第1章信号分类2013

第一章信号分析基础2013.3.2

教师:王成刚本章主要内容1、信息与信号的基本知识2、信号定义及分类3、周期信号的特征4、非周期信号的特征信号分析的任务是从信号中提取各种有用信息.信号是信息的载体．是物质、具有能量，工程测试的对象。信息是描述物质的状态和方式。信息是以信号的形式表现出来的。1.信息与信号的基本知识1.信息与信号的基本知识

烽火台：

狼烟

——信号信息

——敌人进攻了；交通指示灯：信号

——红绿灯；信息

——停止或前进；

超声波测试裂纹：信号：超声波

信息

：裂纹

确定性信号和非确定性信号2、第一种分类形式主要介绍三种分类形式。确定性信号与随机信号；连续信号与离散信号；能量信号与功率信号。确定性信号：可以用明确的数学关系式或图表、图象来描述的信号。例：①周期信号：式中的T0为周期信号的周期②集中参数的单自由度无阻尼自由振动系统在任意时刻t可以用如下式子来描述其精确位置。质量中心的静态平衡位置2、确定性信号与随机信号对于确定性信号来说又可将之分为周期信号：按一定的时间间隔周而复始出现，无始无终的信号。用数学关系式可表示为：T0——周期常见的周期信号中最为典型的就是谐波信号

谐波信号就是我们常见的正余弦信号，如上图所示。余弦信号由于仅是在相位上与正弦信号相差90°，因此常将正余弦信号统一称为——正弦信号或正弦波。除了谐波信号外，常见的周期信号有：①周期方波②周期三角波③周期锯齿波④正弦波整流x(t)t0AT0/2T0x(t)t0AT0/2T0x(t)t0AT02T0x(t)t0AT0/2T0

复杂周期信号：x(t)=Asin0.5t+Asint+Asin2tx(t)t0上图所见到的都是连续信号，还有周期序列。①周期单位正弦序列③周期锯齿序列③周期单位脉冲序列（梳状函数）在周期信号中有这样几个概念要求大家要弄清楚T0

——为周期信号的周期（）

——周期信号的频率()——周期信号的圆频率（又称角频率）()定义式中:三者之间的关系为：实际应用中，n通常取为正整数

谐波信号：常用特征参量：均值、绝对均值、均方差值、均方根值（有效值）和均方值(平均功率)

描述。一般周期信号：（如周期方波、周期三角波等）是由多个乃至无穷多个频率成分（频率不同的谐波分量）叠加所组成，叠加后存在公共周期。准周期信号：也由多个频率成分叠加而成，但不存在公共周期。需要进一步深入理解的概念：非周期信号：确定性信号中不具有周期重复性的信号。分为两类：准周期信号：两种以上的周期信号合成，但分量间没有公共的周期。（在此不讨论）瞬变非周期信号：除了准周期信号的其它的非周期信号。（重点讨论）即能用明确的数学关系式或图形图表表示，又不具有重复固定周期的信号。例：①矩形窗函数②余弦波截断函数W(t)t0A-T0/2T0/2x(t)t01-TT-1③指数衰减振荡信号④三角波⑤单位阶跃信号⑥符号函数⑦单位脉冲信号x(t)t0A-T0/2T0/2x(t)t01x(t)t01-1d(t)t010t⑧一般性的非周期信号非确定性信号：每次实验观测结果都不相同，无法用数学关系式或图表描述其关系。正如其名字“非确定”，具有随机性，是没有规律可以遵循的，具有不重复性、不确定性、不可预估性。它的另外一个名字叫做“随机信号”。对于非确定性信号，不能对它准确预测，只能用概率统计的方法由过去估计未来。例

①

汽车奔驰所产生的振动；

②

飞机在大气中的浮动；

③

树叶随风飘动；

④环境噪声；

……非确定性信号（随机信号）又可分为在平稳随机过程中有一个重要的概念——各态历经随机过程例：噪声信号(平稳)噪声信号(非平稳)统计特性变异随机信号所具有的不确定性确定性信号和非确定性信号第一种分类形式可以总结如下：

主要介绍三种分类形式。连续信号与离散信号；确定性信号与随机信号；能量信号与功率信号。右图所示的信号要特别注意一下。（再一次强调）它的幅值是离散的，但是：时间离散——离散信号；时间连续——连续信号。2.2连续信号与离散信号连续信号：在连续的时间范围内有定义的信号。连续——时间连续。注意时间连续并不等于其幅值是连续的，这一点应和后面讲的离散信号区分开。例：x(t)t0x(t)t0A-T0/2T0/2x(t)t0xpx(t)t0A-T0/2T0/2t01sin(w0t)1离散信号：在一些离散的瞬间才有定义的信号。离散——时间离散。也就是说时间上只能取某些规定的值，在其它时间信号是没有定义的。例：★连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的。模拟信号：时间和幅值均为连续的信号常称为模拟信号。数字信号：对于离散信号，幅值为离散的量化了的信号，称为数字信号。二阶系统的单位阶跃响应在实际应用中，连续信号与模拟信号两个名词常常不予区分，离散信号与数字信号两个名词也常互相通用。一般，在研究理论问题时常用“连续”、“离散”二词，而讨论具体的实际问题时常用“模拟”、“数字”二词。离散信号通常是对连续信号等距采样的结果。下面几个图表示的是典型的离散信号。单位脉冲函数（信号）单位阶跃序列单位斜坡序列正弦序列实指数（下降）序列第一种分类形式可以总结如下

连续信号和离散信号对于机械量来说，测量时常将机械量转化为电量进行测量，其它量的测试也亦如此。所转化的电量以电压量U及电流量I为多。压降U(t)电流I(t)阻值R当阻值R为单位阻值时即，上式为或若以代表电压或电流信号，则信号平方就代表信号的瞬时功率即：那么：当然为信号的能量将上述概念搞清楚后，能量信号和功率信号的概念就很好理解了。（不考虑量纲）3能量信号和功率信号能量信号：满足式子的信号称为能量有限信号，简称为能量信号。x(t)t01T-1x(t)t0A-T0/2T0/2W(t)t0A-T0/2T0/2功率信号：

若信号在区间内的能量是无限的即：但是在区间满足如下关系：我们称这样的信号为功率有限信号，简称为功率信号。瞬时功率信号能量平均功率例大家在前面见到的周期信号均为功率（有限）信号准周期信号与随机信号也是功率（有限）信号，不里不再画图。x(t)t0AT0/2T0x(t)t0AT02T0x(t)t0AT0/2T0x(t)t0AT0/2T0

以上几种分类方式较为常用，但对信号的分类不仅仅有这三种形式，还有如我们书上介绍的

实信号与复信号；物理可实现信号与物理不可实现信号；等等，请大家自阅。物理可实现信号与物理不可实现信号物理可实现信号：又称为单边信号，满足条件：t＜0时，x(t)=0，即在时刻小于零的一侧全为零。b)物理不可实现信号：在事件发生前(t<0)就预知信号。(1)任何周期信号都由频率不同，但成整倍数比的离散的谐波叠加而成。(2)非周期性变化的信号就是随机信号。(3)各态历经随机过程是平稳随机过程。(4)平稳随机过程的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计持征。(5)所有随机信号都是非周期信号。(6)所有周期信号都是功率信号。(7)所有非周期信号都是能量信号。(8)模拟信号的幅值一定是连续的。(9)离散信号即就是数字信号。答案：(1)-(4)××√√(5)-(9)×√×××信号的时域描述信号的频域描述◆信号的时域描述：定义：我们直接观测或记录的信号一般是随时间变化的物理量，也就是以时间t为独立变量，描述信号随时间的变化特征，反映信号幅值随时间变化的关系。这种以时间t做为独立变量的信号的描述方法，称为时域法。4、信号的描述描述方法：波形图：时间为横坐标的幅值变化图优点：形象、直观缺点：不能明显揭示信号的内在结构（频率组成及各种频率成分的幅值大小和相位大小）时域表达式……0tx(t)◆信号的频域描述定义：应用傅里叶级数或者傅里叶变换，对信号进行变换（分解），以频率为独立变量建立信号幅值、相位与频率之

间的函数关系。描述方法：频谱图：以频率为横坐标的幅值、相位变化图幅值谱：幅值—频率图，简称为幅频图；相位谱：相位—频率图，简称为相频图。优点：频域描述揭示了信号内在的频率组成及其幅值和相角的大小，描述更简练、深刻、方便。由于在时域中对信号进行描述不能揭示信号的内在结构（频率组成及各种频率成分的幅值大小和相位大小），因此有必要探求其它的对信号的描述方法。频域描述就能够揭示信号的频率结构。◆

信号时域与频域描述的关系时域描述与频域描述是等价的，可以相互转换，两者蕴涵的信息完全相同；时域描述与频域描述各有用武之地，不能单纯地说哪一个更好；将信号从时域转换到频域称为频谱分析，属于信号的变换域分析；采用频谱图描述信号，需要同时给出幅值谱和相位谱；第二节周期信号与离散频谱

三角函数展开式复指数函数展开式一、周期信号的分解二、周期信号的强度表述峰值绝对均值有效值平均功率1、傅里叶级数的三角函数展开式在有限区间上，任何周期信号（函数），只要满足狄里赫利条件（Dirichet）,都可以展开为傅里叶级数的三角函数展开式：余弦分量的幅值正弦分量的幅值式中：常值分量一、周期信号的分解在一周期内，函数如果满足：狄里赫利（Dirichet）条件连续或只有有限个第一类间断点；只有有限个极值点。我们称这样的信号满足狄里赫利（Dirichet）条件。只有满足狄里赫利（Dirichet）条件的信号才可以应用上述傅里叶级数展开式。一般的周期信号均满足上述条件，较为典型的不满足狄氏条件的信号我们还将以例题的形式进行讲解。前面所得到的傅里叶级数展开式可以写成另外的形式。其中：这是傅里叶级数三角函数展开式的另外一种写法，与前述公式完全相同。前面所得到的傅里叶级数展开式可以写成另外的形式。其中：……0tx(t)

例

方波信号的频谱描述在时域中该周期方波的表达式为解由图可见，这是一个周期信号，满足狄氏条件（不证）可以应用傅里叶级数展开。只需应用前面讲过的公式计算各系数即可。……0tx(t)将所求得的各系数代回到傅里叶级数展开式中。（第二种写法）在工程中为了更加形象地描述信号，常采用绘图的方式。幅频谱相频谱相位谱003050

()/24A

4A34A50A()03050幅值谱①只包括基波及各奇次谐波，偶次谐波为0；②谐波的幅值以的规律衰减。由表达式可以看出，不会出现负值。x(t)0tT0n=1n=3n=5图2-5周期方波信号的时、频域描述

例

周期性三角波的傅氏级数。x(t)0T0/2-T0/2At解该三角波在时域中表达式为：x(t)0T0/2-T0/2At将所求得的各系数代回到傅里叶级数展开式中。2003050

()A()4A

24A92

4A252003050

A2幅频谱相频谱4A

4A34A50A()03050方波幅值谱4A

24A92

4A252003050

A2三角波幅频谱A()分析：若x(t)为奇函数，则有若x(t)为偶函数，则有可见这些系数并不需要都去求，如果不掌握可能出差错的。这里分部积分法应用得较多，请多做练习。应用傅里叶级数的三角函数展开式得到的是周期信号的单边频谱。2、傅里叶级数的复指数函数展开式利用欧拉公式可推导出如下两式：实际是两式：代入：整理，周期信号可以写为：按实频谱和虚频谱形式幅频谱和相频谱形式利用它们与频率间的关系做图：幅频谱图实频谱图虚频谱图相频谱图双边频谱其中：……0tx(t)例方波信号应用傅里叶级数的复指数形式进行频谱描述在时域中该周期方波的表达式为解

=0幅值谱2A

2A32A50A()030502A

2A32A5-0-30-50我们只画了幅频谱图，没有画相频谱图。原因？0f()03050-0-30-50AA/20-00Re-负频率的说明Im负频率“负频率”是运算的需要。实际中，只有把负频率项与相应的正频率项成对合并起来，才是实际的频谱函数；从向量旋转的角度：一个向量的实部可以看成两个旋转方向相反的矢量在其实轴上的投影之和，虚部为其在虚轴上的投影之差。在傅里叶级数的复指数函数表达式中的频率范围为也就是出现了“负频率”。我们来看一下负频率是什么含义。

所以负频率仅是向量的旋转方向不同而已，没有其它的特殊含义。例：画出余弦、正弦函数的实频及虚频谱图。解：由欧拉公式将正弦函数写为正弦波余弦波由欧拉公式将余弦函数写为：1x(t)=cos0t0t1x(t)=sin0tt0cnR00-01/21/2cnR00-000-01/2-1/2cnIcnI00-000-01/21/200-01/21/2An001An001单边幅频谱单边幅频谱双边幅频谱双边幅频谱几点结论

复指数函数形式的频谱为双边谱（从-到+）两种频谱各谐波幅值之间存在如下关系：双边幅值谱为偶函数，双边相位谱为奇函数一般周期函数的复指数傅氏展开式的实频谱总是偶对称的，虚频谱总是奇对称的。通过以上分析及举例，可以得出以下几点结论：周期信号的频谱是离散谱；（离散性）每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是诸分量频率的公约数；（谐波性）综上所述，周期信号频谱的特点如下：4A

24A92

4A2520A()03050

A2幅频谱4A

4A34A50A()03050三角波方波一般周期信号展开成傅氏级数后，在频域上是无限的，但从总体上看，工程上常见的周期信号，其谐波幅值随谐波次数的增高而减小。因此，在频谱分析中没有必要取次数过高的谐波分量。（衰减性）4A

24A92

4A2520A()03050

A2幅频谱4A

4A34A50A()03050三角波方波二、周期信号强度的表述峰值绝对均值有效值平均功率1、峰值一个周期内信号出现的最大瞬时值的绝对值。峰—峰值一个周期内信号出现的最大瞬时值与最小瞬时值的差值。作用：正确估计测试系统的动态工作范围。均值：——信号的常值分量2、均值与绝对均值绝对均值：——信号全波整流后的均值3、有效值4、平均功率第三节瞬变非周期信号及其连续频谱

频率之比为有理数的多个谐波分量，其叠加后由于有公共周期，

→周期信号

一般非周期信号是指瞬变非周期信号→简称为瞬变信号当信号中各个频率比不是有理数时，则信号叠加后是准周期信号

右图就是一个典型的瞬变信号。前面已给大家举了很多有关瞬变信号的例子。非周期信号

准周期信号

信号中各简谐成分

的频率比为无理数晑

具有离散频谱

瞬变信号在一定时间区间内

存在或随时间的增

长衰减至零x(t)0t准周期信号x(t)=Asin9t+Asin[sqrt(31)t]x(t)0t瞬变信号Ix(t)=exp(-t)*sinw

t0tx(t)瞬变信号II一、瞬变非周期信号的谱密度与傅里叶变换

如前所述，对于周期为T的信号x(t),其频谱是离散的。其相邻两条谱线间隔为。当周期信号的周期时，周期信号就变成了非周期信号了，则频率间隔，谱线无限靠近，最后成为一条连续曲线。所以非周期信号的频谱是连续的。以前述的方波为例。4A

4A34A50A()03050若把非周期信号可以看成是周期T0

趋于无穷大的周期信号三个变化这就是傅里叶积分表达式。傅里叶变换(FT)傅里叶反（逆）变换(IFT)称为二者互为傅里叶级数对，记作：※以代入得记为：这两组式子分别以和为变量，后一组式子由于消除了这个因子，应用起来更为方便，建议大家多使用后一组。※※通过傅里叶变换得到的，一般来说是实变量的复函数，可以写成实、虚部的形式，也可写成幅值与相角的形式。傅里叶变换——信号的连续幅值谱——信号的连续相位谱用周期信号时来推导非周期信号的傅里叶变换对，这种推导并不严格。因为傅里叶变换的存在条件除了满足狄里赫利条件外，还应满足在无限区间上绝对可积的条件，即因此并不是所有的瞬变非周期信号都能够进行傅里叶变换，有关这一点将在后面以例题的形式说明。频谱反映信号的频率构成成分。对于周期信号，傅里叶级数的系数组成了离散频谱，其幅值是各次谐波的振幅。而对于非周期信号，其幅值频谱是连续的，幅值谱实际上是幅值谱密度（振幅/频率），所以非周期信号的频谱应该称为谱密度函数；相应的非周期信号的频谱图实际上应该称为谱密度图。但一般文献把离散频谱和连续频谱统统称为频谱，而无严格区分，工程测试中为方便，也仍称为频谱。

在此我们也沿用这种说法。再次强调，非周期信号的幅值谱和周期信号的幅值很相似，但是两者是有差别的，其别突出表现在的量纲为幅值量纲，而的量纲不是幅值量纲，而是振幅/频率，即单位频带上的幅值。周期信号———幅值量纲非周期信号——幅值/频率例

求矩形窗函数的频谱

W(f)中T称为窗宽

1-T/2T/2tw(t)0解定义应用欧拉公式

这个函数在信号分析中有很大的作用，将之称为抽样信号，它以2为周期并随的增加作衰减振荡。

的图象以为周期，随的增加做衰减振荡；函数是偶函数，在处的值是零W(f)T01T1Tf3T3T(f)01T2T3T1T2T3T2T2TW(f)函数只有实部，没有虚部。W(f)中T

称为窗宽。抽样信号：W(f)以为周期并随的增加作衰减振荡。W(f)是偶函数，在f=n/T（n=1,2,……）处其值为0。其幅频谱与相位谱如图示。周期信号的离散谱非周期信号的连续谱非周期信号频谱的特点

基频无限小，包含了从0〜的所有频率分量；频谱连续。当非周期信号为时限信号，可开拓成一周期信号（T2t0），使连续谱离散化，所得离散谱的包络线与连续谱的形状相同；（如前面所举的周期方波→矩形窗的变化，图形在下一页）

|X()|与|cn|量纲不同。|cn|具有与原信号幅值相同的量纲，|X()|是单位频宽上的幅值非周期信号频域描述的基础（数学工具）是傅里叶变换。

T2t0是满足采样定理的要求，在后面第7章中介绍。二、傅里叶变换的主要性质

前面已经讲过，一个信号可以有时域描述和频域描述两种描述方法。时域描述：以时间t做为独立变量的信号的描述方法。频域描述：以频率f(或)做为独立变量的信号的描述方法。频域描述能够揭示信号的频率结构和各频率成分的幅值与相位的大小。这两种描述方法彼此建立一一对应关系就是通过傅里叶变换来实现的，即傅里叶变换起到了桥梁的作用。在信号分析中，傅里叶变换有着举足轻重的地位，它是FFT（快速傅里叶变换）的基础。因此要求我们掌握傅里叶变换的主要性质，有助于了解信号在某个域中的变化和运算会对另一个域有何影响，产生何种的变化。傅里叶变换的性质较多，我们主要要求大家掌握以下几点：1、奇偶虚实性

若x(t)为实偶函数，则ImX(f)=0，X(f)为实偶函数若x(t)为实奇函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚奇函数若x(t)为虚偶函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚偶函数若x(t)为虚奇函数，则ImX(f)=0，X(f)为实奇函数若x(t)为实函数，则：ReX(f)=ReX(-f)

ImX(f)=-ImX(-f)余弦函数是偶函数正弦函数是奇函数2、线性叠加性

如果那么其中证明：3、对称性

如果则有IFT定义互换t和f用-t代t这是傅里叶变换的定义，因此上述结论得到验证即对称性举例作用根据已知的傅里叶变换对推出未知的傅里叶变换对。4、时间尺度改变特性

如果则有得证证明尺度改变性质举例

时间尺度改变特性举例又称为时间展缩原理a)k=1b)k=0.5幅值增大频带变窄c)k=2幅值减小频带变宽5、时移和频移性质如果则有时移性质

频移性质证明此性质表明，在时域中信号沿时间轴平移一个常值时，频谱函数将乘因子，即只改变相频谱，不会改变幅频谱。与t无关a)时域矩形窗b)图a）对应的幅频和相频特性曲线c)时移的时域矩形窗d)图c）对应的幅频和相频特性曲线时移性质举例产生相移6、卷积性质（又称为褶积）两个信号卷积定义为：卷积性质可表述为：（这个性质很重要）

卷积一般难于计算，应用傅里叶变换的性质，可以将之化为乘积，然后再做反变换。卷积性质举例拉氏变换傅里叶变换变换7、微分与积分性质同理若则证明即微分性质积分性质傅里叶变换的主要性质

积分时移频域微分尺度变换时域微分对称性x1(t)x2(t)频域卷积线性叠加x1(t)x2(t)时域卷积实奇函数虚奇函数共轭虚偶函数虚偶函数翻转虚奇函数实奇函数频移实偶函数实偶函数函数的奇偶虚实性频域时域性质频域时域性质三、几种典型信号的频谱1、单位脉冲函数((t)函数)的频谱

①δ函数定义其面积（强度）：0t(t)/201/s(t)t②函数的采样性质

函数的采样性质与任一连续信号相乘，其乘积仅在脉冲发生的位置有值。

函数的采样性质是连续信号离散化的依据。采样后将连续信号离散化，才能够进一步处理成为数字信号。采样性又称为筛选性筛选结果为x(t)在发生δ函数位置的函数值(又称为采样值)上述采样信号的幅值为无穷大，但其强度是有限值（积分）。函数值③卷积性

函数与其它信号的卷积是卷积中最为简单的一类形式。把函数的卷积性质描述为：卷积性质可用下图示意。函数与其它函数的卷积示例

④δ函数的频谱

对δ(t)取傅里叶变换频谱特点：

有无限宽广的频谱；在所有的频段上都是等强度的。均匀谱白噪声δ函数是偶函数利用对称、时移、频移性质，还可以得到以下傅里叶变换对记住更好，记不住用的时候现推导。对称性频移性质时移性质（各频率成分分别移相2ft0）(tt0)(f)（单位脉冲谱线）1（幅值为1的直流量）1（均匀频谱密度函数）(t)（单位瞬时脉冲）频域

时域常用的(t)函数的性质2、矩形窗函数的频谱1-T/2T/2tw(t)0tw(t)1T不改变幅频谱a)时域矩形窗b)图a）对应的幅频和相频特性曲线c)时移的时域矩形窗d)图c）对应的幅频和相频特性曲线

时移性质举例产生相移我们将矩形窗函数进行拓展——常值函数的频谱

直流量对称性幅值为1的常值函数的频谱为f

=0处的δ函数实际上，利用傅里叶变换时间尺度改变性质，也可以得出同样的结论：当矩形窗函数的窗宽→∞时，矩形窗函数就成为常值函数，其对应的频域δ函数。直流量与单位阶跃信号不同3、指数函数的频谱其傅里叶变换为：双边指数衰减函数其傅里叶变换为：较为常用的是单边指数衰减函数单边指数衰减函数及其频谱

单位阶跃信号符号函数4、符号函数和单位阶跃函数的频谱

符号函数的频谱符号函数可以看作是双边指数衰减函数当a→0时的极限形式，即：单位阶跃函数可以看作是单边指数衰减函数a→0时的极限形式。单位阶跃函数及其频谱

前面所述的符号函数据的频谱如何？单位阶跃函数的频谱5、正余弦函数的频谱密度函数

正余弦函数不满足绝对可积条件，不能直接对之进行傅氏变换。由欧拉公式知：00ttsin2f0tcos2f0t1/2-1/20fImX(f)1/21/20fReX(f)-f0-f0f0f06、等间隔周期单位脉冲序列（梳状函数）的频谱

其中Ts为周期；n为整数。周期单位脉冲序列（梳状函数）为周期函数。因此可以表示成傅氏级数（fs=1/Ts）因为在（-Ts/2，Ts/2）区间内只有一个函数(t)，故上述展开式中从而

所以

①时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序列；②时域周期为Ts，则频域周期为1/Ts；③时域脉冲强度为1，频域中的脉冲强度为为1/Ts。

......comb(t,Ts)10Ts2Ts-Ts-2Ts......COMB(f,fs)1/Ts01Ts2Ts1Ts2Ts第四节随机信号随机信号是非确定性信号，不能用确定的关系式来描述；随机信号具有不重复性（在相同条件下，每次观测的结果都不一样）、不确定性、不可预估性；随机信号必须采用概率和统计的方法进行描述一、概述

随机现象：产生随机信号的物理现象

样本函数：随机现象的单个时间历程，即对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录。记作xi(t)，i表示第i次观测。

样本记录：在有限时间区间上观测得到的样本函数相关概念

00000x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)x5(t)t1t2ttttt随机过程：在相同试验条件下，随机现象可能产生的全体样本函数的集合（总体）。记作{x(t)}，即：

{x(t)}={x1(t)，x2(t)，……，xi(t)，……}随机变量：随机过程在某一时刻t1之取值x(t1)是一个随机变量，随机变量一般定义在样本空间上。集合平均：一般而言，任何一个样本函数都无法恰当地代表随机过程{

x(t)}，随机过程在任何时刻的统计特性须用其样本函数的集合平均来描述。时间平均：按单个样本函数的时间历程进行平均计算。如第i个样本函数的时间平均值为：其中，T为样本函数的时间历程。平稳与非平稳随机过程：平稳随机过程指其统计特性不随时间而变化，或者说，不随时间坐标原点的选取而变化。否则，则为非平稳随机过程。各态历经过程※※※这是一个最为重要的概念①

若平稳随机过程任一样本函数的时间平均统计特性等于该过程的集合平均统计特性，则称该随机过程是各态历经的（遍历性）。②

各态历经过程的物理含义：任一样本函数在足够长的时间区间内，包含了各个样本函数所有可能出现的状态。③

对于各态历经过程，其时间平均等于集合平均，因此，各态历经过程的所有特性都可以用单个样本函数上的时间平均来描述。工程中绝大多数随机过程都是各态历经的或可以近似为各态历经过程进行处理。④

一般，随机过程需足够多（理论上为无限个）的样本函数才能描述，即使是各态历经过程，理论上也需要无限长的时间记录。00000x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)x5(t)t1t2ttttt二、随机信号的主要特征参数描述各态历经随机信号的主要特征参数有：幅值域：均值、方差、均方值概率密度函数等时间域：自相关函数、互相关函数频率域：自功率谱密度函数、互功率谱密度函数、相干函数等1、均值x、方差、均方值对于各态历经随机过程：样本函数观测时间均值表示信号的常值分量方差表示信号的波动分量方差的正平方根称为标准差。均方值描述随机信号的强度，均方值的正平方根称为均方根值。当x=0时可以推导出均值、方差与均方值间的关系为：实际测量时，信号的取样时间T是有限的，上述值均是估计值。2、概率密度函数

PDF定义：概率密度函数表示信号幅值落在指定区间内的概率。对长度为T的随机信号样本记录，x(t)瞬时幅值落在(x,x+x)区间内的总时间为：当样本记录长度T趋于无穷时，将趋于x(t)的幅值落在区间(x,x+x)的概率。即：当x0时，可定义概率密度函数为：对于确定性信号概率密度函数提供了随机信号的幅值分布信息，是随机信号的主要特征参数之一。不同的随机信号有不同的概率密度函数图形，可以借此来识别信号的性质。（参见下页图）在实际应用中，当不知道所处理的随机数据服从何种分布时，可以用统计概率分布图和直方图来估计p(x)。如果知道信号的概率密度函数，则：

常见典型信号的概率密度函数图形宽带随机信号(正态分布)正弦信号正弦信号加随机噪声（马鞍型）窄带随机信号(正态分布)例：求正弦信号的概率密度函数。-AA概率密度函数的作用：概率密度函数提供了信号幅值分布信息，是随机信号的主要特征参数之一。不同的随机信号有不同的概率密度函数图形，可以借此来识别信号的性质。第四节几种常用的处理方法

随机信号广泛存在于工程技术的各个领域中。确定性信号一般是在一定条件下出现的特殊情况，或者是忽略了次要的随机因素后抽象出来的模型。也就是说，测试信号总是受到环境噪声污染的，对随机信号的分析更有普遍、现实的意义。随机信号平稳随机过程→各态历经随机过程非平稳随机过程｛随机信号所具有的不确定性x5(t)x4(t)x3(t)x2(t)x1(t)t1t2①均值、方差和均方值；②概率密度函数（PDF）；③相关函数（RF）；④功率谱密度函数（PSD）。③

相关函数（RF）；④

功率谱密度函数（PSD）。各态历经随机过程的主要特征参数有：一、相关分析(时延域分析)及其应用

相关分析用来研究两个随机变量之间的关系或分析两个信号或者是一个信号在一定时移前后之间的关系（相似程度）。深入揭示信号的波形结构。石油相关分析例：机器上某个部件失衡（动不平衡），引起机器的振动。但是测量的振动信号中，除了不平衡振动信号外，还会有齿轮啮合振动，滚动轴承振动，地基振动等信号。各振动信号的频率是不相同的。不平衡振动信号的频率与转动频率相同，齿轮啮合频率是齿数与旋转频率的乘积，滚动轴承振动频率一般较高，地基振动频率一般较低。根据同频相关不同频不相关的原理，因此和旋转频率不一致的频率与失衡无关，分析振动信号与旋转频率相关的成分，可以获得失衡状态的信息。相关系数；信号的自相关函数；信号的互相关函数。１、相关系数对于确定性信号来说，两变量间的关系可以用数学关系式来描述。但是对于随机信号，却无法用数学函数关系来描述，只能采用概率统计的方法。在下面这幅图中：········································xy0xy0xy0(a)(b)(c)图7-6两随机变量x与y的相关性······································································································································xy0xy0xy0··············(a)(b)(c)图7-6两随机变量x与y的相关性(a)x与y完全线性无关；(b)x与y完全线性相关；(c)x与y存在某种程度的线性关系；由概率论可知，相关是表示两个随机变量x和y的线性关联程度的量，常用相关系数表示：由柯西-许瓦兹不等式

相关系数(a)x与y完全线性无关；(b)x与y完全线性相关；

(c)x与y存在某种程度的线性关系；················································································xy0xy0xy0··············(a)(b)(c)

(注意此时x与y却可能还有其它的函数关系)2、信号的自相关函数x(t)是各态历经随机过程的一个样本函数，观测时间为T.x(t+τ)是时移之后的样本函数。这两个样本函数具有相同的均值mx和标准差sx。x(t)x(t+τ)0tit0ttiTττ下面求相关系数，应用前述公式：则有：(1)自相关函数定义

注意：各态历经随机信号(推广)：

能量有限信号：

则有：周期信号T——周期(2)自相关函数的性质(5条)

τ0原因：

τ0均方值x(t)x(t+τ)0t0tTτ

τ足够大或τ→∞时，随机变量x(t)与x(t+t)就不存在内在的联系了，彼此无关。x(t)x(t+τ)0t0tTτττ自相关函数为实偶函数

τ0证明：

周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数，其幅值与原周期信号的幅值有关，但丢失了原信号的相位信息。

例

求正弦函数

的自相关函数

解：周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数；在自相关函数中包含的原信号的幅值信息与频率信息，但是却丢失了其初始相位信息。τ0tx(t)0正弦函数及自相关函数x0(x02)/2初始相位f的信息丢失了典型信号的自相关函数正弦信号正弦信号+随机噪声窄带随机信号宽带随机信号(3)自相关函数的作用

主要是用来区别信号的类型。由图可见：只要信号中含有周期成分，其自相关函数在τ很大时都不衰减，并具有明显的周期性；信号中不包含周期成分则在τ稍大时自相关函数就衰减为零。宽带随机信号的自相关函数相对于窄带随机信号的自相关函数衰减快。例：

①机加工表面粗糙度（用轮廓仪测）成因分析。自相关函数的应用举例：金钢石触针工件相关分析电感式传感器系统构成：10mm5mmRx(t)00.51t可能成因：①沿工件轴向走刀运动的周期性；②工件切向，则可能是由于主轴回转振动的周期性。例：②在水域中探索有无潜艇通过。潜水艇的发动机在工作时发出周期性信号，而海浪是随机的，如果经过相关分析发现有周期性峰值，就可以知道，可能有潜艇通过。

自相关函数在电子、机械等工程中有一定的使用价值，但是利用它的傅里叶变换（自功率谱，下面的内容）来分析噪声中的周期信号更加实用一些。另外，从前面的分析中我们知道，自相关函数中丢失了相位信息，使其应用受到一定的限制。3信号的互相关函数

(1)互相关函数定义

研究两个随机信号间的相关性。定义：各态历经随机信号定义：互相关函数图形：图7-11

互相关函数

τ0τ0(2)互相关函数的性质(主要讲4条)

互相关函数的限制范围为：

τ0τ0同频相关不同频不相关

例

求下列两正弦信号

的互相关函数。

讨论如下两种情形：①

②结论：同频相关不同频不相关结论：同频相关不同频不相关解：

因为信号是周期信号，可以用一个共同周期内的平均值代替其整个历程的平均值，故

①(应用三角函数的正交性)②保留了①幅值②频率③相位信息互相关函数非偶函数、亦非奇函数，具有关系因为：τ0τ0

的峰值不在

处，其峰值偏离原点的位置反映了两信号时移的大小，相关程度最高。图7-11

互相关函数的性质

τ0τ0(3)互相关的应用

在噪声背景下提取有用信息。例1：线性定常系统对之施加振动激励→x(t)

检测振动信号→y(t)，(含有大量的干扰噪声)

对x(t)和y(t)进行相关分析，根据同频相关不同频不相关的理论，只有和激振频率相同的成分才可能是由激振而引起的响应，其它成分均是干扰噪声，这样便可得知激励引起的响应的幅值及相位差的大小，完全消除了干扰噪声的影响。这种处理方法称为相关滤波。

石油例2：相关分析在输油管测漏中的应用

τ0τm中心线相关分析y(t)12sx(t)例3：相关测速

图7-12钢带运动速度的非接触测量

钢带可调延迟相关器光电池冷轧6~40m/s热轧8~30m/s例4：相关分析的声学应用

相关分析在声学测量中应用很多。它可以区分不同时间到达的声音，测定物体的吸声系数和衰减系数，从多个独立声源或振动源中测出某一声源到一定地点的声功率等。

注意：各态历经随机信号(推广)：

能量有限信号：

周期信号二、功率谱分析及其应用

信号的时域描述反映了信号幅值随时间变化的特征；相关分析从时域为在噪声背景下提取有用信息提供了手段；信号的频域的描述反映了信号的频率结构和各频率成分的幅值大小；功率谱密度函数、相干函数、倒谱分析则从频域为研究平稳随机过程提供了重要方法。

1、自功率谱密度函数定义及其物理意义

巴塞伐尔（Parseval）定理

功率谱的估计自功率谱的应用功率谱PSDPowerSpectrumDensity

定义及其物理意义定义随机信号的自功率谱密度函数（自谱）为：其逆变换为

记作：的自功率谱密度函数，简称为自谱或自功率谱。为什么称为自功率谱呢？瞬时功率总能量平均功率由于：则二者所蕴含的信息是等价的，自功率谱密度函数必然是偶函数，如上图所示。f0f0图7-14单边谱与双边谱因为经常应用的频率段为f=(0,∞)，所以功率谱也常用单边的形式来表示之。巴塞伐尔（Parseval）定理（能量等式）

定义：信号在时域中的总能量等于其在频域中的总能量。由卷积定理即令令证明下面根据Paseval定理推导一下自功率谱密度函数