浙江省温州市兴港高级中学人教版高中数学必修二课件：2-1-1平面与平面的关系

面与面之间的关系1、初中《几何》中我们认识了哪些平面几何图形？三角形、四边形、多边形、圆形、椭圆等。平面内基本图形：点、线空间中基本图形：点、线、面2、高中《几何》中我们认识了哪些立体几何图形？棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等。复习引入41.特点:平面是无限延展,没有厚度的.2.画法:水平或竖直的平面常用平行四边形表示.3.记法:①平面α、平面β、平面γ（标记在边上）②平面ABCD、平面AC或平面BD（但常用平面的一部分表示平面）ABCDABCD一、平面的表示方法5

判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号后打，否则打.1、一个平面长4米，宽2米；()2、平面有边界；()3、一个平面的面积是25cm2；()4、平面是无限延展、没有厚度的；()5、一个平面可以把空间分成两部分.()巩固:Aa点在直线上点在直线外点在平面内

点在平面外结论1：空间中点与线、点与面的位置关系思考1:把一根木条固定在墙面上需要几根钉子?Aa表示两平面相交的画法点与平面的位置关系点A在平面内，记作：点B在平面外，记作：二、平面的基本性质公理1：若一条直线的两点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内,即:这条直线在这个平面内。作用:用于判定线在面内即:A∈a且B∈aABaAB直线a在平面a内记作：aa直线a在平面a外记作：aa结论2：空间中线与面的位置关系强调:

空间中点与线(面)只有∈和关系空间中线与面只有

与

的关系条件结论结论条件1条件2｝推导符号“”的使用：思考2:固定一扇门需要几样东西？回答:确定一个平面需要什么条件?公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。ABC

A、B、C确定一个平面A、B、C不共线强调:推导符号跟着结论一起换行。作用:用于确定一个平面.推论1.一条直线和直线外一点确定一个平面。推论2.两条相交直线确定一个平面。推论3.两条平行直线确定一个平面。公理2.不共线的三点确定一个平面.确定一平面还有哪些方法？aACB应用1:

几位同学的一次野炊活动,带去一张折叠方桌,不小心弄坏了桌脚,有一生提议可将几根一样长的木棍,在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图所示）,问至少要几根木棍，才可能使桌面稳定？答:至少3根

应用2:过空间中一点可以做几个平面？过空间中两点呢？三点呢？

结论：过空间中一点或两点可以做无数个平面，过空间中不共线的三点只能做一个，否则有无数个。思考3:如图所示，两个平面α、β,若相交于一点,则会发生什么现象?βPlα公理3：若两个不重合平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线。即:P∈a且P∈baIb=l且P∈l｝｛P∈aP∈baIb=lP∈l作用:用于证明点在线上或多点共线.

例1如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．alABalPb（1）（2）解：在（1）中，在（2）中，典型例题1.正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面

,分别记作，试用适当的符号填空．(6)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=A1B1C1D1O1ABCDOOO1练习back20例2：求证两两相交于不同点的三条直线必在同一个平面内(共面问题)ABC已知:

AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C.求证:直线AB、BC、AC共面.证明∵AB∩AC=Aa∴直线AB、BC、AC共面于a∴AB和AC确定一平面a(公理2的推论2)

∵B∈ABa,C∈ACa∴BCa(公理1)证法二：因为A不在直线BC上，所以过点A和直线BC确定平面α

.（推论1）因为B∈BC，所以B∈α

.又A∈α，故AB，同理AC，所以AB，AC，BC共面.ABC例2证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内.证法三：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面α.（公理2）因为A∈α，B∈α，所以AB.（公理1）同理BC，AC，所以AB，BC，CA三直线共面.

例3:△ABC在平面a外,

AB∩a

=Ｐ,BC

∩a=R，AC∩a

=Q,求证:Ｐ、Ｑ、Ｒ三点共线.(共线问题)ABCa又P∈a证明:∵P∈AB且AB平面ABCQPR∴

P∈平面ABC∴

P∈平面ABC∩a(公理3)设平面ABC∩a=l则P∈

l同理Q∈l且R∈l故P、Q、R三点共线于直线ll三线共点的问题练习：空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别是CD和AD上的点，且EH与FG相交于K.求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.分析：已知EH∩FG=K，要证EH，BD，FG共点.即要证明B，D，K三点共线.而BD是面ABD和面CBD的交线.所以往证K∈面ABD∩面CBD.而显然，由EH∈面ABD，K∈EH，可得K∈面ABD.同理，由FG∈面CBD，K∈FG，可得K∈面CBD.三线共点的问题练习：已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证：EFGH是一个平行四边形.问1:若上例加上条件AC=BD，则四边形EFGH是一个什么图形？“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法．∵EH是△ABD的中位线，∴EH∥FG且EH=FG．∴EFGH是一个平行四边形．证明：连结BD，同理，FG∥BD且FG=BD．

∴EH∥BD且EH=BD．ABDEFGHC菱形问2:若上例中四边形EFGH为矩形，AC与BD垂直吗？另注：平行线段成比例练习例4：证明：一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线共面.已知：a//b，a∩c=A，b∩c=B.求证：直线a，b，c共面.证明：因为a//b，所以直线a，b确定一个平面α

.（推论3）因为A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又因为A∈c，B∈c.故AB

.（公理1）因此直线a，b，c共面.点线共面问题练已知a，b，a∩b=A，P∈b，PQ//a.求证：PQ

.点线共面问题补充练习：1、A为直线上的点，又点A不在平面内，则与的公共点最多有_______个.12、四条直线过同一点，过每两条直线作一个平面，则可以作_____________个不同的平面.1或4或6

若一条直线的两点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内,即:这条直线在这个平面内

小结:平面的基本性质

公理1：作用:用于判定线在面内即:A∈a且B∈aABaABAaabABC作用:用于确定一个平面.baＰ小结：公理2及其推论aIb=Ｐa和b确定一平面.A∈aA和a确定一平面.A,B,C确定一平面.A,B,C不共线a和b确定一平面.a∥b公理3：若两个不重合平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线。即:P∈a且P∈baIb=l且P∈l｝｛P∈aP∈baIb=lP∈l作用:用于证明点在线上或多点共线Aa点在直线上点在直线