新人教 八年级下数学 《数学思想的归纳和应用》

数学思想方法的归纳及应用龙南中学

廖莉林xyM型N型需要原料A布料：1.1米B布料：0.4米A布料：0.6米B布料：0.9米每套获利50元45元2、求函数y=3x–2和y=2x+3图像与y轴所围成的面积。3-2C（5，13）DABxy1、已知一次函数y=3x–5与y=2x+7的交点P的坐标为（12、31），的解是

则方程组｛y=3x–5y=2x+7函数思想数形结合练一练

例1、已知某一次函数自变量X的值范围0≤X≤10,函数y的取值范围10≤y≤30,求此函数解析式解：分析当X=0时，y=?而当X=10时，y=?分类讨论①

∵当K＞0时，y随x的增大而增大,即（0，）、（10，）两点的座标在函数图像上设一次函数解析式为y=kx+bb=1010k+b=30∴得方程组b=30k=-2解得∴一次函数解析式为：y=2x+10②∵当K＜0时，y随x的增大而减小,即（0，）、（10，）两点的座标在函数图像上30b=3010k+b=10∴得方程组∴一次函数解析式为：y=-2x+30b=10k=2解得301010

例1、已知某一次函数自变量X的值范围0≤X≤10,函数y的取值范围10≤y≤30,求此函数解析式解：分析数形结合(1)设一次函数解析式为y1=k1x+10Oxy101030(2)设一次函数解析式为y2=k2x+30∵点A（10，30）在直线y1=k1x+10上AB∴10k1+10=30得k1=2∴一次函数解析式为y1=2x+10∵点A（10，10）在直线y2=k2x+30上∴10k2+30=10得k2=-2∴一次函数解析式为y2=-2x+10例2：已知雅美服装厂现在公司共有A种布料70m，B种布料52m，计划生产M、N两种型号时装共80套。已知做一套M型号的时装需用A布料1.1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套N型号的时装需用A布料0.6米，B种布料0.9米，可获利45元，设生产M型号的时装套数为x，用这批布料生产两种型号的时装所获得的利润为y元。⑴求总利润y与x的函数关系式，并求出自变量的取值范围；⑵当计划生产M型号的时装多少套时，获得的利润最大？最大利润是多少？M型号时装(米／套）N型号时装(米／套）需要原料A布料：B布料：A布料：B布料：每套获利分析1.10.60.40.950元45元M型N型需要原料A布料：1.1米B布料：0.4米A布料：0.6米B布料：0.9米每套获利50元45元分析A(70)B(52)总利润（元）MN需要原料（米）

50x45(80-x)x80-

x解：（1）即y=5x+3600y=

50x+45(80-x)⑴求总利润y与生产M型号x套的函数关系式，并求出自变量的取值范围；分析A(70)B(52)总利润（元）MN需要原料

1.1x0.4x50x0.6(80–x)0.9(80–x)45(80-x)1.1x+0.6(80–x)0.4x+0.9(80–x)x80-

x解：（1）即y=5x+3600y=50x+45(80-x)总共生产80套：0≤x≤80∵共有A种布料70m，B种布料52m。1.1x+0.6(80-x)≤700.4x+0.9(80-x)≤520.5x+48≤7072-0.5x≤52即解得40≤x≤44∴∴y=5x+3600(40≤x≤44)⑵当计划生产M型号的时装多少套时，获得的利润最大？最大利润是多少？分析A(70)B(52)总利润（元）MN需要原料

1.1x0.4x50x0.6(80–x)0.9(80–x)45(80-x)1.1x+0.6(80–x)0.4x+0.9(80–x)x80-

x解：（2）∵40≤x≤44且X为正整数∴X=40、41、42、43、44∴①当X=40时，y=3800元②当X=41时，y=3805元③当X=42时，y=3810元④当x=43时，y=3815元⑤当x=44时，y=3820元∴当生产44套M型号时，N型时装36套时获得最大利润3820元∵一次函数y=5X+3600中K=5＞0,y随X的增大而增大利用一次函数的增减性解决最值问题解决此类问题时，应先正确建立函数模型，确定自变量的取值范围，再根据函数性质求最大（小）值⑵当计划生产M型号的时装多少套时，获得的利润最大？最大利润是多少？同步练习：自2010年6月1日起，某省开始实施家电以旧换新政策，政府对以旧换新家电给予补贴，具体补贴方式如下表：补贴额度新家电销售价格的10﹪说明：①电视补贴的金额最多不超过400元／台；②冰箱补贴的金额最多不超过300元／台③洗衣机补贴的金额最多不超过250元／台进价（元／台）售价（元／台）电视39004300冰箱20002400洗衣机15001800为此，某商场家电部准备购进电视、冰箱、洗衣机共100台。这批货的进价和售价如下表补贴额度新家电销售价格的10﹪说明：①电视补贴的金额最多不超过400元／台；②冰箱补贴的金额最多不超过300元／台③洗衣机补贴的金额最多不超过250元／台进价（元／台）售价（元／台）电视39004300冰箱20002400洗衣机15001800（1）请分别求出y

与x之的函数解析式.（2）若商场决定购进每种家电不少于30台，则有几种进货方案？怎样安排进货才能获得最大利润？此时政府需要支付补贴多少钱？解：（1）y

=400x+1800×10﹪x+2400×10﹪（100-2x）即y

=100x+24000W=

400x+300x+400(100-2x)即W

=-100x+40000若购进的电视和洗衣机数量相同，均为x台，这100台家电政府补贴为y元,商场所获利润为W元（利润=售价—进价）补贴额度新家电销售价格的10﹪说明：①电视补贴的金额最多不超过400元／台；②冰箱补贴的金额最多不超过300元／台③洗衣机补贴的金额最多不超过250元／进价（元／台）售价（元／台）电视39004300冰箱20002400洗衣机15001800（2）根据题意，得｛x≥30100–2x≥30解得30≤x≤35∵x为整数，∴x=30，31，32，33，34，35，因此有6种进货方案若购进的电视和洗衣机数量相同，均为x台，这100台家电政府补贴为y元,商场所获利润为W元（利润=售价—进价）（1）请分别求出y

与x之的函数解析式.（2）若商场决定购进每种家电不少于30台，则有几种进货方案？怎样安排进货才能获得最大利润？此时政府需要支付补贴多少钱？（2）若商场决定购进每种家电不少于30台，则有几种进货方案？怎样安排进货才能获得最大利润？此时政府需要支付补贴多少钱？（2）根据题意，得｛x≥30100–2x≥30解得30≤x≤35∵x为整数，∴x=30，31，32，33，34，35，因此有6种进货方案解：（1）y

=100x+24000W

=-100x+40000∵对于一次函数W

=-100x+40000中k=-100＜0,W随x的增大而减小且30≤x≤35，∴当x取最小值30时，W有最大值即当商场购进电视、洗衣机各30台，冰箱40台时，可获得最大利润，此时政府需要补贴54000元利用一次函数的增减性解决最值问题解决方案设计问题时，灵活运用函数思想、分类讨论、数形结合等数学思想有助于实际解决问题3.方程思想方程方法是指对所求数学问题通过列方程（组）使问题得解的方法.在函数及其图象中，方程方法的应用主要体现在运用待定系数法确定函数关系式中.3.函数思想函数方法就是应用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，抽象升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法，函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题.1.分类讨论思想分类讨论思想是在对数学对象进行分类地过程中寻求答案的一种思想方法。分类即不能重复，也不能遗漏，最后要做到全面总结。函数中的数学思想小结2.数形结合思想数形结合法是指将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法.数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用.