不能相邻，就用插空法，则有A22A44A25种方法把A、B、C、D、E、F、G七人排成一排，随便排的种数A77所以概率为A22A44A25A77=421故为：421．24.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：x=22t+1y=22t，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长．答案：曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ化为直角坐标方程为x2+y2-4x=0，即（x-2）2+y2=4直线l的参数方程x=22t+1y=22t，化为普通方程为x-y-1=0，曲线C的圆心（2，0）到直线l的距离为12=22所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长24-12=14．25.曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），它的普通方程是（）

A．（x-1）2（y-1）=1

B．

C.

D.答案：B26.一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集是全体实数所满足的条件是(

)

A．

B.

C.

D.答案：D27.平面向量与的夹角为60°，=（1,0），||=1，则|+2|=（

）

A．7

B.

C．4

D．12答案：B28.已知f（n）=1+12+13+L+1n（n∈N*），用数学归纳法证明f（2n）＞n2时，f（2k+1）-f（2k）等于______．答案：因为假设n=k时，f（2k）=1+12+13+…+12k，当n=k+1时，f（2k+1）=1+12+13+…+12k+12k+1+…+12k+1∴f（2k+1）-f（2k）=12k+1+12k+2+…+12k+1故为：12k+1+12k+2+…+12k+129.若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（）

A．2

B．4

C．8

D.4答案：C30.已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[60，70]的汽车大约有（）辆．A．90B．80C．70D．60答案：由已知可得样本容量为200，又∵数据落在区间[60，70]的频率为0.04×10=0.4∴时速在[60，70]的汽车大约有200×0.4=80故选B．31.圆（x+2）2+y2=4与圆（x-2）2+（y-1）2=9的位置关系为（）

A．内切

B．相交

C．外切

D．相离答案：B32.如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，连接DB，若∠D=20°，则∠DBE的大小为（）

A．20°

B．40°

C．60°

D．70°答案：D33.已知点A（-1，-2），B（2，3），若直线l：x+y-c=0与线段AB有公共点，则直线l在y轴上的截距的取值范围是（）

A．[-3，5]

B．[-5，3]

C．[3，5]

D．[-5，-3]答案：A34.点M（2，-3，1）关于坐标原点对称的点是（）

A．（-2，3，-1）

B．（-2，-3，-1）

C．（2，-3，-1）

D．（-2，3，1）答案：A35.设函数f（x）的定义域为R，如果对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（2）=1，那么f（3）=______．答案：对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（2）=1，∴f（2）=2f（1）=1∴f(1)=12那么f（3）=f（2）+f（1）=1=12=32故为：3236.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…，用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是（）

A．

B．

C．

D．

答案：B37.在同一平面直角坐标系中，直线变成直线的伸缩变换是（）A．B．C．D．答案：A解析：解：设直线上任意一点（x′，y′），变换前的坐标为（x，y），则根据直线变成直线则伸缩变换是，选A38.某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为（）

A．0.4

B．1.2

C．0.43

D．0.6答案：B39.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.6，则ξ在（0，1）内取值的概率为（）

A．0.1

B．0.2

C．0.3

D．0.4答案：C40.下列函数中，定义域为（0，+∞）的是（）A．y=1xB．y=xC．y=1x2D．y=12x答案：由于函数y=1x的定义域为（0，+∞），函数y=x的定义域为[0，+∞），函数y=1x2的定义域为{x|x≠0}，函数y=12x的定义域为R，故只有A中的函数满足定义域为（0，+∞），故选A．41.在△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=3，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的概率为（）A．16B．13C．12D．23答案：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件对应的是长度为3的一条线段，满足条件的事件是组成钝角三角形，包括两种情况第一种∠ADB为钝角，这种情况的分界是∠ADB=90°的时候，此时BD=1∴这种情况下，满足要求的0＜BD＜1．第二种∠OAD为钝角，这种情况的分界是∠BAD=90°的时候，此时BD=4∴这种情况下，不可能综合两种情况，若△ABD为钝角三角形，则0＜BD＜1P=13故选B42.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5．现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，则此样本的容量为（）

A．40

B．80

C．160

D．320答案：B43.如图，F1，F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为3的正三角形，则b2的值是______．答案：∵△POF2是面积为3的正三角形，∴S=34|PF2|2=3，|PF2|=2．∴c=2，∵△PF1F2为直角三角形，∴a=3+1，故为23．44.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为

______．答案：如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，则：|OF||OA|=|FC||AB|?ca=62=3.故为345.8的值为（）

A．2

B．4

C．6

D．8答案：B46.直线ax+2y+3=0和直线2x+ay-1=0具有相同的方向向量，则a=______．答案：∵直线ax+2y+3=0和直线2x+ay-1=0具有相同的方向向量∴两条直线互相平行，可得a2=2a≠3-1，解之得a=±2故为：±247.条件语句的一般形式如图所示，其中B表示的是（）

A．条件

B．条件语句

C．满足条件时执行的内容

D．不满足条件时执行的内容

答案：C48.关于斜二测画法画直观图说法不正确的是（）

A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同

B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴

C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变

D．斜二测坐标系取的角可能是135°答案：C49.已知|a|=1，|b|=2，＜a，b＞=60°，则|2a+b|=______．答案：∵|a|=1，|b|=2，＜a，b＞=60°，∴a?b=|a|×|b|cos60°=1由此可得（2a+b）2=4a2+4a?b+b2=4×12+4×1+22=12∴|2a+b|=(2a+b)2=23故为：2350.已知随机变量ξ服从正态分布N（2，0.2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）等于（）A．0.16B．0.32C．0.68D．0.84答案：∵随机变量ξ服从正态分布N（2，0.2），μ=2，∴p（ξ≤0）=p（ξ≥4）=1-p（ξ≤4）=0.16．故选A．第2卷一.综合题(共50题)1.给出函数f（x）的一条性质：“存在常数M，使得|f（x）|≤M|x|对于定义域中的一切实数x均成立．”则下列函数中具有这条性质的函数是（）A．y=1xB．y=x2C．y=x+1D．y=xsinx答案：根据|sinx|≤1可知|y|=|xsinx|=|x||sinx|≤|x|永远成立故选D．2.下列说法：

①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选择的模型比较合适；

②用相关指数可以刻画回归的效果，值越大说明模型的拟和效果越好；

③比较两个模型的拟和效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型拟和效果越好．

其中说法正确的个数为（）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个答案：C3.下列给变量赋值的语句正确的是（）

A．5=a

B．a+2=a

C．a=b=4

D．a=2*a答案：D4.一个盒子装有10个红、白两色同一型号的乒乓球，已知红色乒乓球有3个，若从盒子里随机取出3个乒乓球，则其中含有红色乒乓球个数的数学期望是______．答案：由题设知含有红色乒乓球个数ξ的可能取值是0，1，2，3，P（ξ=0）=C37C310=724，P（ξ=1）=C27C13C310=2140，P（ξ=2）=C17C23C310=740，P（ξ=3）=C33C310=1120．∴Eξ=0×724+1×

2140+2×740+3×1120=910．故为：910．5.已知||=2，||=，∠AOB=150°，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设（m，n∈R），则=（）

A．

B．

C．

D．答案：B6.如图，△PAB所在的平面α和梯形ABCD所在的平面β互相垂直，且AD⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，若tan∠ADP+2tan∠BCP=10，则点P在平面α内的轨迹是（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分答案：由AD⊥α，可得AD⊥AP，tan∠ADP=APAD，四边形ABCD是梯形，则AD∥BC，可得BC⊥α，BC⊥BP，则tan∠BCP=BPBC，又由tan∠ADP+2tan∠BCP=10，且AD=4，BC=8，可得AP+BP=40，又由AB=6，则AP+BP＞AB，故P在平面α内的轨迹是椭圆的一部分，故选B．7.当x∈N+时，用“＞”“＜”或“=”填空：

(12)x______1，2x______1，(12)x______2x，(12)x______(13)x，2x______3x．答案：根据指数函数的性质得，当x∈N+时，(12)x＜1，2x＞1，则2x＞(12)x，且2x＜3x，则(12)x＞(13)x，故为：＜、＞、＜、＞、＜．8.为了了解学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示，根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为（）

A．300B．350C．420D．450答案：∵由图得，∴70.5公斤以上的人数的频率为：（0.04+0.035+0.016）×2=0.181，∴70.5公斤以上的人数为2000×0.181=362，故选B9.已知平面上直线l的方向向量=（-，），点O（0，0）和A（1，-2）在l上的射影分别是O'和A′，则=λ，其中λ等于（）

A．

B．-

C．2

D．-2答案：D10.已知向量=(x，1)，=(3，6)，且⊥，则实数x的值为（）

A．

B．-2

C．2

D．-答案：B11.函数数列{fn（x）}满足：f1(x)=x1+x2(x＞0)，fn+1（x）=f1[fn（x）]

（1）求f2（x），f3（x）；

（2）猜想fn（x）的表达式，并证明你的结论．答案：（1）f2(x)=f1(f1(x))=f1(x)1+f21(x)=x1+2x2f3(x)=f1(f2(x))=f2(x)1+f22(x)=x1+3x2（2）猜想：fn(x)=x1+nx2(n∈N*)下面用数学归纳法证明：①当n=1时，f1(x)=x1+x22，已知，显然成立②假设当n=K（K∈N*）4时，猜想成立，即fk(x)=x1+kx2则当n=K+1时，fk+1(x)=f1(fk(x))=fk(x)1+f2k(x)=x1+kx21+(x1+kx2)2=x1+(k+1)x2即对n=K+1时，猜想也成立．结合①②可知：猜想fn(x)=x1+nx2对一切n∈N*都成立．12.圆心在原点且圆周被直线3x+4y+15=0分成1：2两部分的圆的方程为

______．答案：如图，因为圆周被直线3x+4y+15=0分成1：2两部分，所以∠AOB=120°．而圆心到直线3x+4y+15=0的距离d=1532+42=3，在△AOB中，可求得OA=6．所以所求圆的方程为x2+y2=36．故为：x2+y2=3613.下列说法正确的是（）

A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件

B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件

C．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大

D．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小答案：B14.已知按向量平移得到,则

.答案：3解析：由平移公式可得解得.15.已知矩阵A=abcd，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为α1=11，属于特征值-1的一个特征向量为α2=1-1，则矩阵A=______．答案：由矩阵A属于特征值3的一个特征向量为α1=11可得abcd11=311，即a+b=3c+d=3；（4分）由矩阵A属于特征值2的一个特征向量为α2=1-1，可得abcd1-1=（-1）1-1，即a-b=-1c-d=1，（6分）解得a=1b=2c=2d=1，即矩阵A=1221．（10分）故为：1221．16.如图，△ABC是圆的内接三角形，PA切圆于点A，PB交圆于点D．若∠ABC=60°，PD=1，BD=8，则∠PAC=______°，PA=______．答案：∵PD=1，BD=8，∴PB=PD+BD=9由切割线定理得PA2=PD?PB=9∴PA=3又∵PE=PA∴PE=3又∠PAC=∠ABC=60°故：60，317.运行如图的程序，将自然数列0，1，2，…依次输入作为a的值，则输出结果x为______．

答案：当n=2时，x=5×6+0=30，当n=1时，x=30×6+1=181，当n=0时，x=181×6+2=1088，故为：108818.设k＞1，则关于x，y的方程（1-k）x2+y2=k2-1所表示的曲线是（）

A．长轴在x轴上的椭圆

B．长轴在y轴上的椭圆

C．实轴在x轴上的双曲线

D．实轴在y轴上的双曲线答案：D19.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a24．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为______．答案：∵同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a24，类比到空间有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为a38，故为a38．20.（1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（）A．6B．7C．8D．9答案：二项式展开式的通项为Tr+1=3rCnrxr∴展开式中x5与x6的系数分别是35Cn5，36Cn6∴35Cn5=36Cn6解得n=7故选B21.中，是边上的中线（如图）．

求证：．

答案：证明见解析解析：取线段所在的直线为轴，点为原点建立直角坐标系．设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为．可得，，，．，．．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为32，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点，若AF=3FB，则k=______．答案：设l为椭圆的右准线，过A、B作AA1，BB1垂直于l，A1，B1为垂足，过B作BE⊥AA1于E，则|AA1|=|AF|e，|BB1|=|BF|e，由AF=3FB知，|AA1|=3|BF|e，∴cos＜BAE=|AE||AB|=2|BF|e4|BF|=12e=33，∴sin∠BAE=63，∴tan∠BAE=2．∴k=2．故：2．23.将直线y=x绕原点逆时针旋转60°，所得直线的方程为（）

A．y=-x

B．

C．y=-3x

D．答案：A24.2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．

某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

组别PM2.5浓度

（微克/立方米）频数（天）频率

第一组（0，25]50.25第二组（25，50]100.5第三组（50，75]30.15第四组（75，100）20.1（Ⅰ）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；

（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．答案：（Ⅰ）

设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A1，A2，A3，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B1，B2．所以5天任取2天的情况有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共10种．

…（4分）其中符合条件的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6种．

…（6分）所以所求的概率P=610=35．

…（8分）（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.5×0.25+37.5×0.5+62.5×0.15+87.5×0.1=40（微克/立方米）．…（10分）因为40＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．

…（12分）25.列举两种证明两个三角形相似的方法．答案：三边对应成比例，两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．26.在某电视歌曲大奖赛中，最有六位选手争夺一个特别奖，观众A，B，C，D猜测如下：A说：获奖的不是1号就是2号；A说：获奖的不可能是3号；C说：4号、5号、6号都不可能获奖；D说：获奖的是4号、5号、6号中的一个．比赛结果表明，四个人中恰好有一个人猜对，则猜对者一定是观众

获特别奖的是

号选手．答案：C，3．解析：推理如下：因为只有一人猜对，而C与D互相否定，故C、D中一人猜对。假设D对，则推出B也对，与题设矛盾，故D猜错，所以猜对者一定是C；于是B一定猜错，故获奖者是3号选手（此时A错）．27.两平行直线x+3y-4=0与2x+6y-9=0的距离是

______．答案：由直线x+3y-4=0取一点A，令y=0得到x=4，即A（4，0），则两平行直线的距离等于A到直线2x+6y-9=0的距离d=|8-9|22+62=1210=1020．故为：102028.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）

A．6

B．8

C．10

D．15答案：C29.椭圆x216+y27=1上的点M到左准线的距离为53，则点M到左焦点的距离为（）A．8B．5C．274D．54答案：根据椭圆的第二定义可知M到左焦点F1的距离与其到左准线的距离之比为离心率，依题意可知a=4，b=7∴c=3∴e=ca=34，∴根据椭圆的第二定义有：MF

1d=34∴M到左焦点的距离为MF1=53×34=54故选D．30.若矩阵M=1101，则直线x+y+2=0在M对应的变换作用下所得到的直线方程为______．答案：设直线x+y+2=0上任意一点（x0，y0），（x，y）是所得的直线上一点，[1

1][x]=[x0][0

1][y]=[y0]∴x+y=x0y=y0，∴代入直线x+y+2=0方程：（x+y）+y+2=0得到I的方程x+2y+2=0故为：x+2y+2=0．31.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，该图中只有x个三角形与△ABC相似，则x的值为（）A．1B．2C．3D．4答案：∵∠ACB=90°，CD⊥AB∴△ABC∽△ACD△ACD∽CBD△ABC∽CBD所以有三对相似三角形，该图中只有2个三角形与△ABC相似．故选B．32.一次函数y=3x+2的斜率和截距分别是（）A．2、3B．2、2C．3、2D．3、3答案：根据一次函数的定义和直线的斜截式方程知，此一次函数的斜率为3、截距为2故选C33.为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算K2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是（）

A．有99%的人认为该栏目优秀

B．有99%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系

C．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系

D．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系答案：D34.将参数方程化为普通方程为（

）

A．y=x-2

B．y=x+2

C．y=x-2(2≤x≤3)

D．y=x+2(0≤y≤1)答案：C35.已知椭圆C的左右焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），离心率22，直线y=x-1与椭圆C交于不同的两点A，B．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求弦AB的长度．答案：（本小题满分13分）（1）依题意可设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)…（1分）则c=2e=ca=22，解得a=22c=2…（3分）∴b2=a2-c2=8-4=4…（5分）∴椭圆C的方程为x28+y24=1…（6分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）…（7分）联立方程x28+y24=1y=x-1，消去y，并整理得：3x2-4x-6=0…（9分）∴x1+x2=43x1•x2=-2…（10分）∴|AB|=1+12|x2-x1|=2[(x1+x2)2-4x1x2]

=2[(43)2-4×(-2)]=4113…（12分）∴|AB|=4113…（13分）36.已知曲线x=3cosθy=4sinθ（θ为参数，0≤θ≤π）上一点P，原点为0，直线P0的倾斜角为π4，则P点的坐标是______．答案：根据题意，曲线x=3cosθy=4sinθ（θ为参数，0≤θ≤π）消去参数化成普通方程，得x29+y216=1（y≥0）∵直线P0的倾斜角为π4，∴P点在直线y=x上，将其代入椭圆方程得x29+x216=1，解之得x=y=125（舍负），因此点P的坐标为（125，125）故为：（125，125）37.已知向量OA=(2，3)，OB=(4，-1)，P是线段AB的中点，则P点的坐标是（）A．（2，-4）B．（3，1）C．（-2，4）D．（6，2）答案：由线段的中点公式可得OP=12（OA+OB）=（3，1），故P点的坐标是（3，1），故选B．38.定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A．0B．6C．12D．18答案：当x=0时，z=0，当x=1，y=2时，z=6，当x=1，y=3时，z=12，故所有元素之和为18，故选D39.（选做题）已知x+2y=1，则x2+y2的最小值是______．答案：x2+y2表示（0，0）到x+2y=1上点的距离的平方∴x2+y2的最小值是（0，0）到x+2y=1的距离d的平方据点到直线的距离公式得d=11+4=15∴x2+y2的最小值是15故为1540.已知向量，,,则(

)A．B．C．5D．25答案：C解析：将平方即可求得C.41.如图，在△ABC中，，，则实数λ的值为（）

A．

B．

C．

D．

答案：D42.如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为2；侧视图一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且AB=BC=1，则异面直线PB与CD所成角的正切值是（）A．1B．2C．12D．12答案：取AD的中点E，连接BE，PE，CE，根据题意可知BE∥CD，∴∠PBE为异面直线PB与CD所成角根据条件知，PE=1，BE=2，PE⊥BE∴tan∠PBE=12故选C．43.如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么（）A．F=0，G≠0，E≠0B．E=0，F=0，G≠0C．G=0，F=0，E≠0D．G=0，E=0，F≠0答案：圆与x轴相切于原点，则圆心在y轴上，G=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，F=0，E≠0．故选C．44.已知ａ＞０，且ａ≠１，解关于x的不等式：

答案：①当ａ＞1时，原不等式解为｛ｘ｜０＜ｘ≤ｌｏｇａ２②当０＜ａ＜１时，原不等式解为｛ｘ｜ｌｏｇａ２≤ｘ＜０解析：原不等式等价于原不等式同解于7分由①②得１＜ａｘ＜４，由③得从而1＜ａｘ≤２１０分①当ａ＞1时，原不等式解为｛ｘ｜０＜ｘ≤ｌｏｇａ２②当０＜ａ＜１时，原不等式解为｛ｘ｜ｌｏｇａ２≤ｘ＜０45.直线x=-3+ty=1-t(t是参数）被圆x=5cosθy=5sinθ（θ是参数）所截得的弦长是______．答案：把直线和圆的参数方程化为普通方程得：直线x+y+2=0，圆x2+y2=25，画出函数图象，如图所示：过圆心O（0，0）作OC⊥AB，根据垂径定理得到：AC=BC=12AB，连接OA，则|OA|=5，且圆心O到直线x+y+2=0的距离|OC|=|2|2=2，在直角△ACO中，根据勾股定理得：AC=23，所以AB=223，则直线被圆截得的弦长为223．故为：22346.在空间中，有如下命题：

①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；

②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；

③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β．

其中正确命题的个数为（）个．

A．0

B．1

C．2

D．3答案：B47.如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且AP=15AB+25AC，则△ABP与△ABC的面积之比等于（）A．15B．12C．25D．23答案：连接CP并延长交AB于D，∵P、C、D三点共线，∴AP=λAD+μAC且λ+μ=1设AB=kAD，结合AP=15AB+25AC得AP=k5AD+25AC由平面向量基本定理解之，得λ=35，k=3且μ=25∴AP=35AD+25AC，可得PD=25CD，∵△ABP的面积与△ABC有相同的底边AB高的比等于|PD|与|CD|之比∴△ABP的面积与△ABC面积之比为25故选：C48.从2008名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2008人中剔除8人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2008人中，每人入选的概率（）

A．不全相等

B．均不相等

C．都相等，且为

D．都相等，且为答案：C49.设m∈R，向量=（1，m）．若||=2，则m等于（）

A．1

B.

C．±1

D.±答案：D50.在△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=3，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的概率为（）A．16B．13C．12D．23答案：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件对应的是长度为3的一条线段，满足条件的事件是组成钝角三角形，包括两种情况第一种∠ADB为钝角，这种情况的分界是∠ADB=90°的时候，此时BD=1∴这种情况下，满足要求的0＜BD＜1．第二种∠OAD为钝角，这种情况的分界是∠BAD=90°的时候，此时BD=4∴这种情况下，不可能综合两种情况，若△ABD为钝角三角形，则0＜BD＜1P=13故选B第3卷一.综合题(共50题)1.三行三列的方阵.a11a12

a13a21a22

a23a31a32

a33.中有9个数aji（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则它们不同行且不同列的概率是（）A．37B．47C．114D．1314答案：从给出的9个数中任取3个数，共有C39；从三行三列的方阵中任取三个数，使它们不同行且不同列：从第一行中任取一个数有C13种方法，则第二行只能从另外两列中的两个数任取一个有C12种方法，第三行只能从剩下的一列中取即可有1中方法，∴共有C13×C12×C11=6．∴从三行三列的方阵中任取三个数，则它们不同行且同列的概率P=6C39=114．故选C．2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若向量OB=a100OA+a101OC，且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则S200等于______．答案：由题意可知：向量OB=a100OA+a101OC，又∵A、B、C三点共线，则a100+a101=1，等差数列前n项的和为Sn=(a1+an)?n

2，∴S200=(a1+a200)×200

2=(a100+

a101)×2002=100，故为100．3.已知A（3，4，5），B（0，2，1），O（0，0，0），若，则C的坐标是（）

A．（-，-，-）

B．（，-，-）

C．（-，-，）

D．（，，）答案：A4.已知集合A={0，1，2}，集合B={x|x=2a，a∈A}，则A∩B=（）A．{0}B．{2}C．{0，2}D．{1，4}答案：B={0，2，4}，∴A∩B={0，2}，故选C5.若P（2，-1）为曲线x=1+5cosθy=5sinθ（0≤θ＜2π）的弦的中点，则该弦所在直线的普通方程为______．答案：∵曲线x=1+5cosθy=5sinθ（0≤θ＜2π），∴（x-1）2+y2=25，∵P（2，-1）为曲线x=1+5cosθy=5sinθ（0≤θ＜2π）的弦的中点，设过点P（2，-1）的弦与（x-1）2+y2=25交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4y1+y2=-2，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入（x-1）2+y2=25，得(x1-1)2+y

12=25(x2-1)2+y22=25，∴x12-2x1+1+y12=25，①x22-2x2+1+y22=25，②，①-②，得4（x1-x2）-2（x1-x2）-2（y1-y2）=0，∴k=y1-y2x1-x2=1，∴该弦所在直线的普通方程为y+1=x-2，即x-y-3=0．故为：x-y-3=0．6.圆锥曲线G的一个焦点是F，与之对应的准线是，过F作直线与G交于A、B两点，以AB为直径作圆M，圆M与的位置关系决定G

是何种曲线之间的关系是：______

圆M与的位置相离相切相交G

是何种曲线答案：设圆锥曲线过焦点F的弦为AB，过A、B分别向相应的准线作垂线AA'，BB'，则由第二定义得：|AF|=e|AA'|，|BF|=e|BB'|，∴|AF|+|BF|2=|AA′|+|BB′|2

?

e．设以AB为直径的圆半径为r，圆心到准线的距离为d，即有r=de，椭圆的离心率

0＜e＜1，此时r＜d，圆M与准线相离；抛物线的离心率

e=1，此时r=d，圆M与准线相切；双曲线的离心率

e＞1，此时r＞d，圆M与准线相交．故为：椭圆、抛物线、双曲线．7.设向量a，b的夹角为60°的单位向量，则向量2a+b的模为（）A．3B．7C．5D．3答案：|2a+b|=(2a+b)2=4a2+4a?b+b2=4+4×1×1×12+1=7故向量2a+b的模为7故选B8.对于一组数据的两个函数模型，其残差平方和分别为153.4

和200，若从中选取一个拟合程度较好的函数模型，应选残差平方和为______的那个．答案：残差的平方和是用来描述n个点与相应回归直线在整体上的接近程度残差的平方和越小，拟合效果越好，由于153.4＜200，故拟合效果较好的是残差平方和是153.4的那个模型．故为：153.4．9.设a、b为单位向量，它们的夹角为90°，那么|a+3b|等于（）A．7B．10C．13D．4答案：∵a，b它们的夹角为90°∴a?b=0∴（a+3b）2=a2+6a?b+9b2=10，|a+3b|=10．故选B．10.若随机变量X～B（n，0.6），且E（X）=3，则P（X=1）的值是（）

A．2×0.44

B．2×0.45

C．3×0.44

D．3×0.64答案：C11.从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽取1只，设抽得次品数为X，则E（5X+1）=______．答案：由题意，X的取值为0，1，2，则P（X=0）=1315×1214×1113=2235；P（X=1）=215×1314×1213+1315×214×1213+1315×1214×213=1235P（X=2）=1315×214×113+215×1314×113+215×114×1313=135所以期望E（X）=0×2235+1×1235+2×135=1435，所以E（5X+1）=1435×5+1=3故为3．12.已知|a|=8，e是单位向量，当它们之间的夹角为π3时，a在e方向上的投影为

______．答案：a在e方向上的投影为a?e=|a||e|cosπ3=4故为：413.已知正三角形ABC的边长为a，求△ABC的直观图△A′B′C′的面积．答案：如图①、②所示的实际图形和直观图．由②可知，A′B′=AB=a，O′C′=12OC=34a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′=22O′C′=68a．∴S△A′B′C′=12A′B′?C′D′=12×a×68a=616a2．14.已知x、y之间的一组数据如下：

x0123y8264则线性回归方程y=a+bx所表示的直线必经过点（）A．（0，0）B．（2，6）C．（1.5，5）D．（1，5）答案：∵.x=0+1+2+34=1.5，.y=8+2+6+44=5∴线性回归方程y=a+bx所表示的直线必经过点（1.5，5）故选C15.语句“若a＞b，则a+c＞b+c”是（）

A．不是命题

B．真命题

C．假命题

D．不能判断真假答案：B16.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别为斜边AB上的高和中线，且∠BCD与∠ACD之比为3：1，求证CD=DE．

答案：证明：∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=90°，∴∠ACD=∠B又∵CE是直角△ABC的斜边AB上的中线∴CE=EB∠B=∠ECB，∠ACD=∠ECB但∵∠BCD=3∠ACD，∠ECD=2∠ACD=12∠ACB=12×90°=45°，△EDC为等腰直角三角形∴CE=DE．17.已知a，b

，c满足a+2c=b，且a⊥c，|a|=1，|c|=2，则|b|=______．答案：根据题意，a⊥c?a?c=0，则|b|2=（a+2c）2=a2+4c2=17，则|b|=17；故为17．18.用“辗转相除法”求得和的最大公约数是（

）A．B．C．D．答案：D解析：是和的最大公约数，也就是和的最大公约数19.直线L1：x-y=0与直线L2：x+y-10=0的交点坐标是（）

A．（5，5）

B．（5，-5）

C．（-1，1）

D．（1，1）答案：A20.已知e1

，

e2是夹角为60°的两个单位向量，且向量a=e1+2e2，则|a|=______．答案：由题意可得e21=1，e22=1，e1?e2=12，所以a2=(e1+2e2)2=1+2+4=7，所以|a|=7，故为：721.经过两点A（-3，5），B（1，1

）的直线倾斜角为______．答案：因为两点A（-3，5），B（1，1

）的直线的斜率为k=1-51-(-3)=-1所以直线的倾斜角为：135°．故为：135°．22.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）

A．有且仅有一条

B．有且仅有两条

C．有无穷多条

D．不存在答案：B23.已知平面向量a，b，c满足a+b+c=0，且a与b的夹角为135°，c与b的夹角为120°，|c|=2，则|a|=______．答案：∵a+b+c=0∴三个向量首尾相接后，构成一个三角形且a与b的夹角为135°，c与b的夹角为120°，|c|=2，故所得三角形如下图示：其中∠C=45°，∠A=60°，AB=2∴|a|=AB?Sin∠Asin∠C=6故为：624.使关于的不等式有解的实数的最大值是（

）A．B．C．D．答案：D解析：令则的最大值为。选D。还可用Cauchy不等式。25.已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|=（）

A．

B．

C．

D．4答案：C26.若方程Ax2+By2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则A、B满足的条件是（）

A．A＞0，且B＞0

B．A＞0，且B＜0

C．A＜0，且B＞0

D．A＜0，且B＜0答案：C27.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的（

）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件答案：C28.设A、B、C表示△ABC的三个内角的弧度数，a，b，c表示其对边，求证：aA+bB+cCa+b+c≥π3．答案：证明：法一、不妨设A＞B＞C，则有a＞b＞c由排序原理：顺序和≥乱序和∴aA+bB+cC≥aB+bC+cAaA+bB+cC≥aC+bA+cBaA+bB+cC=aA+bB+cC上述三式相加得3（aA+bB+cC）≥（A+B+C）（a+b+c）=π（a+b+c）∴aA+bB+cCa+b+c≥π3．法二、不妨设A＞B＞C，则有a＞b＞c，由排序不等式aA+bB+cC3≥A+B+C3?a+b+c3，即aA+bB+cC≥π3（a+b+c），∴aA+bB+cCa+b+c≥π3．29.一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是一个等腰三角形，腰AB=AC=1，如图，则平面图形的实际面积为（）

A．1

B．2

C．

D．

答案：A30.（文）对于任意的平面向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，定义新运算⊕：a⊕b=(x1+x2，y1y2)．若a，b，c为平面向量，k∈R，则下列运算性质一定成立的所有序号是______．

①a⊕b=b⊕a；

②(ka)⊕b=a⊕(kb)；

③a⊕(b⊕c)=(a⊕b)⊕c；

④a⊕(b+c)=a⊕b+a⊕c．答案：①a⊕b=（x1+x2，y1y2）=(x2+x1，y2y1)=b⊕a，故正确；②∵(ka)⊕b=（kx1+x2，ky1y2），a⊕(kb)=（x1+kx2，y1ky2），∴(ka)⊕b≠a⊕(kb)，故不正确；③设c=(x3，y3)，∵a⊕(b⊕c)=a⊕（x2+x3，y2y3）=（x1+x2+x3，y1y2y3），（a⊕b）⊕c=（x1+x2，y1y2）⊕c=（x1+x2+x3，y1y2y3），∴a⊕（b⊕c）=（a⊕b）⊕c，故正确；④设c=(x3，y3)，∵a⊕(b⊕c)=a⊕（x2+x3，y2y3）=（x1+x2+x3，y1y2y3），a⊕b+a⊕c=（x1+x2，y1y2）+（x1+x3，y1y3）=（2x1+x2+x3，y1（y2+y3）），∴a⊕（b⊕c）≠a⊕b+a⊕c，故不正确．综上可知：只有①③正确．故为①③．31.椭圆x29+y216=1上一动点P到两焦点距离之和为（）A．10B．8C．6D．不确定答案：根据椭圆的定义，可知动点P到两焦点距离之和为2a=8，故选B．32.已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，，过A点的切线交CB的延长线于E点，求证：AB2=BE·CD。

答案：证明：连结AC，因为EA切⊙O于A，所以∠EAB=∠ACB，因为，所以∠ACD=∠ACB，AB=AD，于是∠EAB=∠ACD，又四边形ABCD内接于⊙O，所以∠ABE=∠D，所以△ABE∽△CDA，于是，即AB·DA=BE·CD，所以。33.参数方程x=cosαy=1+sinα（α为参数）化成普通方程为

______．答案：∵x=cosαy=1+sinα（α为参数）∴x2+（y-1）2=cos2α+si