2023年石家庄人民医学高等专科学校高职单招（数学）试题库含答案解析

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年石家庄人民医学高等专科学校高职单招（数学）试题库含答案解析（图片大小可自由调整）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第1卷一.综合题(共50题)1.已知圆C：x2+y2-4y-6y+12=0，求：

（1）过点A（3，5）的圆的切线方程；

（2）在两条坐标轴上截距相等的圆的切线方程．答案：（l）设过点A（3，5）的直线ɭ的方程为y-5=k（x-3）．因为直线ɭ与⊙C相切，而圆心为C（2，3），则|2k-3-3k+5|k2+1=1，解得k=34所以切线方程为y-5=34（x-3），即3x-4y+11=0．由于过圆外一点A与圆相切的直线有两条，因此另一条切线方程为x=3．（2）因为原点在圆外，所以设在两坐标轴上截距相等的直线方程x+y=a或y=kx．由直线与圆相切得，|2+3-a|2=1或|2k-3|k2+1=1，解得a=5士2，k=6±223故所求的切线方程为x+y=5士2或y=6±223x．2.抛物线y=-12x2上一点N到其焦点F的距离是3，则点N到直线y=1的距离等于______．答案：∵抛物线y=-12x2化成标准方程为x2=-2y∴抛物线的焦点为F（0，-12），准线方程为y=12∵点N在抛物线上，到焦点F的距离是3，∴点N到准线y=12的距离也是3因此，点N到直线y=1的距离等于3+（1-12）=72故为：723.若方程Ax2+By2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则A、B满足的条件是（）

A．A＞0，且B＞0

B．A＞0，且B＜0

C．A＜0，且B＞0

D．A＜0，且B＜0答案：C4.随机变量X的概率分布规律为P（X=n）=（n=1，2，3，4），其中a是常数，则P（）的值为（）

A．

B．

C．

D．

答案：D5.如图，已知AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，切线BF交AD的延长线于F，若AB=10，CD=8，则切线BF的长是

______．答案：连接OD，AB⊥CD于E，根据垂径定理得到DE=4，在直角△ODE中，根据勾股定理得到OE=3，因而AE=8，易证△ABF∽△AED，得到DEBF=AEAB=810，解得BF=5．6.已知曲线C的方程是x2+y2+6ax-8ay=0，那么下列各点中不在曲线C上的是（）

A．（0，0）

B．（2a，4a）

C．（3a，3a）

D．（-3a，-a）答案：B7.方程x（x2+y2-1）=0和x2-（x2+y2-1）2=0表示的图形是（）

A．都是两个点

B．一条直线和一个圆

C．前者为两个点，后者是一条直线和一个圆

D．前者是一条直线和一个圆，后者是两个圆答案：D8.已知直线经过点,倾斜角，设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积。答案：2解析：把直线代入得，则点到两点的距离之积为9.已知命题p：“△ABC是等腰三角形”，命题q：“△ABC是直角三角形”，则命题“△ABC是等腰直角三角形”的形式是（）A．p或qB．p且qC．非pD．以上都不对答案：因为“△ABC是等腰直角三角形”即为“△ABC是等腰且直角三角形”，所以命题“△ABC是等腰直角三角形”的形式是p且q，故选B．10.如图，△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，CA的中点，在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段中所表示的向量中，

（1）与向量FE共线的有

______．

（2）与向量DF的模相等的有

______．

（3）与向量ED相等的有

______．答案：（1）∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC且EF=12BC，则与向量FE共线的向量是BC、BD、DC、CB、DB、CD；（2））∵DF是△ABC的中位线，∴DF∥AC且DF=12AC，则与向量DF的模相等的有CE，EA，EC，AF；（3）∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB且DE=12AB，则与向量ED相等的有AF，FB．11.圆x2+y2-4x=0，在点P（1，）处的切线方程为（）

A．x+y-2=0

B．x+y-4=0

C．x-y+4=0

D．x-y+2=0答案：D12.若过点A（4，0）的直线l与曲线（x-2）2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为______．答案：设直线l的方程为y=k（x-4），即kx-y-4k=0∵直线l与曲线（x-2）2+y2=1有公共点，∴圆心到直线l的距离小于等于半径即|2k-4k|k2+1≤1，解得-33≤

k≤33∴直线l的斜率的取值范围为[-33，33]故为[-33，33]13.复数32i+11-i的虚部是______．答案：复数32i+11-i=32i+1+i(1-i)(1+i)=32i+1+i2=12+2i∴复数的虚部是2，故为：214.

在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC=3CD,点O在线段CD上（与点C、D不重合），若AO=xAB+(1-x）AC,则x的取值范围是（）

A.

B.

C．

D．答案：D15.一个公司共有240名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为20的样本．已知某部门有60名员工，那么从这一部门抽取的员工人数是______．答案：每个个体被抽到的概率是

20240=112，那么从甲部门抽取的员工人数是60×112=5，故为：5．16.已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都过点A（2，3），则过两点P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直线方程为______．答案：∵A（2，3）是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，∴2a1+3b1+1=0，且2a2+3b2+1=0，即两点P1（a1，b1），P2（a2，b2）的坐标都适合方程2x+3y+1=0，∴两点（a1，b1）和（a2，b2）都在同一条直线2x+3y+1=0上，故点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是2x+3y+1=0，故为：2x+3y+1=0．17.设a，b是不共线的两个向量，已知=2+m，=+，=-2．若A，B，D三点共线，则m的值为（）

A．1

B．2

C．-2

D．-1答案：D18.若f（x）=ax（a＞0且a≠1）的反函数g（x）满足：g（）＜0，则函数f（x）的图象向左平移一个单位后的图象大致是下图中的（）

A．

B．

C．

D．

答案：B19.已知直线l：（t为参数）的倾斜角是（）

A.

B.

C.

D.答案：D20.小李在一旅游景区附近租下一个小店面卖纪念品和T恤，由于经营条件限制，他最多进50件T恤和30件纪念品，他至少需要T恤和纪念品40件才能维持经营，已知进货价为T恤每件36元，纪念品每件50元，现在他有2400元可进货，假设每件T恤的利润是18元，每件纪念品的利润是20元，问怎样进货才能使他的利润最大，最大利润为多少？答案：设进T恤x件，纪念品y件，可得利润为z元，由题意得x、y满足的约束条件为：

0≤x≤50

0≤y≤30

x+y≥4036x+48y≤2400，且x、y∈N*目标函数z=18x+20y约束条件的可行域如图所示：五边形ABCDE的各个顶点坐标分别为：A（40，0），B（50，0），C（50，252），D（803，30），E（10，30），当直线l：z=18x+20y经过C（50，252）时取最大值，∵x，y必为整数，∴当x=50，y=12时，z取最大值即进50件T恤，12件纪念品时，可获最大利润，最大利润为1140元．21.若函数f（x）对任意实数x都有f（x）＜f（x+1），那么（）A．f（x）是增函数B．f（x）没有单调递增区间C．f（x）没有单调递减区间D．f（x）可能存在单调递增区间，也可能存在单调递减区间答案：根据函数f（x）对任意实数x都有f（x）＜f（x+1），画出一个满足条件的函数图象如右图所示；根据图象可知f（x）可能存在单调递增区间，也可能存在单调递减区间故选D．22.一个样本a，99，b，101，c中五个数恰成等差数列，则这个样本的极差与标准差分别为（

）。答案：4；23.以数集A={a，b，c，d}中的四个元素为边长的四边形只能是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形答案：∵数集A={a，b，c，d}中的四个元素互不相同，∴以数集A={a，b，c，d}中的四个元素为边长的四边形，四条边不相等∴四边形只可能是梯形故选D．24.设△ABC是边长为1的正三角形，则|CA+CB|=______．答案：∵△ABC是边长为1的正三角形，∴|CA|=1，|CB|=1，CA?CB=1×1×cosπ3=12∴|CA+CB|=CA2+2CA?CB+CB2=1+1+

2×12=3，故为：325.设A（1，-1，1），B（3，1，5），则线段AB的中点在空间直角坐标系中的位置是（）

A．在y轴上

B．在xOy面内

C．在xOz面内

D．在yOz面内答案：C26.直角坐标xOy平面上，平行直线x=n（n=0，1，2，…，5）与平行直线y=n（n=0，1，2，…，5）组成的图形中，矩形共有（）

A．25个

B．36个

C．100个

D．225个答案：D27.给出下列结论：

（1）两个变量之间的关系一定是确定的关系；

（2）相关关系就是函数关系；

（3）回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；

（4）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．

以上结论中，正确的有几个？（）

A．1

B．2

C．3

D．4答案：A28.关于斜二测画法画直观图说法不正确的是（）

A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同

B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴

C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变

D．斜二测坐标系取的角可能是135°答案：C29.已知椭圆中心在原点，一个焦点为（3，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______．答案：根据题意知a=2b，c=3又∵a2=b2+c2∴a2=4

b2=1∴x24+

y2=1故为：∴x24+

y2=1．30.若e1，e2是两个不共线的向量，已知AB=2e1+ke2，CB=e1+3e2，CD=2e1-e2，若A，B，D三点共线，则k=______．答案：BD=CD-CB=（2e1-e2）-（e1+3e2）=2e1-4e2因为A，B，D三点共线，所以AB=kBD，已知AB=2e1+ke2，BD=2e1-4e2所以k=-4故为：-431.点P（2，1）到直线

3x+4y+10=0的距离为（）A．1B．2C．3D．4答案：由P（2，1），直线方程为3x+4y+10=0，则P到直线的距离d=|6+4+10|32+42=4．故选D32.设a，b，c∈R，则复数（a+bi）（c+di）为实数的充要条件是（）

A．ad-bc=0

B．ac-bd=0

C．ac+bd=0

D．ad+bc=0答案：D33.如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点．过P作⊙O的切线，切点为C，PC=23，若∠CAP=30°，则⊙O的直径AB=______．答案：连接BC，设圆的直径是x则三角形ABC是一个含有30°角的三角形，∴BC=12AB，三角形BPC是一个等腰三角形，BC=BP=12AB，∵PC是圆的切线，PA是圆的割线，∴PC2=PB?PC=12x?32x=34x2，∵PC=23，∴x=4，故为：434.已知x、y的取值如下表：x0134y2.24.34.86.7从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为y=0.95x+a，则a=______．答案：点(.x，.y)在回归直线上，计算得.x=2，.y=4.5；代入得a=2.6；故为2.6．35.已知a≠0，证明关于x的方程ax=b有且只有一个根．答案：证明：一方面，∵ax=b，且a≠0，方程两边同除以a得：x=ba，∴方程ax=b有一个根x=ba，另一方面，假设方程ax=b还有一个根x0且x0≠ba，则由此不等式两边同乘以a得ax0≠b，这与假设矛盾，故方程ax=b只有一个根．综上所述，方程ax=b有且只有一个根．36.刻画数据的离散程度的度量，下列说法正确的是（

）

（1）应充分利用所得的数据，以便提供更确切的信息；

（2）可以用多个数值来刻画数据的离散程度；

（3）对于不同的数据集，其离散程度大时，该数值应越小．

A．（1）和（3）

B．（2）和（3）

C．（1）和（2）

D．都正确答案：C37.已知直线l过点P（2，1）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为______．答案：设A（a，0）、B（0，b），a＞0，b＞0，AB方程为xa+

yb=1，点P（2，1）代入得2a+1b=1≥22ab，∴ab≥8

（当且仅当a=4，b=2时，等号成立），故三角形OAB面积S=12

ab≥4，故为4．38.若矩阵A=

72

69

67

65

62

59

81

74

68

64

59

52

85

79

76

72

69

64

228

219

211

204

195

183

是表示我校2011届学生高二上学期的期中成绩矩阵，A中元素aij（i=1，2，3，4；j=1，2，3，4，5，6）的含义如下：i=1表示语文成绩，i=2表示数学成绩，i=3表示英语成绩，i=4表示语数外三门总分成绩j=k，k∈N*表示第50k名分数．若经过一定量的努力，各科能前进的名次是一样的．现小明的各科排名均在250左右，他想尽量提高三门总分分数，那么他应把努力方向主要放在哪一门学科上（）

A．语文

B．数学

C．外语

D．都一样答案：B39.在直角梯形ABCD中，已知A（-5，-10），B（15，0），C（5，10），AD是腰且垂直两底，求顶点D的坐标．答案：设D（x，y），则∵DC∥AB，∴y-10x-5=0+1015+5，又∵DA⊥AB，∴y+10x+5•0+1015+5=-1．由以上方程组解得：x=-11，y=2．∴D（-11，2）．40.下列说法：

①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选择的模型比较合适；

②用相关指数可以刻画回归的效果，值越大说明模型的拟和效果越好；

③比较两个模型的拟和效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型拟和效果越好．

其中说法正确的个数为（）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个答案：C41.已知,求证:.答案：证明略解析：因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体.,相加整理得.当且仅当时等号成立.【名师指引】综合法证明不等式常用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一结论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形.42.已知点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O（0，0），若，α∈(0，π)，则与的夹角为（）

A．

B．

C．

D．答案：D43.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0（a＞0）的公共弦的长为23，则a=______．答案：由已知x2+y2+2ay-6=0的半径为6+a2，由图可知6+a2-(-a-1)2=(3)2，解之得a=1．故为：1．44.若向量a=(1，1，x)，b=(1，2，1)，c=(1，1，1)，满足条件(c-a)•(2b)=-2，则x=______．答案：c-a=(0，0，1-x)，(c-a)•(2b)

=(2，4，2)•(0，0，1-x)=2(1-x)=-2，解得x=2，故为2．45.若m∈{-2，-1，1，2}，n∈{-2，-1，1，2，3}，则方程x2m+y2n=1表示的是双曲线的概率为______．答案：由题意，方程x2m+y2n=1表示双曲线时，mn＜0，m＞0，n＜0时，有2×2=4种，m＜0，n＞0时，有2×3=6种∵m，n的取值共有4×5=20种∴方程x2m+y2n=1表示的是双曲线的概率为4+620=12故为：1246.已知如下等式：12=1×2×36，12+22=2×3×56，12+22+32=3×4×76，…当n∈N*时，试猜想12+22+32+…+n2的值，并用数学归纳法给予证明．答案：由已知，猜想12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6，下面用数学归纳法给予证明：（1）当n=1时，由已知得原式成立；（2）假设当n=k时，原式成立，即12+22+32+…+k2=k(k+1)(2k+1)6，那么，当n=k+1时，12+22+32+…+（k+1）2=k(k+1)(2k+1)6+（k+1）2=(k+1)(k+2)(2k+3)6=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]6故n=k+1时，原式也成立．由（1）、（2）知12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6成立．47.设集合M={（x，y）|x+y＜0，xy＞0}和P={（x，y）|x＜0，y＜0}，那么M与P的关系为______．答案：由x+y＜0，xy＞0，?x＜0，y＜0．∴M=P．故为M=P．48.甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为.x甲，.x乙，则下列判断正确的是（）A．.x甲＞.x乙；甲比乙成绩稳定B．.x甲＞.x乙；乙比甲成绩稳定C．.x甲＜.x乙；甲比乙成绩稳定D．.x甲＜.x乙；乙比甲成绩稳定答案：5场比赛甲的得分为16、17、28、30、34，5场比赛乙的得分为15、26、28、28、33∴.x甲=15（16+17+28+30+34）=25，.x乙=15（15+26+28+28+33）=26s甲2=15（81+64+9+25+81）=52，s乙2=15（121+4+4+49）=35.6∴.x甲＜.x乙，乙比甲成绩稳定故选D．49.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人都投中1次的概率为______．答案：两人都投中1次的概率为C210.6×0.4×C210.7×0.3=0.2016故为：0.201650.某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚144元，那么每台彩电原价是______元．答案：设每台彩电原价是x元，由题意可得（1+40%）x•0.8-x=144，解得x=1200，故为1200．第2卷一.综合题(共50题)1.若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（）

A．2

B．4

C．8

D.4答案：C2.在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为

______．答案：两条曲线的普通方程分别为x2+y2=2y，x=-1．解得x=-1y=1.由x=ρcosθy=ρsinθ得点（-1，1），极坐标为(2，3π4)．故填：(2，3π4)．3.设P，Q为△ABC内的两点，且AP=mAB+nAC

(m，n＞0)AQ=pAB+qAC

(p，q＞0)，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为______．答案：设P到边AB的距离为h1，Q到边AB的距离为h2，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为h1h2，设AB边上的单位法向量为e，AB?e=0，则h1=|AP?e|=|（mAB+nAC）?e|=|m?AB?e+nAC?e|=|nAC?e|，同理可得h2=|qAC?e|，∴h1h2=|nq|=nq，故为n：q．4.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设______．答案：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，而命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°”，故为三个内角都大于60°．5.对于函数y=f（x），在给定区间上有两个数x1，x2，且x1＜x2，使f（x1）＜f（x2）成立，则y=f（x）（）A．一定是增函数B．一定是减函数C．可能是常数函数D．单调性不能确定答案：解析：由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值．故选D．6.某航空公司经营A，B，C，D这四个城市之间的客运业务，它们之间的直线距离的部分机票价格如下：AB为2000元；AC为1600元；AD为2500元；CD为900元；BC为1200元，若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则BD间直线距离的票价为（设这四个城在同一水平面上）（）

A．1500元

B．1400元

C．1200元

D．1000元答案：A7.已知函数y=f（x）是R上的奇函数，其零点为x1，x2，…，x2011，则x1+x2+…+x2011=______．答案：∵f（x）是R上的奇函数，∴0是函数y=f（x）的零点．其他非0的零点关于原点对称．∴x1+x2+…+x2011=0．故为：0．8.下列函数中，与函数y=x（x≥0）有相同图象的一个是（）A．y=x2B．y=（x）2C．y=3x3D．y=x2x答案：一个函数与函数y=x

（x≥0）有相同图象时，这两个函数应是同一个函数．A中的函数和函数y=x

（x≥0）的值域不同，故不是同一个函数．B中的函数和函数y=x

（x≥0）具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数．C中的函数和函数y=x

（x≥0）的值域不同，故不是同一个函数．D中的函数和函数y=x

（x≥0）的定义域不同，故不是同一个函数．综上，只有B中的函数和函数y=x

（x≥0）是同一个函数，具有相同的图象，故选B．9.已知向量，，若与共线，则的值为

A

B

C

D

答案：D解析：，，由，得10.已知数列{an}的前n项和Sn=an2+bn=c

（a、b、c∈R），则“c=0”是“{an}是等差数列”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件答案：数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c根据等差数列的前n项和的公式，可以看出当c=0时，Sn=an2+bn表示等差数列的前n项和，则数列是一个等差数列，当数列是一个等差数列时，表示前n项和时，c=0，故前者可以推出后者，后者也可以推出前者，∴前者是后者的充要条件，故选C．11.设a、b为单位向量，它们的夹角为90°，那么|a+3b|等于______．答案：∵a，b它们的夹角为90°∴a?b=0∴(a+3b)2=a2+6a?b+9b2=10∴|a+3b|=10故为1012.集合{1，2，3}的真子集总共有（）A．8个B．7个C．6个D．5个答案：集合{1，2，3}的真子集有?，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．故选B．13.设甲、乙两名射手各打了10发子弹，每发子弹击中环数如下：甲：10，7，7，10，8，9，9，10，5，10；

乙：8，7，9，10，9，8，8，9，8，9则甲、乙两名射手的射击技术评定情况是（）

A．甲比乙好

B．乙比甲好

C．甲、乙一样好

D．难以确定答案：B14.设a，b，c是三个不共面的向量，现在从①a+b；②a-b；③a+c；④b+c；⑤a+b+c中选出使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为______．答案：构成基底只要三向量不共面即可，这里只要含有向量c即可，故③④⑤都是可以选择的．故为：③④⑤（不唯一，也可以有其它的选择）15.以下四组向量中，互相平行的是．（）

（1）=(1，2，1)，=(1，-2，3)；

（2）=(8，4，-6)，=(4，2，-3)；

（3）=(0，1，-1)，=(0，-3，3)；

（4）=(-3，2，0)，=(4，-3，3)．

A．（1）（2）

B．（2）（3）

C．（2）（4）

D．（1）（3）答案：B16.如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB=2，OD=3，则BC的长为______．答案：∵OD∥BC，∴∠AOD=∠B；∵AD是⊙O的切线，∴BA⊥AD，即∠OAD=∠ACB=90°，∴Rt△AOD∽Rt△CBA，∴BCOA=ABOD，即BC1=23，故BC=23．17.已知直线l经过点A（2，4），且被平行直线l1：x-y+1=0与l2：x-y-1=0所截得的线段的中点M在直线x+y-3=0上．求直线l的方程．答案：∵点M在直线x+y-3=0上，∴设点M坐标为（t，3-t），则点M到l1、l2的距离相等，即|2t-2|2=|2t-4|2，解得t=32∴M（32，32）又l过点A（2，4），即5x-y-6=0，故直线l的方程为5x-y-6=0．18.若双曲线的渐近线方程为y=±3x，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的方程是______．答案：因为双曲线的渐近线方程为y=±3x，则设双曲线的方程是x2-y29=λ，又它的一个焦点是(10，0)故λ+9λ=10∴λ=1，x2-y29=1故为：x2-y29=119.四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有两名相邻，但三名女生不能连排，则不同的排法数有（）A．3600B．3200C．3080D．2880答案：由题意知本题需要利用分步计数原理来解，∵三名女生有且仅有两名相邻，∴把这两名女生看做一个元素，与另外一名女生作为两个元素，有C32A22种结果，把男生排列有A44，把女生在男生所形成的5个空位中排列有A52种结果，共有C32A22A44A52=2880种结果，故选D．20.已知|a|=8，e是单位向量，当它们之间的夹角为π3时，a在e方向上的投影为（）A．43B．4C．42D．8+23答案：由两个向量数量积的几何意义可知：a在e方向上的投影即：a?e=|a||e|cosπ3=8×1×12=4故选B21.点M的直角坐标是，则点M的极坐标为（）

A．（2，）

B．（2，-）

C．（2，）

D．（2,2kπ+）（k∈Z）答案：C22.如图为一个求50个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为（）

A．i＞50

B．i＜50

C．i＞=50

D．i＜=50

答案：A23.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x（万元）

2

3

4

5

销售额y（万元）

27

39

48

54

根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）

A．65.5万元

B．66.2万元

C．67.7万元

D．72.0万元答案：A24.如图的曲线是指数函数y=ax的图象，已知a的值取，，，则相应于曲线①②③④的a的值依次为（）

A.，，,

B．,，,

C．,,,

D．,,,

答案：A25.下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程

必过点（）

x

0

1

2

3

y

1

3

5

7

A．（2，2）

B．（1.5，2）

C．（1，2）

D．（1.5，4）答案：D26.过直线y=x上的一点作圆（x-5）2+（y-1）2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y=x对称时，它们之间的夹角为（）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°答案：C27.点（1，2）到直线x+2y+5=0的距离为______．答案：点（1，2）到直线x+2y+5=0的距离为d=|1+2×2+5|12+22=25故为：2528.设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为y=±12x，则双曲线的离心率e=______．答案：依题意可知ba=12，求得a=2b∴c=a2+b2=5b∴e=ca=52故为52．29.已知定义在实数集上的偶函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，那么y1=f(π3)，y2=f(3x2+1)和y3=f(log214)之间的大小关系为（）A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1答案：∵偶函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是增函数∴|x|越大，函数值就越大∵|3x2+1|≥3，|log214|=2∴|3x2+1|＞|log214|＞π3∴y1＜y3＜y2故选A30.若a＞b＞0，则，，，从大到小是_____答案：>>>解析：,又ab>0,;即。故有：>>>31.北京期货商会组织结构设置如下：

（1）会员代表大会下设监事会、会长办公会，而会员代表大会于会长办公会共辖理事会；

（2）会长办公会设会长，会长管理秘书长；

（3）秘书长具体分管：秘书处、规范自律委员会、服务推广委员会、发展创新委员会．

根据以上信息绘制组织结构图．答案：绘制组织结构图：32.

以下四组向量中，互相平行的有（）组．

A．一

B．二

C．三

D．四答案：D33.已知x，y的取值如下表所示：

x3711y102024从散点图分析，y与x线性相关，且y=74x+a，则a=______．答案：∵线性回归方程为y=74x+a，，又∵线性回归方程过样本中心点，.x=3+7+113=7，.y=10+20+243=18，∴回归方程过点（7，18）∴18=74×7+a，∴a=234．故为：234．34.设F1，F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且·=0，则|PF1|·|PF2|值等于（）

A．2

B.2

C.4

D．8答案：A35.隋机变量X～B（6，），则P（X=3）=（）

A．

B．

C．

D.答案：C36.某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%、50%、10%和10%，则全班学生的平均分为______分．答案：∵全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%、50%、10%和10%，∴全班的平均分是3×30%+2×50%+1×10%+0×10%=2，故为：237.极坐标方程pcosθ=表示（）

A．一条平行于x轴的直线

B．一条垂直于x轴的直线

C．一个圆

D．一条抛物线答案：B38.{，，}=是空间向量的一个基底，设=+，=+，=+，给出下列向量组：①{，，}，②{，}，③{，，}，④{，，}，其中可以作为空间向量基底的向量组有（）组．

A．1

B．2

C．3

D．4答案：C39.若直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相离，则点P（a，b）的位置是（）

A．在圆上

B．在圆外

C．在圆内

D．以上都有可能答案：C40.双曲线x2a2-y2b2=1，(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y=3x，坐标原点到直线AB的距离为32，其中A（a，0），B（0，-b）．

（1）求双曲线的方程；

（2）若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点，过点B作直线交双曲线于点M，N，求B1M⊥B1N时，直线MN的方程．答案：（1）∵A（a，0），B（0，-b），∴设直线AB：xa-yb=1∴ba=3aba2+b2=32，∴a=3b=3，∴双曲线方程为：x23-y29=1．（2）∵双曲线方程为：x23-y29=1，∴A1(-3，0)，A2(3，0)，设P（x0，y0），∴kPA1=y0x0+3，kPA2=y0x0-3，∴k1k2=y02x02-3=3x02-9x02-3=3．B（0，-3）B1（0，3），设M（x1，y1），N（x2，y2）∴设直线l：y=kx-3，∴y=kx-33x2-y2=9，∴3x2-（kx-3）2=9．（3-k2）x2+6kx-18=0，∴x1+x2=6kk2-3

y1+y2=k(x1+x2)-6=18k2-3x1x2=18k2-3

y1y2=k2(x1x2)-3k(x1+x2)+9∵B1M=(x1，y1-3)

B1N=(x2，y2-3)∵B1M•B1N=0∴x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9=018k2-3+9-54k2-3+9=0k2=5，即k=±5代入（1）有解，∴lMN：y=±5x-3．41.已知向量a=(1，2)，b=(2，-3)．若向量c满足(c+a)∥b，c⊥(a+b)，则c=______．答案：设c=（x，y），则c+a=（x+1，y+2），又（c+a）∥b，∴2（y+2）+3（x+1）=0．

①又c⊥（a+b），∴（x，y）•（3，-1）=3x-y=0．

②解①②得x=-79，y=-73．故应填：(-79，-73)．42.四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有（）

A．8种

B．10种

C．12种

D．16种答案：C43.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘的序号______

答案：（1）游戏盘的中奖概率为

38，（2）游戏盘的中奖概率为

14，（3）游戏盘的中奖概率为

26=13，（4）游戏盘的中奖概率为

13，（1）游戏盘的中奖概率最大．故为：（1）．44.若点P（a，b）在圆C：x2+y2=1的外部，则直线ax+by+1=0与圆C的位置关系是（）

A．相切

B．相离

C．相交

D．相交或相切答案：C45.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有40名，高二年级有50名，现用分层抽样的方法在这90名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了8名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______．答案：∵高一年级有40名学生，在高一年级的学生中抽取了8名，∴每个个体被抽到的概率是

840=15∵高二年级有50名学生，∴要抽取50×15=10名学生，故为：10．46.某处有供水龙头5个,调查表明每个水龙头被打开的可能性为,随机变量ξ表示同时被打开的水龙头的个数,则P(ξ=3)为A．0.0081B．0.0729C．0.0525D．0.0092答案：A解析：本题考查n次独立重复试验中,恰好发生k次的概率.对5个水龙头的处理可视为做5次试验,每次试验有2种可能结果：打开或未打开,相应的概率为0.1或1－0.1="0.9."根据题意ξ~B(5,0.1),从而P(ξ=3)=(0.1)3(0.9)2=0.0081.47.经过两点A（-3，5），B（1，1

）的直线倾斜角为______．答案：因为两点A（-3，5），B（1，1

）的直线的斜率为k=1-51-(-3)=-1所以直线的倾斜角为：135°．故为：135°．48.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4B．5C．6D．7答案：根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：是否继续循环

S

K循环前/0

0第一圈

是

1

1第二圈

是

3

2第三圈

是

11

3第四圈

是

20594第五圈

否∴最终输出结果k=4故为A49.若一辆汽车每天行驶的路程比原来多19km，则该汽车在8天内行驶的路程s（km）就超过2200km；若它每天行驶的路程比原来少12km，则它行驶同样的路程s（km）就得花9天多的时间。这辆汽车原来每天行驶的路程（km）的范围是（

）

A.（259，260）

B.（258，260）

C.（257，260）

D.（256，260）答案：D50.直线4x-3y+5=0与直线8x-6y+5=0的距离为______．答案：直线4x-3y+5=0即8x-6y+10=0，由两平行线间的距离公式得：直线4x-3y+5=0（8x-6y+10=0）与直线8x-6y+5=0的距离是

|10-5|62+82=12，故为：12．第3卷一.综合题(共50题)1.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）

A．至少有1个白球；都是白球

B．至少有1个白球；至少有1个红球

C．恰有1个白球；恰有2个白球

D．至少有一个白球；都是红球答案：C2.在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线方程变换为椭圆方程，此伸缩变换公式是（

）A．B．C．D．答案：B解析：解：因为在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线方程变换为椭圆方程，设变换为，将其代入方程中，得到x，y的关系式，对应相等可知,选B3.函数y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．

（1）求f（0）的值；

（2）若f（1）=1，求f（2），f（3），f（4）的值，猜想f（n）的表达式并用数学归纳法证明你的结论；

（3）若f（1）≥1，求证：f(12n)＞0(n∈N*)．答案：（1）令x=y=0得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0?f（0）=0（2）f（1）=1，f(2)=f(1+1)=1+1+2=4f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16猜想f（n）=n2，下用数学归纳法证明之．①当n=1时猜想成立．②假设n=k时猜想成立，即：f（k）=k2，那么f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=k2+2k+1=（k+1）2．这就是说n=k+1时猜想也成立．对于一切n≥1，n∈N+猜想都成立．（3）f（1）≥1，则f(1)=2f(12)+2×12×12≥1?f(12)≥14＞0假设n=k（k∈N*）时命题成立，即f(12k)≥122k＞0，则f(12k)=2f(12k+1)+2×12k+1×12k+1≥122k?f(12k+1)≥122(k+1)，由上知，则f(12n)＞0(n∈N*)．4.过点（-1，3）且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（

）

A．2x+y-1=0

B．2x+y-5=0

C．x+2y-5=0

D．x-2y+7=0答案：A5.已知圆锥的母线长为5，底面周长为6π，则圆锥的体积是______．答案：圆锥的底面周长为6π，所以圆锥的底面半径为3；圆锥的高为4所以圆锥的体积为13×π32×4=12π故为12π．6.已知=1-ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m+ni=（

）

A．1+2i

B．1-2i

C．2+i

D．2-i答案：C7.（选做题）

设集合A={x|x2﹣5x+4＞0}，B={x|x2﹣2ax+（a+2）=0}，若A∩B≠，求实数a的取值范围．答案：解：A={x|x2﹣5x+4＞0}={x|x＜1或x＞4}．∵A∩B≠，∴方程x2﹣2ax+（a+2）=0有解，且至少有一解在区间（﹣∞，1）∪（4，+∞）内直接求解情况比较多，考虑补集设全集U={a|△≥0}=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），P={a|方程x2﹣2ax+（a+2）=0的两根都在[1，4]内}记f（x）=x2﹣2ax+（a+2），且f（x）=0的两根都在[1，4]内∴，∴，∴，∴∴实数a的取值范围为．8.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在圆x2+y2=16内的概率是______．答案：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，共有6×6=36种结果，而满足条件的事件是点P落在圆x2+y2=16内，列举出落在圆内的情况：（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2），共有8种结果，根据古典概型概率公式得到P=836=29，故为：299.“△ABC中，若∠C=90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为（）

A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不是锐角

B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角

C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不一定是锐角

D．以上都不对答案：B10.如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为2米，球的半径r为0.5米．

（1）这种“浮球”的体积是多少立方米（结果精确到0.1m3）？

（2）假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该“浮球”的建造费用（结果精确到1元）．答案：（1）∵球的半径r为0.5米，∴两个半球的体积之和为V球=43πr3=43π?18=16πm3，∵圆柱的高为2米，∴V圆柱=πr2?h=π×14×2=12πm3，∴该“浮球”的体积是：V=V球+V圆柱=23π≈2.1m3；（2）圆柱筒的表面积为2πrh=2πm2；两个半球的表面积为4πr2=πm2，∵圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元，∴该“浮球”的建造费用为2π×20+π×30=70π≈220元．11.设集合A={1，2，4}，B={2，6}，则A∪B等于（）A．{2}B．{1，2，4，6}C．{1，2，4}D．{2，6}答案：∵集合A={1，2，4}，B={2，6}，∴A∪B={1，2，4}∪{2，6}={1，2，4，6}，故选B．12.（选做题）参数方程中当t为参数时，化为普通方程为（

）。答案：x2-y2=113.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤6）=______．答案：取出的4只球中红球个数可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个．其分值为ξ=4，6，8．P（ξ≤6）=P（ξ=4）+P（ξ=6）=C44C03C47+C34C13C47=1335．故为：1335．14.（1）把参数方程（t为参数）x=secty=2tgt化为直角坐标方程；

（2）当0≤t＜π2及π≤t＜3π2时，各得到曲线的哪一部分？答案：（1）利用公式sec2t=1+tg2t，得x2=1+y24．∴曲线的直角坐标普通方程为x2-y24=1．（2）当0≤t≤π2时，x≥1，y≥0，得到的是曲线在第一象限的部分（包括（1，0）点）；当0≤t≤3π2时，x≤-1，y≥0，得到的是曲线在第二象限的部分，（包括（-1，0）点）．15.全称命题“任意x∈Z，2x+1是整数”的逆命题是（）

A．若2x+1是整数，则x∈Z

B．若2x+1是奇数，则x∈Z

C．若2x+1是偶数，则x∈Z

D．若2x+1能被3整除，则x∈Z

E．若2x+1是整数，则x∈Z答案：A16.直线L1：x-y=0与直线L2：x+y-10=0的交点坐标是（）

A．（5，5）

B．（5，-5）

C．（-1，1）

D．（1，1）答案：A17.用反证法证明：已知x，y∈R，且x+y＞2，则x，y中至少有一个大于1．答案：证明：用反证法，假设x，y均不大于1，即x≤1且y≤1，则x+y≤2，这与已知条件x+y＞2矛盾，∴x，y中至少有一个大于1，即原命题得证．18.若2x1+3y1=4，2x2+3y2=4，则过点A（x1，y1），B（x2，y2）的直线方程是______．答案：∵2x1+3y1=4，2x2+3y2=4，∴点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线2x+3y=4上，又因为过两点确定一条直线，故所求直线方程为2x+3y=4故为：2x+3y=419.两平行直线x+3y-4=0与2x+6y-9=0的距离是

______．答案：由直线x+3y-4=0取一点A，令y=0得到x=4，即A（4，0），则两平行直线的距离等于A到直线2x+6y-9=0的距离d=|8-9|22+62=1210=1020．故为：102020.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M为AB边上的一个动点，求PM的最小值．答案：过C作CM⊥AB，连接PM，因为PC⊥AB，所以AB⊥平面PCM，所以PM⊥AB，此时PM最短，∵∠BAC=60°，AB=8，∴AC=AB?cos60°=4．∴CM=AC?sin60°=4?32=23．∴PM=PC2+CM2=16+12=27．21.要从已编号（1～60）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（）

A．5、10、15、20、25、30

B．3、13、23、33、43、53

C．1、2、3、4、5、6

D．2、4、8、16、32、48答案：B22.命题“存在实数x，，使x＞1”的否定是（）

A．对任意实数x，都有x＞1

B．不存在实数x，使x≤1

C．对任意实数x，都有x≤1

D．存在实数x，使x≤1答案：C23.已知平面α的法向量是（2，3，-1），平面β的法向量是（4，λ，-2），若α∥β，则λ的值是（）

A．-

B．-6

C．6

D．答案：C24.为了了解某地母亲身高x与女儿身高y的相关关系，随机测得10对母女的身高如下表所示：

母亲身高x（cm）159160160163159154159158159157女儿身高y（cm）158159160161161155162157162156计算x与y的相关系数r=0.71，通过查表得r的临界值r0.05=______，从而有______的把握认为x与y之间具有线性相关关系，因而求回归直线方程是有意义的．通过计算得到回归直线方程为y=35.2+0.78x，当母亲身高每增加1cm时，女儿身高______，当母亲的身高为161cm时，估计女儿的身高为______cm．答案：查对临界值表，由临界值r0.05=0.632，可得有95%的把握认为x与Y之间具有线性相关关系，回归直线方程为y=35.2+0.78x，因此，当母亲身高每增加1cm时，女儿身高0.78，当x=161cm时，y=35.2+0.78x=35.2+0.78×161≈161cm故为：0.632，95%，0.78，161cm．25.已知|a|=3，|b|=2，a与b的夹角为300，则|a+b|等于（）A．13B．15C．17D．19答案：∵|a|=3，|b|=2，a与b的夹角为300，∴a?b=|a||b|cos30°=2×3×32=3则|a+b|=a2+2a?b+b2=13故选A26.对于非零的自然数n，抛物线y=（n2+n）x2-（2n+1）x+1与x轴相交于An，Bn两点，若以|AnBn|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+|A3B3|+┅+|A2009B2009|的值

等于______．答案：令（n2+n）x2-（2n+1）x+1=0，得x1=1n，x2=1n+1所以An（1n，0），Bn（1n+1，0）所以|AnBn|=1n-1n+1，所以|A1B1|+|A2B2|+|A3B3|+┅+|A2009B2009|=（11-12）+（12-13）+┉+（12009-12010）=1-12010=20092010．故为：20092010．27.如图，圆心角∠AOB=120°，P是AB上任一点（不与A，B重合），点C在AP的延长线上，则∠BPC等于______．

答案：解：设点E是优弧AB（不与A、B重合）上的一点，∵∠AOB=120°，∴∠AEB=60°，∵∠BPA=180°-∠AEB=180°-∠BPC，∴∠BPC=∠AEB．∴∠BPC=60°．故为60°．28.已知平面直角坐标系内三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）

（Ⅰ）求过O，A，B三点的圆的方程，并指出圆心坐标与圆的半径．

（Ⅱ）求过点C（-1，0）与条件（Ⅰ）的圆相切的直线方程．答案：（Ⅰ）∵O（0，0），A（1，1），B（4，2），∴线段OA中点坐标为（12，12），线段OB的中点坐标为（2，1），kOA=1，kOB=12，∴线段OA垂直平分线的方程为y-12=-（x-12），线段OB垂直平分线的方程为y-1=12（x-2），联立两方程解得：x=4y=-3，即圆心（4，-3），半径r=42+(-3)2=5，则所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0，圆心是（4，-3）、半径r=5；（Ⅱ）分两种情况考虑：当切线方程斜率不存在时，直线x=-1满足题意；当斜率存在时，设为k，切线方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0，∴圆心到切线的距离d=r，即|5k+3|k2+1=5，解得：k=815，此时切线方程为y=815（x+1），综上，所求切线方程为x=-1或y=815（x+1）．29.在下列各图中，每个图的两个变量具有线性相关关系的图是（）

A．（1）（2）

B．（1）（3）

C．（2）（4）

D．（2）（3）答案：D30.当a≠0时，y=ax+b和y=bax的图象只可能是（）

A．

B．

C．

D．

答案：A31.己知集合A={sinα，cosα}，则α的取值范围是______．答案：由元素的互异性可得sinα≠cosα，∴α≠kπ+π4，k∈z．故α的取值范围是{α|α≠kπ+π4，k∈z}，故为{α|α≠kπ+π4，k∈z}．32.把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（）

A．一条线段

B．一段圆弧

C．圆上一群孤立点

D．一个单位圆答案：D33.与函数y=x相等的函数是（）A．f（x）=（x）2B．f（x）=x2xC．f（x）=x2D．f（x）=3x3答案：对于A，f（x）=x（x≥0），不符合；对于B，f（x）=x（x≠0），不符合；对于C，f（x）=|x|（x∈R），不符合；对于D，f（x）=x（x∈R），符合；故选D．34.方程x2-（k+2）x+1-3k=0有两个不等实根x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2，则实数k的取值范围为______．答案：构造函数f（x）=x2-（k+2）x+1-3k∵方程x2-（k+2）x+1-3k=0有两个不等实根x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2，∴f(0)＞0f(1)＜0f(2)＞0∴1-3k＞0-4k＜01-5k＞0∴0＜k＜15∴实数k的取值范围为（0，15）故为：（0，15）35.如图，AB，AC分别是⊙O的切线和割线，且∠C=45°，∠BDA=60°，CD=6，则切线AB的长是______．答案：过点A作AM⊥BD与点M．∵AB为圆O的切线∴∠ABD=∠C=45°∵∠BDA=60°∴∠BAD=75°，∠DAM=30°，∠BAM=45°设AB=x，则AM=22x，在直角△AMD中，AD=63x由切割线定理得：AB2=AD?ACx2=63x（63x+6）解得：x1=6，x2=0（舍去）故AB=6．故是：6．36.已知a=（5，4），b=（3，2），则与2a-3b同向的单位向量为

______．答案：∵a=（5，4），b=（3，2），∴2a-3b=（1，2）设与2a-3b平行的单位向量为e=（x，