2023年安徽警官职业学院高职单招（数学）试题库含答案解析

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年安徽警官职业学院高职单招（数学）试题库含答案解析（图片大小可自由调整）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第1卷一.综合题(共50题)1.若a2+b2=c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．答案：证明：假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，得a2+b2为偶数，而c2为奇数，即a2+b2≠c2，这与a2+b2=c2相矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．2.在某次数学考试中，考生的成绩X～N（90，100），则考试成绩X位于区间（80，90）上的概率为______．答案：∵考生的成绩X～N（90，100），∴正弦曲线关于x=90对称，根据3?原则知P（80＜x＜100）=0.6829，∴考试成绩X位于区间（80，90）上的概率为0.3413，故为：0.34133.下列函数中，与函数y=1x有相同定义域的是（）A．f（x）=lnxB．f(x)=1xC．f（x）=x3D．f（x）=ex答案：∵函数y=1x，∴x＞0，A、∵f（x）=lnx，∴x＞0，故A正确；B、∵f(x)=1x，∴x≠0，故B错误；C、f（x）=x3，其定义域为R，故C错误；D、f（x）=ex，其定义域为R，故D错误；故选A．4.（不等式选讲选做题）

已知实数a、b、x、y满足a2+b2=1，x2+y2=3，则ax+by的最大值为______．答案：因为a2+b2=1，x2+y2=3，由柯西不等式（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2，得3≥（ax+by）2，不且仅当ay=bx时取等号，所以ax+by的最大值为3．故为：3．5.当a＞0时，设命题P：函数f(x)=x+ax在区间（1，2）上单调递增；命题Q：不等式x2+ax+1＞0对任意x∈R都成立．若“P且Q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤1B．1≤a＜2C．0≤a≤2D．0＜a＜1或a≥2答案：∵函数f(x)=x+ax在区间（1，2）上单调递增；∴f′（x）≥0在区间（1，2）上恒成立，∴1-ax2≥0在区间（1，2）上恒成立，即a≤x2在区间（1，2）上恒成立，∴a≤1．且a＞0…①又不等式x2+ax+1＞0对任意x∈R都成立，∴△=a2-4＜0，∴-2＜a＜2…②若“P且Q”是真命题，则P且Q都是真命题，故由①②的交集得：0＜a≤1，则实数a的取值范围是0＜a≤1．故选A．6.如图的算法的功能是______．输出结果i=______，i+2=______．答案：框图首先输入变量i的值，判断i（i+2）=624，执行输出i，i+2；否则，i=i+2．算法结束．故此算法执行的是求积为624的两个连续偶数，i=24，i+2=26；故为：求积为624的两个连续偶数，24，26．7.设求证答案：证明略解析：左边-右边===

=

∴原不等式成立。证法二:左边>0，右边>0。∴原不等式成立。8.空间向量a=（2，-1，0），.b=（1，0，-1），n=（1，y，z），若n⊥a，n⊥b，则y+z=______．答案：∵n⊥a，n⊥b，∴n•a=0n•b=0，即2-y=01-z=0，解得y=2z=1，∴y+z=3．故为3．9.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A．（不等式选做题）不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是______．

B．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是______．

C．（几何证明选做题）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=22，BE=1，BF=2，若CE与圆相切，则线段CE的长为______．答案：A：当x＜-3时不等式|x-5|+|x+3|≥10可化为：-（x-5）-（x+3）≥10解得：x≤-4当-3≤x≤5时不等式|x-5|+|x+3|≥10可化为：-（x-5）+（x+3）=8≥10恒不成立当x＞5时不等式|x-5|+|x+3|≥10可化为：（x-5）+（x+3）≥10解得：x≥6故不等式|x-5|+|x+3|≥10解集为：（-∞，-4]∪[6，+∞）．B：圆ρ=-2sinθ即ρ2=-2ρsinθ，即x2+y2+2y=0，即x2+（y+1）2=1．表示以（0，-1）为圆心，半径等于1的圆，故圆心的极坐标为（1，3π2）．C：由题意，DF=CF=22，BE=1，BF=2，由DF•FC=AF•BF，得22•22=AF•2，∴AF=4，又BF=2，BE=1，∴AE=7；由切割线定理得CE2=BE•EA=1×7=7．∴CE=7．故为：（-∞，-4]∪[6，+∞）；（1，3π2）（不唯一）；7．10.若e1、e2、e3是三个不共面向量，则向量a=3e1+2e2+e3，b=-e1+e2+3e3，c=2e1-e2-4e3是否共面？请说明理由．答案：解：设c=1a+2b，则即∵a、b不共线，向量a、b、c共面．11.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA1，DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（）

A．

B．1

C．1+

D．答案：D12.已知正三角形的外接圆半径为63cm，求它的边长．答案：设正三角形的边长为a，则12a=Rcos30°=63?32=9(cm)∴a=18(cm)．它的边长为18cm．13.给出下列四个命题，其中正确的一个是（）

A．在线性回归模型中，相关指数R2=0.80，说明预报变量对解释变量的贡献率是80%

B．在独立性检验时，两个变量的2×2列联表中对角线上数据的乘积相差越大，说明这两个变量没有关系成立的可能性就越大

C．相关指数R2用来刻画回归效果，R2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好

D．线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强答案：D14.设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=______．答案：∵两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故两圆圆心在第一象限的角平分线上，设圆心的坐标为（a，a），则有|a|=(a-4)2-(a-1)2，∴a=5+22，或a=5-22，故圆心为（5+22，5+22

）

和（5-22，5-22

），故两圆心的距离|C1C2|=2[（5+22）-（5-22）]=8，故为：815.有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底．其中正确的命题是[

]A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③答案：C16.来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行北京奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有（）

A．12种

B．48种

C．90种

D．96种答案：B17.若命题P（n）对n=k成立，则它对n=k+2也成立，又已知命题P（2）成立，则下列结论正确的是（）

A．P（n）对所有自然数n都成立

B．P（n）对所有正偶数n成立

C．P（n）对所有正奇数n都成立

D．P（n）对所有大于1的自然数n成立答案：B18.将函数="2x"+1的图像按向量平移得函数=的图像则

A=（1）B=（1，1）C=()

D(1，1）答案：C解析：分析：本小题主要考查函数图象的平移与向量的关系问题．依题由函数y=2x+1的图象得到函数y=2x+1的图象，需将函数y=2x+1的图象向左平移1个单位，向下平移1个单位；故=(-1，-1)．解：设=（h，k）则函数y=2x+1的图象平移向量后所得图象的解析式为y=2x-h+1+k∴∴∴=（-1，-1）故答案为：C．19.阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A．14B．20C．30D．55答案：∵S1=0，i1=1；S2=1，i2=2；S3=5，i3=3；S4=14，i4=4；S5=30，i=5＞4退出循环，故为C．20.设双曲线C：x2a2-y2=1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．

（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：

（II）设直线l与y轴的交点为P，且PA=512PB．求a的值．答案：（I）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组x2a2-y2=1x+y=1.有两个不同的实数解．消去y并整理得（1-a2）x2+2a2x-2a2=0．①所以1-a2≠0.4a4+8a2(1-a2)＞0.解得0＜a＜2且a≠1．双曲线的离心率e=1+a2a=1a2+1．∵0＜a＜2且a≠1，∴e＞62且e≠2即离心率e的取值范围为(62，2)∪(2，+∞)．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，1）∵PA=512PB，∴(x1，y1-1)=512(x2，y2-1)．由此得x1=512x2．由于x1和x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以1712x2=-2a21-a2．x1•x2=512x22=-2a21-a2．消去x2，得-2a21-a2=28960由a＞0，所以a=1713．21.阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3B．4C．5D．6答案：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选B22.（参数方程与极坐标选讲）在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2+2ρcosθ=0，点P的极坐标为(2，π2)，过点P作圆C的切线，则两条切线夹角的正切值是______．答案：圆C的极坐标方程ρ2+2ρcosθ=0，化为普通方程为x2+y2+2x=0，即（x-1）2+y2=1．它表示以C（1，0）为圆心，以1为半径的圆．点P的极坐标为(2，π2)，化为直角坐标为（0，2）．设两条切线夹角为2θ，则sinθ=15，cosθ25，故tanθ=12．再由tan2θ=2tanθ1-tan2θ=43，故为43．23.设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（）

A．

B．

C．

D．

答案：A24.若方程x2-3x+mx+m=0的两根均在(0，+∞)内，则m的取值范围是(

)

A．m≤1

B．0＜m≤1

C．m>1

D．0＜m＜1答案：B25.已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99．求他的总分和平均成绩的一个算法为：

第一步：取A=89，B=96，C=99；

第二步：______；

第三步：______；

第四步：输出计算的结果．答案：由题意，第二步，求和S=A+B+C，第三步，计算平均成绩.x=A+B+C3．故为：S=A+B+C；.x=A+B+C3．26.图为一个几何体的三视国科，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A．23+π6B．23+4πC．33+π6D．33+4π3答案：由图中数据，下部的正三棱柱的高是3，底面是一个正三角形，其边长为2，高为3，故其体积为3×12×2×3=33上部的球体直径为1，故其半径为12，其体积为4π3×(12)3=π6故组合体的体积是33+π6故选C27.用反证法证明：“方程ax2+bx+c=0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”正确的假设是方程存在实数根x0为（）

A．整数

B．奇数或偶数

C．正整数或负整数

D．自然数或负整数答案：A28.抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为______．答案：∵过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍．∴所求抛物线方程为x2=±16y．故为：x2=±16y．29.某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（）A．110B．120C．140D．1120答案：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有：A1010；满足条件的事件要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的2位同学没有被排在一起的演讲的顺序”可通过如下步骤：①将一班的3位同学“捆绑”在一起，有A33种方法；②将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列，有A66种方法；③在以上6个对象所排成一列的7个间隙（包括两端的位置）中选2个位置，将二班的2位同学插入，有A72种方法．根据分步计数原理（乘法原理），共有A33?A66?A72种方法．∴一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：P=A33?A66?A27A1010=120．故选B．30.直线y=2x+1的参数方程是（）

A.（t为参数）

B.（t为参数）

C.（t为参数）

D.（θ为参数）

答案：B31.椭圆=1的焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是（）

A．±

B．±

C．±

D．±答案：A32.若A是圆x2+y2=16上的一个动点，过点A向y轴作垂线，垂足为B，则线段AB中点C的轨迹方程为（）

A．x2+2y2=16

B．x2+4y2=16

C．2x2+y2=16

D．4x2+y2=16答案：D33.已知l∥α，且l的方向向量为（2，-8，1），平面α的法向量为（1，y，2），则y=______．答案：∵l∥α，∴l的方向向量（2，-8，1）与平面α的法向量（1，y，2）垂直，∴2×1-8×y+2=0，解得y=12．故为12．34.已知正三角形ABC的边长为a，求△ABC的直观图△A′B′C′的面积．答案：如图①、②所示的实际图形和直观图．由②可知，A′B′=AB=a，O′C′=12OC=34a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′=22O′C′=68a．∴S△A′B′C′=12A′B′?C′D′=12×a×68a=616a2．35.若函数y=f（x）的定义域是[12，2]，则函数y=f（log2x）的定义域为______．答案：由题意知12≤log2x≤2，即log22≤log2x≤log24，∴2≤x≤4．故为：[2，4]．36.已知椭圆中心在原点，一个焦点为（3，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______．答案：根据题意知a=2b，c=3又∵a2=b2+c2∴a2=4

b2=1∴x24+

y2=1故为：∴x24+

y2=1．37.（几何证明选讲选做题）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，直线MN切

⊙O于D，∠MDA=45°，则∠DCB=______．答案：连接BD，∵AB为⊙O的直径，直线MN切⊙O于D，∠MDA=45°，∴∠ABD=45°，∠ADB=90°，∴∠DCB=∠ABD+∠ADB=45°+90°=135°．故为：135°．38.从四个公司按分层抽样的方法抽取职工参加知识竞赛，其中甲公司共有职工96人．若从甲、乙、丙、丁四个公司抽取的职工人数分别为12，21，25，43，则这四个公司的总人数为（）

A．101

B．808

C．1212

D．2012答案：B39.|a|=4，a与b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为______．答案：a在b方向上的投影为|a|cos30°=4×32=23故为：2340.设

是不共线的向量，(k，m∈R)，则A、B、C三点共线的充要条件是（）

A．k+m=0

B．k=m

C．km+1=0

D．km-1=0答案：D41.已知点（3，1）和（-4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则实数a的取值范围是（

）

A.a＜-7或a＞24

B.a=7或a=24

C.-7＜a＜24

D.-24＜a＜7答案：C42.已知圆x2+y2=r2在曲线|x|+|y|=4的内部，则半径r的范围是（）A．0＜r＜22B．0＜r＜2C．0＜r＜2D．0＜r＜4答案：根据题意画出图形，如图所示：可得曲线|x|+|y|=4表示边长为42的正方形，如图ABCD为正方形，x2+y2=r2表示以原点为圆心的圆，过O作OE⊥AB，∵边AB所在直线的方程为x+y=4，∴|OE|=42=22，则满足题意的r的范围是0＜r＜22．故选A43.如图，从圆O外一点P引两条直线分别交圆O于点A，B，C，D，且PA=AB，PC=5，CD=9，则AB的长等于______．答案：∵PAB和PBC是圆O的两条割线∴PA?PB=PC?PD又∵PA=AB，PC=5，CD=9，∴2AB2=5×（5+9）∴AB=35故为：3544.某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如图：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量

（单位：千瓦时）高峰电价（单位：元/千瓦时）低谷月用电量

（单位：千瓦时）低谷电价（单位：

元/千瓦时）50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超过50至200的部分0.598超过50至200的部分0.318超过200的部分0.668超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为______元（用数字作答）答案：高峰时间段用电的电费为50×0.568+150×0.598=28.4+89.7=118.1（元），低谷时间段用电的电费为50×0.288+50×0.318=14.4+15.9=30.3（元），本月的总电费为118.1+30.3=148.4（元），故为：148.4．45.“sinx=siny”是“x=y”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：∵“sinx=siny”不能推出“x=y”，例如sin30°=sin390°，但30°≠390°，即充分性不成立；反过来，若“x=y”，一定有“sinx=siny”，即必要性成立；∴“sinx=siny”是“x=y”的必要不充分条件．故选C．46.用反证法证明命题“在函数f（x）=x2+px+q中，|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|至少有一个不小于”时，假设正确的是（）

A．假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|至多有一个小于

B．假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|至多有两个小于

C．假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都不小于

D．假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于答案：D47.在平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合为______．答案：∵平面直角坐标系内第二象限的点，横坐标小于0，纵坐标大于0，∴在平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合为{（x，y）|x＜0且y＞0}，故为：{（x，y）|x＜0且y＞0}．48.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X＞4”表示试验的结果为（）

A．第一枚为5点，第二枚为1点

B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点

C．第一枚为6点，第二枚为1点

D．第一枚为4点，第二枚为1点答案：C49.以抛物线的焦点弦为直径的圆与其准线的位置关系是（

）

A．相切

B．相交

C．相离

D．以上均有可能答案：A50.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC=λAE+μAF，其中λ、μ∈R，则λ+μ=______．答案：解析：设AB=a，AD=b，那么AE=12a+b，AF=a+12b，又∵AC=a+b，∴AC=23（AE+AF），即λ=μ=23，∴λ+μ=43．故为：43．第2卷一.综合题(共50题)1.已知函数f(x)=x21+x2，那么f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)=______．答案：∵f(x)=x21+x2，∴f（1x）=11+x2∴f（x）+f（1x）=1∴f（2）+f（12）=1，f（3）+f（13）=1，f（4）+f（14）=1，f（1）=12∴f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)=72故为：722.如图：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E，F分别是线段AB，BC上的点，且EB=FB=1．

（1）求二面角C-DE-C1的大小；

（2）求异面直线EC1与FD1所成角的大小；

（3）求异面直线EC1与FD1之间的距离．答案：（1）以A为原点AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D（0，3，0），D1（0，3，2），E（3，0，0），F（4，1，0），C1（4，3，2）．（1分）于是DE=（3，-3，0），EC1=（1，3，2），FD1=（-4，2，2）（3分）设向量n=（x，y，z）与平面C1DE垂直，则有n⊥DEn⊥EC1⇒3x-3y=0x+3y+2z=0⇒x=y=-12z．∴n=（-z2，-z2，z）=z2（-1，-1，2），其中z＞0．取n0=（-1，-1，2），则n0是一个与平面C1DE垂直的向量，（5分）∵向量AA1=（0，0，2）与平面CDE垂直，∴n0与AA1所成的角θ为二面角C-DE-C1的平面角．（6分）∴cosθ=n0•AA1|n0||AA1|=-1×0-1×0+2×21+1+4×0+0+4=63．（7分）故二面角C-DE-C1的大小为arccos63．（8分）（2）设EC1与FD1所成角为β，（1分）则cosβ=EC1•FD1|EC1||FD1|=1×(-4)+3×2+2×21+1+4×0+0+4=2114（10分）故异面直线EC1与FD1所成角的大小为arccos2114（11分）（3）设m=（x，y，z）m⊥EC1m⊥FD1⇒m=(17，-57，1)又取D1C1=(4，0，0)$}}\overm}=（\frac{1}{7}，-\frac{5}{7}，1）$$}}\overC}_1}=（4，0，0）$（13分）设所求距离为d，则d=|m⋅D1C1||m|=4315$}}\overC}}_1}|}}{|\vecm|}=\frac{{4\sqrt{3}}}{15}$（14分）．3.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M是棱AB的中点，点P是平面ABCD上的一动点，且点P到直线A1D1的距离两倍的平方比到点M的距离的平方大4，则点P的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案：在平面ABCD上，以AD为x轴，以AB为y轴建立平面直角坐标系，则M（，12，0），设P（x，y）则|MP|2=y2+(x-12)2点P到直线A1D1的距离为x2+1由题意得4(x2+1)=

y2+(x-12)2+4即3(x+12)2-y2=74选C4.已知点M在z轴上，A（1，0，2），B（1，-3，1），且|MA|=|MB|，则点M的坐标是

______．答案：∵点M在z轴上，∴设点M的坐标为（0，0，z）又|MA|=|MB|，由空间两点间的距离公式得：12+02+(z-2)2=12+32+(z-1)2解得：z=-3．故点M的坐标是（0，0，-3）．故为：（0，0，-3）．5.圆C1x2+y2-4y-5=0与圆C2x2+y2-2x-2y+1=0位置关系是（）

A．内含

B．内切

C．相交

D．外切答案：A6.P为椭圆x225+y216=1上一点，F1，F2分别为其左，右焦点，则△PF1F2周长为______．答案：由题意知△PF1F2周长=2a+2c=10+6=16．7.如果关于x的不等式|x-4|-|x+5|≥b的解集为空集，则实数b的取值范围为______．答案：|x-4|-|x+5|的几何意义就是数轴上的点到4的距离与到-5的距离的差，差的最大值为9，如果关于x的不等式|x-4|-|x+5|≥b的解集为空集，则实数b的取值范围为b＞9；故为：b＞9．8.一条直线的倾斜角的余弦值为32，则此直线的斜率为（）A．3B．±3C．33D．±33答案：设直线的倾斜角为α，∵α∈[0，π），cosα=32∴α=π6因此，直线的斜率k=tanα=33故选：C9.如图所示，CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线，CE⊥CD，CE=103，连接DE交BC于点F，AC=4，BC=3．

求证：（1）△ABC∽△EDC；

（2）DF=EF．答案：证明：（1）∵CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线∴CD=12AB=12AC2+BC2=52．∴CECD=10352=43=ACBC，∠ACB=∠DCE=90°．∴△ABC∽△EDC．（2）因为△ABC∽△EDC∴∠B=∠CDE，∠E=∠A．由CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线得：CD=AD=DB?∠B=∠DCB，∠A=∠DCA∴∠DCB=∠CDE?DF=CF；又因为：∠DCA+∠DCB=∠DCB+∠BCE=90°；∴∠DCA=∠BCE=∠A=∠E∴CF=EF．∴DF=EF．10.函数y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．

（1）求f（0）的值；

（2）若f（1）=1，求f（2），f（3），f（4）的值，猜想f（n）的表达式并用数学归纳法证明你的结论；

（3）若f（1）≥1，求证：f(12n)＞0(n∈N*)．答案：（1）令x=y=0得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0?f（0）=0（2）f（1）=1，f(2)=f(1+1)=1+1+2=4f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16猜想f（n）=n2，下用数学归纳法证明之．①当n=1时猜想成立．②假设n=k时猜想成立，即：f（k）=k2，那么f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=k2+2k+1=（k+1）2．这就是说n=k+1时猜想也成立．对于一切n≥1，n∈N+猜想都成立．（3）f（1）≥1，则f(1)=2f(12)+2×12×12≥1?f(12)≥14＞0假设n=k（k∈N*）时命题成立，即f(12k)≥122k＞0，则f(12k)=2f(12k+1)+2×12k+1×12k+1≥122k?f(12k+1)≥122(k+1)，由上知，则f(12n)＞0(n∈N*)．11.参数方程中当t为参数时，化为普通方程为（

）。答案：x2-y2=112.圆锥曲线G的一个焦点是F，与之对应的准线是，过F作直线与G交于A、B两点，以AB为直径作圆M，圆M与的位置关系决定G

是何种曲线之间的关系是：______

圆M与的位置相离相切相交G

是何种曲线答案：设圆锥曲线过焦点F的弦为AB，过A、B分别向相应的准线作垂线AA'，BB'，则由第二定义得：|AF|=e|AA'|，|BF|=e|BB'|，∴|AF|+|BF|2=|AA′|+|BB′|2

?

e．设以AB为直径的圆半径为r，圆心到准线的距离为d，即有r=de，椭圆的离心率

0＜e＜1，此时r＜d，圆M与准线相离；抛物线的离心率

e=1，此时r=d，圆M与准线相切；双曲线的离心率

e＞1，此时r＞d，圆M与准线相交．故为：椭圆、抛物线、双曲线．13.过点A（-1，4）作圆C：（x-2）2+（y-3）2=1的切线l，求切线l的方程．答案：设方程为y-4=k（x+1），即kx-y+k+4=0∴d=|2k-3+k+4|k2+1=1∴4k2+3k=0∴k=0或k=-34∴切线l的方程为y=4或3x+4y-13=014.已知集合{2x，x+y}={7，4}，则整数x=______，y=______．答案：∵{2x，x+y}={7，4}，∴2x=4x+y=7或2x=7x+y=4解得x=2y=5或x=3.5y=0.5不是整数，舍去故为：2，515.P是直线3x+y+1=0上一点，P到点Q（0，2）距离的最小值是______．答案：过点Q作直线的垂线段，当P是垂足时，线段PQ最短，故最小距离是点Q（0，2）到直线3x+y+1=0的距离d，d=|0+2+1|3+1=32=1.5．∴P到点Q（0，2）距离的最小值是1.5；故为1.5．16.如图，在梯形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，E、F分别是AC和BD的中点，分别写出

（1）图中与EF、CO共线的向量；

（2）与EA相等的向量．答案：（1）由图可知，与EF共线的向量有：CD、AB；与CO共线的向量有：CE、CA、OE、OA、EA；（2）由E为CA的中点可知，CE=EA，即与EA相等的向量为CE；17.点P（4，-2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是______．答案：设圆上任意一点为A（x1，y1），AP中点为（x，y），则x=x1+42y=y1-22，∴x1=2x-4y1=2y+2代入x2+y2=4得（2x-4）2+（2y+2）2=4，化简得（x-2）2+（y+1）2=1．故为：（x-2）2+（y+1）2=118.已知,求证:.答案：证明略解析：因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体.,相加整理得.当且仅当时等号成立.【名师指引】综合法证明不等式常用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一结论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形.19.下面是一个算法的伪代码．如果输出的y的值是10，则输入的x的值是______．答案：由题意的程序，若x≤5，y=10x，否则y=2.5x+5，由于输出的y的值是10，当x≤5时，y=10x=10，得x=1；当x＞5时，y=2.5x+5=10，得x=2，不合，舍去．则输入的x的值是1．故为：1．20.已知偶函数f（x）的图象与x轴有五个公共点，那么方程f（x）=0的所有实根之和为______．答案：∵函数y=f（x）是偶函数∴其图象关于y轴对称∴其图象与x轴有五个交点也关于y轴对称其中一个为0．另四个关于y轴对称．∴方程f（x）=0的所有实根之和为0故为：0．21.用随机数表法从100名学生（男生35人）中选20人作样本，男生甲被抽到的可能性为（）A．15B．2035C．35100D．713答案：由题意知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是用随机数表法从100名学生选一个，共有100种结果，满足条件的事件是抽取20个，∴根据等可能事件的概率公式得到P=20100=15，故选A．22.已知离心率为63的椭圆C：x2a

2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点P(3，1)．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过左焦点F1且不与x轴垂直的直线l交椭圆C于M、N两点，若OM•ON=463tan∠MON（O为坐标原点），求直线l的方程．答案：（1）依题意，离心率为63的椭圆C：x2a

2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点P(3，1)．∴3a

2+1b2=1，且e2=c2a2=a2-b2a2=23解得：a2=6，b2=2故椭圆方程为x26+y22=1…（4分）（2）椭圆的左焦点为F1（-2，0），则直线l的方程可设为y=k（x+2）代入椭圆方程得：（3k2+1）x2+12k2x+12k2-6=0设M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2=-12k23k2+1，x1•x2=12k2-63k2+1…（6分）由OM•ON=463tan∠MON得：|OM|•|ON|sin∠MON=436，∴S△OMN=236…（9分）又|MN|=1+k2|x1-x2|=26(1+k2)3k2+1，原点O到l的距离d=|2k|1+k2，则S△OMN=12|MN|d=6(1+k2)3k2+1•|2k|1+k2=236解得k=±33∴l的方程是y=±33(x+2)…（13分）（用其他方法解答参照给分）23.已知函数f（x）=2x，数列{an}满足a1=f（0），且f（an+1）=（n∈N*），

（1）证明数列{an}是等差数列，并求a2010的值；

（2）分别求出满足下列三个不等式：，

的k的取值范围，并求出同时满足三个不等式的k的最大值；

（3）若不等式对一切n∈N*都成立，猜想k的最大值，并予以证明。答案：解：（1）由，得，即，∴是等差数列，∴，∴。（2）由，得；，得；，得，，∴当k同时满足三个不等式时，。（3）由，得恒成立，令，则，，∴，∵F（n）是关于n的单调增函数，∴，∴。24.证明：已知a与b均为有理数，且a和b都是无理数，证明a+b也是无理数．答案：证明：假设a+b是有理数，则（a+b）（a-b）=a-b由a＞0，b＞0则a+b＞0即a+b≠0∴a-b=a-ba+b∵a，bÎQ且a+b∈Q∴a-ba+b∈Q即（a-b）∈Q这样（a+b）+（a-b）=2a∈Q从而aÎQ（矛盾）∴a+b是无理数25.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…，用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是（）

A．

B．

C．

D．

答案：B26.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，m⊥β，则α⊥β，反过来则不一定所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．27.某种肥皂原零售价每块2元，凡购买2块以上（包括2块），商场推出两种优惠销售办法。第一种：一块肥皂按原价，其余按原价的七折销售；第二种：全部按原价的八折销售。你在购买相同数量肥皂的情况下，要使第一种方法比第二种方法得到的优惠多，最少需要买（

）块肥皂。

A.5

B.2

C.3

D.4答案：D28.某校对文明班的评选设计了a，b，c，d，e五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样S=ab+cd+1e来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出0＜c＜d＜e＜b＜a，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为（）A．aB．bC．cD．d答案：因a，b，cde都为正数，故分子越大或分母越小时，S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增长越多，由于0＜c＜d＜e＜b＜a，分母中d最小，所以c增大1个单位会使得S的值增加最多．故选C．29.如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线答案：本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题，因为三角形面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P的轨迹为一以AB为轴线的圆柱面，与平面α的交线，且α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆．30.已知x=-3-2i（i为虚数单位）是一元二次方程x2+ax+b=0（a，b均为实数）的一个根，则a+b=______．答案：∵x=-3-2i（i为虚数单位）是一元二次方程x2+ax+b=0（a，b均为实数）的一个根，∴（-3-2i）2+a（-3-2i）+b=0，化为5-3a+b+（12-2a）i=0．根据复数相等即可得到5-3a+b=012-2a=0，解得a=6b=13．∴a+b=19．故为19．31.某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意的连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．答案：依题意，随机变量ξ～B（2，5%）．所以，P（ξ=0）=C20（95%）2=0.9025，P（ξ=1）=C21（5%）（95%）=0.095P（ξ=2）=C22（5%）2=0.0025因此，次品数ξ的概率分布是：32.已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，，过A点的切线交CB的延长线于E点，求证：AB2=BE·CD。

答案：证明：连结AC，因为EA切⊙O于A，所以∠EAB=∠ACB，因为，所以∠ACD=∠ACB，AB=AD，于是∠EAB=∠ACD，又四边形ABCD内接于⊙O，所以∠ABE=∠D，所以△ABE∽△CDA，于是，即AB·DA=BE·CD，所以。33.已知函数y=f（n），满足f（1）=2，且f（n+1）=3f（n），n∈N+，则

f（3）的值为______．答案：∵f（1）=2，且f（n+1）=3f（n），n∈N+，∴f（2）=3f（1）=6，f（3）=f（2+1）=3f（2）=18，故为18．34.设，则之间的大小关系是

.答案：b>a>c解析：略35.已知函数f（x）=|x+2|-1，g（x）=|3-x|+2，若不等式f（x）-g（x）≤K的解集为R．则实数K的取值范围为______．答案：因为函数f（x）=|x+2|-1，g（x）=|3-x|+2，所以f（x）-g（x）=|x+2|-|x-3|-3，它的几何意义是数轴上的点到-2与到3距离的差再减去3，它的最大值为2，不等式f（x）-g（x）≤K的解集为R．所以K≥2．故为：[2，+∞）．36.求证：不论λ取什么实数时，直线（2λ-1）x+（λ+3）y-（λ-11）=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．答案：证明：直线（2λ-1）x+（λ+3）y-（λ-11）=0即λ（2x+y-1）+（-x+3y+11）=0，根据λ的任意性可得2x+y-1=0-x+3y+11=0，解得x=2y=-3，∴不论λ取什么实数时，直线（2λ-1）x+（λ+3）y-（λ-11）=0都经过一个定点（2，-3）．37.（选做题）方程ρ=cosθ与（t为参数）分别表示何种曲线（

）。答案：圆，双曲线38.用0.618法确定的试点，则经过（

）次试验后，存优范围缩小为原来的0.6184倍．答案：539.现有以下两项调查：①某校高二年级共有15个班，现从中选择2个班，检查其清洁卫生状况；②某市有大型、中型与小型的商店共1500家，三者数量之比为1：5：9．为了调查全市商店每日零售额情况，抽取其中15家进行调查．完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．简单随机抽样法，分层抽样法B．系统抽样法，简单随机抽样法C．分层抽样法，系统抽样法D．系统抽样法，分层抽样法答案：从15个班中选择2个班，检查其清洁卫生状况；总体个数不多，而且差异不大，故可采用简单随机抽样的方法，1500家大型、中型与小型的商店的每日零售额存在较大差异，故可采用分层抽样的方法故完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是简单随机抽样法，分层抽样法故选A40.已知向量a=（8，x，x）．b=（x，1，2），其中x＞0．若a∥b，则x的值为（）

A．8

B．4

C．2

D．0答案：B41.若两直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中正确的是（）

A．若α1＜α2，则两直线斜率k1＜k2

B．若α1=α2，则两直线斜率k1=k2

C．若两直线斜率k1＜k2，则α1＜α2

D．若两直线斜率k1=k2，则α1=α2答案：D42.已知指数函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）过点（3，8），求f（4）=______．答案：设指数函数为y=ax（a＞0且a≠1）将（3，8）代入得8=a3解得a=2，所以y=2x，则f（4）=42=16故为16．43.用数学归纳法证明：“1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）2，n∈N+”，当n=1时，左端为______．答案：在等式：“1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）2，n∈N+”中，当n=1时，3n+1=4，而等式左边起始为1×4的连续的正整数积的和，故n=1时，等式左端=1×4=4故为：4．44.如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：

（1）与AO相等的向量有

______；

（2）写出与AO共线的向量有

______；

（3）写出与AO的模相等的向量有

______；

（4）向量AO与CO是否相等？答

______．答案：（1）与AO相等的向量有BF（2）与AO共线的向量有DE，CO，BF（3）与AO的模相等的向量有DE，

DO，AE，CO，CF，BF，BO（4）模相等，方向相反故AO与CO不相等45.由直角△ABC勾上一点D作弦AB的垂线交弦于E，交股的延长线于F，交外接圆于G，求证：EG为EA和EB的比例中项，又为ED和EF的比例中项．

答案：证明：连接GA、GB，则△AGB也是一个直角三角形，因为EG为直角△AGB的斜边AB上的高，所以，EG为EA和EB的比例中项，即EG2=EA?EB∵∠AFE=∠ABC，∴直角△AEF∽直角△DEB，EAEF=EDEB即EA?EB=ED?EF．又∵EG2=EA?EB，∴EG2=ED?EF（等量代换），故EG也是ED和EF的比例中项．46.直线2x-3y+10=0的法向量的坐标可以是答案：C47.给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为90°．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，则xy的范围是______．答案：由OC=xOA+yOB?OC2=x2OA2+y2OB2+2xyOA?OB，又|OC|=|OA|=|OB|=1，OA?OB=0，∴1=x2+y2≥2xy，得xy≤12，而点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，得x，y∈[0，1]，于是，0≤xy≤12，故为[0，12]．48.甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）A．944B．2544C．3544D．3744答案：白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：58．抓出白球，抓入白球，概率是38×511=1588，故所求事件的概率为58+1588=3544，故选C．49.已知二项分布ξ～B(4，12)，则该分布列的方差Dξ值为______．答案：∵二项分布ξ～B(4，12)，∴该分布列的方差Dξ=npq=4×12×(1-12)=1故为：150.已知图形F上的点A按向量平移前后的坐标分别是和，若B（）是图形F上的又一点，则在F按向量平移后得到的图形F，上B，的坐标是（

）A．B．C．D．答案：选D解析：设向量，则平移公式为依题意有∴平移公式为将B点坐标代入可得B，点的坐标为．所以选D．第3卷一.综合题(共50题)1.中，是边上的中线（如图）．

求证：．

答案：证明见解析解析：取线段所在的直线为轴，点为原点建立直角坐标系．设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为．可得，，，．，．．2.下列函数中，与函数y=x相等的是（）A．y=(x)4B．y=5x5C．y=x2D．y=x2x答案：函数y=x的定义域为R，选项中A，D定义域不是R，是A、D不正确．选项C的对应法则不同，C不正确．故选B．3.已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x=3+3cosθy=1+3sinθ，（θ为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为pcos(θ+π6)=0．

（1）写出直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；

（2）求圆C截直线l所得的弦长．答案：（1）消去参数θ，得圆C的普通方程为(x-3)2+(y-1)2=9．（2分）由ρcos(θ+π6)=0，得32ρcosθ-12ρsinθ=0，∴直线l的直角坐标方程为3x-y=0．（5分）（2）圆心(3，1)到直线l的距离为d=|3×3-1|(3)2+12=1．（7分）设圆C直线l所得弦长为m，则m2=r2-d2=9-1=22，∴m=42．（10分）4.点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的正投影，则|OB|等于（）

A．

B．

C.

D．答案：B5.设P，Q为△ABC内的两点，且AP=mAB+nAC

(m，n＞0)AQ=pAB+qAC

(p，q＞0)，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为______．答案：设P到边AB的距离为h1，Q到边AB的距离为h2，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为h1h2，设AB边上的单位法向量为e，AB?e=0，则h1=|AP?e|=|（mAB+nAC）?e|=|m?AB?e+nAC?e|=|nAC?e|，同理可得h2=|qAC?e|，∴h1h2=|nq|=nq，故为n：q．6.已知P是以F1，F2为焦点的椭圆(a＞b＞0)上的一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2=，则此椭圆的离心率为（）

A．

B．

C．

D．答案：D7.设△ABC是边长为1的正三角形，则|CA+CB|=______．答案：∵△ABC是边长为1的正三角形，∴|CA|=1，|CB|=1，CA?CB=1×1×cosπ3=12∴|CA+CB|=CA2+2CA?CB+CB2=1+1+

2×12=3，故为：38.将一枚骰子连续抛掷600次，请你估计掷出的点数大于2的大约是______次．答案：一颗骰子是均匀的，当抛这颗骰子时，出现的6个点数是等可能的，将一枚骰子连续抛掷600次，估计每一个嗲回溯出现的次数是100，∴掷出的点数大于2的大约有400次，故为：400．9.若m∈{-2，-1，1，2}，n∈{-2，-1，1，2，3}，则方程x2m+y2n=1表示的是双曲线的概率为______．答案：由题意，方程x2m+y2n=1表示双曲线时，mn＜0，m＞0，n＜0时，有2×2=4种，m＜0，n＞0时，有2×3=6种∵m，n的取值共有4×5=20种∴方程x2m+y2n=1表示的是双曲线的概率为4+620=12故为：1210.已知△A′B′C′是水平放置的边长为a的正三角形△ABC的斜二测平面直观图，那么△A′B′C′的面积为______．答案：正三角形ABC的边长为a，故面积为34a2，而原图和直观图面积之间的关系S直观图S原图=24，故直观图△A′B′C′的面积为6a216故为：6a216．11.已知适合不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值为3，求p的值．答案：因为x的最大值为3，故x-3＜0，原不等式等价于|x2-4x+p|-x+3≤5，（3分）即-x-2≤x2-4x+p≤x+2，则x2-5x+p-2≤0x2-3x+p+2≥0

解的最大值为3，（6分）设x2-5x+p-2=0

的根分别为x1和x2，x1＜x2，x2-3x+p+2=0的根分别为x3和

x4，x3＜x4．则x2=3，或x4=3．若x2=3，则9-15+p-2=0，p=8，若x4=3，则9-9+p+2=0，p=-2．当p=-2时，原不等式无解，检验得：p=8

符合题意，故p=8．（12分）12.若定义在正整数有序对集合上的二元函数f满足：①f（x，x）=x，②f（x，y）=f（y，x）；③（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y），则f（12，16）的值是（）A．12B．16C．24D．48答案：依题意：∵（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y），∴f（x，x+y）=1y（x+y）f（x，y）∴f（12，16）=f（12，12+4）=14（12+4）f（12，4）=4f（12，4）=4f（4，12）=4f（4，4+8）=4×18（4+8）f（4，8）=6f（4，8）=6f（4，4+4）=6×14（4+4）f（4，4）=12f（4，4）=12×4=48故选D13.b1是[0，1]上的均匀随机数，b=3（b1-2），则b是区间______上的均匀随机数．答案：∵b1是[0，1]上的均匀随机数，b=3（b1-2）∵b1-2是[-2，-1]上的均匀随机数，∴b=3（b1-2）是[-6，-3]上的均匀随机数，故为：[-6，-3]14.设U={x|x＜7，x∈N+}A={1，2，5}，B={2，3，4，5}，求A∩B，CUA，A∪（CUB）．答案：∵U={1，2，3，4，5，6}A∩B={2，5}CUA={3，4，6}A∪CUB={1}15.设、、为实数，，则下列四个结论中正确的是（

）A．B．C．且D．且答案：D解析：若,则,则.若,则对于二次函数,由可得结论.16.已知一直线斜率为3，且过A（3，4），B（x，7）两点，则x的值为（）

A．4

B．12

C．-6

D．3答案：A17.已知x1＞0，x1≠1，且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1，（n=1，2，…）．试证：数列{xn}或者对任意自然数n都满足xn＜xn+1，或者对任意自然数n都满足xn＞xn+1．答案：证：首先，xn+1-xn=xn(x2n+3)3x2n+1-xn=2xn(1-x2n)3x2n+1，由于x1＞0，由数列{xn}的定义可知xn＞0，（n=1，2，…）所以，xn+1-xn与1-xn2的符号相同．①假定x1＜1，我们用数学归纳法证明1-xn2＞0（n∈N）显然，n=1时，1-x12＞0设n=k时1-xk2＞0，那么当n=k+1时1-x2k+1=1-[xk(x2k+3)3x2k+1]2=(1-x2k)3(3x2k+1)2＞0，因此，对一切自然数n都有1-xn2＞0，从而对一切自然数n都有xn＜xn+1②若x1＞1，当n=1时，1-x12＜0；设n=k时1-xk2＜0，那么当n=k+1时1-x2k+1=1-[xk(x2k+3)3x2k+1]2=(1-x2k)3(3x2k+1)2＜0，因此，对一切自然数n都有1-xn2＜0，从而对一切自然数n都有xn＞xn+118.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱．这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1：h2：h3=（）

A．：1：1

B．：2：2

C．：2：

D．：2：答案：B19.已知x∈R，i为虚数单位，若(x-2)i-1-i为纯虚数，则x的值为（）A．1B．-1C．2D．-2答案：(x-2)i-1-i=[(x-2)i-1]•i-i•i=（x-2）i2-i=（2-x）-i由纯虚数的定义可得2-x=0，故x=2故选C20.数集{1，x，2x}中的元素x应满足的条件是______．答案：根据集合中元素的互异性可得1≠x，x≠2x，1≠2x∴x≠1且x≠12且x≠0．故为：x≠1且x≠12且x≠0．21.”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件答案：C22.已知当m∈R时，函数f（x）=m（x2-1）+x-a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．答案：（1）m=0时，f（x）=x-a是一次函数，它的图象恒与x轴相交，此时a∈R．（2）m≠0时，由题意知，方程mx2+x-（m+a）=0恒有实数解，其充要条件是△=1+4m（m+a）=4m2+4am+1≥0．又只需△′=（4a）2-16≤0，解得-1≤a≤1，即a∈[-1，1]．∴m=0时，a∈R；m≠0时，a∈[-1，1]．23.如图的曲线是指数函数y=ax的图象，已知a的值取，，，则相应于曲线①②③④的a的值依次为（）

A.，，,

B．,，,

C．,,,

D．,,,

答案：A24.若|x-4|+|x+5|＞a对于x∈R均成立，则a的取值范围为______．答案：∵|x-4|+|x+5|=|4-x|+|x+5|≥|4-x+x+5|=9，故|x-4|+|x+5|的最小值为9．再由题意可得，当a＜9时，不等式对x∈R均成立．故为（-∞，9）．25.大家知道，在数列{an}中，若an=n，则sn=1+2+3+…+n=12n2+12n，若an=n2，则

sn=12+22+32+…+n2=13n3+12n2+16n，于是，猜想：若an=n3，则sn=13+23+33+…+n3=an4+bn3+cn2+dn．

问：（1）这种猜想，你认为正确吗？

（2）不管猜想是否正确，这个结论是通过什么推理方法得到的？

（3）如果结论正确，请用数学归纳法给予证明．答案：（1）猜想正确；（2）这是一种类比推理的方法；（3）由类比可猜想，a=14，n=1时，a+b+c+d=1；n=2时，16a+8b+4c+d=9；n=3时，81a+27b+9c+d=36故解得a=14，b=12，c=14，∴sn=13+23+33+…+n3=14n4+12n3+14n2用数学归纳法证明：①n=1时，结论成立；②假设n=k时，结论成立，即13+23+33+…+k3=14k4+12k3+14k2=[k(k+1)2]2则n=k+1时，左边=13+23+33+…+k3+（k+1）3=14k4+12k3+14k2+（k+1）3=[k(k+1)2]2+(k+1)3=(k+12)2(k2+4k+4)=[(k+1)(k+2)2]2=右边，结论成立由①②可知，sn=13+23+33+…+n3=14n4+12n3+14n2，成立26.某种灯泡的耐用时间超过1000小时的概率为0.2，有3个相互独立的灯泡在使用1000小时以后，最多只有1个损坏的概率是（）

A．0.008

B．0.488

C．0.096

D．0.104答案：D27.已知点P是长方体ABCD-A1B1C1D1底面ABCD内一动点，其中AA1=AB=1，AD=2，若A1P与A1C所成的角为30°，那么点P在底面的轨迹为（）A．圆弧B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分答案：如图，∵A1P与A1C所成的角为30°，∴P点在以A1C为轴，母线与轴的夹角为30度的圆锥面上，在直角三角形A1CC1中，A1C1=3，CC1=1，∴∠C1AC1=30°当截面ABCD与圆锥的母线A1C1平行时，截得的图形是抛物线，故点P在底面的轨迹为抛物线的一部分．故选D．28.在空间直角坐标系中，点，过点P作平面xOy的垂线PQ，则Q的坐标为（）

A．

B．

C．

D．答案：D29.”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（

）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件答案：C30.（理）

设O为坐标原点，向量OA=(1，2，3)，OB=(2，1，2)，OP=(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当QA•QB取得最小值时，点Q的坐标为______．答案：∵OP=(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，设OQ=λOP=（λ，λ，2λ）又∵向量OA=(1，2，3)，OB=(2，1，2)，∴QA=（1-λ，2-λ，3-2λ），QB=（2-λ，1-λ，2-2λ）则QA•QB=（1-λ）×（2-λ）+（2-λ）×（1-λ）+（3-2λ）×（2-2λ）=6λ2-16λ+10易得当λ=43时，QA•QB取得最小值．此时Q的坐标为（43，43，83）故为：（43，43，83）31.正方体的内切球和外接球的半径之比为

A.：1

B.：2

C.2：

D.：3答案：D32.如图，PT是⊙O的切线，切点为T，直线PA与⊙O交于A、B两点，∠TPA的平分线分别交直线TA、TB于D、E两点，已知PT=2，PB=3，则PA=______，TEAD=______．答案：由题意，如图可得PT2=PB×PA又由已知PT=2，PB=3，故可得PA=433又TPA的平分线分别交直线TA、TB于D、E两点，可得∠TPE=∠APD又由弦切角定理知∠PTE=∠PAD故有△PET≈△PDA故有TE：AD=PT：PA=3：2故为433，3233.抛物线y=4x2的焦点坐标是______．答案：由题意可知x2=14y∴p=18∴焦点坐标为(0，116)故为(0，116)34.一个凸多面体的各个面都是四边形，它的顶点数是16，则它的面数为（）

A．14

B．7

C．15

D．不能确定答案：A35.计算机的程序设计语言很多，但各种程序语言都包含下列基本的算法语句：______，______，______，______，______．答案：计算机的程序设计语言很多，但各种程序语言都包含下列基本的算法语句：输入语句，输出语句，赋值语句，条件语句，循环语句．故为：输入语句，输出语句，赋值语句，条件语句，循环语句．36.在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=2的距离为______．答案：直线ρcosθ=2即x=2，极点的直角坐标为（0，0），故极点到直线ρcosθ=2的距离为2，故为2．37.设a＞2，给定数列{xn}，其中x1=a，xn+1=x2n2(xn-1)(n=1，2…)求证：

（1）xn＞2，且xn+1xn＜1(n=1，2…)；

（2）如果a≤3，那么xn≤2+12n-1(n=1，2…)．答案：证明：（1）①当n=1时，∵x2=x122(x1-1)=x1+(2-x1)x12(x1-1)，x2=x122(x1-1)=4(x1-1)+x12

-4x1+42(x1-1)=2+(x1-2)22(x1-1)，x1=a＞2，∴2＜x2＜x1．结论成立．②假设n=k时，结论成立，即2＜xk+1＜xk（k∈N+），则xk+2=xk+122(xk+1-1)=xk+1+(2-xk+1)xk+12(xk+1-1)＞xk+1，xk+2=xk+122(xk+1-1)=2+(xk+1-2)22(xk+1-1)＞2．∴2＜xk+2＜xk+1，综上所述，由①②知2＜xn+1＜xn．∴xn＞2且xn