数学建模课程学习

第一讲

数学建模简介

一种分享，一个问题，一系概念，一串思考，一些例子，一份作业^^今日导读:1.1一种分享学会解数学题物理问题à数学问题实际问题à数学问题实际问题à数学问题à软件解问题：树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只？1.2一个问题不是开玩笑，这就是数学建模，从不同角度思考一个问题，想尽所有可能。到底什么是数学建模？1.3一系概念1.3一系概念1.3.1数学模型数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践现实世界数学世界理论实践1.3一系概念1.3.2建模全过程1.3一系概念1.3.3建模领域数学建模的基本方法机理分析测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(CaseStudies)来学习。以下建模主要指机理分析。二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数数学建模的方法和步骤1.3.4模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模型建立用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的‘问题’模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性模型应用数学建模的一般步骤模型的分类1）按变量的性质分：离散模型确定性模型线性模型单变量模型连续模型随机性模型非线性模型多变量模型2）按时间变化对模型的影响分静态模型参数定常模型动态模型参数时变模型1.3.53）按模型的应用领域（或所属学科）分人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、数学社会学模型等。4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。5）按建模目的分描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。6）按对模型结构的了解程度分白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括力学、热学、电学等。灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题，包括生态、气象、经济、交通等。黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现象，如生命科学、社会科学等。

数学建模示例

例一桌子的稳定性问题

问题：将四条腿一样长的正方形桌子放在不平的地面上，不允许将其移到别处，但可绕中心旋转，是否总能设法使它的四条腿同时着地，即放稳。模型假设

1）地面为光滑连续曲面；

2）相对地面的弯曲程度而言，椅子的腿是足够长的；

3）只要有一点着地就视为已经着地，即将与地面的接触视为几何上的点接触；

4）方桌的中心不动，四条腿等长。1.4一些例子模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性xBADCOD´C´B´A´用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置四只脚着地距离是的函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f()B,D两脚与地面距离之和~g()两个距离椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(),g()是连续函数对任意,f(),g()至少一个为0数学问题已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()•g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),则h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的连续性知

h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因为f()•g()=0,所以f(0)=g(0)=0.评注和思考建模的关键~假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子和f(),g()的确定连续函数的介值定理oxyab思考题1：长方形的椅子会有同样的性质吗？oxyABCD思考题1长方形椅子稳定性问题表示A,B与地面距离之和表示C,D与地面距离之和则由三点着地，有ACABCD建模步骤重现模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验模型应用更多简单例子练习1.（河内塔问题）有8个大小不等的圆盘依次其半径从大到小套在桩A上，现在将8个圆盘移到空桩B或C上（仍保持从大到小的顺序）。移动过程中要求一次只能移动一个圆盘且始终保持大盘在下，小盘在上，当然桩也可利用。试问至少多少次可以完成？1.5一串练习模型建立：先将桩A的上面的7个盘按要求移到桩C上，这需要移动a7次，再将桩A上的最大盘移到桩B上，这需要移动1次，最后又将C上的7个盘按要求再移到桩B上，又需要a7次。于是得到递推关系模型求解：可得1.模型准备与假设2.模型建立3.模型求解4.模型分析与检验5模型应用2.某人第一天上午8:00有A点出发，与下午6:00到达B处。第二天上午8:00他又从B出出发按原路返回，并于下午6:00回到A处。此人必在两天中同一时间经过路中同一个地点，为什么？我们从A点为始点记路程，设从A点到B点的路程函数为f(t)，即t时刻走的距离为f(t)；同样，设从B点到A点的路程为g(t)。由题意知又注意f(t)，g(t)都是时刻t的连续函数，因此h(t)也是t时刻的连续函数，由连续函数的介值定理,一定存在某时刻t0使h(t0)=0，即f(t0)=g(t0).1.模型准备与假设2.模型建立3.模型求解4.模型分析与检验5模型应用3.兄妹两人，哥哥和妹妹分别在离家4km和2km且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4km/h和2km/h的速度步行回家。家中的狗以6km/h的速度一直在两人之间来回奔跑。问半个小时后，狗仔何处？一个小时后狗仔何处？

4.某人由A处到B处去，途中需到河边取些水，如下图。问走那条路最近？（用尽可能简单的办法求解。）dAB河5.大小包装问题在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。（2）给出单位重量价格c与w的关系，并解释其实际意义。提示：决定商品价格的主要因素：生产成本、包装成本、其他成本。单价随重量增加而减少单价的减少随重量增加逐渐降低交流平台邮箱：dhsxjm@Qq:2227205535选群主991848653，建群马上行动：去图书馆看相关书籍（至少1-2本）或购买内容：《数学建模》《数学建模案例》《数学建模与数学实验》