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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年武汉海事职业学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.200辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如图所示,则时速不低于60km/h的汽车数量为

______辆.答案:时速不低于60km/h的汽车的频率为(0.028+0.01)×10=0.38∴时速不低于60km/h的汽车数量为200×0.38=76故为:762.在边长为1的正方形ABCD中,若AB=a,BC=b,AC=c.则|a+b+2c|的值是______.答案:由题意可得|a|=|b|=1,|c|=2,a+

b=c,∴|a+b+2c|=|3c|=32,故为32.3.在极坐标系中,直线l经过圆ρ=cosθ的圆心且与直线ρcosθ=3平行,则直线l与极轴的交点的极坐标为______.答案:由ρ=cosθ可知此圆的圆心为(12,0),直线ρcosθ=3是与极轴垂直的直线,所以所求直线的极坐标方程为ρcosθ=12,所以直线l与极轴的交点的极坐标为(12,0).故为:(12,0).4.在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球,钢球恰与棱锥的四个面都接触,过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是()A.

B.

C.

D.

答案:由题意作出图形如图:SO⊥平面ABC,SA与SO的平面与平面SBC垂直,球与平面SBC的切点在SD上,球与侧棱SA没有公共点所以正确的截面图形为B选项故选B.5.已知点A(-3,0),B(3,0),动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2,点C的轨迹与直线

y=x-2交于D、E两点,求线段DE的中点坐标及其弦长DE.答案:∵|CB|-|CA|=2<23=|AB|,∴点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线,2a=2,2c=23,∴a=1,c=3,∴b=2,∴点C的轨迹方程为x2-y22=1.把直线

y=x-2代入x2-y22=1化简可得x2+4x-6=0,△=16-4(-6)=40>0,设D、E两点的坐标分别为(x1,y1

)、(x2,y2),∴x1+x2=-4,x1•x2=-6.∴线段DE的中点坐标为M(-2,4),DE=1+1•|x1-x2|=2•(x1

+x2)2-4x1

•x2

=216-4(-6)=45.6.△ABC所在平面内点O、P,满足OP=OA+λ(AB+12BC),λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定经过△ABC的()A.重心B.垂心C.内心D.外心答案:设BC的中点为D,则∵OP=OA+λ(AB+12BC),∴OP=OA+λAD∴AP=λAD∴AP∥AD∵AD是△ABC的中线∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心故选A.7.已知△ABC,D为AB边上一点,若AD=2DB,CD=13CA+λCB,则λ=

.答案:∵AD=2DB,CD=13CA+λCB,CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(

CB-CA)=13CA+23CB,∴λ=23,故为:23.8.已知直线l的方程为x=2-4

ty=1+3

t,则直线l的斜率为______.答案:直线x=2-4

ty=1+3

t,所以直线的普通方程为:(y-1)=-34(x-2);所以直线的斜率为:-34;故为:-34.9.设两个正态分布N(μ1,σ12)(σ1>0)和N(μ2,σ22)(σ2>0)曲线如图所示,则有()

A.μ1<μ2,σ1>σ2

B.μ1<μ2,σ1<σ2

C.μ1>μ2,σ1>σ2

D.μ1>μ2,σ1<σ2

答案:A10.满足{1,2}∪A={1,2,3}的集合A的个数为______.答案:由{1,2}∪A={1,2,3},所以A={3},或{1,3},或{2,3},或{1,2,3}.所以集合A的个数为4.11.已知OA=a,OB=b,,且|a|=|b|=2,∠AOB=60°,则|a+b|=______;a+b与b的夹角为______.答案:∵|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a?b

由|a|=|b|=2,∠AOB=60°,得:a2=b2=

4,a?b

=2∴|a+b|2=12,∴|a+b|=23令a+b与b的夹角为θ则0≤θ≤π,且cosθ=a?(a+b)|a|?|a+b|=32∴θ=π6故为:23,π612.正方体的内切球和外接球的半径之比为

A.:1

B.:2

C.2:

D.:3答案:D13.曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标方程为______.答案:将原极坐标方程ρ=4sinθ,化为:ρ2=4ρsinθ,化成直角坐标方程为:x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4.故为:x2+(y-2)2=4.14.已知两条直线l1:y=x,l2:ax-y=0,其中a为实数,当这两条直线的夹角在(0,)内变动时,a的取值范围是(

A.(0,1)

B.

C.

D.答案:C15.如图,⊙O中弦AB,CD相交于点P,已知AP=3,BP=2,CP=1,则DP=()

A.3

B.4

C.5

D.6答案:D16.某企业甲、乙、丙三个生产车间的职工人数分别为120人,150人,180人,现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本,样本中甲车间有4人,那么此样本的容量n=______.答案:每个个体被抽到的概率等于

4120=130,∴样本容量n=(120+150+180)×130=15,故为:15.17.小李在一旅游景区附近租下一个小店面卖纪念品和T恤,由于经营条件限制,他最多进50件T恤和30件纪念品,他至少需要T恤和纪念品40件才能维持经营,已知进货价为T恤每件36元,纪念品每件50元,现在他有2400元可进货,假设每件T恤的利润是18元,每件纪念品的利润是20元,问怎样进货才能使他的利润最大,最大利润为多少?答案:设进T恤x件,纪念品y件,可得利润为z元,由题意得x、y满足的约束条件为:

0≤x≤50

0≤y≤30

x+y≥4036x+48y≤2400,且x、y∈N*目标函数z=18x+20y约束条件的可行域如图所示:五边形ABCDE的各个顶点坐标分别为:A(40,0),B(50,0),C(50,252),D(803,30),E(10,30),当直线l:z=18x+20y经过C(50,252)时取最大值,∵x,y必为整数,∴当x=50,y=12时,z取最大值即进50件T恤,12件纪念品时,可获最大利润,最大利润为1140元.18.若一点P的极坐标是(r,θ),则它的直角坐标如何?答案:由题意可知x=rcosθ,y=rsinθ.所以点P的极坐标是(r,θ)的直角坐标为:(rcosθ,rsinθ).19.若函数f(2x+1)=x2-2x,则f(3)=______.答案:解法一:(换元法求解析式)令t=2x+1,则x=t-12则f(t)=(t-12)2-2t-12=14t2-32t+54∴f(x)=14x2-32x+54∴f(3)=-1解法二:(凑配法求解析式)∵f(2x+1)=x2-2x=14(2x+1)2-32(2x+1)+54∴f(x)=14x2-32x+54∴f(3)=-1解法三:(凑配法求解析式)∵f(2x+1)=x2-2x令2x+1=3则x=1此时x2-2x=-1∴f(3)=-1故为:-120.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x的取值范围是______.答案:若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题则它的否命题为真命题即{x|x<2或x>5}且{x|1≤x≤4}是真命题所以的取值范围是[1,2),故为[1,2).21.若a>0,b>0,2a+3b=1,则ab的最大值为______.答案:∵a>0,b>0,2a+3b=1∴2a+3b=1≥26ab∴ab≤124故为12422.某校现有高一学生210人,高二学生270人,高三学生300人,学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查,如果已知从高一学生中抽取的人数为7,那么从高三学生中抽取的人数应为()

A.10

B.9

C.8

D.7答案:A23.从30个足球中抽取10个进行质量检测,说明利用随机数法抽取这个样本的步骤及公平性.答案:第一步:首先将30个足球编号:00,01,02…29,第二步:在随机数表中随机的选一个数作为开始.第三步:从选定的数字向右读,得到二位数字,将它取出,把大于29的去掉,,按照这种方法继续向右读,取出的二位数若与前面相同,则去掉,依次下去,就得到一个具有10个数据的样本.其公平性在于:第一随机数表中每一个位置上出现的哪一个数都是等可能的,第二从30个个体中抽到那一个个体的号码也是机会均等的,基于以上两点,利用随机数表抽取样本保证了各个个体被抽到的机会是等可能的.24.设四边形ABCD中,有DC=12AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形是

______.答案:由DC=12AB知四边形ABCD是梯形,又|AD|=|BC|,即梯形的对角线相等,所以,四边形ABCD是等腰梯形.故为:等腰梯形.25.过点A(1,4)且在x、y轴上的截距相等的直线共有______条.答案:当直线过坐标原点时,方程为y=4x,符合题意;当直线不过原点时,设直线方程为x+y=a,代入A的坐标得a=1+4=5.直线方程为x+y=5.所以过点A(1,4)且在x、y轴上的截距相等的直线共有2条.故为2.26.解下列关于x的不等式

(1)

(2)答案:(1)(2)原不等式的解集为解析:(1)

解:(2)

解:分析该题要设法去掉绝对值符号,可由去分类讨论当时原不等式等价于

故得不等式的解集为所以原不等式的解集为27.已知圆的极坐标方程是ρ=2cosθ,那么该圆的直角坐标方程是()

A.(x-1)2+y2=1

B.x2+(y-1)2=1

C.(x+1)2+y2=1

D.x2+y2=2答案:A28.设z∈C,|z|≤2,则点Z表示的图形是()A.直线x=2的左半平面B.半径为2的圆面C.直线x=2的右半平面D.半径为2的圆答案:由题意z∈C,|z|≤2,由得数的几何意义知,点Z表示的图形是半径为2的圆面,故选B29.已知平面向量=(3,1),=(x,3),且⊥,则实数x的值为()

A.9

B.1

C.-1

D.-9答案:C30.已知命题p:“有的实数没有平方根.”,则非p是______.答案:∵命题p:“有的实数没有平方根.”,是一个特称命题,非P是它的否定,应为全称命题“所有实数都有平方根”故为:所有实数都有平方根.31.直线4x-3y+5=0与直线8x-6y+5=0的距离为______.答案:直线4x-3y+5=0即8x-6y+10=0,由两平行线间的距离公式得:直线4x-3y+5=0(8x-6y+10=0)与直线8x-6y+5=0的距离是

|10-5|62+82=12,故为:12.32.若向量{}是空间的一个基底,则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是()

A.

B.

C.

D.答案:C33.已知|a|=1,|b|=2,向量a与b的夹角为60°,则|a+b|=______.答案:∵已知|a|=1,|b|=2,向量a与b的夹角为60°,∴a2=1,b2=4,a?b=1×2×cos60°=1,.∴|.a+b|2=a2+b2+2a?b=1+4+2=7,∴|.a+b|

=7,故为7.34.(几何证明选讲选选做题)如图,圆的两条弦AC、BD相交于P,弧AB、BC、CD、DA的度数分别为60°、105°、90°、105°,则PAPC=______.答案:连接AB,CD∵弧AB、CD、的度数分别为60°、90°,∴弦AB的长度等于半径,弦CD的长度等于半径的2倍,即ABCD=12,∵∠A=∠D,∠C=∠B,∴△ABP∽△CDP∴ABCD=PAPC∴PAPC=12=22,故为:2235.有这样一段“三段论”推理,对于可导函数f(x),大前提:如果f’(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点;小前提:因为函数f(x)=x3在x=0处的导数值f’(0)=0,结论:所以x=0是函数f(x)=x3的极值点.以上推理中错误的原因是______错误(填大前提、小前提、结论).答案:∵大前提是:“对于可导函数f(x),如果f'(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点”,不是真命题,因为对于可导函数f(x),如果f'(x0)=0,且满足当x>x0时和当x<x0时的导函数值异号时,那么x=x0是函数f(x)的极值点,∴大前提错误,故为:大前提.36.若=(2,-3,1),=(2,0,3),=(0,2,2),则•(+)=()

A.4

B.15

C.7

D.3答案:D37.已知向量a=(3,4),b=(8,6),c=(2,k),其中k为常数,如果<a,c>=<b,c>,则k=______.答案:由题意可得cos<a,c>=cos<b,c>,∴a?c|a|?|c|=b?c|b|?|c|,∴6+4k54+k

2=16+6k104+k

2.解得k=2,故为2.38.已知点A(-3,8),B(2,4),若y轴上的点P满足PA的斜率是PB斜率的2倍,则P点的坐标为______.答案:设P(0,y),则∵点P满足PA的斜率是PB斜率的2倍,∴y-80+3=2•y-40-2∴y=5∴P(0,5)故为:(0,5)39.某工厂生产产品,用传送带将产品送到下一道工序,质检人员每隔十分钟在传送带的某一个位置取一件检验,则这种抽样方法是()A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.非上述答案答案:本题符合系统抽样的特征:总体中各单位按一定顺序排列,根据样本容量要求确定抽选间隔,然后随机确定起点,每隔一定的间隔抽取一个单位的一种抽样方式.故选B.40.已知a=log132,b=(13)12,c=(23)12,则a,b,c大小关系为______.答案:∵a=log132<log131=0,又∵函数y=x12在(0,+∞)是增函数,∴(23)12>(13)12>0.所以,c>b>a.故为c>b>a.41.设i为虚数单位,若=b+i(a,b∈R),则a,b的值为()

A.a=0,b=1

B.a=1,b=0

C.a=1,b=1

D.a=,b=-1答案:B42.直线l只经过第一、三、四象限,则直线l的斜率k()

A.大于零

B.小于零

C.大于零或小于零

D.以上结论都有可能答案:A43.下列命题错误的是(

)A.命题“若,则中至少有一个为零”的否定是:“若,则都不为零”。B.对于命题,使得;则是,均有。C.命题“若,则方程有实根”的逆否命题为:“若方程无实根,则”。D.“”是“”的充分不必要条件。答案:A解析:命题的否定是只否定结论,∴选A.44.已知点M的极坐标为,下列所给四个坐标中能表示点M的坐标是()

A.

B.

C.

D.答案:D45.在△ABC中,D为AB上一点,M为△ABC内一点,且满足AD=34AB,AM=AD+35BC,则△AMD与△ABC的面积比为()A.925B.45C.916D.920答案:AP=AD+DP=AD+35BC,DP=35BC.∴三角形ADP的高三角形ABC=ADAB=34,∴S△APDS△ABC=35?34=920.故选D.46.i是虚数单位,若(3+5i)x+(2-i)y=17-2i,则x、y的值分别为()

A.7,1

B.1,7

C.1,-7

D.-1,7答案:B47.下图是由哪个平面图形旋转得到的(

)答案:A48.从椭圆

x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,又点A是椭圆与x轴正半轴的交点,点B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP,|F1A|=10+5,求椭圆的方程.答案:∵AB∥OP∴PF1F1O=BOOA?PF1=bca又∵PF1⊥x轴∴c2a2+y2b2=1?y=b2a∴b=c由a+c=10+5b=ca2=b2+c2解得:a=10b=5c=5∴椭圆方程为x210+y25=1.49.为了让学生更多地了解“数学史”知识,某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹,倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动,共有800名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计.请你根据下面的频率分布表,解答下列问题:

序号

(i)分组

(分数)本组中间值

(Gi)频数

(人数)频率

(Fi)1(60,70)65①0.122[70,80)7520②3[80,90)85③0.244[90,100]95④⑤合

计501(1)填充频率分布表中的空格(在解答中直接写出对应空格序号的答案);

(2)为鼓励更多的学生了解“数学史”知识,成绩不低于85分的同学能获奖,请估计在参赛的800名学生中大概有多少同学获奖?

(3)请根据频率分布表估计该校高二年级参赛的800名同学的平均成绩.答案:(1)①为6,②为0.4,③为12,④为12⑤为0.24.(5分)(2)(12×0.24+0.24)×800=288,即在参加的800名学生中大概有288名同学获奖.(9分)(3)65×0.12+75×0.4+85×0.24+95×0.24=81(4)估计平均成绩为81分.(12分)50.设随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),且函数f(x)=x2+4x+ξ没有零点的概率为,则μ为()

A.1

B.4

C.2

D.不能确定答案:B第2卷一.综合题(共50题)1.对于函数f(x),在使f(x)≤M成立的所有常数M中,我们把M的最小值称为函数f(x)的“上确界”则函数f(x)=(x+1)2x2+1的上确界为()A.14B.12C.2D.4答案:因为f(x)=(x+1)2x2+1=x2+2x+1x2+1=1+2xx2+1又因为x2+1=|x|2+1≥2|x|≥2x∴2xx2+1≤1.∴f(x)≤2.即在使f(x)≤M成立的所有常数M中,M的最小值为2.故选C.2.①学校为了了解高一学生的情况,从每班抽2人进行座谈;②一次数学竞赛中,某班有10人在110分以上,40人在90~100分,12人低于90分.现在从中抽取12人了解有关情况;③运动会服务人员为参加400m决赛的6名同学安排跑道.就这三件事,合适的抽样方法为()A.分层抽样,分层抽样,简单随机抽样B.系统抽样,系统抽样,简单随机抽样C.分层抽样,简单随机抽样,简单随机抽样D.系统抽样,分层抽样,简单随机抽样答案:①是从较多的一个总体中抽取样本,且总体之间没有差异,故用系统抽样,②是从不同分数的总体中抽取样本,总体之间的差异比较大,故用分层抽样,③是六名运动员选跑道,用简单随机抽样,故选D.3.(上海卷理3文8)动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则P的轨迹方程为______.答案:由抛物线的定义知点P的轨迹是以F为焦点的抛物线,其开口方向向右,且p2=2,解得p=4,所以其方程为y2=8x.故为y2=8x4.若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,能使l∥α的是()A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0)B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)答案:若l∥α,则a•n=0.而A中a•n=-2,B中a•n=1+5=6,C中a•n=-1,只有D选项中a•n=-3+3=0.故选D.5.一个盒子装有10个红、白两色同一型号的乒乓球,已知红色乒乓球有3个,若从盒子里随机取出3个乒乓球,则其中含有红色乒乓球个数的数学期望是______.答案:由题设知含有红色乒乓球个数ξ的可能取值是0,1,2,3,P(ξ=0)=C37C310=724,P(ξ=1)=C27C13C310=2140,P(ξ=2)=C17C23C310=740,P(ξ=3)=C33C310=1120.∴Eξ=0×724+1×

2140+2×740+3×1120=910.故为:910.6.(Ⅰ)解关于x的不等式(lgx)2-lgx-2>0;

(Ⅱ)若不等式(lgx)2-(2+m)lgx+m-1>0对于|m|≤1恒成立,求x的取值范围.答案:(Ⅰ)∵(lgx)2-lgx-2>0,∴(lgx+1)(lgx-2)>0.∴lgx<-1或lgx>2.∴0<x<110或x>102.(Ⅱ)设y=lgx,则原不等式可化为y2-(2+m)y+m-1>0,∴y2-2y-my+m-1>0.∴(1-y)m+(y2-2y-1)>0.当y=1时,不等式不成立.设f(m)=(1-y)m+(y2-2y-1),则f(x)是m的一次函数,且一次函数为单调函数.当-1≤m≤1时,若要f(m)>0⇔f(1)>0f(-1)>0.⇔y2-2y-1+1-y>0y2-2y-1+y-1>0.⇔y2-3y>0y2-y-2>0.⇔y<0或y>3y<-1或y>2.则y<-1或y>3.∴lgx<-1或lgx>3.∴0<x<110或x>103.∴x的取值范围是(0,110)∪(103,+∞).7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为AB、B1C的中点.用AB、AD、AA1表示向量MN,则MN=______.答案:∵MN=MB+BC+CN=12AB+AD+12(CB+BB1)=12AB+AD+12(-AD+AA1)=12AB+12AD+12AA1.故为12AB+12AD+12AA1.8.在空间直角坐标系中,已知两点P1(-1,3,5),P2(2,4,-3),则|P1P2|=()

A.

B.3

C.

D.答案:A9.(不等式选讲)

已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明:.答案:略解析::证明:由,所以同理:

相加得:左³……………(10分)10.来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名,执行北京奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作,每个场地由两名来自不同国家的裁判组成,则不同的安排方案总数有()

A.12种

B.48种

C.90种

D.96种答案:B11.用反证法证明命题“若a、b∈N,ab能被2整除,则a,b中至少有一个能被2整除”,那么反设的内容是______.答案:根据用反证法证明数学命题的步骤,应先假设要证命题的否定成立,而要证命题的否定为:“a,b都不能被2整除”,故为:a、b都不能被2整除.12.已知函数f(x)=f(x+1)(x<4)2x(x≥4),则f(log23)=______.答案:因为1<log23<2,所以4<log23+3<5,所以f(log23)=f(log23+3)=f(log224)=2log224=24.故为:24.13.x=5

y=6

PRINT

x+y=11

END

上面程序运行时输出的结果是()

A.x+y=11

B.11

C.x+y

D.出错信息答案:B14.已知复数w满足w-4=(3-2w)i(i为虚数单位),z=5w+|w-2|,求一个以z为根的实系数一元二次方程.答案:[解法一]∵复数w满足w-4=(3-2w)i,∴w(1+2i)=4+3i,∴w(1+2i)(1-2i)=(4+3i)(1-2i),∴5w=10-5i,∴w=2-i.∴z=52-i+|2-i-2|=5(2+i)(2-i)(2+i)+1=2+i+1=3+i.若实系数一元二次方程有虚根z=3+i,则必有共轭虚根.z=3-i.∵z+.z=6,z•.z=10,∴所求的一个一元二次方程可以是x2-6x+10=0.[解法二]设w=a+b,(a,b∈Z),∴a+bi-4=3i-2ai+2b,得a-4=2bb=3-2a解得a=2b=-1,∴w=2-i,以下解法同[解法一].15.在用样本频率估计总体分布的过程中,下列说法正确的是()A.总体容量越大,估计越精确B.总体容量越小,估计越精确C.样本容量越大,估计越精确D.样本容量越小,估计越精确答案:∵用样本频率估计总体分布的过程中,估计的是否准确与总体的数量无关,只与样本容量在总体中所占的比例有关,∴样本容量越大,估计的月准确,故选C.16.对某种电子元件进行寿命跟踪调查,所得样本频率分布直方图如图,由图可知:一批电子元件中,寿命在100~300小时的电子元件的数量与寿命在300~600小时的电子元件的数量的比大约是()A.12B.13C.14D.16答案:由于已知的频率分布直方图中组距为100,寿命在100~300小时的电子元件对应的矩形的高分别为:12000,32000则寿命在100~300小时的电子元件的频率为:100?(12000+32000)=0.2寿命在300~600小时的电子元件对应的矩形的高分别为:1400,1250,32000则寿命在300~600小时子元件的频率为:100?(1400+1250+32000)=0.8则寿命在100~300小时的电子元件的数量与寿命在300~600小时的电子元件的数量的比大约是0.2:0.8=14故选C17.若一元二次方程x2+(a-1)x+1-a2=0有两个正实数根,则a的取值范围是(

A.(-1,1)

B.(-∞,)∪[1,+∞)

C.(-1,]

D.[,1)答案:C18.方程cos2x=x的实根的个数为

______个.答案:cos2x=x的实根即函数y=cos2x与y=x的图象交点的横坐标,故可以将求根个数的问题转化为求两个函数图象的交点个数.如图在同一坐标系中作出y=cos2x与y=x的图象,由图象可以看出两图象只有一个交点,故方程的实根只有一个.故应该填

1.19.设某批产品合格率为,不合格率为,现对该产品进行测试,设第ε次首次取到正品,则P(ε=3)等于()

A.

B.

C.

D.答案:C20.用随机数表法从100名学生(男生35人)中选20人作样本,男生甲被抽到的可能性为()A.15B.2035C.35100D.713答案:由题意知,本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是用随机数表法从100名学生选一个,共有100种结果,满足条件的事件是抽取20个,∴根据等可能事件的概率公式得到P=20100=15,故选A.21.已知=(1,2),=(x,1),当(+2)⊥(2-)时,实数x的值为(

A.6

B.2

C.-2

D.或-2答案:D22.已知矩阵A=b-2-7a的逆矩阵是B=a273,则a+b=______.答案:根据矩阵A=b-2-7a的逆矩阵是B=a273,得a273b-2-7a=1001,∴ab-14=1-2a+2a=07b-21=0-14+3a=1,解得a=5b=3∴a+b=8.故为:8.23.已知集合A={0,2,a2},B={1,a},若A∪B={0,1,2,4},则实数a的值为______.答案:根据题意,集合A={0,2,a2},B={1,a},且A∪B={0,1,2,4},则有a=4,或a=4,a=4时,A={0,2,16},B={1,4},A∪B={0,1,2,4,16},不合题意,舍去;a=2时,A={0,2,4},B={1,2},A∪B={0,1,2,4},符合;故a=2.24.下列说法正确的是()

A.向量

与向量是共线向量,则A、B、C、D必在同一直线上

B.向量与平行,则与的方向相同或相反

C.向量的长度与向量的长度相等

D.单位向量都相等答案:C25.两条平行直线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0之间的距离为(

A.

B.

C.7

D.答案:D26.双曲线x2-4y2=4的两个焦点F1、F2,P是双曲线上的一点,满足·=0,则△F1PF2的面积为()

A.1

B.

C.2

D.答案:A27.函数y=a|x|(a>1)的图象是()

A.

B.

C.

D.

答案:B28.若0<x<1,则2x,(12)x,(0.2)x之间的大小关系为()A.2x<(0.2)x<(12)xB.2x<(12)x<(0.2)xC.(12)x<(0.2)x<2xD.(0.2)x<(12)x<2x答案:由题意考察幂函数y=xn(0<n<1),利用幂函数的性质,∵0<n<1,∴幂函数y=xn在第一象限是增函数,又2>12>0.2∴2x>(12)x>(0.2)x故选D29.已知直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形()

A.是锐角三角形

B.是直角三角形

C.是钝角三角形

D.不存在答案:B30.在平面几何中,四边形的分类关系可用以下框图描述:

则在①中应填入______;在②中应填入______.答案:由题意知①对应的四边形是一个有一组邻边相等的平行四边形,∴这里是一个菱形,②处的图形是一个有一条腰和底边垂直的梯形,∴②处是一个直角梯形,故为:菱形;直角梯形.31.已知a=(1,-2,1),a+b=(3,-6,3),则b等于()A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)答案:∵a+b=(3,-6,3),∴b=a+b-a=(3,-6,3)-(1,-2,1)=(2,-4,2).故选A.32.方程组的解集是(

A.{(-3,0)}

B.{-3,0}

C.(-3,0)

D.{(0,-3)}

答案:A33.隋机变量X~B(6,),则P(X=3)=()

A.

B.

C.

D.答案:C34.某校对文明班的评选设计了a,b,c,d,e五个方面的多元评价指标,并通过经验公式样S=ab+cd+1e来计算各班的综合得分,S的值越高则评价效果越好,若某班在自测过程中各项指标显示出0<c<d<e<b<a,则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位,而使得S的值增加最多,那么该指标应为()A.aB.bC.cD.d答案:因a,b,cde都为正数,故分子越大或分母越小时,S的值越大,而在分子都增加1的前提下,分母越小时,S的值增长越多,由于0<c<d<e<b<a,分母中d最小,所以c增大1个单位会使得S的值增加最多.故选C.35.如果抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3,那么这条抛物线的焦点坐标是()A.(3,0)B.(2,0)C.(1,0)D.(-1,0)答案:抛物线y2=a(x+1)可由抛物线y2=ax向左平移一个单位长度得到,因为抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3,所以抛物线y2=ax的准线方程是x=-2,且焦点坐标为(2,0),那么抛物线y2=a(x+1)的焦点坐标为(1,0).故选C.36.如图,在△ABC中,设AB=a,AC=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点恰为P.

(Ⅰ)若AP=λa+μb,求λ和μ的值;

(Ⅱ)以AB,AC为邻边,AP为对角线,作平行四边形ANPM,求平行四边形ANPM和三角形ABC的面积之比S平行四边形ANPMS△ABC.答案:(Ⅰ)∵在△ABC中,设AB=a,AC=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点恰为P.AP=AR+AC2,AR=AQ+AB2,AQ=12AP,消去AR,AQ∵AP=λa+μb,可得AP=12(AQ+AB2)+12AC=14×12AP+14AB+12AC,可得AP=27AB+47AC=λa+μb,∴λ=27μ=47;(Ⅱ)以AB,AC为邻边,AP为对角线,作平行四边形ANPM,∵得AP=27AB+47AC,∴S平行四边形ANPMS平行四边形ABC=|AN|?|AM|?sin∠CAB12|AB|?|AC|?sin∠CAB=2?|AN||AB|?|AM||AC|=2×27×47=1649;37.若函数y=f(x)的定义域是[12,2],则函数y=f(log2x)的定义域为______.答案:由题意知12≤log2x≤2,即log22≤log2x≤log24,∴2≤x≤4.故为:[2,4].38.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是()

A.至少有1个白球;都是白球

B.至少有1个白球;至少有1个红球

C.恰有1个白球;恰有2个白球

D.至少有一个白球;都是红球答案:C39.如图把椭圆x225+y216=1的长轴AB分成8分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,…P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=______.答案:如图,把椭圆x225+y216=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则根据椭圆的对称性知,|P1F1|+|P7F1|=|P1F1|+|P1F2|=2a,同理其余两对的和也是2a,又|P4F1|=a,∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35,故为35.40.老师在班级50名学生中,依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学和进行作业检查,这种抽样方法是()

A.随机抽样

B.分层抽样

C.系统抽样

D.以上都是答案:C41.将椭圆x2+6y2-2x-12y-13=0按向量a平移,使中心与原点重合,则a的坐标是()A.(-1,1)B.(1,-1)C.(-1,-1)D.(1,1)答案:椭圆方程x2+6y2-2x-12y-13=0变形为:(x-1)2+6(y-1)2=20,则椭圆中心(1,1),即需按a=(-1,-1)平移,中心与原点重合.故选C.42.平面向量的夹角为,则等于(

A.

B.3

C.7

D.79答案:A43.如图,已知双曲线以长方形ABCD的顶点A,B为左、右焦点,且过C,D两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为______.答案:由题意可得点OA=OB=2,AC=5设双曲线的标准方程是x2a2-y2b2=1.则2a=AC-BC=5-3=2,所以a=1.所以b2=c2-a2=4-1=3.所以双曲线的标准方程是x2-y23=1.故为:x2-y23=144.|a|=4,|b|=5,|a+b|=8,则a与b的夹角为______.答案:设a与b的夹角为θ因为|a|=4,|b|=5,|a+b|=8,所以a2+2a?b+b2=64即16+2×4×5cosθ+25=64解得cosθ=2340所以θ=arccos2340故为arccos234045.半径为1、2、3的三个圆两两外切.证明:以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形.

答案:证明:设⊙O1、⊙O2、⊙O3的半径分别为1、2、3.因这三个圆两两外切,故有O1O2=1+2=3,O2O3=2+3=5,O1O3=1+3=4,则有O1O22+O1O32=32+42=52=O2O32根据勾股定理的逆定理,得到△O1O2O3为直角三角形.46.以双曲线x24-y216=1的右焦点为圆心,且被其渐近线截得的弦长为6的圆的方程为______.答案:双曲线x24-y216=1的右焦点为F(25,0),一条渐近线为2x+y=0.∴所求圆的圆心为(25,0).∵所求圆被渐近线2x+y=0截得的弦长为6,∴圆心为(25,0)到渐近线2x+y=0的距离d=455=4,圆半径r=9+16=5,∴所求圆的方程是(x-25)2+y2=25.故为(x-25)2+y2=25.47.以数集A={a,b,c,d}中的四个元素为边长的四边形只能是()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形答案:∵数集A={a,b,c,d}中的四个元素互不相同,∴以数集A={a,b,c,d}中的四个元素为边长的四边形,四条边不相等∴四边形只可能是梯形故选D.48.求证:答案:证明见解析解析:证明:此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧,放缩拆项时,不一定从第一项开始,须根据具体题型分别对待,即不能放的太宽,也不能缩的太窄,真正做到恰倒好处。49.中心在坐标原点,离心率为的双曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程为()

A.

B.

C.

D.答案:D50.设四边形ABCD中,有DC=12AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形是

______.答案:由DC=12AB知四边形ABCD是梯形,又|AD|=|BC|,即梯形的对角线相等,所以,四边形ABCD是等腰梯形.故为:等腰梯形.第3卷一.综合题(共50题)1.巳知椭圆{xn}与{yn}的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为32,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为______.答案:由题设知e=32,2a=12,∴a=6,b=3,∴所求椭圆方程为x236+y29=1.:x236+y29=1.2.直线(a+1)x-(2a+5)y-6=0必过一定点,定点的坐标为(

)。答案:(-4,-2)3.证明:已知a与b均为有理数,且a和b都是无理数,证明a+b也是无理数.答案:证明:假设a+b是有理数,则(a+b)(a-b)=a-b由a>0,b>0则a+b>0即a+b≠0∴a-b=a-ba+b∵a,bÎQ且a+b∈Q∴a-ba+b∈Q即(a-b)∈Q这样(a+b)+(a-b)=2a∈Q从而aÎQ(矛盾)∴a+b是无理数4.某初级中学领导采用系统抽样方法,从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查.现将800名学生从1到800进行编号,求得间隔数k==16,即每16人抽取一个人.在1~16中随机抽取一个数,如果抽到的是7,则从33~48这16个数中应取的数是(

A.40

B.39

C.38

D.37答案:B5.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若AC=λAE+μAF,其中λ、μ∈R,则λ+μ=______.答案:解析:设AB=a,AD=b,那么AE=12a+b,AF=a+12b,又∵AC=a+b,∴AC=23(AE+AF),即λ=μ=23,∴λ+μ=43.故为:43.6.在某次数学考试中,考生的成绩X~N(90,100),则考试成绩X位于区间(80,90)上的概率为______.答案:∵考生的成绩X~N(90,100),∴正弦曲线关于x=90对称,根据3?原则知P(80<x<100)=0.6829,∴考试成绩X位于区间(80,90)上的概率为0.3413,故为:0.34137.直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系是()

A.相交

B.相切

C.相离

D.与k的取值有关答案:A8.一个类似于细胞分裂的物体,一次分裂为二,两次分裂为四,如此继续分裂有限多次,而随机终止.设分裂n次终止的概率是(n=1,2,3,…).记X为原物体在分裂终止后所生成的子块数目,则P(X≤10)=()

A.

B.

C.

D.以上均不对答案:A9.某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则

即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、,且各轮问题能否正确回答互不影响.

(Ⅰ)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;

(Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率.

(注:本小题结果可用分数表示)答案:(1)该选手进入第四轮才被淘汰的概率.(Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率.解析:(Ⅰ)记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为,则,,,,该选手进入第四轮才被淘汰的概率.(Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率.10.将参加数学竞赛的1000名学生编号如下:0001,0002,0003,…,1000,打算从中抽取一个容量为50的样本,按系统抽样的办法分成50个部分.如果第一部分编号为0001,0002,…,0020,从中随机抽取一个号码为0015,则第40个号码为______.答案:∵系统抽样是先将总体按样本容量分成k=Nn段,再间隔k取一个.又∵现在总体的个体数为1000,样本容量为50,∴k=20∴若第一个号码为0015,则第40个号码为0015+20×39=0795故为079511.某工厂生产产品,用传送带将产品送到下一道工序,质检人员每隔十分钟在传送带的某一个位置取一件检验,则这种抽样方法是()A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.非上述答案答案:本题符合系统抽样的特征:总体中各单位按一定顺序排列,根据样本容量要求确定抽选间隔,然后随机确定起点,每隔一定的间隔抽取一个单位的一种抽样方式.故选B.12.下列各组几何体中是多面体的一组是(

A.三棱柱、四棱台、球、圆锥

B.三棱柱、四棱台、正方体、圆台

C.三棱柱、四棱台、正方体、六棱锥

D.圆锥、圆台、球、半球答案:C13.已知点A(5,0)和⊙B:(x+5)2+y2=36,P是⊙B上的动点,直线BP与线段AP的垂直平分线交于点Q.

(1)证明点Q的轨迹是双曲线,并求出轨迹方程.

(2)若(BQ+BA)•QA=0,求点Q的坐标.答案:(1)∵点Q在线段AP的垂直平分线上,∴|QP|=|QA|,∴||BQ|-|PQ||=||BQ|-|AQ||=6.∴点Q的轨迹是以A、B为焦点的双曲线.(4′)其轨迹方程是x29-y216=1.(7′)(2)以A、B、Q为三个顶点作平行四边形ABQC,则BQ+BA=BC∵(BQ+BA)•QA=0,∴BC•QC=0,∴平行四边形ABQC是菱形,∴|BA|=|BQ|.(8′)∴点Q在圆(x+5)2+y2=100上.解方程组(x+5)2+y2=100x29-y216=1.(10′)得Q(-395,±485)或Q(215,±865).(12′)14.若f(x)=x2,则对任意实数x1,x2,下列不等式总成立的是(

)

A.f()≤

B.f()<

C.f()≥

D.f()>答案:A15.如图的曲线是指数函数y=ax的图象,已知a的值取,,,则相应于曲线①②③④的a的值依次为()

A.,,,

B.,,,

C.,,,

D.,,,

答案:A16.在空间直角坐标系O-xyz中,已知=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当取得最小值时,点Q的坐标为()

A.(,,)

B.(,,)

C.(,,)

D.(,,)答案:C17.已知a,b,c为正数,且两两不等,求证:2(a3+b3+c3)>a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).答案:证明:不妨设a>b>c>0,则(a-b)2>0,(b-c)2>0,(c-a)2>0.由于2(a3+b3+c3)-a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b)=a2(a-b)+a2(a-c)+b2(b-c)+b2(b-a)+c2(c-a)+c2(c-b)

=(a-b)2(a+b)+(b-c)2(b+c)+(c-a)2(c+a)>0,故有2(a3+b3+c3)>a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b)成立.18.已知双曲线的两渐近线方程为y=±32x,一个焦点坐标为(0,-26),

(1)求此双曲线方程;

(2)写出双曲线的准线方程和准线间的距离.答案:(1)由题意得,c=26,ba=32,26=a2+b2,∴a2=18,b2=8,故该双曲线的标准方程为y218-x28=1.(2)由(1)得,双曲线的准线方程为y=±1826x;准线间的距离为2a2c=2×1826=182613.19.椭圆x=3cosθy=4sinθ的离心率是______.答案:∵x=3cosθy=4sinθ,∴(x3)2+(y4)2=cos2θ+sin2θ=1,即x29+y216=1,其中a2=16,b2=9,故c2=a2-b2=16-9=7(a>0,b>0,c>0),∴其离心率e=ca=74.故为:74.20.如图,⊙O过点B、C,圆心O在等腰Rt△ABC的内部,,,

.则⊙O的半径为(

).

A.6

B.13

C.

D.答案:C解析:分析:延长AO交BC于D,接OB,根据AB=AC,O是等腰Rt△ABC的内心,推出AD⊥BC,BD=DC=3,AO平分∠BAC,求出∠BAD=∠ABD=45°,AD=BD=3,由勾股定理求出OB即可.解答:解:延长AO交BC于D,连接OB,∵⊙O过B、C,∴O在BC的垂直平分线上,∵AB=AC,圆心O在等腰Rt△ABC的内部,∴AD⊥BC,BD=DC=3,AO平分∠BAC,∵∠BAC=90°,∴∠ADB=90°,∠BAD=45°,∴∠BAD=∠ABD=45°,∴AD=BD=3,∴OD=3-1=2,由勾股定理得:OB==故选C.21.已知平面上直线l的方向向量=(-,),点O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分别是O'和A′,则=λ,其中λ等于()

A.

B.-

C.2

D.-2答案:D22.把一枚硬币连续抛掷两次,事件A=“第一次出现正面”,事件B=“第二次出现正面”,则P(B|A)等于(

A.

B.

C.

D.答案:A23.在命题“若a>b,则ac2>bc2”及它的逆命题、否命题、逆否命题之中,其中真命题有()A.4个B.3个C.2个D.1个答案:命题“若a>b,则ac2>bc2”为假命题;其逆命题为“若ac2>bc2,则a>b”为真命题;其否命题为“若a≤b,则ac2≤bc2”为真命题;其逆否命题为“若ac2≤bc2,则a≤b”为假命题;故选C24.已知函数f(x)=ax,(a>0,a≠1)的图象经过点P(12,12),则常数a的值为()A.2B.4C.12D.14答案:∵函数f(x)=ax,(a>0,a≠1)的图象经过点P(12,12),∴a12=12,?a=14.故选D.25.把两条直线的位置关系填入结构图中的M、N、E、F中,顺序较为恰当的是()

①平行

②垂直

③相交

④斜交.

A.①②③④

B.①④②③

C.①③②④

D.②①③④

答案:C26.已知双曲线的a=5,c=7,则该双曲线的标准方程为()

A.-=1

B.-=1

C.-=1或-=1

D.-=0或-=0答案:C27.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数f(x),如果f'(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点,因为函数f(x)=x3在x=0处的导数值f'(0)=0,所以,x=0是函数f(x)=x3的极值点.以上推理中()

A.大前提错误

B.小前提错误

C.推理形式错误

D.结论正确答案:A28.用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个是钝角”时,第一步是:“假设______.答案:根据用反证法证明数学命题的方法和步骤,应先假设命题的否定成立,而命题“三角形的内角中至多有一个是钝角”的否定为:“三角形的内角中至少有两个钝角”,故为“三角形的内角中至少有两个钝角”.29.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使平面ABD⊥平面CBD,E是CD中点,则∠AED的大小为()

A.45°

B.30°

C.60°

D.90°答案:D30.解不等式:2<|3x-1|≤3.答案:由原不等式得-3≤3x-1<-2或2<3x-1≤3,∴-2≤3x<-1或3<3x≤4,∴-23≤x<-13或1<x≤43,∴不等式的解集是{x|-23≤x<-13或1<x≤43}.31.4位学生与2位教师并坐合影留念,针对下列各种坐法,试问:各有多少种不同的坐法?(用数字作答)

(1)教师必须坐在中间;

(2)教师不能坐在两端,但要坐在一起;

(3)教师不能坐在两端,且不能相邻.答案:(1)先排4位学生,有A44种坐法,2位教师坐在中间,可以交换位置,有A22种坐法,则共有A22A44=48种坐法;(2)先排4位学生,有A44种坐法,2位教师坐在一起,将其看成一个整体,可以交换位置,有2种坐法,将这个“整体”插在4个学生的空位中,又由教师不能坐在两端,则有3个空位可选,则共有2A44A31=144种坐法;(3)先排4位学生,有A44种坐法,教师不能相邻,将其依次插在4个学生的空位中,又由教师不能坐在两端,则有3个空位可选,有A32种坐法,则共有A44A32=144种坐法..32.某种灯泡的耐用时间超过1000小时的概率为0.2,有3个相互独立的灯泡在使用1000小时以后,最多只有1个损坏的概率是()

A.0.008

B.0.488

C.0.096

D.0.104答案:D33.给出下列结论:

(1)在回归分析中,可用指数系数R2的值判断模型的拟合效果,R2越大,模型的拟合效果越好;

(2)在回归分析中,可用残差平方和判断模型的拟合效果,残差平方和越大,模型的拟合效果越好;

(3)在回归分析中,可用相关系数r的值判断模型的拟合效果,r越大,模型的拟合效果越好;

(4)在回归分析中,可用残差图判断模型的拟合效果,残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明这样的模型比较合适.带状区域的宽度越窄,说明模型的拟合精度越高.

以上结论中,正确的有()个.

A.1

B.2

C.3

D.4答案:B34.倾斜角为60°的直线的斜率为______.答案:因为直线的倾斜角为60°,所以直线的斜率k=tan60°=3.故为:3.35.已知a、b、c是实数,且a2+b2+c2=1,求2a+b

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