2023年江海职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年江海职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析（图片大小可自由调整）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第1卷一.综合题(共50题)1.用演绎法证明y=x2是增函数时的大前提是______．答案：∵证明y=x2是增函数时，依据的原理就是增函数的定义，∴用演绎法证明y=x2是增函数时的大前提是：增函数的定义故填增函数的定义2.在同一个坐标系中画出函数y=ax，y=sinax的部分图象，其中a＞0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是（）

A．

B．

C．

D．

答案：D3.若P（2，-1）为曲线x=1+5cosθy=5sinθ（0≤θ＜2π）的弦的中点，则该弦所在直线的普通方程为______．答案：∵曲线x=1+5cosθy=5sinθ（0≤θ＜2π），∴（x-1）2+y2=25，∵P（2，-1）为曲线x=1+5cosθy=5sinθ（0≤θ＜2π）的弦的中点，设过点P（2，-1）的弦与（x-1）2+y2=25交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4y1+y2=-2，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入（x-1）2+y2=25，得(x1-1)2+y

12=25(x2-1)2+y22=25，∴x12-2x1+1+y12=25，①x22-2x2+1+y22=25，②，①-②，得4（x1-x2）-2（x1-x2）-2（y1-y2）=0，∴k=y1-y2x1-x2=1，∴该弦所在直线的普通方程为y+1=x-2，即x-y-3=0．故为：x-y-3=0．4.一个口袋中有红球3个，白球4个．

（Ⅰ）从中不放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，求恰好第2次中奖的概率；

（Ⅱ）从中有放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，连续摸4次，求中奖次数X的数学期望E（X）．答案：（I）“恰好第2次中奖“即为“第一次摸到的2个白球，第二次至少有1个红球”，其概率为C24C27×C23+C13C12C25=935；（II）摸一次中奖的概率为p=C23+C13C14C27=57，由条件知X～B（4，p），∴EX=np=4×57=207．5.设F1，F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且P、F1、F2三点构成一直角三角形，则点P的纵坐标为______．答案：由题意，P是第一象限内该椭圆上的一点，且P、F1、F2三点构成一直角三角形，故可分为两类：①当∠P为直角时，设P的纵坐标为y，则F1，F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点∴|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=23∵∠P为直角，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，∵|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=23∴|PF1||PF2|=2∴S△PF1F2=12|PF1||PF2|=1∵S△PF1F2=12|F1F2|×y=3y∴3y=1∴y=33②当∠PF2F1为直角时，P的横坐标为3设P的纵坐标为y（y＞0），则(3)24+y2=1，∴y=12故为：33

或126.（难线性运算、坐标运算）已知0＜x＜1，0＜y＜1，求M=x2+y2+x2+(1-y)2+(1-x)2+y2+(1-x)2+(1-y)2的最小值．答案：设A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），P（x，y），则M=|PA|+|PD|+|PB|+|PC|=(|PA|+|PC|)+(|PB|+|PD|)=(|AP|+|PC|)+(|BP|+|PD|)≥|AP+PC|+|BP+PD|=|AC|+|BD|．而AC=(1，1)，BD=(-1，1)，得|AC|+|BD|=2+2=22．∴M≥22，当AP与PC同向，BP与PD同向时取等号，设PC=λAP，PD=μBP，则1-x=λx，1-y=λy，-x=μx-μ，1-y=μy，解得λ=μ=1，x=y=12．所以，当x=y=12时，M的最小值为22．7.与直线2x+y+1=0的距离为的直线的方程是（）

A．2x+y=0

B．2x+y-2=0

C．2x+y=0或2x+y-2=0

D．2x+y=0或2x+y+2=0答案：D8.如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2，若△AEF的面积为6，则△ABC的面积为（）A．18B．54C．64D．72答案：∵ABCD为平行四边形∴AB平行于CD∴△AEF∽△CDF∵AE：EB=1：2∴AE：CD=AE：AB=1：3∴S△CDF=32×S△AEF=9×6=54∵AF：CF=AE：CD=1：3∴S△ADF=S△CDF÷3=54÷3=18∴S△ABC=S△ACD=S△CDF+S△ADF=54+18=72故选D9.如图，已知OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是线段OA上一点，直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交直线OA于点E，求证：∠OBP+∠AQE=45°．答案：证明：连接AB，则∠AQE=∠ABP，而OA=OB，所以∠ABO=45°所以∠OBP+∠AQE=∠OBP+∠ABP=∠ABO=45°10.若随机变量ξ～N（2，9），则随机变量ξ的数学期望c=（）

A．4

B．3

C．2

D．1答案：C11.以下四组向量中，互相平行的是．（）

（1）=(1，2，1)，=(1，-2，3)；

（2）=(8，4，-6)，=(4，2，-3)；

（3）=(0，1，-1)，=(0，-3，3)；

（4）=(-3，2，0)，=(4，-3，3)．

A．（1）（2）

B．（2）（3）

C．（2）（4）

D．（1）（3）答案：B12.若正四面体ABCD的棱长为1，M是AB的中点，则MC

•MD

=______．答案：在正四面体中，因为M是AB的中点，所以CM=12(CA+CB)，DM=12(DA+DB)，所以CM⋅DM=12(CA+CB)⋅12(DA+DB)=14(CA⋅DA+CB⋅DA+CA⋅DB+CB⋅DB)=14(1×1×cos60∘+0+0+1×1×cos60∘)=14×1=14．所以MC

•MD

=CM⋅DM=14．故为：

1

4

．13.已知直线l的斜率为k=-1，经过点M0（2，-1），点M在直线上，以M0M的数量t为参数，则直线l的参数方程为______．答案：∵直线l经过点M0（2，-1），斜率为k=-1，倾斜角为3π4，∴直线l的参数方程为x=2+tcos3π4y=-1+tsin3π4

（t为参数）；即为x=2-22ty=-1+22t(t为参数)．故为：x=2-22ty=-1+22t(t为参数)．14.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得Χ2≈3.918，经查对临界值表知P（Χ2≥3.841）≈0.05．则下列结论中，正确结论的序号是______

（1）有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”

（2）若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒

（3）这种血清预防感冒的有效率为95%

（4）这种血清预防感冒的有效率为5%答案：查对临界值表知P（Χ2≥3.841）≈0.05，故有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”950/0仅是指“血清与预防感冒”可信程度，但也有“在100个使用血清的人中一个患感冒的人也没有”的可能．故为：（1）．15.已知x与y之间的一组数据：

x

0

1

2

3

y

2

4

6

8

则y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点（）

A．（1.5，4）

B．（1.5，5）

C．（1，5）

D．（2，5）答案：B16.一个口袋内有5个白球和3个黑球，任意取出一个，如果是黑球，则这个黑球不放回且另外放入一个白球，这样继续下去，直到取出的球是白球为止．求取到白球所需的次数ξ的概率分布列及期望．答案：由题意知变量的可能取值是1，2，3，4P（ξ=1）=58，P（ξ=2）=932，P（ξ=3）=21256

P（ξ=1）=3256

∴ξ的分布列是ξ1234P58932212563256∴Eξ=1×58+2×923+3×21256+4×3256=37925617.设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=14，则x+y+z=______．答案：根据柯西不等式，得（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14（x2+y2+z2）当且仅当x1=y2=z3时，上式的等号成立∵x2+y2+z2=1，∴（x+2y+3z）2≤14，结合x+2y+3z=14，可得x+2y+3z恰好取到最大值14∴x1=y2=z3=1414，可得x=1414，y=147，z=31414因此，x+y+z=1414+147+31414=3147故为：314718.已知双曲线x2-y23=1，过P（2，1）点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为______．答案：设A（x1，y1）、B（x2，y2），代入双曲线方程x2-y23=1相减得直线AB的斜率kAB=y1-y2x1-x2=3(x1+x2)y1+y2=3×x1+x22y1+y22=3×21=6．故为：619.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA1，DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（）

A．

B．1

C．1+

D．答案：D20.集合{0，1}的子集有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个答案：根据题意，集合{0，1}的子集有{0}、{1}、{0，1}、?，共4个，故选D．21.将4封不同的信随机地投入到3个信箱里，记有信的信箱个数为ξ，试求ξ的分布列．答案：由题意知变量ξ的可能取值是1，2，3，P（ξ=1）=C1334=127，P（ξ=2）=C23(2C14+C24)34=1427，P（ξ=3）=C24A3334=1227，∴ξ的分布列是22.已知△ABC的顶点坐标分别为A（2，3），B（-1，0），C（2，0），则△ABC的周长是（）

A．2

B．6+

C．3+2

D．6+3答案：D23.在极坐标中，由三条曲线θ=0，θ=，ρcosθ+ρsinθ=1围成的图形的面积是（）

A．

B．

C．

D．答案：A24.如图所示，判断正整数x是奇数还是偶数，（1）处应填______．答案：根据程序的功能是判断正整数x是奇数还是偶数，结合数的奇偶性的定义，我们可得当满足条件是x是奇数，不满足条件时x为偶数故（1）中应填写r=1故为：r=125.若P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B的关系是（）

A．互斥事件

B．对立事件

C．不是互斥事件

D．前者都不对答案：D26.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在圆x2+y2=16内的概率是______．答案：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，共有6×6=36种结果，而满足条件的事件是点P落在圆x2+y2=16内，列举出落在圆内的情况：（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2），共有8种结果，根据古典概型概率公式得到P=836=29，故为：2927.某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：

声乐社排球社武术社高一4530a高二151020学校要对这三个社团的活动效果里等抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果声乐社被抽出12人，则a=______．答案：根据分层抽样的定义和方法可得，1245+15=30120+a，解得a=30，故为3028.已知曲线x2a+y2b=1和直线ax+by+1=0（a，b为非零实数），在同一坐标系中，它们的图形可能是（）A．

B．

C．

D．

答案：A选项中，直线的斜率大于0，故系数a，b的符号相反，此时曲线应是双曲线，故不对；B选项中直线的斜率小于0，故系数a，b的符号相同且都为负，此时曲线不存在，故不对；C选项中，直线斜率为正，故系数a，b的符号相反，且a正，b负，此时曲线应是焦点在x轴上的双曲线，图形符合结论，可选；D选项中不正确，由C选项的判断可知D不正确．故选D29.双曲线的渐进线方程是3x±4y=0，则双曲线的离心率等于______．答案：由题意可得，当焦点在x轴上时，ba=34，∴ca=a2+b2a=a2+(3a4)2a=54．当焦点在y轴上时，ab=34，∴ca=a2+b2a=a2+(4a3)2a=53，故为：53

或54．30.把平面上一切单位向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点所构成的图形是

______．答案：把平面上一切单位向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点到起点的距离都等于1，所以，由圆的定义得，这些向量的终点所构成的图形是半径为1的圆．31.若一元二次方程kx2-4x-5=0

有两个不相等实数根，则k

的取值范围是______．答案：∵kx2-4x-5=0有两个不相等的实数根，∴△=16+20k＞0，且k≠0，解得，k＞-45且k≠0；故是：k＞-45且k≠0．32.若一点P的极坐标是（r，θ），则它的直角坐标如何？答案：由题意可知x=rcosθ，y=rsinθ．所以点P的极坐标是（r，θ）的直角坐标为：（rcosθ，rsinθ）．33.点P（4，-2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是______．答案：设圆上任意一点为A（x1，y1），AP中点为（x，y），则x=x1+42y=y1-22，∴x1=2x-4y1=2y+2代入x2+y2=4得（2x-4）2+（2y+2）2=4，化简得（x-2）2+（y+1）2=1．故为：（x-2）2+（y+1）2=134.以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程是（）

A．

B．

C．

D．答案：C35.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB+AD=λAO，则λ=______．答案：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴AB+AD=AC，又O为AC的中点，∴AC=2AO，∴AB+AD=2AO，∵AB+AD=λAO，∴λ=2．故为：2．36.如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）A．AB．BC．CD．D答案：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，下部相反，对应的点关于x轴对称．所以点A表示复数z的共轭复数的点是B．故选B．37.已知△ABC的顶点坐标为A（3，4），B（-2，-1），C（4，5），D在BC上，且S△ABC=3S△ABD，则AD的长为______．答案：D在BC上，且S△ABC=3S△ABD，∴D点为BC边上的三等分点则D点分线段BC所成的比为12则易求出D点坐标为：x=-2+12×41+12y=-1+12×51+12∴x=0y=1故AD=32故为：3238.若集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，则A∪B=______．答案：因为集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，所以A∪B={x|3≤x＜7}∪{x|2＜x＜10}={x|2＜x＜10}，故为：{x|2＜x＜10}．39.函数f（x）=-2x+1（x∈[-2，2]）的最小、最大值分别为（）A．3，5B．-3，5C．1，5D．5，-3答案：因为f（x）=-2x+1（x∈[-2，2]）是单调递减函数，所以当x=2时，函数的最小值为-3．当x=-2时，函数的最大值为5．故选B．40.①附中高一年级聪明的学生；

②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；

③不小于3的正整数；

④3的近似值；

考察以上能组成一个集合的是______．答案：因为直角坐标系中横、纵坐标相等的点是确定的，所以②能构成集合；不小于3的正整数是确定的，所以③能构成集合；附中高一年级聪明的学生，不是确定的，原因是没法界定什么样的学生为聪明的，所以①不能构成集合；3的近似值没说明精确到哪一位，所以是不确定的，故④不能构成集合．41.实数系的结构图如图所示，其中1、2、3三个方格中的内容分别为（）

A．有理数、零、整数

B．有理数、整数、零

C．零、有理数、整数

D．整数、有理数、零

答案：B42.若随机变量X～B（n，0.6），且E（X）=3，则P（X=1）的值是（）

A．2×0.44

B．2×0.45

C．3×0.44

D．3×0.64答案：C43.如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P．若PB=1，PD=3，则BCAD的值为______．答案：因为A，B，C，D四点共圆，所以∠DAB=∠PCB，∠CDA=∠PBC，因为∠P为公共角，所以△PBC∽△PAD，所以BCAD=PBPD=13．故为：13．44.一个箱中原来装有大小相同的

5

个球，其中

3

个红球，2

个白球．规定：进行一次操

作是指“从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白

球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中．”

（1）求进行第二次操作后，箱中红球个数为

4

的概率；

（2）求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望．答案：（1）设A1表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球”，B1表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球”，A2表示事件“第二次操作从箱中取出的是红球”，B2表示事件“第二次操作从箱中取出的是白球”．则A1B2表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球，第二次操作从箱中取出的是白球”．由条件概率计算公式得P（A1B2）=P（A1）P（B2|A1）=35×25=625．B1A2表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球，第二次操作从箱中取出的是红球”．由条件概率计算公式得P（B1A2）=P（B1）P（A2|B1）=25×45=825．A1B2+B1A2表示“进行第二次操作后，箱中红球个数为

4”，又A1B2与B1A2是互斥事件．∴P（A1B2+B1A2）=P（A1B2）+P（B1A2）=625+825=1425．（2）设进行第二次操作后，箱中红球个数为X，则X=3，4，5．P（X=3）35×35=925，P（X=4）=1425，P（X=5）=25×15=225．进行第二次操作后，箱中红球个数X的分布列为：进行第二次操作后，箱中红球个数X的数学期望EX=3×925+4×1425+5×225=9325．45.函数y=（43）x，x∈N+是（）A．增函数B．减函数C．奇函数D．偶函数答案：由正整数指数函数不具有奇偶性，可排除C、D；因为函数y=（43）x，x∈N+的底数43大于1，所以此函数是增函数．故选A．46.1

甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为

（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；

（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.答案：见解析解析：解：（1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件①②③47.点P（x0，y0）在圆x2+y2=r2内，则直线x0x+y0y=r2和已知圆的公共点的个数为（

）

A．0

B．1

C．2

D．不能确定答案：A48.已知点P在曲线C1：x216-y29=1上，点Q在曲线C2：（x-5）2+y2=1上，点R在曲线C3：（x+5）2+y2=1上，则|PQ|-|PR|的最大值是（）A．6B．8C．10D．12答案：由双曲线的知识可知：C1x216-y29=1的两个焦点分别是F1（-5，0）与F2（5，0），且|PF1|+|PF2|=8而这两点正好是两圆（x+5）2+y2=1和（x-5）2+y2=1的圆心，两圆（x+5）2+y2=4和（x-5）2+y2=1的半径分别是r1=1，r2=1，∴|PQ|max=|PF1|+1，|PR|min=|PF2|-1，∴|PQ|-|PR|的最大值为：（|PF1|+1）-（|PF2|-1）=|PF1|+|PF2|+2=8+2=10，故选C49.某种灯泡的耐用时间超过1000小时的概率为0.2，有3个相互独立的灯泡在使用1000小时以后，最多只有1个损坏的概率是（）

A．0.008

B．0.488

C．0.096

D．0.104答案：D50.在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）

A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2

B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2

C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1

D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1答案：B第2卷一.综合题(共50题)1.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，ai∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010B．01100C．10111D．00011答案：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D选项正确；故选C．2.与双曲线x2-y24=1有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线的标准方程为______．答案：设双曲线方程为x2-y24=λ∵过点（2，2），∴λ=3∴所求双曲线方程为x23-y212=1故为x23-y212=13.已知一直线的斜率为3，则这条直线的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°答案：设直线的倾斜角为α，由直线的斜率为3，得到：tanα=3，又α∈（0，180°），所以α=60°．故选C4.已知ABCD是平行四边形，P点是ABCD所在平面外的一点，连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心.

（1）试用向量方法证明E、F、G、H四点共面；

（2）试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断.答案：(1)证明略(2)平面EFGH∥平面ABCD解析：（1）

分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R点，因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心，所以M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连接M、N、Q、R得到的四边形为平行四边形，且有=，=，=，

=∴=+=（-）+（-）=（-）+（-）=（+）又∵=-=-=∴=（+）,∴=+由共面向量定理知：E、F、G、H四点共面.(2)

由（1）得=,故∥.又∵平面ABC，EG平面ABC.∴EG∥平面ABC.又∵=-=-=∴MN∥EF，又∵MN平面ABC，EF平面ABC，EF∥平面ABC.∵EG与EF交于E点，∴平面EFGH∥平面ABCD.5.|a|=4，a与b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为______．答案：a在b方向上的投影为|a|cos30°=4×32=23故为：236.若抛物线y2=4x上一点P到其焦点的距离为3，则点P的横坐标等于______．答案：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|MF|=3=x+p2=3，∴x=2，故为：2．7.函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（）A．

B．

C．

D．

答案：根据选项可知a≤0a变动时，函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，∴2|b|=16，b=4故选B．8.选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵M=0110，N=0-110．在平面直角坐标系中，设直线2x-y+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程．答案：由题设得MN=01100-111=100-1．…（3分）设（x，y）是直线2x-y+1=0上任意一点，点（x，y）在矩阵MN对应的变换作用下变为（x′，y′），则有1001xy=x′y′，即x-y=x′y′，所以x=x′y=-y′…（7分）因为点（x，y）在直线2x-y+1=0上，从而2x′-（-y′）+1=0，即2x′+y′+1=0．所以曲线F的方程为2x+y+1=0．

…（10分）9.设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则用“＞”表示a，b，c的大小关系式是______．答案：∵0＜0.32＜1，log20.3＜0，20.3＞1∴0.32＜20.3＜log20.3故为：a＞b＞c10.数据：1，1，3，3的众数和中位数分别是（）

A．1或3，2

B．3，2

C．1或3，1或3

D．3，3答案：A11.用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2•…•（2n-1）”（n∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是______．答案：当n=k时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），当n=k+1时，左边等于（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是(2k+1)(2k+2)(k+1)=2（2k+1），故为：2（2k+1）．12.化简5（2a-2b）+4（2b-2a）=______．答案：5（2a-2b）+4（2b-2a）=10a-10b+8b-8a=2a-2b故为：2a-2b13.直线y=3的一个单位法向量是______．答案：直线y=3的方向向量是（a，0）（a≠0），不妨取（1，0）设直线y=3的法向量为n=(x，y)∴（x，y）?（1，0）=0∴x=0∴直线y=3的一个单位法向量是（0，1）故为：（0，1）14.ab＞0，则①|a+b|＞|a|②|a+b|＜|b|③|a+b|＜|a-b|④|a+b|＞|a-b|四个式中正确的是（）

A．①②

B．②③

C．①④

D．②④答案：C15.用秦九韶算法求多项式f（x）=8x7+5x6+3x4+2x+1，当x=2时的值．答案：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式f（x）=8x7+5x6+0?x5+3?x4+0?x3+0?x2+2x+1=（（（（（（8x+5）x+0）x+3）x+0）x+0）x+2）x+1v0=8，v1=8×2+5=21v2=21×2+0=42，v3=42×2+3=87v4=87×2+0=174，v5=174×2+0=348v6=348×2+2=698，v7=698×2+1=1397．∴当x=2时，多项式的值为1397．16.已知向量a=（0，-1，1），b=（4，1，0），|λa+b|=57且λ＞0，则λ=______．答案：∵λa+b=λ（0，-1，1）+（4，1，0）=（4，1-λ，λ），|λa+b|=57，∴42+(1-λ)2+λ2=57，化为λ2-λ-20=0，又λ＞0，解得λ=5．故为5．17.若不等式（﹣1）na＜2+对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是

[

]A．[﹣2，）

B．（﹣2，）

C．[﹣3，）

D．（﹣3，）答案：A18.若F1、F2是椭圆x24+y2=1的左、右两个焦点，M是椭圆上的动点，则1|MF1|+1|MF2|的最小值为______．答案：∵F1、F2是椭圆x24+y2=1的左、右两个焦点，M是椭圆上的动点，∴1|MF1|+1|MF2|=|MF1|+|MF2||MF1|?|MF2|=4|MF1|?|MF2|，∵|MF1|?|MF2|的最大值为a2=4，∴1|MF1|+1|MF2|的最小值=44=1．故为：1．19.过点P（3，0）作一直线，它夹在两条直线l1：2x-y-3=0，l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，该直线的方程是（）

A．4x-y-6=0

B．3x+2y-7=0

C．5x-y-15=0

D．5x+y-15=0答案：C20.“所有9的倍数（M）都是3的倍数（P），某奇数（S）是9的倍数（M），故此奇数（S）是3的倍数（P）”，上述推理是（）

A．小前提错

B．结论错

C．正确的

D．大前提错答案：C21.已知三角形ABC的顶点坐标为A（0，3）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点。

（1）求AB边所在的直线方程。

（2）求中线AM的长。

（3）求点C关于直线AB对称点的坐标。答案：解：（1）由两点式得AB边所在的直线方程为：=即2x-y＋3=0（2）由中点坐标公式得M（1，1）∴|AM|==（3）设C点关于直线AB的对称点为C′（x′，y′）则CC′⊥AB且线段CC′的中点在直线AB上。即解之得x′=

y′=C′点坐标为（，）22.有一个容量为80的样本，数据的最大值是140，最小值是51，组距为10，则可以分为（

）

A．10组

B．9组

C．8组

D．7组答案：B23.已知命题p、q，若命题“p∨q”与命题“￢p”都是真命题，则（）A．命题q一定是真命题B．命题q不一定是真命题C．命题p不一定是假命题D．命题p与命题q的真值相等答案：∵命题“￢p”与命题“p∨q”都是真命题，∴命题p为假命题，q为真命题．故选A．24.若a>0，b>0，则不等式－b＜aA．＜x＜0或0＜x＜

答案：D解析：试题分析：25.抛物线y=4x2的焦点坐标是______．答案：由题意可知x2=14y∴p=18∴焦点坐标为(0，116)故为(0，116)26.若命题“p∧q”为假，且“￢p”为假，则（）A．p或q为假B．q假C．q真D．不能判断q的真假答案：因为“?p”为假，所以p为真；又因为“p∧q”为假，所以q为假．对于A，p或q为真，对于C，D，显然错，故选B．27.给出下列四个命题：

①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②在平行四边形ABCD中，一定有；

③若则

④若则

其中正确的命题个数是（）

A．1

B．2

C．3

D．4答案：C28.函数f(x)=2|log2x|的图象大致是（）

A．

B．

C．

D．

答案：C29.集合A={1，2}的子集有几个（）A．2B．4C．3D．1答案：集合A={1，2}的子集有：?，{2}，{1}，{2，1}共4个．故选B．30.有3名同学要争夺2个比赛项目的冠军，冠军获得者共有______种可能．答案：第一个项目的冠军有3种情况，第二个项目的冠军也有3种情况，根据分步计数原理，冠军获得者共有3×3=9种可能，故为9．31.下面是一个算法的伪代码．如果输出的y的值是10，则输入的x的值是______．答案：由题意的程序，若x≤5，y=10x，否则y=2.5x+5，由于输出的y的值是10，当x≤5时，y=10x=10，得x=1；当x＞5时，y=2.5x+5=10，得x=2，不合，舍去．则输入的x的值是1．故为：1．32.

若平面向量，，两两所成的角相等，||=||=1，||=3，则|++|=（）

A．2

B．4

C．2或5

D．4或5答案：C33.若A=1324，B=-123-3，则3A-B=______．答案：∵A=1324，B=-123-3，则3A-B=31324--123-3=39612--123-3=47315．故为：47315．34.隋机变量X～B（6，），则P（X=3）=（）

A．

B．

C．

D.答案：C35.不等式ax2+bx+2＞0的解集是(-，)，则a+b的值是（）

A．10

B．-10

C．14

D．-14答案：D36.已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f：M→N．若点A（1，f（1））、B（2，f（2））、C（3,f（3）），△ABC的外接圆圆心为D，且

则满足条件的函数f（x）有（）

A．6个

B．10个

C．12个

D．16个答案：C37.给定两个长度为1且互相垂直的平面向量OA和OB，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动．若OC=2xOA+yOB，其中x，y∈R，则x+y的最大值是______．答案：由题意|OC|=1，即4x2+y2=1，令x=12cosθ，y=sinθ则x+y=12cosθ+sinθ=(12)2+1sin（θ+φ）≤52故x+y的最大值是52故为：5238.如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD=______cm．答案：∵易知AB=32+42=5，又由切割线定理得BC2=BD?AB，∴42=BD?5∴BD=165．故为：16539.已知A（-4，6，-1），B（4，3，2），则下列各向量中是平面AOB（O是坐标原点）的一个法向量的是（）A．（0，1，6）B．（-1，2，-1）C．（-15，4，36）D．（15，4，-36）答案：设平面AOB（O是坐标原点）的一个法向量是u=（x，y，z）则u•OA=0u•OB=0，即-4x+6y-z=04x+3y+2z=0，令x=-1，解得x=-1y=2z=-1，故u=（-1，2，-1），故选B．40.试求288和123的最大公约数是

答案：3解析：，，，.∴和的最大公约数41.（几何证明选讲）如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB=5，BC=3，CD=6，则线段AC的长为______．答案：∵过点C的切线交AB的延长线于点D，∴DC是圆的切线，DBA是圆的割线，根据切割线定理得到DC2=DB?DA，∵AB=5，CD=6，∴36=DB（DB+5）∴DB=4，由题意知∠D=∠D，∠BCD=∠A∴△DBC∽△DCA，∴DCDA=BCCA∴AC=3×96=4.5，故为：4.542.两不重合直线l1和l2的方向向量分别为答案：∵直线l1和l2的方向向量分别为43.设a、b∈R+且a+b=3，求证1+a+1+b≤10．答案：证明：证法一：（综合法）∵(1+a+1+b)2=2+a+b+2(1+a)?(1+b)≤5+(1+a+1+b)=10∴1+a+1+b≤10证法二：（分析法）∵a、b∈R+且a+b=3，∴欲证1+a+1+b≤10只需证(1+a+1+b)2≤10即证2+a+b+2(1+a)?(1+b)≤10即证2(1+a)?(1+b)≤5只需证4（1+a）?（1+b）≤25只需证4（1+a）?（1+b）≤25即证4（1+a+b+ab）≤25只需证4ab≤9即证ab≤94∵ab≤(a+b2)2=(32)2=94成立∴1+a+1+b≤10成立44.已知在△ABC中，A(2，-5，3)，AB=(4，1，2)，BC=(3，-2，5)，则C点坐标为

______．答案：设C（x，y，z），则：

AC=AB+BC即：（x-2，y+5，z-3）=（4，1，2）+（3，-2，5）=（7，-1，7）所以得：x-2=7y+5=-1z-3=7，即x=9y=-6z=10故为：（9，-6，10）45.选修4-5；不等式选讲．

当n＞2时，求证：logn（n-1）logn（n+1）＜1．答案：∵n＞2，∴log(n-1)n＞0，log(n+1)n＞0，且log(n-1)n≠log(n+1)n，∴log(n-1)n×log(n+1)n＜(log(n-1)n+log(n+1)n2)2=(log(n2-1)n2)2＜(logn2n2)2=(22)2=1，∴当n＞2时，logn（n-1）logn（n+1）＜1．46.（《几何证明选讲》选做题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O分别切AC、BC于M、N，圆心O在AB上，⊙O的半径为4，OA=5，则OB的长为______．答案：连接OM，ON，则∵⊙O分别切AC、BC于M、N∴OM⊥AC，ON⊥BC∵∠C=90°，∴OMCN为正方形∵⊙O的半径为4，OA=5∴AM=3∴CA=7∵ON∥AC∴ONAC=OBBA∴47=OBOB+5∴OB=203故为：20347.“a＞1”是“1a＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：由1a＜1得：当a＞0时，有1＜a，即a＞1；当a＜0时，不等式恒成立．所以1a＜1?a＞1或a＜0从而a＞1是1a＜1的充分不必要条件．故应选：A48.已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形（）

A．是锐角三角形

B．是直角三角形

C．是钝角三角形

D．不存在答案：B49.已知、分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量，且=-3+6，=-6+4，=--6，则一定共线的三点是（）

A．A，B，C

B．A，B，D

C．A，C，D

D．B，C，D答案：C50.如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）A．AB．BC．CD．D答案：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，下部相反，对应的点关于x轴对称．所以点A表示复数z的共轭复数的点是B．故选B．第3卷一.综合题(共50题)1.若a>0，b>0，则不等式－b＜aA．＜x＜0或0＜x＜

答案：D解析：试题分析：2.用综合法或分析法证明：

（1）如果a＞0，b＞0，则lga+b2≥lga+lgb2（2）求证6+7＞22+5．答案：证明：（1）∵a＞0，b＞0，a+b2≥ab，∴lga+b2≥lgab=lga+lgb2，即lga+b2≥lga+lgb2；（2）要证6+7＞22+5，只需证明(6+7)

2＞(8+5)2，即证明242＞

240，也就是证明42＞40，上式显然成立，故原结论成立．3.已知正方形ABCD的边长为a，则|AC+AD|等于______．答案：∵正方形ABCD的边长为a，∴AC=2a，AC与AD的夹角为45°|AC+AD|2=|AC

|2+2AC?AD+|AD|2=2a2+2×2a×a×22+a2=5a2∴|AC+AD|=5a故为：5a4.已知圆的极坐标方程为：ρ2-42ρcos(θ-π4)+6=0．

（1）将极坐标方程化为普通方程；

（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．答案：（1）ρ2-42ρcos(θ-π4)+6=0

即

ρ2-42（22ρcosθ+22ρsinθ

），即x2+y2-4x-4y+6=0．（2）圆的参数方程为x=

2

+2cosαy=

2

+2sinα，∴x+y=4+2（sinα+cosα）=4+2sin（α+π4）．由于-1≤sin（α+π4）≤1，∴2≤x+y≤6，故x+y的最大值为6，最小值等于2．5.与原数据单位不一样的是（）

A．众数

B．平均数

C．标准差

D．方差答案：D6.叙述并证明勾股定理．答案：证明：如图左边的正方形是由1个边长为a的正方形和1个边长为b的正方形以及4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形拼成的．右边的正方形是由1个边长为c的正方形和4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形拼成的．因为这两个正方形的面积相等（边长都是a+b），所以可以列出等式a2+b2+4×12ab=c2+4×12ab，化简得a2+b2=c2．下面是一个错误证法：勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理证明：作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b＞a），斜边长为c．再做一个边长为c的正方形．把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上．过点Q作QP∥BC，交AC于点P．过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N．∵∠BCA=90°，QP∥BC，∴∠MPC=90°，∵BM⊥PQ，∴∠BMP=90°，∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90°．∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90°，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c，∴Rt△BMQ≌Rt△BCA．同理可证Rt△QNF≌Rt△AEF．即a2+b2=c27.从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，这个两位数大于40的概率（）A．15B．25C．35D．45答案：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，共有A52=20种结果，满足条件的事件可以列举出有，41，41，43，45，54，53，52，51共有8个，根据古典概型概率公式得到P=820=25，故选B．8.已知a，b

，c满足a+2c=b，且a⊥c，|a|=1，|c|=2，则|b|=______．答案：根据题意，a⊥c?a?c=0，则|b|2=（a+2c）2=a2+4c2=17，则|b|=17；故为17．9.已知镭经过100年，质量便比原来减少4.24%，设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y，则y=f（x）的函数解析式为（x≥0）（）A．0.0424x100B．0.9576x100C．0.0424100xD．0.9576100x答案：由题意可得，对于函数，当x=100时，y=95.76%=0.9576，结合选项检验选项A：x=100，y=0.0424，故排除A选项B：x=100，y=0.9576，故B正确故选：B解析：已知镭经过100年，质量便比原来减少4.24%，设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y，则y=f（x）的函数解析式为（x≥0）（）A．0.0424x100B．0.9576x100C．0.0424100x10.下列命题中为真命题的是（

）

A．平行直线的倾斜角相等

B．平行直线的斜率相等

C．互相垂直的两直线的倾斜角互补

D．互相垂直的两直线的斜率互为相反数答案：A11.设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）

A．

B．

C．

D．答案：C12.（理）在直角坐标系中，圆C的参数方程是x=2cosθy=2+2sinθ（θ为参数），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的圆心极坐标为______．答案：∵直角坐标系中，圆C的参数方程是x=2cosθy=2+2sinθ（θ为参数），∴x2+（y-2）2=4，∵以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，∴圆心坐标（0，2），r=2∵0=pcosθ，∴θ=π2，又p=r=2，∴圆C的圆心极坐标为（2，π2），故为：（2，π2）．13.下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：

甲批次：0.598

0.625

0.628

0.595

0.639

乙批次：0.618

0.613

0.592

0.622

0.620

我们将比值为0.618的矩形称为“完美矩形”，0.618为标准值，根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，正确结论是（）

A．甲批次的总体平均数与标准值更接近

B．乙批次的总体平均数与标准值更接近

C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同

D．以上选项均不对答案：A14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点E，F分别是上底面A1C1和侧面CD1的中心，求下列各式中的x，y的值：

（1）AC1=x(AB+BC+CC1)，则x=______；

（2）AE=AA1+xAB+yAD，则x=______，y=______；

（3）AF=AD+xAB+yAA1，则x=______，y=______．答案：（1）根据向量加法的首尾相连法则，x=1；（2）由向量加法的三角形法则得，AE=AA1+A1E，由四边形法则和向量相等得，A1E=12（A1B1+A1D1）=12（AB+AD）；∴AE=AA1+12AB+12AD，∴x=y=12；（3）由向量加法的三角形法则得，AF=AD+DF，由四边形法则和向量相等得，DF=12（DC+DD1）=12（AB+AA1）；∴AF=AD+12AB+12AA1，∴x=y=12．15.①点P在△ABC所在的平面内，且②点P为△ABC内的一点，且使得取得最小值；③点P是△ABC所在平面内一点，且，上述三个点P中，是△ABC的重心的有（）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个答案：D16.如图，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°．

（Ⅰ）求DP与CC′所成角的大小；

（Ⅱ）求DP与平面AA′D′D所成角的大小．答案：方法一：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz．则DA=(1，0，0)，CC′=(0，0，1)．连接BD，B'D'．在平面BB'D'D中，延长DP交B'D'于H．设DH=(m，m，1)(m＞0)，由已知＜DH，DA＞=60°，由DA•DH=|DA||DH|cos＜DA，DH＞可得2m=2m2+1．解得m=22，所以DH=(22，22，1)．（4分）（Ⅰ）因为cos＜DH，CC′＞=22×0+22×0+1×11×2=22，所以＜DH，CC′＞=45°．即DP与CC'所成的角为45°．（8分）（Ⅱ）平面AA'D'D的一个法向量是DC=(0，1，0)．因为cos＜DH，DC＞=22×0+22×1+1×01×2=12，所以＜DH，DC＞=60°．可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°．（12分）方法二：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz．则DA=(1，0，0)，CC′=(0，0，1)，BD′=(-1，-1，1)．设P（x，y，z）则BP=λBD′，∴（x-1，y-1，z）=（-λ，-λ，λ）∴x=1-λy=1-λz=λ，则DP=(1-λ，1-λ，λ)，由已知，＜DP，DA＞=60°，∴λ2-4λ+2=0，解得λ=2-2，∴DP=(2-1，2-1，2-2)（4分）（Ⅰ）因为cos＜DP，CC′＞=2-22(2-1)=22，所以＜DP，CC′＞=45°．即DP与CC'所成的角为45°．（8分）（Ⅱ）平面AA'D'D的一个法向量是DC=(0，1，0)．因为cos＜DP，DC＞=2-12(2-1)=12，所以＜DP，DC＞=60°．可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°．（12分）17.如图中的阴影部分用集合表示为______．答案：由已知中阴影部分所表示的集合元素满足是A的元素且C的元素，或是B的元素”，故阴影部分所表示的集合是（A∪C）∩（CUB）故为：B∪（A∩C）18.将5位志愿者分成4组，其中一组为2人，其余各组各1人，到4个路口协助交警执勤，则不同的分配方案有______种（用数字作答）．答案：由题意，先分组，再到4个路口协助交警执勤，则不同的分配方案有C25A44=240种故为：240．19.以过椭圆+=1(a＞b＞0)的右焦点的弦为直径的圆与直线l：x=的位置关系是（）

A．相交

B．相切

C．相离

D．不能确定答案：C20.在调试某设备的线路设计中，要选一个电阻，调试者手中只有阻值分别为0.7KΩ，1.1KΩ，1.9KΩ，2.0KΩ，3.5KΩ，4.5KΩ，5.5KΩ七种阻值不等的定值电阻，他用分数法进行优法进行优选试验时，依次将电阻值从小到大安排序号，则第1个试点的电阻的阻值是（

）.答案：3.5kΩ21.已知a=3i+2j-k，b=i-j+2k，则5a与3b的数量积等于______．答案：a=3i+2j-k=（3，2，-1），5a=（15，10，-5）b=i-j+2k=（1，-1，2），3b=（3，-3，6）5a•3b=15×3+10×（-3）+（-5）×6=-15故为：-1522.△OAB中，OA=a，OB=b，OP=p，若p=t(a|a|+b|b|)，t∈R，则点P一定在（）A．∠AOB平分线所在直线上B．线段AB中垂线上C．AB边所在直线上D．AB边的中线上答案：∵△OAB中，OA=a，OB=b，OP=p，p=t(a|a|+b|b|)，t∈R，∵a|a|

和b|b|

是△OAB中边OA、OB上的单位向量，∴（a|a|+b|b|

）在∠AOB平分线线上，∴t（a|a|+b|b|

）在∠AOB平分线线上，∴则点P一定在∠AOB平分线线上，故选A．23.用演绎法证明y=x2是增函数时的大前提是______．答案：∵证明y=x2是增函数时，依据的原理就是增函数的定义，∴用演绎法证明y=x2是增函数时的大前提是：增函数的定义故填增函数的定义24.设矩阵M=.32-121232.的逆矩阵是M-1=.abcd.，则a+c的值为______．答案：由题意，矩阵M的行列式为.32-121232.=32×32+12×12=1∴矩阵M=.32-121232.的逆矩阵是M-1=.3212-1232.∴a+c=3-12故为3-1225.已知AB和CD是曲线（t为参数）的两条相交于点P（2，2）的弦，若AB⊥CD，且|PA|·|PB|=|PC|·

|PD|，

（Ⅰ）将曲线（t为参数）化为普通方程，并说明它表示什么曲线；

（Ⅱ）试求直线AB的方程。答案：解：（Ⅰ）由y=4t得y2=16t2，而x=4t2，∴y2=4x，它表示抛物线；（Ⅱ）设直线AB和CD的倾斜角分别为α，β，则直线AB和CD的参数方程分别为，把①代入y2=4x中，得t2sin2α+（4sinα-4cosα）t-4=0，③依题意知sinα≠0且方程③的判别式Δ=16（sinα-cosα）2+16sin2α＞0，∴方程③有两个不相等的实数解t1，t2，则由t的几何意义知|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，∴|PA|·|PB|=|t1t2|=，同理|PC|·|PD|=，由|PA|·|PB|=|PC|·|PD|知，即sin2α=sin2β，∵0≤α，β＜π，∴α=π-β，∵AB⊥CD，∴β=α+90°或α=β+90°，∴直线AB的倾斜角∴kAB=1或kAB=-1，故直线AB的方程为y=x或x+y-4=0。26.已知两条直线y=ax-2和y=（a+2）x+1互相垂直，则a等于（

）

A．2

B．1

C．0

D．-1答案：D27.下列各组集合，表示相等集合的是（）

①M={（3，2）}，N={（2，3）}；

②M={3，2}，N={2，3}；

③M={（1，2）}，N={1，2}．A．①B．②C．③D．以上都不对答案：①中M中表示点（3，2），N中表示点（2，3）；②中由元素的无序性知是相等集合；③中M表示一个元素，即点（1，2），N中表示两个元素分别为1，2．所以表示相等的集合是②．故选B．28.给出下列四个命题，其中正确的一个是（）

A．在线性回归模型中，相关指数R2=0.80，说明预报变量对解释变量的贡献率是80%

B．在独立性检验时，两个变量的2×2列联表中对角线上数据的乘积相差越大，说明这两个变量没有关系成立的可能性就越大

C．相关指数R2用来刻画回归效果，R2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好

D．线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强答案：D29.数据a1，a2，a3，…，an的方差为σ2，则数据2a1+3，2a2+3，2a3+3，…，2an+3的方差为______．答案：∵数据a1，a2，a3，…，an的方差为σ2，∴数据2a1+3，2a2+3，2a3+3，…，2an+3的方差是22σ2=4σ2，故为：4σ2．30.（选做题）已知矩阵.122x.的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．答案：矩阵M的特征多项式为.λ-1-2-2λ-x.=（λ-1）（λ-x）-4…（1分）因为λ1=3方程f（λ）=0的一根，所以x=1…（3分）由（λ-1）（λ-1）-4=0得λ2=-1，…（5分）设λ2=-1对应的一个特征向量为α=xy，则-2x-2y=0-2x-2y=0得x=-y…（8分）令x=1则y=-1，所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为α=1-1…（10分）31.（选做题）方程ρ=cosθ与（t为参数）分别表示何种曲线（

）。答案：圆，双曲线32.已知a=5-12，则不等式logax＞loga5的解集是______．答案：∵0＜a＜1，∴f（x）=logax在（0，+∞）上单调递减∵logax＞loga5∴0＜x＜5故为：（0，5）33.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米．当水面升高1米后，水面宽度是______米．答案：由题意，建立如图所示的坐标系，抛物线的开口向下，设抛物线的标准方程为x2=-2py（p＞0）∵顶点距水面2米时，量得水面宽8米∴点（4，-2）在抛物线上，代入方程得，p=4∴x2=-8y当水面升高1米后，y=-1代入方程得：x