数学概念和数学原理学与教的心理分析

数学概念和数学原理学与教的心理分析第一节数学概念学与教的心理分析第二节数学原理学与教的心理分析一、概念的含义（一）概念的定义认识论中概念被定义为

“反映客观事物的共同本质属性的思维形式.”这一定义表明，概念不同于感觉和知觉，感觉反映着刺激物的个别属性，知觉反映客观事物的不同属性，而概念则反映客观事物的共同本质属性.下面的两个例子可以帮助我们理解概念的这一哲学定义.(p126-127)

在心理学中，一般把概念定义为“符号所表征的具有共同本质特征的同类事、物或性质.”根据这一定义，我们在日常生活与工作中所使用的词语或其它符号，只要是正确的表征一个类别的事、物或属性，这个符号就代表一个概念.例如，中文符号“球”和英文符号“sphere”对于受过教育的中国人和英国人来说，所表征的的都是一个类别，即是球体而不是长方体、锥体或者其它的几何体，他们都表示同一概念.

（二）概念的构成1、概念的命名和定义人们对客观现实的认识并不只是限于具事物的个别属性上.学习者经感觉和知觉形成表象，通过对表象的加工处理，抽象概括出反映一类事物的本质属性，于是学习者脑中就形成了概念.这时候的概念是私人的，它以表象的形式出现在学习者脑中，要想进行交流或者记载下来，就必须借助于言语或符号来表达.

表达概念的一种方式是给概念命名.表示概念的符号称为概念的名称.一个符号一旦成为某一概念的名称，那么它就成了这个概念的代名词.只要一听到、看到或通过其它方式知道符号后，就可以唤起脑中的概念.概念的名称是一种符号规定，它不是最重要的，重要的是名称所代表的内容.

表达概念的另一种方式是给概念下定义，即揭示概念这一类事物的共同本质属性，并用精炼的语言符号予以描述.2、概念的内涵和外延概念的内涵是指某一类事物的共同本质属性.概念的外延是指概念所反映的对象的全体.

例如，数学中的“三角形”这个概念，其内涵就是本质属性：有三条边且彼此首尾相连接，其外延就是所有的三角形.

概念的外延中的具体对象叫做概念的例证，概念的外延之外的对象叫做概念的反例.概念的内涵和外延之间是一种反变关系，即概念的内涵越多，其外延就越小；概念的内涵越少，其外延就越多.例如，在“平行四边形”的内涵中加上……；去掉“两组对边平行”的属性，就得到……3、概念的类别(1)具体概念和定义性概念

具体概念是指能通过观察直接获得的概念.例如，“多”、“少”、“上”、“下”、学前儿童脑中的“球”概念都是一些具体概念.后者是儿童在平时接触汽球、篮球、排球、足球、网球、乒乓球、西瓜、鸡蛋这些近似球形的具体模型中形成的.

定义性概念只能通过下定义的方式才能获得.例如，数学中的“球”概念就是一个定义性概念，它只能通过下定义的方式获得.仅仅靠观察，学习者即使观察再多的球形物体，也不会获得“球”这个定义性概念.数学科学中的概念都是定义性概念.作为教育的数学，初中数学教科书中的概念并不都是严密的定义性概念，这些概念是通过给出概念的例证方式来予以描述的，教材回避了“定义”.如“代数式”这一概念，人民教育出版社初中代数教材第一册（上）（1992年版）第6页中是这样给出的：“上面的例子中出现了这样的式子.像这样的式子都是代数式.”到了本章的小结与复习（第33页）才给出所谓的定义性概念：“代数式是用基本运算符号（运算包括加、减、乘、除以及以后要学的乘方、开方）把数、表示数的字母连接而成的式子.”(2)精确概念和模糊概念

精确概念是指那些内涵明确，容易用某种规则揭示出来的概念.如“矩形”、“圆周率”、“正弦函数”这些概念都是精确概念.模糊概念是那些内涵不明显并难以用某种规则加以揭示的概念.如书、游戏、数、式子、直线、平面这些概念都是模糊概念.后面四者在数学中被称为原始概念.

(3)日常概念和科学概念

日常概念是指未经专门的教学，而在日常生活中通过辨别学习、积累经验而掌握的概念.如儿童脑中的“垂线”概念是日常概念，因为儿童根据日常经验认为垂线是与水平线垂直的线.科学概念则是在教学过程中通过揭示概念的内涵而形成的概念.

二、概念的获得

概念的获得意味着要求学生掌握一类事物的共同本质属性，并能辨别本质属性和非本质属性，能列举出概念的例证和反例.

儿童获得概念的三种基本形式是

概念的形成、概念的同化、和概念的顺应.

（一）概念获得的心理分析1.概念的形成（conceptformation）

概念的形成是指从大量的具体例子出发，归纳概括出一类事物的共同本质属性的过程.

学生如何通过概念的形成方式来获得“扇形”这个数学概念.（P130）

由于儿童，尤其是学前儿童的认知结构中的概念都是一些比较具体的概念，缺乏精确的定义性概念，而且理解能力有限，因此，他们获得概念的典型方式是概念的形成.例如，我们完全可以让儿童背诵“圆”这个数学概念：“圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.”但是他们能否获得这个概念的意义呢？事实上，囿于认知水平，儿童是不可能获得这个精确概念的.他们只能从大量的圆形的例证和反例中归纳出一些视觉上的共同属性，从而获得具体的、模糊的、日常的圆概念.以概念的形成方式获得精确概念的心理过程如图5-3所示2．概念的同化（conceptassimilation）同化是指学习者的认知结构吸收新的信息，从而使原有的认知结构发生变化的过程.

概念的同化是指学习者利用原有认知结构中的观念来理解接纳新概念的过程.概念的同化过程不仅使新概念获得了意义，而且扩大和深化了原有的认知结构.在数学中，大多数概念是以属概念（在概念的从属关系中，外延大的概念称为属概念）加种差（即关键属性）的方式定义的.同化以这种方式定义的概念，实质上就是对属概念重新进行分类，分类的依据是种差，并借助于具体的例证进行.例如，要同化梯形的概念：“一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.”就要对属概念“四边形”进行分类，分类的依据是种差：“一组对边平行而另一组对边不平行”.于是，从属概念中就分化出一个新的种概念“梯形，再借助于丰富的例证，学习者就明确了梯形概念的内涵和外延.同化的结果，梯形概念获得了心理意义，原有的数学认知结构得到扩展和深化.3．概念的顺应（conceptaccommodation）

顺应原本是一个生物学概念，它是指有机体调节自己的内部结构以适应特定刺激情境的过程.

所谓概念的顺应，是指当原有的认知结构不能同化新概念时，就要调整或改变原有的认知结构，以便概括新概念.

例如，当学生同化不了正、负数的概念时，可以采取顺应的方式。具体做法是，首先，通过概念形成的方式帮助学生建立新观念：“现实世界中存在着大量的具有相反意义的量.”然后通过提出问题使学生体会到：要清楚地区分这两种不同的量，揭示它们之间的关系，只有算术数是不够的.最后再指出，如果把其中的一种量规定为正的，那么另一种量就是负的.前者用“+（算术数）”来表示，后者用“-（算术数）”来表示，由此就引出了正、负数的概念.

（二）数学概念的两种教学模式由于获得概念的主要方式是概念的形成和概念的同化,因此，数学概念的教学主要采取两种模式.1．概念形成的教学模式概念的形成是由特殊到一般，由具体到抽象的过程，因此，对于那些初次接触或较难理解的概念，可以采用概念的形成方式进行学习.其教学过程如图5-5所示.

例如，映射概念的教学（P133-135）

2．概念同化的教学模式.

概念的同化实质上是学习者利用已掌握的概念去理解新概念，或者对原有的概念重新进行加工整理的过程，它是一种有意义的学习.以概念的同化方式来学习新概念必须具备三个条件:一是学习者必须具备“我要学”的动力；二是新概念必须有逻辑意义；三是学生原有的认知结构中必须具备同化新概念所需要的观念.这种学习的关键是要把握好新概念与原有概念之间的关系.这就要求教师必须了解学生对原有概念掌握的情况.原有的概念越牢固、越清晰，新概念的同化也就越容易.其教学过程如图5-12所示.例如，奇函数概念的教学（P135-136）

三、促进数学概念学习的教学建议

数学概念的教学过程大致分为概念的引入、概念的理解和概念的运用三个阶段.

（一）概念的引入概念的引入是学生获得概念的前奏，并极大地影响着学生对概念的理解和运用.因此，数学概念的引入是数学概念教学的一个重要环节.由于概念的形成、概念的同化和概念的顺应是获得概念的三种方式，因此，数学概念的引入可以按这三种方式来进行.至于使用哪一种引入方式，教师可以根据概念的定义形式来选取.另外，由于概念的学习是一种有意义的学习，因此在引入概念时还要考虑学生认知的心理特点.

1.根据概念的定义形式引入

数学中的概念一般都是比较精确的定义性概念.概念定义的形式多种多样，不同形式的定义要考虑不同的引入方式.

（1）如果概念是以属概念加种差的形式给出，那么这一类概念一般按概念同化的方式引入.此时，教师应着重讲解定义中的属概念和种差，使学生明确，新概念既具有属概念的一切属性，又具有自身所特有的关键属性（种差）.

（2）在以属概念加种差的形式定义的概念中，有些概念的属概念的内涵很少，外延很大，而种差较为抽象，学生同化有困难.这时，教师应该避开抽象内涵的讲解，从概念的外延入手，选择概念形成的方式来引入.例如，等比数列的概念：“如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.”如果学生的认知水平较高，那么可以按概念同化的方式来引入.但如果学生的认知水平较低，那么可以按概念形成的方式来引入.（3）对于以发生式定义（即以被定义概念所反映的对象产生或形成的过程为种差的定义）的概念，应该按概念同化的方式来引入.但此时教师讲课的重点不只是讲解定义的种差，还要通过实验演示其发生过程，让学生具体操作，体验其形成过程，以帮助学生把握概念的关键属性.例如，对于椭圆概念……

（4）对于形式定义的概念，一般按概念同化的方式来引入.教师应强调抓住定义的模型，任何突破模型的形式都不是定义本身.例如，幂函数的定义（P138）在形式定义中，对于规定定义要讲清两点：一是规定的必要性，即为什么要规定；二是规定的合理性，即这样规定的道理.对于那些处于概念体系中起着基础作用和核心作用的形式定义的概念如正、负数和复数，由于学生缺乏适当的、用于同化的观念，也缺乏属于直接经验的、用于概括的例证，因此，这一类概念应按概念顺应的方式来引入.事实上，数学概念的定义形式不限于以上几种，这些概念的引入应具体问题具体分析.

2.根据学生认知的心理特点引入

概念学习是有意义的学习，根据有意义学习的条件，学习者必须具备有意义学习的心向.要做到这一点，除了激发外在动机的手段之外，教师应根据学生认知的心理特点，充分激发学生的内在动机.

学生认知的心理特点，一方面表现为天生就具备的积极向上、探索奥秘的求知欲，另一方面表现为心理平衡倾向.如果教学内容具有新奇性、运动性、可探索性等特点，那么就能激发学生的求知欲.一旦他们觉得“有趣”，就能自觉地集中注意力，全神贯注地学习.原苏联教育家奥加涅相教授指出：“学生学习数学的好坏很大程度上取决于学习兴趣的产生和保持.”因此，在引入新概念时，若能注意引入方式的趣味性，就会收到良好的教学效果.

例如，在引入等速螺线概念时，教师告诉学生：一只蚂蚁，在一根竖直不动的教鞭上向上竖直爬行，其轨迹是一条射线；如果蚂蚁不动，教鞭绕其端点旋转，蚂蚁的轨迹是一个圆周；如果蚂蚁沿教鞭爬行，教鞭又在竖直平面上绕其一个端点作匀速旋转，蚂蚁的轨迹是什么呢？这样就很自然地引入了等速螺线的概念.又如用“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”来引入数列极限的概念，就能激发学生的兴趣，有利于极限概念的理解.

心理平衡倾向是指个体对心中的问题非要解决不可，以获得心理满足的倾向.教师在引入新概念时，若能注意提问激疑，设置悬念,就能充分调动学生的思维，使他们自觉积极地学习新概念.例如，（P138-139）

(二)概念的理解

概念的引入是数学概念教学的第一个环节，它为正确理解概念奠定了基础.但要使学生透彻理解并掌握所学的概念，教师还要注意以下四个方面.

1．加强对概念的解剖分析数学概念是借助于数学语言符号来表达的，其用语、用词一般都非常严密、精炼，具有高度的概括性，因而，有的概念叙述十分简练，寓意深刻；有的用符号、式子表示，比较抽象.对这些概念，教师必须抓住概念中的关键词句进行解剖分析，揭示每一个词、句、符号、式子的内在含义，使学生深刻理解概念的本质属性.

2.利用变式，突出概念的本质属性

变式是指概念例证在非本质属性方面的变化.利用变式的目的是通过非本质属性的变化来突出本质属性，使获得的概念更精确、更稳定.

3.注意概念的对比和直观化

数学中有许多概念是平行相关的概念，如果能将它们有机地联系在一起进行类比，就可以收到由此及彼、温故而知新的效果.如分数和分式的类比、数列极限和函数极限的类比、平面几何与