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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年广西金融职业技术学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.直线y=2x+1的参数方程是()
A.(t为参数)
B.(t为参数)
C.(t为参数)
D.(θ为参数)
答案:B2.一次函数y=3x+2的斜率和截距分别是()A.2、3B.2、2C.3、2D.3、3答案:根据一次函数的定义和直线的斜截式方程知,此一次函数的斜率为3、截距为2故选C3.设随机事件A、B,P(A)=35,P(B|A)=12,则P(AB)=______.答案:由条件概率的计算公式,可得P(AB)=P(A)×P(B|A)=35×12=310;故为310.4.已知m,n为正整数.
(Ⅰ)用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)m≥1+mx;
(Ⅱ)对于n≥6,已知(1-1n+3)n<12,求证(1-mn+3)n<(12)m,m=1,2…,n;
(Ⅲ)求出满足等式3n+4n+5n+…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n.答案:解法1:(Ⅰ)证:用数学归纳法证明:当x=0时,(1+x)m≥1+mx;即1≥1成立,x≠0时,证:用数学归纳法证明:(ⅰ)当m=1时,原不等式成立;当m=2时,左边=1+2x+x2,右边=1+2x,因为x2≥0,所以左边≥右边,原不等式成立;(ⅱ)假设当m=k时,不等式成立,即(1+x)k≥1+kx,则当m=k+1时,∵x>-1,∴1+x>0,于是在不等式(1+x)k≥1+kx两边同乘以1+x得(1+x)k•(1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x,所以(1+x)k+1≥1+(k+1)x.即当m=k+1时,不等式也成立.综合(ⅰ)(ⅱ)知,对一切正整数m,不等式都成立.(Ⅱ)证:当n≥6,m≤n时,由(Ⅰ)得(1-1n+3)m≥1-mn+3>0,于是(1-mn+3)n≤(1-1n+3)nm=[(1-1n+3)n]m<(12)m,m=1,2,n.(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当n≥6时,(1-1n+3)n+(1-2n+3)n++(1-nn+3)n<12+(12)^++(12)n=1-12n<1,∴(n+2n+3)n+(n+1n+3)n++(3n+3)n<1.即3n+4n+…+(n+2)n<(n+3)n.即当n≥6时,不存在满足该等式的正整数n.故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形:当n=1时,3≠4,等式不成立;当n=2时,32+42=52,等式成立;当n=3时,33+43+53=63,等式成立;当n=4时,34+44+54+64为偶数,而74为奇数,故34+44+54+64≠74,等式不成立;当n=5时,同n=4的情形可分析出,等式不成立.综上,所求的n只有n=2,3.解法2:(Ⅰ)证:当x=0或m=1时,原不等式中等号显然成立,下用数学归纳法证明:当x>-1,且x≠0时,m≥2,(1+x)m>1+mx.①(ⅰ)当m=2时,左边=1+2x+x2,右边=1+2x,因为x≠0,所以x2>0,即左边>右边,不等式①成立;(ⅱ)假设当m=k(k≥2)时,不等式①成立,即(1+x)k>1+kx,则当m=k+1时,因为x>-1,所以1+x>0.又因为x≠0,k≥2,所以kx2>0.于是在不等式(1+x)k>1+kx两边同乘以1+x得(1+x)k•(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,所以(1+x)k+1>1+(k+1)x.即当m=k+1时,不等式①也成立.综上所述,所证不等式成立.(Ⅱ)证:当n≥6,m≤n时,∵(1-1n+3)n<12,∴[(1-1n+3)m]n<(12)m,而由(Ⅰ),(1-1n+3)m≥1-mn+3>0,∴(1-mn+3)n≤[(1-1n+3)m]n<(12)m.(Ⅲ)假设存在正整数n0≥6使等式3n0+4n0++(n0+2)n0=(n0+3)n0成立,即有(3n0+3)n0+(4n0+3)n0++(n0+2n0+3)n0=1.②又由(Ⅱ)可得(3n0+3)n0+(4n0+3)n0++(n0+2n0+3)n0=(1-n0n0+3)n0+(1-n0-1n0+3)n0++(1-1n0+3)n0<(12)n0+(12)n0-1++12=1-12n0<1,与②式矛盾.故当n≥6时,不存在满足该等式的正整数n.下同解法1.5.如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P,若PBPA=12,PCPD=13,则BCAD的值为______.答案:因为A,B,C,D四点共圆,所以∠DAB=∠PCB,∠CDA=∠PBC,因为∠P为公共角,所以△PBC∽△PAB,所以PBPD=PCPA=BCAD.设OB=x,PC=y,则有x3y=y2x?x=6y2,所以BCAD=x3y=66.故填:66.6.已知空间三点A(1,1,1)、B(-1,0,4)、C(2,-2,3),则AB与CA的夹角θ的大小是
______答案:AB=(-2,-1,3),CA=(-1,3,-2),cos<AB,CA>=(-2)×(-1)+(-1)×3+3×(-2)14•14=-714=-12,∴θ=<AB,CA>=120°.故为120°7.如图是集合的知识结构图,如果要加入“全集”,则应该放在()
A.“集合的概念”的下位
B.“集合的表示”的下位
C.“基本关系”的下位
D.“基本运算”的下位答案:D8.若向量两两所成的角相等,且,则等于()
A.2
B.5
C.2或5
D.或答案:C9.将n2个正整数1,2,3,…,n2填入n×n方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形就叫做n阶幻方.记f(n)为n阶幻方对角线的和,如右表就是一个3阶幻方,可知f(3)=15,则f(4)=()
816357492A.32B.33C.34D.35答案:由等差数列得前n项和公式可得,所有数之和S=1+2+3+…+42=16?(1+16)2=136,所以,f(4)=1364=34,故选C.10.下列函数中,与函数y=1x有相同定义域的是()A.f(x)=log2xB.f(x)=1xC.f(x)=|x|D.f(x)=2x答案:∵函数y=1x定义域为x>0,又函数f(x)=log2x定义域x>0,故选A.11.圆x2+y2-6x+4y+12=0与圆x2+y2-14x-2y+14=0的位置关系是______.答案:∵圆x2+y2-6x+4y+12=0化成标准形式,得(x-3)2+(y+2)2=1∴圆x2+y2-6x+4y+12=0的圆心为C1(3,-2),半径r1=1同理可得圆x2+y2-14x-2y+14=0的C2(7,1),半径r2=6∵两圆的圆心距|C1C2|=(7-3)2+(1+2)2=5∴|C1C2|=r2-r1=5,可得两圆的位置关系是内切故为:内切12.某航空公司经营A,B,C,D这四个城市之间的客运业务,它们之间的直线距离的部分机票价格如下:AB为2000元;AC为1600元;AD为2500元;CD为900元;BC为1200元,若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比,则BD间直线距离的票价为(设这四个城在同一水平面上)()
A.1500元
B.1400元
C.1200元
D.1000元答案:A13.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC1•B1D1=()A.22B.4C.-22D.-4答案:棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC1与
B1D1的夹角等于BC1与BD的夹角,等于60°.∴BC1•B1D1=22×22cos60°=4,故选B.14.下列各图形不是函数的图象的是()A.
B.
C.
D.
答案:由函数的概念,B中有的x,存在两个y与x对应,不符合函数的定义,而ACD均符合.故选B15.如图,已知AB是⊙O的直径,AB⊥CD于E,切线BF交AD的延长线于F,若AB=10,CD=8,则切线BF的长是
______.答案:连接OD,AB⊥CD于E,根据垂径定理得到DE=4,在直角△ODE中,根据勾股定理得到OE=3,因而AE=8,易证△ABF∽△AED,得到DEBF=AEAB=810,解得BF=5.16.若A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},则A∩B=()
A.{2,1}
B.{(2,1)}
C.{1,2}
D.{(1,2)}答案:D17.设O、A、B、C为平面上四个点,(
)
A.2
B.2
C.3
D.3答案:C18.极坐标方程pcosθ=表示()
A.一条平行于x轴的直线
B.一条垂直于x轴的直线
C.一个圆
D.一条抛物线答案:B19.在残差分析中,残差图的纵坐标为______.答案:有残差图的定义知道,作图时纵坐标为残差,横坐标可以选为样本编号,或身高数据,或体重的估计值,这样做出的图形称为残差图.故为:残差.20.经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x-2y+5=0的直线的方程是()
A.6x-4y-3=0
B.3x-2y-3=0
C.2x+3y-2=0
D.2x+3y-1=0答案:A21.如图,在△ABC中,BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在的直线方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.答案:点A为y=0与x-2y+1=0两直线的交点,∴点A的坐标为(-1,0).∴kAB=2-01-(-1)=1.又∵∠A的平分线所在直线的方程是y=0,∴kAC=-1.∴直线AC的方程是y=-x-1.而BC与x-2y+1=0垂直,∴kBC=-2.∴直线BC的方程是y-2=-2(x-1).由y=-x-1,y=-2x+4,解得C(5,-6).∴点A和点C的坐标分别为(-1,0)和(5,-6)22.如图是一个方形迷宫,甲、乙两人分别位于迷宫的A、B两处,两人同时以每一分钟一格的速度向东、西、南、北四个方向行走,已知甲向东、西行走的概率都为14,向南、北行走的概率为13和p,乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为q
(1)p和q的值;
(2)问最少几分钟,甲、乙二人相遇?并求出最短时间内可以相遇的概率.答案:(1)∵14+14+13+p=1,∴p=16,∵4q=1,∴q=14(2)t=2甲、乙两人可以相遇(如图,在C、D、E三处相遇)
设在C、D、E三处相遇的概率分别为PC、PD、PE,则:PC=(16×16)×(14×14)=1576PD=2(16×14)×2(14×14)=196PE=(14×14)×(14×14)=1256PC+PD+PE=372304即所求的概率为37230423.已知e1
,
e2是夹角为60°的两个单位向量,且向量a=e1+2e2,则|a|=______.答案:由题意可得e21=1,e22=1,e1?e2=12,所以a2=(e1+2e2)2=1+2+4=7,所以|a|=7,故为:724.正多面体只有______种,分别为______.答案:正多面体只有5种,分别为正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.故为:5,正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.25.已知,,那么P(B|A)等于()
A.
B.
C.
D.答案:B26.用0.618法确定的试点,则经过(
)次试验后,存优范围缩小为原来的0.6184倍.答案:527.“∵四边形ABCD为矩形,∴四边形ABCD的对角线相等”,补充以上推理的大前提为()
A.正方形都是对角线相等的四边形
B.矩形都是对角线相等的四边形
C.等腰梯形都是对角线相等的四边形
D.矩形都是对边平行且相等的四边形答案:B28.已知x,y的取值如下表所示:
x0134y2.24.34.86.7从散点图分析,y与x线性相关,且y^=0.95x+a,以此预测当x=2时,y=______.答案:∵从所给的数据可以得到.x=0+1+3+44=2,.y=2.2+4.3+4.8+6.74=4.5∴这组数据的样本中心点是(2,4.5)∴4.5=0.95×2+a,∴a=2.6∴线性回归方程是y=0.95x+2.6,∴预测当x=2时,y=0.95×2+2.6=4.5故为:4.529.已知正三角形的外接圆半径为63cm,求它的边长.答案:设正三角形的边长为a,则12a=Rcos30°=63?32=9(cm)∴a=18(cm).它的边长为18cm.30.下列命题:
①用相关系数r来刻画回归的效果时,r的值越大,说明模型拟合的效果越好;
②对分类变量X与Y的随机变量的K2观测值来说,K2越小,“X与Y有关系”可信程度越大;
③两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近1;
其中正确命题的序号是
______.(写出所有正确命题的序号)答案:①是由于r可能是负值,要改为|r|的值越大,说明模型拟合的效果越好,故①错误,②对分类变量X与Y的随机变量的K2观测值来说,K2越大,“X与Y有关系”可信程度越大;故②正确③两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近1;故③正确,故为:③31.下列命题中正确的是()
A.若,则
B.若,则
.若,则
D.若,则答案:C32.已知图所示的矩形,其长为12,宽为5.在矩形内随同地措施1000颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数为550颗.则可以估计出阴影部分的面积约为______.答案:∵矩形的长为12,宽为5,则S矩形=60∴S阴S矩=S阴60=5501000,∴S阴=33,故:33.33.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()
①y=sin
x(x∈R
)是三角函数;②三角函数是周期函数;
③y=sin
x(x∈R
)是周期函数.
A.①②③
B.②①③
C.②③①
D.③②①答案:B34.如果命题P:∅∈{∅},命题Q:∅⊂{∅},那么下列结论不正确的是()A.“P或Q”为真B.“P且Q”为假C.“非P”为假D.“非Q”为假答案:命题P:∅∈{∅},命题Q:∅⊂{∅},可直接看出命题Q,命题P都是正确的.故“P或Q”为真.“P且Q”为真.“非P”为假.“非Q”为假.故选B.35.已知数列{an}前n项的和为Sn,且满足an=n2
(n∈N*).
(Ⅰ)求s1、s2、s3的值;
(Ⅱ)用数学归纳法证明sn=n(n+1)(2n+1)6
(n∈N*).答案:(Ⅰ)∵an=n2,n∈N*∴s1=a1=1,s2=a1+a2=1+4=5,s3=a1+a2+a3=1+4+9=14.…(6分)(Ⅱ)证明:(1)当n=1时,左边=s1=1,右边=1×(1+1)(2+1)6=1,所以等式成立.…(8分)(2)假设n=k(k∈N*)时结论成立,即Sk=k(k+1)(2k+1)6,…(10分)那么,Sk+1=Sk+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)26=(k+1)(k+2)(2k+3)6=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]6即n=k+1时,等式也成立.…(13分)根据(1)(2)可知对任意的正整数n∈N*都成立.…(14分)36.直线(t为参数)被圆x2+y2=9截得的弦长为()
A.
B.
C.
D.答案:B37.四名男生三名女生排成一排,若三名女生中有两名相邻,但三名女生不能连排,则不同的排法数有()A.3600B.3200C.3080D.2880答案:由题意知本题需要利用分步计数原理来解,∵三名女生有且仅有两名相邻,∴把这两名女生看做一个元素,与另外一名女生作为两个元素,有C32A22种结果,把男生排列有A44,把女生在男生所形成的5个空位中排列有A52种结果,共有C32A22A44A52=2880种结果,故选D.38.在直角坐标系xOy中,i,j分别是与x轴,y轴平行的单位向量,若在Rt△ABC中,AB=i+j,AC=2i+mj,则实数m=______.答案:把AB、AC平移,使得点A与原点重合,则AB=(1,1)、AC=(2,m),故BC=(1,m-1),若∠B=90°时,AB•BC=0,∴(1,1)•(2-1,m-1)=0,得m=0;若∠A=90°时,AB•AC=0,∴(1,1)•(2,m)=0,得m=-2.若∠C=90°时,AC•BC=0,即2+m2-m=0,此方程无解,综上,m为-2或0满足三角形为直角三角形.故为-2或039.现有编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九道不同的数学题,某同学从这九道题中一次随机抽取两道题,每题被抽到的概率是相等的,用符号(x,y)表示事件“抽到两题的编号分别为x,y,且x<y”.
(1)共有多少个基本事件?并列举出来.
(2)求该同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率.答案:(1)共有36种基本事件,列举如下:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7)(1,8),(1,9),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),(8,9);(2)设事件A=“两道题的编号之和小于17但不小于11”则事件A包含事件有:(2,9),(3,8),(3,9),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9)共15种.∴P(A)=1536=512.40.抽样调查在抽取调查对象时()A.按一定的方法抽取B.随意抽取C.全部抽取D.根据个人的爱好抽取答案:一般地,抽样方法分为3种:简单随机抽样、分层抽样和系统抽样无论是哪种抽样方法,都遵循机会均等的原理,即在抽样过程中,各个体被抽到的概率是相等的.根据以上分析,可知只有A项符合题意.故选:A41.在△ABC中,AB=2,AC=1,D为BC的中点,则AD•BC=______.答案:AD•BC=AB+AC2•(AC-AB)=AC2-AB22=1-42=-32,故为:-32.42.把下列命题写成“若p,则q”的形式,并指出条件与结论.
(1)相似三角形的对应角相等;
(2)当a>1时,函数y=ax是增函数.答案:(1)若两个三角形相似,则它们的对应角相等.条件p:三角形相似,结论q:对应角相等.(2)若a>1,则函数y=ax是增函数.条件p:a>1,结论q:函数y=ax是增函数.43.若{、、}为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组向量是[
]A.,+,﹣
B.,+,﹣
C.,+,﹣
D.+,﹣,+2答案:C44.一个盒子装有10个红、白两色同一型号的乒乓球,已知红色乒乓球有3个,若从盒子里随机取出3个乒乓球,则其中含有红色乒乓球个数的数学期望是______.答案:由题设知含有红色乒乓球个数ξ的可能取值是0,1,2,3,P(ξ=0)=C37C310=724,P(ξ=1)=C27C13C310=2140,P(ξ=2)=C17C23C310=740,P(ξ=3)=C33C310=1120.∴Eξ=0×724+1×
2140+2×740+3×1120=910.故为:910.45.下图是由哪个平面图形旋转得到的(
)答案:A46.BC是Rt△ABC的斜边,AP⊥平面ABC,PD⊥BC于点D,则图中共有直角三角形的个数是()A.8B.7C.6D.5答案:∵AP⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴PA⊥BC,又PD⊥BC于D,连接AD,PD∩PA=A,∴BC⊥平面PAD,AD?平面PAD,∴BC⊥AD;又BC是Rt△ABC的斜边,∴∠BAC为直角,∴图中的直角三角形有:△ABC,△PAC,△PAB,△PAD,△PDC,△PDB,△ADC,△ADB.故为:8.47.在区间[-1,1]上任取两个数s和t,则关于x的方程x2+sx+t=0的两根都是正数的概率是[
]A.
B.
C.
D.答案:A48.设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为y=±12x,则双曲线的离心率e=______.答案:依题意可知ba=12,求得a=2b∴c=a2+b2=5b∴e=ca=52故为52.49.与直线3x+4y-3=0平行,并且距离为3的直线方程为______.答案:设所求直线上任意一点P(x,y),由题意可得点P到所给直线的距离等于3,即|3x+4y-3|5=3,∴|3x+4y-3|=15,∴3x+4y-3=±15,即3x+4y-18=0或3x+4y+12=0.故为3x+4y-18=0或3x+4y+12=0.50.某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32人,则该样本中的老年职工人数为()
A.9
B.18
C.27
D.36答案:B第2卷一.综合题(共50题)1.下列对一组数据的分析,不正确的说法是()
A.数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定
B.数据平均数越小,样本数据分布越集中、稳定
C.数据标准差越小,样本数据分布越集中、稳定
D.数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定答案:B2.设函数f(x)=(1-2a)x+b是R上的增函数,则()A.a>12B.a<12C.a≥12D.a≤12答案:∵函数f(x)=(1-2a)x+b是R上的增函数,∴1-2a>0,∴a<12.故选B.3.在统计中,样本的标准差可以近似地反映总体的()
A.平均状态
B.频率分布
C.波动大小
D.最大值和最小值答案:C4.一射手对靶射击,直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹,命中后的剩余子弹数目ξ的期望为()
A.2.44
B.3.376
C.2.376
D.2.4答案:C5.在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()
A.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=2
B.θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2
C.θ=(ρ∈R)和ρcosθ=1
D.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=1答案:B6.已知m2+n2=1,a2+b2=2,则am+bn的最大值是()
A.1
B.
C.
D.以上都不对答案:C7.在平面直角坐标系中,已知向量a=(-1,2),又点A(8,0),B(n,t),C(ksinθ,t)(0≤θ≤π2).
(1)若AB⊥a,且|AB|=5|OA|(O为坐标原点),求向量OB;
(2)若向量AC与向量a共线,当k>4,且tsinθ取最大值4时,求OA•OC.答案:(1)∵点A(8,0),B(n,t),∴AB=(n-8,t),∵AB⊥a,∴AB•a=(n-8,t)•(-1,2)=0,得n=2t+8.则AB=(2t,t),又|AB|=5|OA|,|OA|=8.∴(2t)2+t2=5×64,解得t=±8,当t=8时,n=24;当t=-8时,n=-8.∴OB=(24,8)或OB=(-8,-8).(2)∵向量AC与向量a共线,∴t=-2ksinθ+16,tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ=-2k(sinθ-4k)2+32k.∵k>4,∴0<4k<1,故当sinθ=4k时,tsinθ取最大值32k,有32k=4,得k=8.这时,sinθ=12,k=8,tsinθ=4,得t=8,则OC=(4,8).∴OA•OC=(8,0)•(4,8)=32.8.两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为()
A.4
B.
C.
D.答案:D9.若双曲线与椭圆x216+y225=1有相同的焦点,与双曲线x22-y2=1有相同渐近线,求双曲线方程.答案:依题意可设所求的双曲线的方程为y2-x22=λ(λ>0)…(3分)即y2λ-x22λ=1…(5分)又∵双曲线与椭圆x216+y225=1有相同的焦点∴λ+2λ=25-16=9…(9分)解得λ=3…(11分)∴双曲线的方程为y23-x26=1…(13分)10.对于函数y=f(x),在给定区间上有两个数x1,x2,且x1<x2,使f(x1)<f(x2)成立,则y=f(x)()A.一定是增函数B.一定是减函数C.可能是常数函数D.单调性不能确定答案:解析:由单调性定义可知,不能用特殊值代替一般值.故选D.11.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为10N,合力与F1的夹角为60°,那么F2的大小为()A.53NB.5NC.10ND.52N答案:由题意可知:对应向量如图由于α=60°,∴F2的大小为|F合|?sin60°=10×32=53.故选A.12.如图,点O是正六边形ABCDEF的中心,则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点,与始点不同的另一点为终点的所有向量中,除向量外,与向量共线的向量共有()
A.2个
B.3个
C.6个
D.9个
答案:D13.对于函数f(x),若存在区间M=[a,b],(a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的一个“稳定区间”现有四个函数:
①f(x)=ex②f(x)=x3③f(x)=sinπ2x④f(x)=lnx,其中存在“稳定区间”的函数有()A.①②B.②③C.③④D.②④答案:①对于函数f(x)=ex若存在“稳定区间”[a,b],由于函数是定义域内的增函数,故有ea=a,eb=b,即方程ex=x有两个解,即y=ex和y=x的图象有两个交点,这与即y=ex和y=x的图象没有公共点相矛盾,故①不存在“稳定区间”.②对于f(x)=x3存在“稳定区间”,如x∈[0,1]时,f(x)=x3∈[0,1].③对于f(x)=sinπ2x,存在“稳定区间”,如x∈[0,1]时,f(x)=sinπ2x∈[0,1].④对于f(x)=lnx,若存在“稳定区间”[a,b],由于函数是定义域内的增函数,故有lna=a,且lnb=b,即方程lnx=x有两个解,即y=lnx
和y=x的图象有两个交点,这与y=lnx和y=x的图象没有公共点相矛盾,故④不存在“稳定区间”.故选B.14.在直角坐标系xoy
中,已知曲线C1:x=t+1y=1-2t(t为参数)与曲线C2:x=asinθy=3cosθ(θ为参数,a>0
)
有一个公共点在X轴上,则a等于______.答案:曲线C1:x=t+1y=1-2t(t为参数)化为普通方程:2x+y-3=0,令y=0,可得x=32曲线C2:x=asinθy=3cosθ(θ为参数,a>0
)化为普通方程:x2a2+y29=1∵两曲线有一个公共点在x轴上,∴94a2=1∴a=32故为:3215.确定方程3x2-9+4x2-16+5x2-25=120x的解集______.答案:由题意,x2-9≥0x2-16≥0x2-25≥0x>0,∴x≥5∴x2-9≥4,x2-16≥3,x2-25≥0,∴3x2-9+4x2-16+5x2-25≥24∵3x2-9+4x2-16+5x2-25=120x∴120x≥24∵x≥5,∴120x≤24∴120x=24∴x=5故为:{5}16.某游泳馆出售冬季游泳卡,每张240元,其使用规定:不记名,每卡每次只限一人,每天只限一次.某班有48名同学,老师打算组织同学们集体去游泳,除需购买若干张游泳卡外,每次游泳还需包一辆汽车,无论乘坐多少名同学,每次的包车费均为40元.
若使每个同学游8次,每人最少应交多少元钱?答案:设买x张游泳卡,总开支为y元,则每批去x名同学,共需去48×8x=384x批,总开支又分为:①买卡所需费用240x;②包车所需费用384x×40.∴y=240x+384x×40(0<x≤48,x∈Z).因此,y=240(x+64x)≥240×2x?64x=3840当且仅当x=64x时,即x=8时取等号.∴当x=8时,总开支y的最大值为3840元,此时每人最少应交384048=80(元).答:若使每个同学游8次,每人最少应交80元钱.17.如图是集合的知识结构图,如果要加入“全集”,则应该放在()
A.“集合的概念”的下位
B.“集合的表示”的下位
C.“基本关系”的下位
D.“基本运算”的下位答案:D18.在研究打酣与患心脏病之间的关系中,通过收集数据、整理分析数据得“打酣与患心脏病有关”的结论,并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的.下列说法中正确的是()
A.100个心脏病患者中至少有99人打酣
B.1个人患心脏病,则这个人有99%的概率打酣
C.100个心脏病患者中一定有打酣的人
D.100个心脏病患者中可能一个打酣的人都没有答案:D19.如图,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,AD分别与直线l、圆交于点D、E.求∠DAC的度数与线段AE的长.答案:如图,连接OC,因BC=OB=OC=3,因此∠CBO=60°,由于∠DCA=∠CBO,所以∠DCA=60°,又AD⊥DC得∠DAC=30°;(5分)又因为∠ACB=90°,得∠CAB=30°,那么∠EAB=60°,从而∠ABE=30°,于是AE=12AB=3.(10分)20.在某路段检测点对200辆汽车的车速进行检测,检测结果表示为如图所示的频率分布直方图,则车速不小于90km/h的汽车有辆.()A.60B.90C.120D.150答案:频率=频率组距×组距=(0.02+0.01)×10=0.3,频数=频率×样本总数=200×0.3=60(辆).故选A.21.某种灯泡的耐用时间超过1000小时的概率为0.2,有3个相互独立的灯泡在使用1000小时以后,最多只有1个损坏的概率是()
A.0.008
B.0.488
C.0.096
D.0.104答案:D22.如图,某公司制造一种海上用的“浮球”,它是由两个半球和一个圆柱筒组成.其中圆柱的高为2米,球的半径r为0.5米.
(1)这种“浮球”的体积是多少立方米(结果精确到0.1m3)?
(2)假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元,半球形部分每平方米建造费用为30元.求该“浮球”的建造费用(结果精确到1元).答案:(1)∵球的半径r为0.5米,∴两个半球的体积之和为V球=43πr3=43π?18=16πm3,∵圆柱的高为2米,∴V圆柱=πr2?h=π×14×2=12πm3,∴该“浮球”的体积是:V=V球+V圆柱=23π≈2.1m3;(2)圆柱筒的表面积为2πrh=2πm2;两个半球的表面积为4πr2=πm2,∵圆柱形部分每平方米建造费用为20元,半球形部分每平方米建造费用为30元,∴该“浮球”的建造费用为2π×20+π×30=70π≈220元.23.圆x=1+cosθy=1+sinθ(θ为参数)的标准方程是
______,过这个圆外一点P(2,3)的该圆的切线方程是
______;答案:∵圆x=1+cosθy=1+sinθ(θ为参数)消去参数θ,得:(x-1)2+(y-1)2=1,即圆x=1+cosθy=1+sinθ(θ为参数)的标准方程是(x-1)2+(y-1)2=1;∵这个圆外一点P(2,3)的该圆的切线,当切线斜率不存在时,显然x=2符合题意;当切线斜率存在时,设切线方程为:y-3=k(x-2),由圆心到切线的距离等于半径,得|k-1+3-2k|k2+1=
1,解得:k=34,故切线方程为:3x-4y+6=0.故为:(x-1)2+(y-1)2=1;x=2或3x-4y+6=0.24.已知向量a、b的夹角为60°,且|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=______;向量a与向量a+2b的夹角的大小为______.答案:∵a?b=|a|?|b|cos60°=1,∴|a+2b|=(a+2b)2=4+4+4a?b=23,设向量a与向量a+2b的夹角的大小为θ,∵a?(a+2b)=2×23cosθ=43cosθ,a?(a+2b)=a2+2a?b=4+2=6,∴43cosθ=6,cosθ=32,∴θ=30°,故为23,30°.25.在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2c,以O为圆心,a为半径作圆M,若过P(a2c,0)作圆M的两条切线相互垂直,则椭圆的离心率为______.答案:设切线PA、PB互相垂直,又半径OA垂直于PA,所以△OAP是等腰直角三角形,故a2c=2a,解得e=ca=22,故为22.26.已知|a|=8,e是单位向量,当它们之间的夹角为π3时,a在e方向上的投影为
______.答案:a在e方向上的投影为a?e=|a||e|cosπ3=4故为:427.已知ABCD是平行四边形,P点是ABCD所在平面外的一点,连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心.
(1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面;
(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系,并用向量方法证明你的判断.答案:(1)证明略(2)平面EFGH∥平面ABCD解析:(1)
分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R点,因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心,所以M、N、Q、R为所在边的中点,顺次连接M、N、Q、R得到的四边形为平行四边形,且有=,=,=,
=∴=+=(-)+(-)=(-)+(-)=(+)又∵=-=-=∴=(+),∴=+由共面向量定理知:E、F、G、H四点共面.(2)
由(1)得=,故∥.又∵平面ABC,EG平面ABC.∴EG∥平面ABC.又∵=-=-=∴MN∥EF,又∵MN平面ABC,EF平面ABC,EF∥平面ABC.∵EG与EF交于E点,∴平面EFGH∥平面ABCD.28.复数z=sin1+icos2在复平面内对应的点位于第______象限.答案:z对应的点为(sin1,cos2)∵1是第一象限的角,2是第二象限的角∵sin1>0,cos2<0所以(sin1,cos2)在第四象限故为:四29.已知x+5y+3z=1,则x2+y2+z2的最小值为______.答案:证明:35(x2+y2+z2)×(1+25+9)≥(x+5y+3z)2=1∴x2+y2+z2≥135,则x2+y2+z2的最小值为135,故为:135.30.已知a=(a1,a2),b=(b1,b2),丨a丨=5,丨b丨=6,a•b=30,则a1+a2b1+b2=______.答案:因为丨a丨=5,丨b丨=6,a•b=30,又a⋅b=|a|⋅|b|cos<a,b>=30,即cos<a,b>=1,所以a,b同向共线.设b=ka,(k>0).则b1=ka1,b2=ka2,所以|b|=k|a|,所以k=65,所以a1+a2b1+b2=a1+a2k(a1+a2)=1k=56.故为:56.31.中心在坐标原点,离心率为的双曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程为()
A.
B.
C.
D.答案:D32.双曲线(n>1)的两焦点为F1、、F2,P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2,则△P
F1F2的面积为()
A.
B.1
C.2
D.4答案:B33.下列函数中,与函数y=x(x≥0)有相同图象的一个是()A.y=x2B.y=(x)2C.y=3x3D.y=x2x答案:一个函数与函数y=x
(x≥0)有相同图象时,这两个函数应是同一个函数.A中的函数和函数y=x
(x≥0)的值域不同,故不是同一个函数.B中的函数和函数y=x
(x≥0)具有相同的定义域、值域、对应关系,故是同一个函数.C中的函数和函数y=x
(x≥0)的值域不同,故不是同一个函数.D中的函数和函数y=x
(x≥0)的定义域不同,故不是同一个函数.综上,只有B中的函数和函数y=x
(x≥0)是同一个函数,具有相同的图象,故选B.34.已知f(x)=3mx2-2(m+n)x+n(m≠0)满足f(0)•f(1)>0,设x1,x2是方程f(x)=0的两根,则|x1-x2|的取值范围为()
A.[,)
B.[,)
C.[,)
D.[,)答案:A35.设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是()
A.若m∥n,m∥α,则n∥α
B.若α⊥β,m∥α,则m⊥β
C.若α⊥β,m⊥β,则m∥α
D.若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β答案:D36.设x,y∈R,且满足x2+y2=1,求x+y的最大值为()
A.
B.
C.2
D.1答案:A37.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若AD=2DB,CD=λCA+μCB,则λμ的值为______.答案:∵AD=2DB,∴CD=CA+23
AB∵AB=CB-CA∴CD=CA+23AB=CA+23(CB-CA)=13CA+23CB∵CD=λCA+μCB∴λ=13,μ=23∴λμ=12故为1238.在复平面内,复数z=sin2+icos2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:∵sin2>0,cos2<0,∴z=sin2+icos2对应的点在第四象限,故选D.39.向量在基底{,,}下的坐标为(1,2,3),则向量在基底{}下的坐标为()
A.(3,4,5)
B.(0,1,2)
C.(1,0,2)
D.(0,2,1)答案:D40.某制药厂为了缩短培养时间,决定优选培养温度,试验范围定为29℃至50℃,现用分数法确定最佳温度,设第1,2,3次试验的温度分别为x1,x2,x3,若第2个试点比第1个试点好,则x3的值为(
)。答案:34℃或45℃41.如图,△ABC是圆的内接三角形,PA切圆于点A,PB交圆于点D.若∠ABC=60°,PD=1,BD=8,则∠PAC=______°,PA=______.答案:∵PD=1,BD=8,∴PB=PD+BD=9由切割线定理得PA2=PD?PB=9∴PA=3又∵PE=PA∴PE=3又∠PAC=∠ABC=60°故:60,342.如图是将二进制数11111(2)化为十进制数的一个程序框图,判断框内应填入的条件是()A.i≤5B.i≤4C.i>5D.i>4答案:首先将二进制数11111(2)化为十进制数,11111(2)=1×20+1×21+1×22+1×23+1×24=31,由框图对累加变量S和循环变量i的赋值S=1,i=1,i不满足判断框中的条件,执行S=1+2×S=1+2×1=3,i=1+1=2,i不满足条件,执行S=1+2×3=7,i=2+1=3,i不满足条件,执行S=1+2×7=15,i=3+1=4,i仍不满足条件,执行S=1+2×15=31,此时31是要输出的S值,说明i不满足判断框中的条件,由此可知,判断框中的条件应为i>4.故选D.43.设a,b,λ都为正数,且a≠b,对于函数y=x2(x>0)图象上两点A(a,a2),B(b,b2).
(1)若AC=λCB,则点C的坐标是______;
(2)过点C作x轴的垂线,交函数y=x2(x>0)的图象于D点,由点C在点D的上方可得不等式:______.答案:(1)设点C(x,y),因为点A(a,a2),B(b,b2),AC=λCB,则(x-a,y-a2)=λ(b-x,b2-y),所以:x=a+λb1+λ,y=a2+λb21+λ(2)因为点C在点D的上方,则y>yD,所以a2+λb21+λ>(a+λb1+λ)244.设a,b∈R,ab≠0,则直线ax-y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的大致图形是()
A.
B.
C.
D.
答案:B45.为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为a0a1a2,ai∈{0,1}(i=0,1,2),传输信息为h0a0a1a2h1,其中h0=a0⊕a1,h1=h0⊕a2,⊕运算规则为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0,例如原信息为111,则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是()A.11010B.01100C.10111D.00011答案:A选项原信息为101,则h0=a0⊕a1=1⊕0=1,h1=h0⊕a2=1⊕1=0,所以传输信息为11010,A选项正确;B选项原信息为110,则h0=a0⊕a1=1⊕1=0,h1=h0⊕a2=0⊕0=0,所以传输信息为01100,B选项正确;C选项原信息为011,则h0=a0⊕a1=0⊕1=1,h1=h0⊕a2=1⊕1=0,所以传输信息为10110,C选项错误;D选项原信息为001,则h0=a0⊕a1=0⊕0=0,h1=h0⊕a2=0⊕1=1,所以传输信息为00011,D选项正确;故选C.46.已知两点P1(2,-1)、P2(0,5),点P在P1P2延长线上,且满足P1P2=-2PP2,则P点的坐标为______.答案:设分点P(x,y),P1(2,-1)、P2(0,5),∴P1P2=(-2,6),PP2=(-x,5-y),∵P1P2=-2PP2,∴(-2,6)=-2(-x,5-y)-2=-2x,6=2y-10,∴x=-1,y=8∴P(-1,8).47.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12答案:抛物线y2=8x的准线为x=-2,∵点P到y轴的距离是4,∴到准线的距离是4+2=6,根据抛物线的定义可知点P到该抛物线焦点的距离是6故选B48.设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若<a,n>=,则l与α所成的角为()
A.
B.
C.
D.答案:C49.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k的值是()A.4B.5C.6D.7答案:根据流程图所示的顺序,程序的运行过程中各变量值变化如下表:是否继续循环
S
K循环前/0
0第一圈
是
1
1第二圈
是
3
2第三圈
是
11
3第四圈
是
20594第五圈
否∴最终输出结果k=4故为A50.设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:
(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;
(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;
(3)设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;
(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.
上面命题,真命题的序号是______(写出所有真命题的序号)答案:由面面平行的判定定理可知,(1)正确.由线面平行的判定定理可知,(2)正确.对于(3)来说,α内直线只垂直于α和β的交线l,得不到其是β的垂线,故也得不出α⊥β.对于(4)来说,l只有和α内的两条相交直线垂直,才能得到l⊥α.也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话,l不一定垂直于α.第3卷一.综合题(共50题)1.设集合A={(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N},使用列举法表示集合A.答案:集合A中的元素是点,点的横坐标,纵坐标都是自然数,且满足条件x+y=6.所以用列举法表示为:A={(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}.2.椭圆=1的焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是()
A.±
B.±
C.±
D.±答案:A3.设A、B、C、D是半径为r的球面上的四点,且满足AB⊥AC、AD⊥AC、AB⊥AD,则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是[
]A、r2
B、2r2
C、3r2
D、4r2答案:B4.若A∩B=A∪B,则A______B.答案:设有集合W=A∪B=B∩C,根据并集的性质,W=A∪B?A?W,B?W,根据交集的性质,W=A∩B?W?A,W?B由集合子集的性质,A=B=W,故为:=.5.如图所示的几何体ABCDE中,DA⊥平面EAB,CB∥DA,EA=DA=AB=2CB,EA⊥AB,M是EC的中点,
(Ⅰ)求证:DM⊥EB;
(Ⅱ)设二面角M-BD-A的平面角为β,求cosβ.答案:分别以直线AE,AB,AD为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设CB=a,则A(0,0,0),E(2a,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,a),D(0,0,2a)所以M(a,a,a2).(Ⅰ):DM=(a,a,-3a2)
,EB=(-2a,2a,0)DM•EB=a•(-2a)+a•2a+0=0.∴DM⊥EB,即DM⊥EB.(Ⅱ)设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),DB=(0,2a,-2a),由n⊥DB,n⊥DM,得n•DB=2ay-2az=0n•DM=ax+ay-3a2z=0⇒y=zx+y-3z2=0取z=2得平面MBD的一非零法向量为n=(1,2,2),又平面BDA的一个法向量n1=(1,0,0).∴cos<n,n1>
=1+0+012+22+22•12+02+
02=13,即cosβ=136.已知x、y的取值如下表:x0134y2.24.34.86.7从散点图分析,y与x线性相关,且回归方程为y=0.95x+a,则a=______.答案:点(.x,.y)在回归直线上,计算得.x=2,.y=4.5;代入得a=2.6;故为2.6.7.若数据x1,x2,x3…xn的平均数.x=5,方差σ2=2,则数据3x1+1,3x2+1,3x3+1…,3xn+1的方差为______.答案:∵x1,x2,x3,…,xn的方差为2,∴3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的方差是32×2=18.故为:18.8.若向量=(1,λ,2),=(2,-1,2)且与的夹角余弦为,则λ等于(
)
A.2
B.-2
C.-2或
D.2或答案:C9.如图,以1×3方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中,有多少种大小不同的模?有多少种不同的方向?
答案:模为1的向量;模为2的向量;模为3的向量;模为2的向量;模为5的向量;模为10的向量共有6个模,进而分析方向,正方形的边对应的向量共有四个方向,边长为1的正方形的对角线对应的向量共四个方向;1×2的矩形的对角线对应的向量共四个方向;1×3的矩形对角线对应的向量共有四个方向共有16个方向10.已知α1,α2,…αn∈(0,π),n是大于1的正整数,求证:|sin(α1+α2+…+αn)|<sinα1+sinα2+…+sinαn.答案:证明:下面用数学归纳法证明(1)n=2时,|sin(α1+α2)|-|sinα1cosα2+cosα1sinα2|≤sinα1|cosα2|+|cosα1|•|sinα2|<sinα1+sinα2,所以n=2时成立.(2)假设n=k(k≥2)时成立,即|sin(α1+α2+Λ+αk)|<sinα1+sinα2+Λ+sinαk当n=k+1时,|sin(α1+α2+Λ+αk+1)|==|sinαk+1cos(α1+Λαk)+cosαk+1sin(α1+Λαk)|≤sinαk+1|cos(α1+Λ+αk)|+|cosαk+1|•|sin(α1+Λαk)|<sinαk+1+|sin(α1+Λαk)|<sinα1+sinα2+Λ+sinαk+1∴n=k+1时也成立.由(1)(2)得,原式成立.11.在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(-1,1),若取原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,则在下列选项中,不是点P极坐标的是()
A.()
B.()
C.()
D.()答案:D12.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x的取值范围是______.答案:若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题则它的否命题为真命题即{x|x<2或x>5}且{x|1≤x≤4}是真命题所以的取值范围是[1,2),故为[1,2).13.若集合S={a,b,c}(a、b、c∈R)中三个元素为边可构成一个三角形,那么该三角形一定不可能是()
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形答案:D14.把4名男生和4名女生排成一排,女生要排在一起,不同排法的种数为()
A.A88
B.A55A44
C.A44A44
D.A85答案:B15.如图,已知AB是⊙O的直径,AB⊥CD于E,切线BF交AD的延长线于F,若AB=10,CD=8,则切线BF的长是
______.答案:连接OD,AB⊥CD于E,根据垂径定理得到DE=4,在直角△ODE中,根据勾股定理得到OE=3,因而AE=8,易证△ABF∽△AED,得到DEBF=AEAB=810,解得BF=5.16.已知复数z的模为1,且复数z的实部为13,则复数z的虚部为______.答案:设复数的虚部是b,∵复数z的模为1,且复数z的实部为13,∴(13)2+b2=1,∴b2=89,∴b=±223故为:±22317.若A为m×n阶矩阵,AB=C,则B的阶数可以是下列中的______.
①m×m,②m×n,③n×m,④n×n.答案:两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时,才能作乘法.矩阵A是n列矩阵,故矩阵B是n行的矩阵则B的阶数可以是③n×m,④n×n故为:③④18.A、B是直线l上的两点,AB=4,AC⊥l于A,BD⊥l于B,AC=BD=3,又AC与BD成60°的角,则C、D两点间的距离是______答案:CD=CA+AB+BD,|CD|=|
CA+AB+BD|,CD=32+32+42+2×
3×3cosθ,θ=120°或60°,CD=32+32+42±32.CD=5或43故为:5或4319.设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若<a,n>=,则l与α所成的角为()
A.
B.
C.
D.答案:C20.下列各个对应中,从A到B构成映射的是()A.
B.
C.
D.
答案:按照映射的定义,A中的任何一个元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.而在选项A和选项B中,前一个集合中的元素2在后一个集合中没有元素与之对应,故不符合映射的定义.选项C中,前一个集合中的元素1在后一集合中有2个元素和它对应,也不符合映射的定义,只有选项D满足映射的定义,故选D.21.已知定义在实数集上的偶函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,那么y1=f(π3),y2=f(3x2+1)和y3=f(log214)之间的大小关系为()A.y1<y3<y2B.y1<y2<y3C.y3<y1<y2D.y3<y2<y1答案:∵偶函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是增函数∴|x|越大,函数值就越大∵|3x2+1|≥3,|log214|=2∴|3x2+1|>|log214|>π3∴y1<y3<y2故选A22.平面向量与的夹角为60°,=(1,0),||=1,则|+2|=(
)
A.7
B.
C.4
D.12答案:B23.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线上一点A的横坐标为x1(x1>0),过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D,交y轴于点Q,交直线l:y=p2于点M,当|FD|=2时,∠AFD=60°.
(1)求证:△AFQ为等腰三角形,并求抛物线C的方程;
(2)若B位于y轴左侧的抛物线C上,过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P,交直线l于点N,求△PMN面积的最小值,并求取到最小值时的x1值.答案:(1)设A(x1,x122p),则A处的切线方程为l1:y=x1px-x122p,可得:D(x12,0),Q(0,-x212p)∴|FQ|=p2+x212p=|AF|;∴△AFQ为等腰三角形.由点A,Q,D的坐标可知:D为线段AQ的中点,∴|AF|=4,得:p2+x212p=4x21+p2=16∴p=2,C:x2=4y.(2)设B(x2,y2)(x2<0),则B处的切线方程为y=x22x-x224联立y=x22x-x224y=x12x-x214得到点P(x1+x22,x1x24),联立y=x12x-x214y=1得到点M(x12+2x1,1).同理N(x22+2x2,1),设h为点P到MN的距离,则S△=12|MN|•h=12×(x12+2x1-x22-2x2)(1-x1x24)=(x2-x1)(4-x1x2)216x1x2
①设AB的方程为y=kx+b,则b>0,由y=kx+bx2=4y得到x2-4kx-4b=0,得x1+x2=4kx1x2=-4b代入①得:S△=16k2+16b(4+4b)264b=(1+b)2k2+bb,要使面积最小,则应k=0,得到S△=(1+b)2bb②令b=t,得S△(t)=(1+t2)2t=t3+2t+1t,则S′△(t)=(3t2-1)(t2+1)t2,所以当t∈(0,33)时,S(t)单调递减;当t∈(33,+∞)时,S(t)单调递增,所以当t=33时,S取到最小值为1639,此时b=t2=13,k=0,所以y1=13,解得x1=233.故△PMN面积取得最小值时的x1值为233.24.若不等式对一切x恒成立,求实数m的范围.答案:见解析解析:∵x2-8x+20=(x-4)2+4>0,∴只须mx2-mx-1<0恒成立,即可:①
当m=0时,-1<0,不等式成立;②
当m≠0时,则须,解得-4<m<0.由(1)、(2)得:-4<m≤0.</m<0.25.一直线倾斜角的正切值为34,且过点P(1,2),则直线方程为______.答案:因为直线倾斜角的正切值为34,即k=3,又直线过点P(1,2),所以直线的点斜式方程为y-2=34(x-1),整理得,3x-4y+5=0.故为3x-4y+5=0.26.已知a=(2,-1,1),b=(-1,4,-2),c=(λ,5,1),若向量a,b,c共面,则λ=______.答案:∵a、b、c三向量共面,∴c=xa+yb,x,y∈R,∴(λ,5,1)=(2x,-x,x)+(-y,4y,-2y)=(2x-y,-x+4y,x-2y),∴2x-y=λ,-x+4y=5,x-2y=1,解得x=7,y=3,λ=11;故为;
11.27.若图中直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则()A.k2<k1<k3B.k3<k2<k1C.k2<k3<k1D.k1<k3<k2答案:∵直线l2的倾斜角为钝角,∴k2<0.直线l1,l3的倾斜角为锐角,且直线l1的倾斜角小于l3的倾斜角,∴0<k1<k3.故选A.28.平面向量、的夹角为60°,=(2,0),=1,则=(
)
A.
B.
C.3
D.7答案:B29.已知椭圆C的中心在原点,焦点F1,F2在轴上,离心率e=22,且经过点M(0,2),求椭圆c的方程答案:若焦点在x轴很明显,过点M(0,2)点M即椭圆的上端点,所以b=2ca=22c2=12a2∵a2=b2+c2所以b2=c2=2a2=4椭圆:x24+y22=1若焦点在y轴,则a=2,ca=22,c=1∴b=1椭圆方程:x22+y2=1.30.(选做题)(几何证明选讲选做题)如图,直角三角形ABC中,∠B=90°,AB=4,以BC为直径的圆交AC边于点D,AD=2,则∠C的大小为______.答案:∵∠B=90°,AB=4,BC为圆的直径∴AB与圆相切,由切割线定理得,AB2=AD?AC∴AC=8故∠C=30°故为:30°31.一个试验要求的温度在69℃~90℃之间,用分数法安排试验进行优选,则第一个试点安排在(
)。(取整数值)答案:82°32.如果执行程序框图,那么输出的S=()A.2450B.2500C.2550D.2652答案:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加并输出:S=2×1+2×2+…+2×50的值.∵S=2×1+2×2+…+2×50=2×1+502×50=2550故选C33.将函数进行平移,使得到的图形与抛物线的两个交点关于原点对称,试求平移后的图形对应的函数解析式.答案:函数解析式是解析:将函数进行平移,使得到的图形与抛物线的两个交点关于原点对称,试求平移后的图形对应的函数解析式.34.把平面上一切单位向量归结到共同的起点,那么这些向量的终点所构成的图形是
______.答案:把平面上一切单位向量归结到共同的起点,那么这些向量的终点到起点的距离都等于1,所以,由圆的定义得,这些向量的终点所构成的图形是半径为1的圆.35.O是正六边形ABCDE的中心,且OA=a,OB=b,AB=c,在以A,B,C,D,E,O为端点的向量中:
(1)与a相等的向量有
______;
(2)与b相等的向量有
______;
(3)与c相等的向量有
______.答案:如图,在O是正六边形ABCDE的中心,以A,B,C,D,E,O为端点的向量中(1)与a相等的向量有EF,DO,CB;(2)与b相等的向量有DC,EO,FA;(3)与c相等的向量有FO,OC,ED.故三个空依次应填EF,DO,CB;DC,EO,FA;FO,OC,ED.36.设集合A={1,3},集合B={1,2,4,5},则集合A∪B=()A.{1,3,1,2,4,5}B.{1}C.{1,2,3,4,5}D.{2,3,4,5}答案:∵集合A={1,3},集合B={1,2,4,5},∴集合A∪B={1,2,3,4,5}.故选C.37.已知△ABC∽△DEF,且相似比为3:4,S△ABC=2cm2,则S△DEF=______cm2.答案:∵△ABC∽△DEF,且相似比为3:4∴S△ABC:S△DEF=9:16∴S△DEF=329.故为:329.38.命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是()
A.存在x∈Z使x2+2x+m>0
B.不存在x∈Z使x2+2x+m>0
C.对任意x∈Z使x2+2x+m≤0
D.对任意x∈Z使x2+2x+m>0答案:D39.某市为研究市区居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据绘制了样本的频率分布直方图(如图).
(Ⅰ)求月收入在[3000,3500)内的被调查人数;
(Ⅱ)估计被调查者月收入的平均数(同一组中的数
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