高中数学 余弦定理 苏教必修5

1.1.2余弦定理.（1）b＝20，A＝60°，a＝20√3，求B;（2）b＝20，A＝60°，a＝15，求B.60°ABCb在ABC中，已知b＝20，A＝60°，

思考：当b＝20，A＝60°，a＝？时，有1解、2解、无解..（1）b＝20，A＝60°，a＝20√3sinB＝＝，bsinA

a12B＝30°或150°，∵150°＋60°>180°，∴B＝150°应舍去..（2）b＝20，A＝60°，a＝15.2√33

∵

>1，∴无解.sinB＝＝，bsinA

a2√33.

思考：当b＝20，A＝60°，a＝？时，求角B

有1解、2解、无解.600ABC20BBB..解:过A作BC边上的高AD,则

AD=4sin600,CD=4cos600,BD=3－4cos600,∴AB2=AD2+BD2=(4sin600)2+(3－4cos600)2

=42+32－2×3×4cos600∴AB=已知∠C=600,AC=4,BC=3,求AB.ABCD猜想：AB²=AC²+BC²－2AC×BC×cosC对任意三角形是否成立？.证明：在三角形ABC中，AB、BC、CA的长分别为c,a,b.ABC.C点的坐标为()xyB(c,0)Cbc如图，以点A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系Aa(0,0).a2=b2+c2－2bccosAb2=a2+c2－2accosBc2=a2+b2－2abcosC余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。.cosA=

cosB=

cosC=

余弦定理推论：.（1）若A为直角，则a²=b²+c²（2）若A为锐角，则a²<b²+c²（3）若A为钝角，则a²>b²+c²由a2=b2+c2－2bccosA可得AaBCbcAcbAbc.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（2）已知三边，求三个角。.例.已知b=8,c=3,A=600求a.

∵a2=b2+c2－2bccosA=64+9－2×8×3cos600=494.定理的应用解：a=7.变式练习：1.已知:a=7,b=8,c=3,求A.2.已知:a=7,b=8,c=3,试判断此三角形的形状..例3：在⊿ABC中，已知b=60cm,c=34cm,A=41°,解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）.解：根据余弦定理，a²=b²+c²－2bccosA=60²+34²－2×60×34×cos41°≈1676.82所以a≈41(cm)由正弦定理得，因为c不是三角形中最大的边，所以C是锐角，利用计算器得C≈33°B=180°－（A+C）=180°－（41°＋33°）＝106°.例4，在⊿ABC中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形（角度精确到1′）。解：由余弦定理的推论得：A≈56°20′;B≈32°53′C=180°－（A+B）≈180°－（56°20′＋32°53′）＝90°47′.四类解三角形问题：（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角。（3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（4）已知三边，求三个角。.选做题：已知一钝角三角形的边长是三个连续自然数，求该三角形的三边长。必做题：等腰三角形的底边长为a，腰长为2a,求腰上的中线长。.（2）若A,B,C是⊿ABC的三个内角，则sinA+sinB____sinC.A.b/aB.a/bC.a/cD.c/a（1）若三角形的三个角的比是1：2：3，最大的边是20，则最小的边是_____..二.三种证明方法的比较：几何法：通过作高，把一般三角形转化为直角三