2023年晋中职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年晋中职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析（图片大小可自由调整）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第1卷一.综合题(共50题)1.直线kx-y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点（）

A．（0，0）

B．（0，1）

C．（3，1）

D．（2，1）答案：C2.设求证：答案：证明见解析解析：证明：∵

∴∴，∴本题利用，对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。3.如果执行程序框图，那么输出的S=（）A．2450B．2500C．2550D．2652答案：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出：S=2×1+2×2+…+2×50的值．∵S=2×1+2×2+…+2×50=2×1+502×50=2550故选C4.某航空公司经营A，B，C，D这四个城市之间的客运业务，它们之间的直线距离的部分机票价格如下：AB为2000元；AC为1600元；AD为2500元；CD为900元；BC为1200元，若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则BD间直线距离的票价为（设这四个城在同一水平面上）（）

A．1500元

B．1400元

C．1200元

D．1000元答案：A5.化简的结果是（）

A．aB．C．a2D．答案：B解析：分析：指数函数的性质6.从装有2个红球和2个白球的口袋内，任取2个球，那么下面互斥而不对立的两个事件是（）

A．恰有1个白球；恰有2个白球

B．至少有1个白球；都是白球

C．至少有1个白球；

至少有1个红球

D．至少有1个白球；

都是红球答案：A7.设O是正方形ABCD的中心，向量，，，是（

）

A．平行向量

B．有相同终点的向量

C．相等向量

D．模相等的向量答案：D8.直线m的倾斜角为30°，则此直线的斜率等于（）A．12B．1C．33D．3答案：因为直线的斜率k和倾斜角θ的关系是：k=tanθ∴倾斜角为30°时，对应的斜率k=tan30°=33故选：C．9.已知三个数a=60.7，b=0.76，c=log0.76，则a，b，c从小到大的顺序为______．答案：因为a=60.7＞60=1，b=0.76＜0.70=1，且b＞0，c=log0.76＜0，所以c＜b＜a．故为c＜b＜a．10.乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）的展开式中，一共有多少项？答案：因为：从第一个括号中选一个字母有3种方法，从第二个括号中选一个字母有4种方法，从第三个括号中选一个字母有5种方法．故根据乘法计数原理可知共有N=3×4×5=60（项）．11.已知f（x）=，求不等式x+（x+2）·f（x+2）≤5的解集。答案：解：原不等式等价于或解得或即故不等式的解集为。12.直线(a+1)x-(2a+5)y-6=0必过一定点，定点的坐标为（

）。答案：（-4，-2）13.O、A、B、C为空间四个点，又为空间的一个基底，则（）

A．O、A、B、C四点共线

B．O、A、B、C四点共面，但不共线

C．O、A、B、C四点中任意三点不共线

D．O、A、B、C四点不共面答案：D14.下图是由A、B、C、D中的哪个平面图旋转而得到的（

）答案：A15.已知偶函数f（x）的图象与x轴有五个公共点，那么方程f（x）=0的所有实根之和为______．答案：∵函数y=f（x）是偶函数∴其图象关于y轴对称∴其图象与x轴有五个交点也关于y轴对称其中一个为0．另四个关于y轴对称．∴方程f（x）=0的所有实根之和为0故为：0．16.以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程是（）

A．

B．

C．

D．答案：C17.设a∈（0，1）∪（1，+∞），对任意的x∈(0，12]，总有4x≤logax恒成立，则实数a的取值范围是______．答案：∵a∈（0，1）∪（1，+∞），当0＜x≤12时，函数y=4x的图象如下图所示：∵对任意的x∈(0，12]，总有4x≤logax恒成立，若不等式4x＜logax恒成立，则y=logax的图象恒在y=4x的图象的上方（如图中虚线所示）∵y=logax的图象与y=4x的图象交于（12，2）点时，a=22，故虚线所示的y=logax的图象对应的底数a应满足22＜a＜1．故为：（22，1）．18.4个人各写一张贺年卡，集中后每人取一张别人的贺年卡，共有______种取法．答案：根据分类计数问题，可以列举出所有的结果，1甲乙互换，丙丁互换2甲丙互换，乙丁互换3甲丁互换，乙丙互换4甲要乙的乙要丙的丙要丁的丁要甲的5甲要乙的乙要丁的丙要甲的丁要丙的6甲要丙的丙要乙的乙要丁的丁要甲的7甲要丙的丙要丁的乙要丁的丁要甲的8甲要丁的丁要乙的乙要丙的丙要甲的9甲要丁的丁要丙的乙要甲的丙要乙的通过列举可以得到共有9种结果，故为：919.设F1，F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则动点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．圆D．线段答案：对于在平面内，若动点M到F1、F2两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点F1、F2的距离，则动点M的轨迹是以F1，F2为端点的线段．故选D．20.选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵M=0110，N=0-110．在平面直角坐标系中，设直线2x-y+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程．答案：由题设得MN=01100-111=100-1．…（3分）设（x，y）是直线2x-y+1=0上任意一点，点（x，y）在矩阵MN对应的变换作用下变为（x′，y′），则有1001xy=x′y′，即x-y=x′y′，所以x=x′y=-y′…（7分）因为点（x，y）在直线2x-y+1=0上，从而2x′-（-y′）+1=0，即2x′+y′+1=0．所以曲线F的方程为2x+y+1=0．

…（10分）21.如图，△ABC中，AD=2DB，AE=3EC，CD与BE交于F，若AF=xAB+yAC，则（）A．x=13，y=12B．x=14，y=13C．x=37，y=37D．x=25，y=920答案：过点F作FM∥AC、FN∥AB，分别交AB、AC于点M、N∵FM∥AC，∴FMAC=DMAD且FMAE=BMAB∵AD=2DB，AE=3EC，∴AD=23AB，AE=34AC．由此可得AM=13AB同理可得AN=12AC∵四边形AMFN是平行四边形∴由向量加法法则，得AF=13AB+12AC∵AF=xAB+yAC，∴根据平面向量基本定理，可得x=13，y=12故选：A22.若定义运算a⊕b=b，a＜ba，a≥b则函数f（x）=2x⊕(12)x的值域为______（用区间表示）．答案：由题意画出f（x）=2x?(12)x的图象（实线部分），由图可知f（x）的值域为[1，+∞）．故为：[1，+∞）．23.下列图形中不一定是平面图形的是（）

A．三角形

B．四边相等的四边形

C．梯形

D．平行四边形答案：B24.设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若＜a，n＞=，则l与α所成的角为（）

A．

B．

C．

D．答案：C25.在极坐标系中，曲线ρ=4cosθ围成的图形面积为（）

A．π

B．4

C．4π

D．16答案：C26.已知a，b

，c满足a+2c=b，且a⊥c，|a|=1，|c|=2，则|b|=______．答案：根据题意，a⊥c?a?c=0，则|b|2=（a+2c）2=a2+4c2=17，则|b|=17；故为17．27.隋机变量X～B（6，），则P（X=3）=（）

A．

B．

C．

D．答案：C28.如图所示，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点.求AB与平面BDF所成角的正弦值.答案：AB与平面BDF所成角的正弦值为.解析：以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2），F（1，0，1）.∴=（0，2，1），=（1，-2，0）.设平面BDF的一个法向量为n=（2，a，b），∵n⊥，n⊥，∴即解得a=1，b=-2.∴n=（2，1，-2）.设AB与平面BDF所成的角为，则法向量n与的夹角为-，∴cos（-）===,即sin=,故AB与平面BDF所成角的正弦值为.29.若P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B的关系是（）

A．互斥事件

B．对立事件

C．不是互斥事件

D．前者都不对答案：D30.在空间有三个向量AB、BC、CD，则AB+BC+CD=（）A．ACB．ADC．BDD．0答案：如图：AB+BC+CD=AC+CD=AD．故选B．31.正方形ABCD中，AB=1，分别以A、C为圆心作两个半径为R、r（R＞r）的圆，当R、r满足条件______时，⊙A与⊙C有2个交点（

）

A．R+r＞

B．R-r＜＜R+r

C．R-r＞

D．0＜R-r＜答案：B32.（选做题）

设集合A={x|x2﹣5x+4＞0}，B={x|x2﹣2ax+（a+2）=0}，若A∩B≠，求实数a的取值范围．答案：解：A={x|x2﹣5x+4＞0}={x|x＜1或x＞4}．∵A∩B≠，∴方程x2﹣2ax+（a+2）=0有解，且至少有一解在区间（﹣∞，1）∪（4，+∞）内直接求解情况比较多，考虑补集设全集U={a|△≥0}=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），P={a|方程x2﹣2ax+（a+2）=0的两根都在[1，4]内}记f（x）=x2﹣2ax+（a+2），且f（x）=0的两根都在[1，4]内∴，∴，∴，∴∴实数a的取值范围为．33.如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且过C，D两顶点．若AB=4，BC=3，则此双曲线的标准方程为______．答案：由题意可得点OA=OB=2，AC=5设双曲线的标准方程是x2a2-y2b2=1．则2a=AC-BC=5-3=2，所以a=1．所以b2=c2-a2=4-1=3．所以双曲线的标准方程是x2-y23=1．故为：x2-y23=134.在⊙O中，弦AB=1.8cm，圆周角∠ACB=30°，则⊙O的直径等于（）

A．3.2cm

B．3.4cm

C．3.6cm

D．4.0cm答案：C35.已知实数x，y满足3x+4y+10=0，那么x2+y2的最小值为______．答案：设P（x，y），则|OP|=x2+y2，即x2+y2的几何意义表示为直线3x+4y+10=0上的点P到原点的距离的最小值．则根据点到直线的距离公式得点P到直线3x+4y+10=0的距离d=|10|32+42=105=2．故为：2．36.O是正六边形ABCDE的中心，且OA=a，OB=b，AB=c，在以A，B，C，D，E，O为端点的向量中：

（1）与a相等的向量有

______；

（2）与b相等的向量有

______；

（3）与c相等的向量有

______．答案：如图，在O是正六边形ABCDE的中心，以A，B，C，D，E，O为端点的向量中（1）与a相等的向量有EF，DO，CB；（2）与b相等的向量有DC，EO，FA；（3）与c相等的向量有FO，OC，ED．故三个空依次应填EF，DO，CB；DC，EO，FA；FO，OC，ED．37.某校对文明班的评选设计了a，b，c，d，e五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样S=ab+cd+1e来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出0＜c＜d＜e＜b＜a，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为（）A．aB．bC．cD．d答案：因a，b，cde都为正数，故分子越大或分母越小时，S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增长越多，由于0＜c＜d＜e＜b＜a，分母中d最小，所以c增大1个单位会使得S的值增加最多．故选C．38.现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，名额分配的方法共有______种（用数字作答）．答案：根据题意，将10个名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，可以转化为10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，每份不空；相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C96=84种不同方法．所以名额分配的方法共有84种．39.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（）

①若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；

②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；

③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．

A．①

B．①③

C．③

D．②答案：C40.如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线答案：本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题，因为三角形面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P的轨迹为一以AB为轴线的圆柱面，与平面α的交线，且α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆．41.下列各图中，可表示函数y=f（x）的图象的只可能是（）A．

B．

C．

D．

答案：根据函数的定义知：自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应．∴从图象上看，任意一条与x轴垂直的直线与函数图象的交点最多只能有一个交点．从而排除A，B，C，故选D．42.已知正三角形的外接圆半径为63cm，求它的边长．答案：设正三角形的边长为a，则12a=Rcos30°=63?32=9(cm)∴a=18(cm)．它的边长为18cm．43.设A、B、C、D是半径为r的球面上的四点，且满足AB⊥AC、AD⊥AC、AB⊥AD，则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是[

]A、r2

B、2r2

C、3r2

D、4r2答案：B44.已知点P在曲线C1：x216-y29=1上，点Q在曲线C2：（x-5）2+y2=1上，点R在曲线C3：（x+5）2+y2=1上，则|PQ|-|PR|的最大值是（）A．6B．8C．10D．12答案：由双曲线的知识可知：C1x216-y29=1的两个焦点分别是F1（-5，0）与F2（5，0），且|PF1|+|PF2|=8而这两点正好是两圆（x+5）2+y2=1和（x-5）2+y2=1的圆心，两圆（x+5）2+y2=4和（x-5）2+y2=1的半径分别是r1=1，r2=1，∴|PQ|max=|PF1|+1，|PR|min=|PF2|-1，∴|PQ|-|PR|的最大值为：（|PF1|+1）-（|PF2|-1）=|PF1|+|PF2|+2=8+2=10，故选C45.某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个），这种细菌由1个繁殖成4096个需经过（）A．12小时B．4小时C．3小时D．2小时答案：设共分裂了x次，则有2x=4

096，∴2x=212，又∵每次为15分钟，∴共15×12=180（分钟），即3个小时．故为C46.计算：x10÷x5=______．答案：根据有理数指数幂的运算性质：x10÷x5=x5故为：x547.用“斜二测画法”作正三角形ABC的水平放置的直观图△A′B′C′，则△A′B′C′与△ABC的面积之比为______．答案：设正三角形的标出为：1，正三角形的高为：32，所以正三角形的面积为：34；按照“斜二测画法”画法，△A′B′C′的面积是：12×1×34×sin45°=616；所以△A′B′C′与△ABC的面积之比为：61634=24，故为：2448.某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下三种方案：

方案1：运走设备，此时需花费4000元；

方案2：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56

000元；

方案3：不采取措施，此时，当两河流都发生洪水时损失达60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．

（1）试求方案3中损失费ξ（随机变量）的分布列；

（2）试比较哪一种方案好．答案：（1）在方案3中，记“甲河流发生洪水”为事件A，“乙河流发生洪水”为事件B，则P（A）=0.25，P（B）=0.18，所以，有且只有一条河流发生洪水的概率为P（A?.B+.A?B）=P（A）?P（.B）+P（.A）?P（B）=0.34，两河流同时发生洪水的概率为P（A?B）=0.045，都不发生洪水的概率为P（.A?.B）=0.75×0.82=0.615，设损失费为随机变量ξ，则ξ的分布列为：（2）对方案1来说，花费4000元；对方案2来说，建围墙需花费1000元，它只能抵御一条河流的洪水，但当两河流都发生洪水时，损失约56000元，而两河流同时发生洪水的概率为P=0.25×0.18=0.045．所以，该方案中可能的花费为：1000+56000×0.045=3520（元）．对于方案来说，损失费的数学期望为：Eξ=10000×0.34+60000×0.045=6100（元），比较可知，方案2最好，方案1次之，方案3最差．49.如果随机变量ξ～N（0，σ2），且P（-2＜ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）等于（）

A．0.1

B．0.2

C．0.3

D．0.4答案：A50.一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，3，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k号码的个位数字相同，若m=6，则在第7组中抽取的号码是（）

A．66

B．76

C．63

D．73答案：C第2卷一.综合题(共50题)1.已知抛物线C的参数方程为x=8t2y=8t（t为参数），设抛物线C的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为-3，那么|PF|=______．答案：把抛物线C的参数方程x=8t2y=8t（t为参数），消去参数化为普通方程为y2=8x．故焦点F（2，0），准线方程为x=-2，再由直线FA的斜率是-3，可得直线FA的倾斜角为120°，设准线和x轴的交点为M，则∠AFM=60°，且MF=p=4，∴∠PAF=180°-120°=60°．∴AM=MF•tan60°=43，故点A（0，43），把y=43代入抛物线求得x=6，∴点P（6，43），故|PF|=(6-2)2+(43-0)2=8，故为8．2.到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是（）

A．椭圆

B．AB所在直线

C．线段AB

D．无轨迹答案：C3.设方程lgx+x=3的实数根为x0，则x0所在的一个区间是（）A．（3，+∝）B．（2，3）C．（1，2）D．（0，1）答案：由lgx+x=3得：lgx=3-x．分别画出等式：lgx=3-x两边对应的函数图象：如图．由图知：它们的交点x0在区间（2，3）内，故选B．4.已知全集U=R，A⊆U，B⊆U，如果命题P：2∈A∪B，则命题非P是（）A．2∉AB．2∈(CUA)C．2∈(CUA)∩(CUB)D．2∈(CUA)∪(CUB)答案：命题P：2∈A∪B，∴┐p为2∈(CUA)∩(CUB)故选C5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人都投中1次的概率为______．答案：两人都投中1次的概率为C210.6×0.4×C210.7×0.3=0.2016故为：0.20166.如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点A在x轴上，AB平行于y轴，侧棱AA1平行于z轴．当顶点C在y轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）

A．该三棱柱主视图的投影不发生变化

B．该三棱柱左视图的投影不发生变化

C．该三棱柱俯视图的投影不发生变化

D．该三棱柱三个视图的投影都不发生变化

答案：B7.以下四组向量中，互相平行的是．（）

（1）=(1，2，1)，=(1，-2，3)；

（2）=(8，4，-6)，=(4，2，-3)；

（3）=(0，1，-1)，=(0，-3，3)；

（4）=(-3，2，0)，=(4，-3，3)．

A．（1）（2）

B．（2）（3）

C．（2）（4）

D．（1）（3）答案：B8.已知P（x，y）是椭圆x24+y2=1上的点，求M=x+2y的取值范围．答案：∵x24+y2=1的参数方程是x=2cosθy=sinθ（θ是参数）∴设P（2cosθ，sinθ）（4分）∴M=x+2y=2cosθ+2sinθ=22sin(θ+π4)

（7分）∴M=x+2y的取值范围是[-22，22]．（10分）9.（1+x2）5的展开式中x2的系数（）A．10B．5C．52D．1答案：含x2项为C25(x2)2=10×x24=52x2，故选项为为C．10.给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（）A．1789B．1799C．1879D．1899答案：由题意知本题是一个求和问题，87+91+94+88+93+91+89+87+92+86+90+92+88+90+91+86+89+92+95+88=1799，故选B．11.若直线

3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心，则a的值为（）

A．-1

B．1

C．3

D．-3答案：B12.如图，I表示南北方向的公路，A地在公路的正东2km处，B地在A地北偏东60°方向2km处，河流沿岸PQ（曲线）上任一点到公路l和到A地距离相等，现要在河岸PQ上选一处M建一座码头，向A，B两地转运货物，经测算从M到A，B修建公路的费用均为a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（单位万元）（）

A.（2+）a

B．5a

C.2（+1）a

D．6a

答案：B13.已知a=（a1，a2），b=（b1，b2），丨a丨=5，丨b丨=6，a•b=30，则a1+a2b1+b2=______．答案：因为丨a丨=5，丨b丨=6，a•b=30，又a⋅b=|a|⋅|b|cos＜a，b＞=30，即cos＜a，b＞=1，所以a，b同向共线．设b=ka，(k＞0)．则b1=ka1，b2=ka2，所以|b|=k|a|，所以k=65，所以a1+a2b1+b2=a1+a2k(a1+a2)=1k=56．故为：56．14.下面的结构图，总经理的直接下属是（）

A．总工程师和专家办公室

B．开发部

C．总工程师、专家办公室和开发部

D．总工程师、专家办公室和所有七个部答案：C15.用反证法证明命题“若a、b∈N，ab能被2整除，则a，b中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是______．答案：根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“a，b都不能被2整除”，故为：a、b都不能被2整除．16.两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（-3，-1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．

求：

（1）d的变化范围；

（2）当d取最大值时两条直线的方程．答案：（1）方法一：①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x=6和x=-3，则它们之间的距离为9．…（2分）②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为l1：y-2=k（x-6），l2：y+1=k（x+3），即l1：kx-y-6k+2=0，l2：kx-y+3k-1=0，…（4分）∴d=|3k-1+6k-2|k2+1=3|3k-1|k2+1．即（81-d2）k2-54k+9-d2=0．∵k∈R，且d≠9，d＞0，∴△=（-54）2-4（81-d2）（9-d2）≥0，即0＜d≤310且d≠9．…（9分）综合①②可知，所求d的变化范围为（0，310]．方法二：如图所示，显然有0＜d≤|AB|．而|AB|=[6-(-3)]2+[2-(-1)]2=310．故所求的d的变化范围为（0，310]．（2）由图可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB．而kAB=2-(-1)6-(-3)=13，∴所求直线的斜率为-3．故所求的直线方程分别为y-2=-3（x-6），y+1=-3（x+3），即3x+y-20=0和3x+y+10=0-…（13分）17.三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜a＜cD．b＜c＜a答案：由对数函数的性质可知：b=log20.3＜0，由指数函数的性质可知：0＜a＜1，c＞1∴b＜a＜c故选C18.如图，在直角坐标系中，A，B，C三点在x轴上，原点O和点B分别是线段AB和AC的中点，已知AO=m（m为常数），平面上的点P满足PA+PB=6m．

（1）试求点P的轨迹C1的方程；

（2）若点（x，y）在曲线C1上，求证：点(x3，y22)一定在某圆C2上；

（3）过点C作直线l，与圆C2相交于M，N两点，若点N恰好是线段CM的中点，试求直线l的方程．答案：（1）由题意可得点P的轨迹C1是以A，B为焦点的椭圆．…（2分）且半焦距长c=m，长半轴长a=3m，则C1的方程为x29m2+y28m2=1．…（5分）（2）若点（x，y）在曲线C1上，则x29m2+y28m2=1．设x3=x0，y22=y0，则x=3x0，y=22y0．…（7分）代入x29m2+y28m2=1，得x02+y02=m2，所以点(x3，y22)一定在某一圆C2上．…（10分）（3）由题意C（3m，0）．…（11分）设M（x1，y1），则x12+y12=m2．…①因为点N恰好是线段CM的中点，所以N(x1+3m2，y12)．代入C2的方程得(x1+3m2)2+(y12)2=m2．…②联立①②，解得x1=-m，y1=0．…（15分）故直线l有且只有一条，方程为y=0．…（16分）（若只写出直线方程，不说明理由，给1分）19.曲线y=log2x在M=0110作用下变换的结果是曲线方程______．答案：设P（x，y）是曲线y=log2x上的任一点，P1（x′，y′）是P（x，y）在矩阵M=0110对应变换作用下新曲线上的对应点，则x′y′=0110xy=yx（3分）即x′=yy′=x，所以x=y′y=x′，（6分）将x=y′y=x′代入曲线y=log2x，得x′=log2y′，（8分）即y′=2x′曲线y=log2x在M=0110作用下变换的结果是曲线方程y=2x故为：y=2x20.已知双曲线x2-y22=1，经过点M（1，1）能否作一条直线l，使直线l与双曲线交于A、B，且M是线段AB的中点，若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，说明理由．答案：设过点M（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1（1）当k存在时有y=k(x-1)+1x2

-y22=1得（2-k2）x2+（2k2-2k）x-k2+2k-3=0

（1）当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有△=（2k2-2k）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）＞0，k＜32

又方程（1）的两个不同的根是两交点A、B的横坐标∴x1+x2=2(k-k2)2-k2

又M（1，1）为线段AB的中点∴x1+x22=1

即k-k22-k2=1

k=2

∴k=2，使2-k2≠0但使△＜0因此当k=2时，方程（1）无实数解故过点m（1，1）与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在．（2）当x=1时，直线经过点M但不满足条件，综上，符合条件的直线l不存在21.若a=(1，2，-2)，b=(1，0，2)，则(a-b)•(a+2b)=______．答案：∵a=(1，2，-2)，b=(1，0，2)，∴a-b=(0，2，-4)，a+2b=（3，2，2）．∴(a-b)•(a+2b)=0×3+2×2-4×2=-4．故为-4．22.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（-1，1），若取原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则在下列选项中，不是点P极坐标的是（）

A．（）

B．（）

C．（）

D．（）答案：D23.已知P（4，-9），Q（-2，3）且Y轴与线段PQ交于M，则Q分的比为（）

A．-2

B．-

C．

D．3答案：B24.已知平面上的向量PA、PB满足|PA|2+|PB|2=4，|AB|=2，设向量PC=2PA+PB，则|PC|的最小值是

______．答案：|PA|2+|PB|2=4，|AB|=2∴|PA|2+|PB|2=|AB|2∴PA?PB=0∴PC2=4PA2+4PA?PB+PB2=3PA2+4≥4∴|PC|≥2故为2．25.用数学归纳法证明不等式成立，起始值至少应取为（）

A．7

B．8

C．9

D．10答案：B26.参数方程为t为参数)表示的曲线是（）

A．一条直线

B．两条直线

C．一条射线

D．两条射线答案：D27.已知||=3，A、B分别在x轴和y轴上运动，O为原点，则动点P的轨迹方程是（）

A．

B．

C．

D．答案：B28.某厂一批产品的合格率是98%，检验单位从中有放回地随机抽取10件，则计算抽出的10件产品中正品数的方差是______．答案：用X表示抽得的正品数，由于是有放回地随机抽取，所以X服从二项分布B（10，0.98），所以方差D（X）=10×0.98×0.02=0.196故为：0.196．29.已知、分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量，且=-3+6，=-6+4，=--6，则一定共线的三点是（）

A．A，B，C

B．A，B，D

C．A，C，D

D．B，C，D答案：C30.已知M和N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，且，若=a，=b，=c，则用a，b，c表示为（）

A．

B．

C．

D．

答案：B31.如图，四边形ABCD内接于圆O，且AC、BD交于点E，则此图形中一定相似的三角形有（）对．

A．0

B．3

C．2

D．1

答案：C32.若圆O1方程为（x+1）2+（y+1）2=4，圆O2方程为（x-3）2+（y-2）2=1，则方程（x+1）2+（y+1）2-4=（x-3）2+（y-2）2-1表示的轨迹是（）

A．经过两点O1，O2的直线

B．线段O1O2的中垂线

C．两圆公共弦所在的直线

D．一条直线且该直线上的点到两圆的切线长相等答案：D33.为了参加奥运会，对自行车运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度的数据如表所示：

甲273830373531乙332938342836请判断：谁参加这项重大比赛更合适，并阐述理由．答案：.X甲=27+38+30+37+35+316=33S甲=946≈3.958，（

4分）.X乙=33+29+38+34+28+366=33S乙=383≈3.559（8分）.X甲=.X乙，S甲＞S乙

（10分）乙参加更合适

（12分）34.实数变量m，n满足m2+n2=1，则坐标（m+n，mn）表示的点的轨迹是（）

A．抛物线

B．椭圆

C．双曲线的一支

D．抛物线的一部分答案：A35.P是直线3x+y+1=0上一点，P到点Q（0，2）距离的最小值是______．答案：过点Q作直线的垂线段，当P是垂足时，线段PQ最短，故最小距离是点Q（0，2）到直线3x+y+1=0的距离d，d=|0+2+1|3+1=32=1.5．∴P到点Q（0，2）距离的最小值是1.5；故为1.5．36.若直线l经过点A（-1，1），且一个法向量为n=（3，3），则直线方程是______．答案：设直线的方向向量m=(1，k)∵直线l一个法向量为n=（3，3）∴m•n=0∴k=-1∵直线l经过点A（-1，1）∴直线l的方程为y-1=（-1）×（x+1）即x+y=0故为x+y=037.如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若AP=5，PC=3，DP=5，则AB=______．

答案：∵AP=5，PC=3，DP=5由相交弦定理可得：BP=35又∵AB为直径，∴∠ACB=90°∴BC=PB2-PC2=6∴AB=AC2-BC2=10故为：1038.设函数f（x）=ax（a＞0，a≠1），如果f（x1+x2+…+x2009）=8，那么f（2x1）×f（2x2）×…×f（2x2009）的值等于（）A．32B．64C．16D．8答案：f（x1+x2+…+x2009）=8可得ax1+x2+…+x2009=8f（2x1）×f（2x2）×…×f（2x2009）=a2（x1+x2+…+x2009）=82=64故选B．39.用数学归纳法证明：（n+1）+（n+2）+…+（n+n）=n(3n+1)2（n∈N*）答案：证明：①n=1时，左边=2，右边=2，等式成立；②假设n=k时，结论成立，即：（k+1）+（k+2）+…+（k+k）=k(3k+1)2则n=k+1时，等式左边=（k+2）+（k+3）+…+（k+k+1）+（k+1+k+1）=k(3k+1)2+3k+2=(k+1)(3k+4)2故n=k+1时，等式成立由①②可知：（n+1）+（n+2）+…+（n+n）=n(3n+1)2（n∈N*）成立40.叙述并证明勾股定理．答案：证明：如图左边的正方形是由1个边长为a的正方形和1个边长为b的正方形以及4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形拼成的．右边的正方形是由1个边长为c的正方形和4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形拼成的．因为这两个正方形的面积相等（边长都是a+b），所以可以列出等式a2+b2+4×12ab=c2+4×12ab，化简得a2+b2=c2．下面是一个错误证法：勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理证明：作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b＞a），斜边长为c．再做一个边长为c的正方形．把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上．过点Q作QP∥BC，交AC于点P．过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N．∵∠BCA=90°，QP∥BC，∴∠MPC=90°，∵BM⊥PQ，∴∠BMP=90°，∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90°．∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90°，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c，∴Rt△BMQ≌Rt△BCA．同理可证Rt△QNF≌Rt△AEF．即a2+b2=c241.如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P．若PB=1，PD=3，则BCAD的值为______．答案：因为A，B，C，D四点共圆，所以∠DAB=∠PCB，∠CDA=∠PBC，因为∠P为公共角，所以△PBC∽△PAD，所以BCAD=PBPD=13．故为：13．42.有50件产品编号从1到50，现在从中抽取抽取5件检验，用系统抽样确定所抽取的编号为（）

A．5，10，15，20，25

B．5，15，20，35，40

C．5，11，17，23，29

D．10，20，30，40，50答案：D43.设a=(2，2m-3，n+2)，b=(4，2m+1，3n-2)，且a∥b，则实数m，n的值分别为______．答案：因为a=(2，2m-3，n+2)，b=(4，2m+1，3n-2)，且a∥b，根据空间向量平行的坐标表示公式，

所以24=2m-32m+124=n+23n-2，解得：m=12，n=6．故为：m=12，n=6．44.如图，在梯形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，E、F分别是AC和BD的中点，分别写出

（1）图中与EF、CO共线的向量；

（2）与EA相等的向量．答案：（1）由图可知，与EF共线的向量有：CD、AB；与CO共线的向量有：CE、CA、OE、OA、EA；（2）由E为CA的中点可知，CE=EA，即与EA相等的向量为CE；45.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求

（1）他罚球1次的得分X的数学期望；

（2）他罚球2次的得分Y的数学期望；

（3）他罚球3次的得分η的数学期望．答案：（1）X的取值为1，2，则因为P（X=1）=0.7，P（X=0）=0.3，所以EX=1×P（X=1）+0×P（X=0）=0.7．（2）Y的取值为0，1，2，则P（Y=0）=0.32=0.09，P（Y=1）=C12×0.7×0.3=0.42，P（Y=2）=0.72=0.49Y的概率分布列为Y012P0.090.420.49所以EY=0×0.09+1×0.42+2×0.49=1.4．（3）η的取值为0，1，2，3，则P（η=0）=0.33=0.027，P（η=1）=C13×0.7×0．32=0.189，P（η=2）=C23×0．72×0.3=0.441，P（η=3）=0.73=0.343∴η的概率分布为η0123P0.0270.1890.4410.343所以Eη=0×0.027+1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1．46.已知矩阵A=abcd，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为α1=11，属于特征值-1的一个特征向量为α2=1-1，则矩阵A=______．答案：由矩阵A属于特征值3的一个特征向量为α1=11可得abcd11=311，即a+b=3c+d=3；（4分）由矩阵A属于特征值2的一个特征向量为α2=1-1，可得abcd1-1=（-1）1-1，即a-b=-1c-d=1，（6分）解得a=1b=2c=2d=1，即矩阵A=1221．（10分）故为：1221．47.椭圆上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有（）

A．3个

B．4个

C．6个

D．8个答案：C48.已知D是△ABC所在平面内一点，，则（）

A．

B．

C．=

D．答案：A49.设集合A={x|}，则A∩B等于（

）

A．

B．

C．

D．答案：B50.如果抛物线y2=a（x+1）的准线方程是x=-3，那么这条抛物线的焦点坐标是（）A．（3，0）B．（2，0）C．（1，0）D．（-1，0）答案：抛物线y2=a（x+1）可由抛物线y2=ax向左平移一个单位长度得到，因为抛物线y2=a（x+1）的准线方程是x=-3，所以抛物线y2=ax的准线方程是x=-2，且焦点坐标为（2，0），那么抛物线y2=a（x+1）的焦点坐标为（1，0）．故选C．第3卷一.综合题(共50题)1.已知实数x、y满足(x-2)2+y2+(x+2)2+y2=6，则2x+y的最大值等于______．答案：∵实数x、y满足(x-2)2+y2+(x+2)2+y2=6，∴点（x，y）的轨迹是椭圆，其方程为x29+y25=1，所以可设x=3cosθ，y=5sinθ，则z=6cosθ+5sinθ=41sin(θ+

β)≤41，∴2x+y的最大值等于41．故为：412.为了了解某社区居民是否准备收看奥运会开幕式，某记者分别从社区的60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的160，240，X人中，采用分层抽样的方法共抽出了30人进行调查，若60～70岁这个年龄段中抽查了8人，那么x为（）

A．90

B．120

C．180

D．200答案：D3.若则实数λ的值是（）

A．

B.

C．

D．答案：D4.已知点（3，1）和（-4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则实数a的取值范围是（

）

A.a＜-7或a＞24

B.a=7或a=24

C.-7＜a＜24

D.-24＜a＜7答案：C5.若向量a=(1，1，x)，b=(1，2，1)，c=(1，1，1)，满足条件(c-a)•(2b)=-2，则x=______．答案：c-a=(0，0，1-x)，(c-a)•(2b)

=(2，4，2)•(0，0，1-x)=2(1-x)=-2，解得x=2，故为2．6.已知△ABC的三个顶点为A（1，-2，5），B（-1，0，1），C（3，-4，5），则边BC上的中线长为______．答案：∵A（1，-2，5），B（-1，0，1），C（3，-4，5），∴BC的中点为D（1，-2，3），∴|AD|=(1-1)2+(-2+2)2+(5-3)2=2．故为：2．7.设矩阵M=.32-121232.的逆矩阵是M-1=.abcd.，则a+c的值为______．答案：由题意，矩阵M的行列式为.32-121232.=32×32+12×12=1∴矩阵M=.32-121232.的逆矩阵是M-1=.3212-1232.∴a+c=3-12故为3-128.在极坐标系中，点A(2，π2)关于直线l：ρcosθ=1的对称点的一个极坐标为______．答案：在直角坐标系中，A（0，2），直线l：x=1，A关于直线l的对称点B（2，2）．由于|OB|=22，OB直线的倾斜角等于π4，且点B在第一象限，故B的极坐标为(22，π4)，故为

(22，π4)．9.设集合A={x|x＜1，x∈R}，B={x|1x＞1，x∈R}，则下列图形能表示A与B关系的是（）A．

B．

C．

D．

答案：B={x|1x＞1}={x|0＜x＜1}，所以B?A．所以对应的关系选A．故选A．10.若{、、}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是[

]A．，+，﹣

B．，+，﹣

C．，+，﹣

D．+，﹣，+2答案：C11.设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，A是抛物线上一点，若·=，则点A的坐标是

（

）A．B．C．D．答案：B解析：略12.已知点P的坐标为（3，4，5），试在空间直角坐标系中作出点P．答案：由P（3，4，5）可知点P在Ox轴上的射影为A（3，0，0），在Oy轴上射影为B（0，4，0），以OA，OB为邻边的矩形OACB的顶点C是点P在xOy坐标平面上的射影C（3，4，0）．过C作直线垂直于xOy坐标平面，并在此直线的xOy平面上方截取5个单位，得到的就是点P．13.设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={x|x=a+b，a∈P，b∈Q}，若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q中元素的个数是______．答案：∵a∈P，b∈Q，∴a可以为0，2，5三个数，b可以为1，2，6三个数，∴x=0+1=1，x=0+2=2，x=0+6=6，x=2+1=3，x=2+2=4，x=2+6=8，x=5+1=6，x=5+2=7，x=5+6=11，∴P+Q={x|x=a+b，a∈P，b∈Q}={1，2，3，4，6，7，8，11}，有8个元素．故为8．14.在空间直角坐标系中，点P（2，-4，6）关于y轴对称点P′的坐标为P′（-2，-4，-6）P′（-2，-4，-6）．答案：∵在空间直角坐标系中，点（2，-4，6）关于y轴对称，∴其对称点为：（-2，-4，-6），故为：（-2，-4，-6）．15.设集合A={1，2，4}，B={2，6}，则A∪B等于（）A．{2}B．{1，2，4，6}C．{1，2，4}D．{2，6}答案：∵集合A={1，2，4}，B={2，6}，∴A∪B={1，2，4}∪{2，6}={1，2，4，6}，故选B．16.已知三角形ABC的一个顶点A（2，3），AB边上的高所在的直线方程为x-2y+3=0，角B的平分线所在的直线方程为x+y-4=0，求此三角形三边所在的直线方程．答案：由题意可得AB边的斜率为-2，由点斜式求得AB边所在的直线方程为y-3=-2（x-2），即2x+y-7=0．由2x+y-7=0x+y-4=0

求得x=3y=1，故点B的坐标为（3，1）．设点A关于角B的平分线所在的直线方程为x+y-4=0的对称点为M（a，b），则M在BC边所在的直线上．则由b-3a-2=-1a+22+b+32-4=0

求得a=1b=2，故点M（1，2），由两点式求得BC的方程为y-12-1=x-31-3，即x+2y-5=0．再由x-2y+3=0x+2y-5=0求得点C的坐标为（2，52），由此可得得AC的方程为x=2．17.已知矩阵A将点（1，0）变换为（2，3），且属于特征值3的一个特征向量是11，（1）求矩阵A．（2）β=40，求A5β．答案：（1）设A=abcd，由abcd10=23得，a=2c=3，由abcd11=311=33得，a+b=3c+d=3，所以b=1d=0所以A=2130．

7分（2）A=2130的特征多项式为f(λ)=.λ-2-1-3λ.=

(λ

-3)(λ+1)令f（λ）=0，可得λ1=3，λ2=-1，λ1=3时，α1=11，λ2=-1时，α2=1-3令β=mα1+α2，则β=40=3α1+α2，A5β=3×35α1-α2=36-136+3…14分．18.化简下列各式：

（1）AB+DF+CD+BC+FA=______；

（2）(AB+MB)+(BO+BC)+OM=______．答案：（1）AB+DF+CD+BC+FA=（AB+BC+CD+DF）+FA=AF+FA=0；（2）(AB+MB)+(BO+BC)+OM=（AB+BC）+MB+（BO+OM）=AC+MB+BM=AC+（MB+BM）=AC+0=AC，故为：（1）0；（2）AC19.把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则P（B|A）等于（

）

A．

B．

C．

D．答案：A20.已知过点A（-2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为（）

A．0

B．-8

C．2

D．10答案：B21.在直角坐标系中，x=-1+3cosθy=2+3sinθ，θ∈[0，2π]，所表示曲线的解析式是：______．答案：由题意并根据cos2θ+sin2θ=1

可得，(x+13)2+(y-23)2=1，即（x+1）2+（y-2）2=9，故为（x+1）2+（y-2）2=9．解析：在直角坐标系中，22.在程序语言中，下列符号分别表示什么运算*；\；∧；SQR；ABS？答案：“*”表示乘法运算；“\”表示除法运算；“∧”表示乘方运算；“SQR（）”表示求算术平方根运算；“ABS（）”表示求绝对值运算．23.若事件与相互独立，且，则的值等于A．B．C．D．答案：B解析：事件“”表示的意义是事件与同时发生，因为二者相互独立，根据相互独立事件同时发生的概率公式得：.24.如图所示,PD⊥平面ABCD,且四边形ABCD为正方形,AB=2,E是PB的中点,

cos〈,〉=.

(1)建立适当的空间坐标系,写出点E的坐标;

(2)在平面PAD内求一点F,使EF⊥平面PCB.答案：(1)点E的坐标是（1，1，1）(2)F是AD的中点时满足EF⊥平面PCB解析：(1)如图所示,以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0），设P（0，0，2m），则E（1，1，m），∴=（-1，1，m），=（0，0，2m）.∴cos〈,〉==.解得m=1,∴点E的坐标是（1，1，1）.（2）∵F∈平面PAD，∴可设F（x，0，z）.则=（x-1，-1，z-1），又=（2，0，0），=（0，2，-2）∵EF⊥平面PCB∴⊥，且⊥即∴∴，∴F点的坐标为（1，0，0）即点F是AD的中点时满足EF⊥平面PCB.25.不等式的解集是

（

）A．B．C．D．答案：B解析：当时，不等式成立；当时，不等式可化为，解得综上，原不等式解集为故选B26.从装有5只红球和5只白球的袋中任意取出3只球，有如下几对事件：

①“取出两只红球和一只白球”与“取出一只红球和两只白球”；

②“取出两只红球和一只白球”与“取出3只红球”；

③“取出3只红球”与“取出的3只球中至少有一只白球”；

④“取出3只红球”与“取出3只白球”．

其中是对立事件的有______（只填序号）．答案：对于①“取出两只红球和一只白球”与“取出一只红球和两只白球”，由于它们不能同时发生，故是互斥事件．但由于它们的并事件不是必然事件，故它们不是对立事件．对于②“取出两只红球和一只白球”与“取出3只红球”，由于它们不能同时发生，故是互斥事件．但由于它们的并事件不是必然事件，故它们不是对立事件．对于③“取出3只红球”与“取出的3只球中至少有一只白球”，它们不可能同时发生，而且它们的并事件是必然事件，故它们是对立事件．④“取出3只红球”与“取出3只白球”．由于它们不能同时发生，故是互斥事件．但由于它们的并事件不是必然事件，故它们不是对立事件．故为③．27.设、、为实数，，则下列四个结论中正确的是（

）A．B．C．且D．且答案：D解析：若,则,则.若,则对于二次函数,由可得结论.28.已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则：

（1）逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；

（2）否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；

（3）逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”；

其中所有正确叙述的序号是______．答案：（1）交换原命题的条件和结论得到逆命题：“乘积为无理数的两数都是无理数”，正确．（2）同时否定原命题的条件和结论得到否命题：“两个不都是无理数的积也不是无理数”，正确．（3）同时否定原命题的条件和结论，然后在交换条件和结论得到逆否命题：“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”．所以逆否命题错误．故为：（1）（2）．29.已知M为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的动点，F1、F2为椭圆焦点，延长F2M至点B，则ρF1MB的外角的平分线为MN，过点F1作

F1Q⊥MN，垂足为Q，当点M在椭圆上运动时，则点Q的轨迹方程是______．答案：点F1关于∠F1MF2的外角平分线MQ的对称点N在直线F1M的延长线上，故|F1N|=|PF1|+|PF2|=2a（椭圆长轴长），又OQ是△F2F1N的中位线，故|OQ|=a，点Q的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆，点Q的轨迹方程是x2+y2=a2故为：x2+y2=a230.（理）下列以t为参数的参数方程中表示焦点在y轴上的椭圆的是（）

A．

B．（a＞b＞0）

C．

D．

答案：C31.已知圆x2+y2=r2在曲线|x|+|y|=4的内部，则半径r的范围是（）A．0＜r＜22B．0＜r＜2C．0＜r＜2D．0＜r＜4答案：根据题意画出图形，如图所示：可得曲线|x|+|y|=4表示边长为42的正方形，如图ABCD为正方形，x2+y2=r2表示以原点为圆心的圆，过O作OE⊥AB，∵边AB所在直线的方程为x+y=4，∴|OE|=42=22，则满足题意的r的范围是0＜r＜22．故选A32.从某校随机抽取了100名学生，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图），由图中数据可知m=______，所抽取的学生中体重在45～50kg的人数是______．答案：由频率分步直方图知，（0.02+m+0.06+0.02）×5=1，∴m=0.1，∴所抽取的体重在45～50kg的人数是0.1×5×100=50人，故为：0.1；5033.设a1，a2，…，an为实数，证明：a1+a2+…+ann≤a21+a22+…+a2nn．答案：证明：不妨设a1≤a2≤…≤an，则由排序原理得：a12+a22+…+an2=a1a1+a2a2+…+anana12+a22+…+an2≤a1a2+a2a3+…+ana1a12+a22+…+an2≤a1a3+a2a4+…+an-1a1+ana2…a12+a22+…+an2≤a1an+a2a1+…+anan-1．将上述n个式子相加，得：n（a12+a22+…+an2）≤（a1+a2+…+an）2，上式两边除以n2，并开方可得：a1+a2+…+ann≤a21+a22+…+a2nn．34.已知△ABC，A（-1，0），B（3，0），C（2，1），对它先作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°．

（1）分别求两次变换所对应的矩阵M1，M2；

（2）求△ABC在两次连续的变换作用下所得到△A′B′C′的面积．答案：（1）关于x轴的反射变换M1=100-1，绕原点逆时针旋转90°的变换M2=0-110．（4分）（2）∵M2•M1=0-110100-1=0110，（6分）△ABC在两次连续的变换作用下所得到△A′B′C′，∴A（-1，0），B（3，0），C（2，1）变换成：A′（0，-1），B′（0，3），C′（1，2），（9分）∴△A'B'C'的面积=12×4×1=2．（10分）35.设集合A={1，2，3，4}，集合B={1，3，5，7}，则集合A∪B=（）A．{1，3}B．{1，2，3，4，5，7}C．{5，7}D．{2，4，5，7}答案：∵A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，∴A∪B={1，2，3，4，5，7}，故选B．36.如图，△ABC内接于圆⊙O，CT切⊙O于C，∠ABC=100°，∠BCT=40°，则∠AOB=（）

A．30°

B．40°

C．80°

D．70°

答案：C37.直线y=kx+1与椭圆x29+y24=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定答案：∵直线y=kx+1过定点（0，1），把（0，1）代入椭圆方程的左端有0+14＜1，即（0，1）在椭圆内部，∴直线y=kx+1与椭圆x29+y24=1必相交，

因此可排除B、C、D；

故选A．38.已知向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，则向量表示（）

A向东南航行km

B．向东南航行2km

C．向东北航行km